Chapitre 6 Géométrie vectorielle

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1 6. Translation et vecteurs 6.. Définition DÉFINITIN n considère et deux points distincts du plan. hapitre 6 Géométrie vectorielle. n appelle translation qui transforme en la transformation qui à tout point M du plan associe l unique point M tel que [M ] et [ M] ont même milieu.. Dans le cas précédent, le quadrilatère M M est un parallélogramme (éventuellement aplati). 3. n dit alors que M est l image de M dans la translation qui transforme en. ette transformation est appelée la translation de vecteur et notée t. M M M M REMRQUES La translation est une transformation du plan. Elle conserve les formes, l alignement, les mesures d angles,... PRPRIÉTÉ (La clé pour les constructions). D est l image de par la translation de vecteur si et seulement si D est un parallélogramme.. D est l image de par la translation de vecteur si et seulement si [D] et [] ont le même milieu. 6. Vecteurs 6.. Définition DÉFINITIN n appelle vecteur le segment fléché associé à la translation qui transforme en. est appelé origine du vecteur, est appelé extrémité du vecteur. Dans le cas où est distinct de, le vecteur donne graphiquement l idée d un déplacement dont il indique visuellement, la direction (celle de la droite ()), le sens (du point vers le point ) et la longueur (celle de la distance ). La longueur d un vecteur est appelée la norme de ce vecteur. Par exemple : Direction de : la droite () Sens de : De l origine vers l extrémité. Norme de : la longueur de segment [] vec =, on note alors = = 0 et on l appelle le vecteur nul. est un vecteur qui n a pas de direction ni de sens et dont la longueur est égale à 0. N. SNS page Lcée Jean Giono Turin

2 6.. Égalité DÉFINITIN 3 Les vecteurs et D sont égaux si et seulement si la translation qui transforme en transforme en D. n peut alors écrire = D PRPRIÉTÉ (omment montrer une égalité de vecteurs non nuls) Toujours penser à faire une figure. Les vecteurs et D sont égaux si et seulement si D est un parallélogramme.. et D sont égaux si et seulement s ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. PRPRIÉTÉ 3 (aractérisation d un milieu) Soit et deux points, M est le milieu du segment [] si et seulement si M et M sont égaux. Implication : Si M est le milieu de [] alors les vecteurs M et M ont même direction, même longueur et même sens donc ils sont égaux. Réciproquement : Si les vecteurs sont égaux alors la translation qui transforme en M transforme aussi M en donc MM est un parallélogramme aplati et où M est le milieu de la diagonale [] Représentants d un vecteur Soit, et trois points distincts du plan, au point, on a associé D son image par la translation de vecteur. Á tout point M du plan, on peut associer de même son image M dans cette transformation. D M M n a donc alors = D = M M. n dit que, D et M M sont trois représentants d un même vecteur que l on peut noté simplement. PRPRIÉTÉ 4. Un vecteur possède une infinité de représentants.. Soit un vecteur et un point du plan, il existe un unique représentant du vecteur d origine. as particulier Le vecteur de la translation qui transforme en lui même 0 est représenté par un point. Par la translation de vecteur nul, tout point du plan est invariant. 6.3 pération sur les vecteurs 6.3. Somme de deux vecteurs - Relation de hasles DÉFINITIN 4 (Le sens de la notion) Soit et deux vecteurs, la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est encore une translation. + n note+ le vecteur de cette nouvelle translation. N. SNS page Lcée Jean Giono Turin

3 onstruction de la somme (a) as simple : L extrémité du vecteur est l origine du vecteur. n a donc + = (b) as général : n construit le représentant de D d origine pour revenir au premier cas. + D D + D D PRPRIÉTÉ 5 (Relation de HSLES) Pour tous points, et, la somme de deux vecteurs et (l extrémité de l un est l origine de l autre) est le vecteur : + =. as particulier n peut remarquer que dans la translation de vecteur à suivie de la translation de vecteur l image du point est. n a donc + = = 0. n dit que et sont des vecteurs opposés et on écrit =. insi, l opposé du vecteur est noté La somme vue par le phsicien PRPRIÉTÉ 6 (Règle du parallélogramme) Pour tous points,, et D on a : + = D D parallélogramme. D Différence de deux vecteurs DÉFINITIN 5 Rappel : soustraire revient à ajouter l opposé. Soit et deux vecteurs quelconques, on définit la différence comme la somme + ( ) N. SNS page 3 Lcée Jean Giono Turin

4 6.3.4 Les propriétés de la somme PRPRIÉTÉ 7 (Règles de calcul) Soit et deux vecteurs quelconques :. + 0 = 0 + = 0 (Le vecteur nul 0 est un élément neutre pour la somme des vecteurs). + = + (n dit que la somme est commutative) 3. + ( + w) = ( +) + w (n dit que la somme est associative) 4. + = 0 = (n retrouve la notion d opposée) Enfin on a la propriété suivante : PRPRIÉTÉ 8 Soient et deux points distincts et I un point du plan. I est le milieu de segment [] I + I = 0. Les vecteurs I et I sont donc opposés. n dit que le point I est l isobarcentre des points et. 6.4 Vecteurs dans un repère du plan 6.4. oordonnées d un vecteur DÉFINITIN 6 (oordonnées du vecteur) Le plan est muni d un repère (, I, J). Soit un vecteur, il existe un unique point M tel que M soit le représentant du vecteur d origine. n appelle coordonnées de les coordonnées du point M.. Une nouvelle notation : on pose i = I et = J, on note alors ( ; ı, ) le repère (, I, J).. Pour distinguer les points et les vecteurs, si M (x ; ) et= M on note alors 3. n a donc i ( ) et 0 ( ) 0. PRPRIÉTÉ 9 (Égalité de deux vecteurs) Soit et deux vecteurs, et ( x { x = x sont égaux si et seulement si =. PRPRIÉTÉ 0 (oordonnées du vecteur ) Soit (x ; ) et (x ; ) alors a pour coordonnées ( x x ). Preuve 4 3 M Soit M (x ; ) l image de dans la translation de vecteur, on a alors M = donc le quadrilatère M est un parallélogramme ce qui implique que ses diagonales [M] et [] se coupent en leur milieu. x + x M D où + x M = 0+ x = 0+ { x = x x = J i I 3 4 Exemple alculer les coordonnées de avec ( ; ) et (3 ; 4). Solution : ( ) ( ) ( ) x x 3 ( ) 4 = = 4 N. SNS page 4 Lcée Jean Giono Turin

5 6.4. oordonnées de la somme de deux vecteurs PRPRIÉTÉ ( ) ( x x Soient et deux vecteurs. ( x+ x ( x x Le vecteur + a pour coordonnées + et le vecteur a pour coordonnées. Remarque L opposé du vecteur a pour coordonnées 6.5 olinéarité de deux vecteurs 6.5. Multiplication d un vecteur par un réel DÉFINITIN 7 Le plan étant muni d un repère ( ; ı, ), soit ( ) k x coordonnées dans le même repère. k ( ) x et soit k un nombre réel, on définit le vecteur k par le vecteur de ( ) = ( ) ( 3 ). Dans le cas où k est non nul : le vecteur k est un vecteur dont : la direction est celle de ; le sens est celui de si k > 0 et l opposé de celui de si k < 0 ; la norme est celle de si k > 0 et l opposé de celle de si k < 0.. Soient et deux points distincts et I un point du plan, I milieu de [] I = Vecteurs colinéaires DÉFINITIN 8 Soit deux vecteurs et. n dit que et sont colinéaires lorsque l un est le produit de l autre par un réel. u encore et sont colinéaires s il existe un nombre k tel que = k ou = k. et sont colinéaires car = (ou= ), w mais et w ne le sont pas. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan car on peut écrire 0=0 pour tout vecteur. Si et sont non nuls, et sont colinéaires si et seulement si ils ont même direction. N. SNS page 5 Lcée Jean Giono Turin

6 PRPRIÉTÉ ( ) (ritère ( de colinéarité sur les coordonnées) x x Soient et deux vecteurs, et sont colinéaires si et seulement si x = x. Preuve Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que { x = kx = k si et seulement si les coordon- nées de et sont proportionnelles ou encore le tableau abscisse x x est un tableau de proportionnalité. e ordonnée qui est équivalent à dire, par l égalité des produits en croix, que x = x Interprétation géométrique de la colinéarité PRPRIÉTÉ 3 (onséquence) Les droites () et (D) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et D sont colinéaires. D () et (D) sont parallèles et D ont la même direction et D sont colinéaires. PRPRIÉTÉ 4 (onséquence) Les points, et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Les points, et sont alignés et ont la même direction et sont colinéaires.. n retiendra finalement que deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s ils ont la même direction.. Démontrer que et D sont colinéaires prouve donc également que les droites () et (D) sont parallèles. 3. Si le plan est muni d un repère on peut traiter tous les problèmes géométriques de parallélisme et d alignement grâce à la colinéarité des vecteurs. 6.6 Les repères Soient un point du plan et ı et deux vecteurs de ce plan de directions différentes (non colinéaires), alors ( ; ı, ) est appelé repère du plan. est appelée origine du repère et le couple ( ı, ) est appelé base du repère. Soit un repère ( ; ı, ) du plan. Si les directions de ı et de sont orthogonales, le repère est dit orthogonal. Si les normes de ı et de sont égales à, le repère est dit normé. Si les directions de ı et de sont orthogonales et que les normes de ı et de sont égales à, le repère est dit orthonormé. Sinon, le repère est dit quelconque. Repère orthogonal Repère normé Repère orthonormé ı ı ı N. SNS page 6 Lcée Jean Giono Turin

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