Chapitre 2 Colinéarité et équation de droite. Table des matières. Chapitre 2 Colinéarité et équation de droite TABLE DES MATIÈRES page -1
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- Véronique Lortie
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1 hapitre 2 olinéarité et équation de droite TLE DES MTIÈRES page -1 hapitre 2 olinéarité et équation de droite Table des matières I Exercices I I I I I I I I-2 8 Vecteur directeur d une droite I I I I I I I I I I I I-4 II ours II-1 1 Rappels de seconde sur les vecteurs II-1 1a Translation et vecteurs II-1 1b Égalité de deux vecteurs II-1 1c Somme de deux vecteurs II-2 1d Produit d un vecteur par un nombre réel et vecteurs colinéaires II-3 1e oordonnées d un vecteur dans un repère du plan II-3 1f oordonnées de la somme de deux vecteurs II-3 1g oordonnées du produit d un vecteur par un réel II-3 2 Rappels de seconde sur les équations de droites II-4 2a Deux types d équations de droites II-4 2b Droites parallèles II-4 3 ondition de colinéarité de deux vecteurs II-5 4 Équation de droite II-5 4a Équation cartésienne d une droite II-5
2 hapitre 2 olinéarité et équation de droite TLE DES MTIÈRES page -2 4b 4c 4d Vecteur directeur d une droite II-5 alcul d équation de droite II-5 Décomposition d un vecteur II-5
3 hapitre 2 olinéarité et équation de droite I EXERIES page I-1 I Exercices ondition de colinéarité de deux vecteurs 1 Répondre aux questions ci-dessous qui concernent le repère (0, I,, J) du plan représenté ci-contre. 1. Indiquer les coordonnées du point, du point et du vecteur. 2. Placer les points ( 3 ; 2) et D ( 5 ; 3) et calculer les coordonnées du vecteur D. 3. Placer le point E (4 ; 5), puis le point F tel que les coordonnées du vecteur EF soient ( 6 ; 3) J + O + I Dans le repère (0, I,, J) du plan représenté ci-contre, placer les points (1 ; 5) (5 ; 3) ( 5 ; 4) D (4 ; 1) E (1 ; 2) F ( 5 ; 1) et tracer les vecteurs, D, EF 2. (a) D après la figure, les vecteurs et D semblentils colinéaires? (b) Justifier par un calcul. 3. Mêmes questions pour les vecteurs D et EF Déterminer chaque fois si les vecteurs u et v sont colinéaires ou non. (1) u (3 ; 2) v ( 7, 5 ; 5) (2) u (4 ; 7) v (2 ; 3) (3) u ( 1 ; 5) v (0, 8 ; 4) 4 Écrire un algorithme auquel on donne les coordonnées de deux vecteurs et qui indique si les vecteurs sont colinéaires ou non. x 5 6 Équation de droite 1. Tracer un repère (O, I,, J) du plan et placer les points ( 5 ; 1) ( 1 ; 3) (1 ; 4) D (4 ; 5) 2. Les points,, sont-ils alignés? Justifier. 3. Les points,, D sont-ils alignés? Justifier. Dans cet exercice, nous allons écrire une équation de droite d une manière nouvelle. 1. Tracer un repère (O, I,, J) du plan et placer les points (2 ; 1) (4 ; 4) 2. alculer les coordonnées du vecteur. 3. Tracer la droite () et placer un point M sur la droite (). J + O + I
4 hapitre 2 olinéarité et équation de droite I EXERIES page I-2 4. On appelle x et y les coordonnées du point M dans le repère (O, I,, J). Écrire en fonction de x et y les coordonnées du vecteur M. 5. Sachant que les points,, M sont alignés, écrire une égalité avec x et y et la transformer sous la forme ax + by + c = Tracer un repère (O, I,, J) du plan et placer les points : (1 ; 4) (5 ; 3) ( 1 ; 2) D ( 3 ; 3) E (1 ; 2) F (5 ; 1) 2. alculer les équations des droites (), (D), (EF), chaque fois sous la forme ax+by +c = 0, en utilisant la méthode de l exercice 6. 8 Vecteur directeur d une droite 1. Placer deux points et sur la figure cicontre tels que = u et tracer la droite (). On dit alors que le vecteur u est un vecteur directeur de la droite (d). 2. Le vecteur u est aussi un vecteur directeur de la droite (d). Placer deux points et D sur la droite (d) tels que D = u. 3. Le vecteur u n est pas un vecteur directeur de la droite ( ). Tracer un vecteur v qui soit un vecteur directeur de la droite ( ). ( ) u (d) 9 1. Sur la figure ci-contre, les coordonnées du vecteur u sont ( 1 ; 3). Placer le point (2 ; 1). 2. Tracer la droite (d) passant par le point de vecteur directeur u. 3. alculer une équation cartésienne de la droite (d). u Tracer un repère qui pourra être utilisé pour tout l exercice. 2. Dans chacun des cas (a), (b), (c) ci-dessous placer le point ; tracer la droite (d) passant par de vecteur directeur u ; calculer une équation cartésienne de la droite (d). (a) ( 4 ; 3) u (2 ; 1) (b) (1 ; 3) u (1 ; 3) (c) ( 3 ; 1) u ( 6 ; 2) hacune des équations cartésiennes de l exercice 10 est de la forme ax + by + c = Sur la figure de cet exercice, tracer chaque fois le vecteur u ( b ; a). 2. Que constate-t-on chaque fois pour le vecteur u et la droite (d) qui lui correspond?
5 hapitre 2 olinéarité et équation de droite I EXERIES page I onstruire la somme u + v à partir du point. 2. (a) onstruire le point E tel que + D = E. (b) Quelle est la nature du quadrilatère ED? (sans justifier) 3. onstruire le point K tel que 3 FG + 2 FH = FK. D H u v G F Indiquer les coordonnées des points D, E, F, G, H, K dans le repère (,, ). 2. Exprimer les vecteurs D, E, F, G, H, K en fonction des vecteurs et. 3. omparer les résultats des deux questions précédentes. G F H E D K Tracer un triangle et le point I milieu de []. 2. Décomposer I en fonction des vecteurs et Tracer un triangle et placer les points G et D tel que 1 G = et D = Décomposer G en fonction des vecteurs et. 3. Démontrer que, G, D sont alignés.
6 hapitre 2 olinéarité et équation de droite I EXERIES page I Tracer un triangle et placer les points E et F tel que 1 E = et F = Décomposer E en fonction des vecteurs et. 3. Démontrer que, E, F sont alignés. 1. Tracer un triangle et placer les points I milieu de [], J milieu de [I], et K tel que K = Décomposer K et J en fonction des vecteurs et. 3. Démontrer que, J, K sont alignés. Dans chacun des cas suivants, placer les points et, puis placer le point M qu vérifie l égalité indiquée. Indication : exprimer d abord M en fonction de. (1) M + M = 0 (2) 2 M + M = 0 (3) 3 M + 4 M = 0 (4) M + 2 M = 0 (5) 3 M M = 0 19 Tracer un triangle et placer le point D tel que D + D + D = 0. Indication : exprimer d abord D en fonction de et.
7 hapitre 2 olinéarité et équation de droite II OURS page II-1 II ours 1 Rappels de seconde sur les vecteurs 1a Exemple Translation et vecteurs Dans la figure ci-contre, on dit que le triangle RST est l image du triangle MNP par une transformation qui s appelle une translation. Intuitivement, on peut dire qu on a fait glisser le triangle MNP sur le triangle RST, en ligne droite, sans tourner. On dit aussi que cette translation est la translation de vecteur MR M P R T N S Vecteur Pour un vecteur, le point est l origine du vecteur et le point est son extrémité. Un vecteur peut être nommé par son origine et son extrémité (comme ) ou par une seule lettre (comme u). Si les points et sont confondus, on obtient le vecteur qui est le vecteur nul. 1b Égalité de deux vecteurs u = 0 D D Définition Pour quatre points,,, D, dire que = D signifie que c est la même translation qui transforme en et en D. Pour quatre points,,, D, dire que = D équivaut à dire que les segments [D] et [] ont le même milieu. Pour quatre points,,, D, si D est un parallélogramme, alors = D si,, ne sont pas alignés, et si = D alors D est un parallélogramme,
8 hapitre 2 olinéarité et équation de droite II OURS page II-2 Pour quatre points,,, D, dire que = D équivaut à dire que les vecteurs et D ont la même direction (c est à dire () // (D)) ; sont de même sens ; ont la même longueur. 1c Somme de deux vecteurs. w = + Définition Si on enchaîne une translation de vecteur u puis une translation de vecteur v on obtient une translation de vecteur w. On dit alors que ce vecteur w est la somme des vecteurs u et v. Relation de hasles. Pour trois points,,, on a : + =. Méthodes de construction de la somme de deux vecteurs. onstruction «bout à bout» onstruction du parallélogramme + + Opposé d un vecteur L opposé d un vecteur u s écrit u Un vecteur et son opposé ont même direction, même longueur, et sont de sens opposés. Pour deux points et, = Pour trois points,, dire que = équivaut à dire que est le milieu de [] Pour deux points et et pour un vecteur u, on a les égalités : + ( ) = + = = 0 et u + ( u) = 0 / /
9 hapitre 2 olinéarité et équation de droite II OURS page II-3 1d Produit d un vecteur par un nombre réel et vecteurs colinéaires. Exemples u + u + u = 3 u Remarques 3 v v = 2 v 2 Si k est positif u et k u sont de même sens ; si k est négatif u et k u sont de sens opposés. Définition Dire que deux vecteurs u et v sont colinéaires signifie que il existe un nombre k tel que u = k v ou qu il existe un nombre k tel que v = k u lignement et parallélisme Trois points,, sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Pour quatre points,,, D, les droites () et (D) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et D sont colinéaires. D 1e oordonnées d un vecteur dans un repère du plan 1f Pour deux points et de coordonnées (x ; y ) et (x ; y ) dans un repère du plan, les coordonnées du vecteur sont (x x, y y ) oordonnées de la somme de deux vecteurs Pour deux vecteurs u et v de coordonnées u (x ; y) et v (x ; y ) les coordonnées du vecteur u + v sont (x + x ; y + y ) 1g oordonnées du produit d un vecteur par un réel Pour un vecteur u de coordonnées (x ; y), les coordonnées du vecteur k u sont (kx ; ky). Exemple
10 hapitre 2 olinéarité et équation de droite II OURS page II-4 Dans la figure ci-contre, les coordonnées de u sont u (4 ; 1) alcul des coordonnée du vecteur 2 u : ( 2) 4 = 8 ( 2) ( 1) = 2 Les coordonnée du vecteur 2 u sont donc 2 u ( 8 ; 2) 2 Remarque Pour un vecteur u et un nombre k, on sait que les vecteurs u et k u sont colinéaires, et que leurs coordonnées (x ; y) et (kx ; ky) sont proportionnelles, puisque x et y sont multipliés par le même coefficient k. On a donc la propriété ci-dessous. Deux vecteurs colinéaires ont des coordonnées proportionnelles. Exemple : comment justifier, avec des coordonnées, si des vecteurs sont colinéaires ou non? Dans la figure ci-contre, les vecteurs u, v, w ont pour coordonnées u (7 ; 2), v (9 ; 6), w (6 ; 4) Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires? Deux vecteurs colinéaires ont des coordonnées proportionnelles, on calcule donc les produits en croix des coordonnées : 7 6 = = 18 Les produits en croix sont différents, donc les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires. Les vecteurs v et w sont-ils colinéaires? On calcule les produits en croix des coordonnées : 9 4 = = 36 Les produits en croix sont égaux, donc les vecteurs u et v sont colinéaires. 2 Rappels de seconde sur les équations de droites 2a Deux types d équations de droites Dans un repère du plan, toute droite a une équation. Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme x = k. Une droite non parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p. 2b Droites parallèles Deux droites d équations x = c et x = c sont parallèles Deux droites d équations x = c et y = mx + p sont sécantes Deux droites d équation y = mx + p et y = m x + p sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs m et m sont égaux. w
11 hapitre 2 olinéarité et équation de droite II OURS page II-5 3 ondition de colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs u (x ; y) et v (x ; y ) sont colinéaires si et seulement si xy x y = 0 4 Équation de droite 4a Équation cartésienne d une droite Remarques : en classe de seconde deux types d équations de droites avaient été étudiées, cela est rappelé dans la paragraphe 2a de ce cours ; en fait, toutes les droites du plan peuvent être écrites sous une forme commune, c est ce qu indique la propriété ci-dessous. Dans un repère du plan, toute droite a une équation de la forme ax + by + c = 0 (a ; b) (0 ; 0) Remarque : (a ; b) (0 ; 0) signifie que a et b ne sont pas tous les deux égaux à zéro. On peut donc avoir a = 0, ou b = 0, mais on ne peut pas avoir a = b = 0. 4b Vecteur directeur d une droite Définition Dire qu un vecteur non nul u est vecteur directeur d une droite (d) signifie qu il existe deux points et de la droite (d) tel que u = 4c Pour une droite d équation cartésienne ax + by + c = 0, un vecteur directeur de cette droite est le vecteur u ( b ; a) (a ; b) (0 ; 0) alcul d équation de droite Objectif du programme : déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point. Un élève de première S doit donc savoir faire l exercice résolu n o 1 page d Décomposition d un vecteur Pour la résolution de certains problèmes, il peut être utile de décomposer un vecteur w sous la forme a u + b v, u et v étant deux vecteurs non colinéaire. Exemple avec des coordonnées : exercice résolu n o 1 page 167. Exemple sans coordonnées : paragraphe ➁ «Un exemple» page 166 u (d) 1. manuel de mathématiques de 1 re S Hyperbole Nathan 2011
= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
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