Vecteurs et translations

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Vecteurs et translations"

Transcription

1 Vecteurs et translations p. 1 Vecteurs et translations Classe de Seconde Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques ybreney@free.fr Lycée Lumière - Luxeuil-les-Bains

2 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2

3 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition

4 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC]

5 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.

6 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu. On dit alors qued est l image dec par la translation qui transformea enb.

7 Proposition Vecteurs et translations p. 3

8 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc Vecteurs et translations p. 3

9 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. Vecteurs et translations p. 3

10 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. C D A B

11 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B

12 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition

13 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition SoientAetB deux points du plan. La translation qui transformeaen B est appelée

14 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition SoientAetB deux points du plan. La translation qui transformeaen B est appelée translation de vecteur AB. A AB B

15 2 - Vecteurs Vecteurs et translations p. 4

16 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation

17 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan.

18 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par :

19 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ;

20 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ;

21 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]).

22 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté

23 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0.

24 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0.

25 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition

26 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont

27 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction,

28 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction, même sens

29 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction, même sens et même norme.

30 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : B C A D F E

31 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : B C A D F E On peut affirmer que AD = BC = FE.

32 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont :

33 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ;

34 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ;

35 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE).

36 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : u A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE). Terminologie On dit que AD, BC et FE sont trois représentants du vecteur u.

37 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : u A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE). Terminologie On dit que AD, BC et FE sont trois représentants du vecteur u. On dit également que AD est le représentant d origineaet d extrémitéd du vecteur u.

38 Proposition Vecteurs et translations p. 6

39 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : Vecteurs et translations p. 6

40 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; C A D B

41 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; C A D B

42 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ; C A D B

43 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ; le pointdest l image du pointc par la translation de vecteur AB. C A D B

44 3 - Calcul vectoriel Vecteurs et translations p. 7

45 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs

46 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose :

47 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC =

48 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC

49 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles)

50 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC.

51 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme

52 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan.

53 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB + AC =.

54 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB + AC = AD.

55 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v.

56 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u

57 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u 1 On construit le pointc tel que AC = u.

58 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. C

59 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. C

60 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. C

61 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. C

62 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. C

63 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB =. C

64 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB = AC + AD =. C

65 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v v D B u + v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB = AC + AD = u + v. C

66 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u

67 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u 1 On construit le pointc tel que AC = u.

68 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u.

69 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v.

70 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v.

71 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB =.

72 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB = AC + CB =.

73 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v u + v v B A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB = AC + CB = u + v.

74 Définition Opposé d un vecteur Vecteurs et translations p. 10

75 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB Vecteurs et translations p. 10

76 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB.

77 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires.

78 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs

79 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v =.

80 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v = u + ( v ).

81 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v = u + ( v ). Remarque Retrancher un vecteur revient à ajouter son opposé.

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh 2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Le seul ami de Batman

Le seul ami de Batman Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013

6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013 Retrouver tous les sujets, les corrigés, les annales, les finales sur le site du rallye : http://sarthe.cijm.org I Stéphane, Eric et Christophe sont 3 garçons avec des chevelures différentes. Stéphane

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire

Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire Stéphanie Demonchaux To cite this version: Stéphanie Demonchaux. Étude des formes de pratiques de la gymnastique

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Architecture des ordinateurs Introduction à l informatique

Architecture des ordinateurs Introduction à l informatique Architecture des ordinateurs Introduction à l informatique 17 septembre 2004 1 2 3 4 5 6 Les interrupteurs... 0V 5V Ce sont des composants électroniques qui laissent pser un courant principal lorsque la

Plus en détail

Le centre de gestion a le plaisir de vous adresser les statistiques professionnelles élaborées à partir des dossiers de gestion 2013.

Le centre de gestion a le plaisir de vous adresser les statistiques professionnelles élaborées à partir des dossiers de gestion 2013. Statistiques 2013 3, rue de Lyon B.P. 531 71010 MACON CEDEX Tél. 03.85.21.90.60 Télécopie 03.85.21.90.69 E-mail : contact@cgai-macon.fr Agrément de la Direction Régionale des Impôts n 1.02.710 du 6 mars

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

CORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1

CORRECTION EXERCICES ALGORITHME 1 CORRECTION 1 Mr KHATORY (GIM 1 A) 1 Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré. Afficher les solutions! 2 2 b b 4ac ax bx c 0; solution: x 2a Solution: ALGORITHME seconddegré

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

INFORMATIONS DIVERSES

INFORMATIONS DIVERSES Nom de l'adhérent : N d'adhérent :.. INFORMATIONS DIVERSES Rubrique Nom de la personne à contacter AD Date de début exercice N BA Date de fin exercice N BB Date d'arrêté provisoire BC DECLARATION RECTIFICATIVE

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..

1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble.. 1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Exercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) :

Exercice 6 Associer chaque expression de gauche à sa forme réduite (à droite) : Eercice a Développer les epressions suivantes : A-(-) - + B-0(3 ²+3-0) -0 3²+-0 3+00 B -30²-30+00 C-3(-) -3 + 3-3²+6 D-(-) + ² Eerciceb Parmi les epressions suivantes, lesquelles sont sous forme réduite?

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Jeux de caracte res et encodage (par Michel Michaud 2014)

Jeux de caracte res et encodage (par Michel Michaud 2014) Jeux de caracte res et encodage (par Michel Michaud 2014) Les ordinateurs ne traitent que des données numériques. En fait, les codages électriques qu'ils conservent en mémoire centrale ne représentent

Plus en détail

Les Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.

Les Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition. Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles

Plus en détail

L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES :

L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES : RAPPORT DAVID LANGLOIS-MALLET SOUS LA COORDINATION DE CORINNE RUFET, CONSEILLERE REGIONALE D ILE DE FRANCE L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES : PROBLÉMATIQUES INDIVIDUELLES, SOLUTIONS COLLECTIVES? DE L ATELIER-LOGEMENT

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Statistiques Exercice 2012

Statistiques Exercice 2012 Statistiques Exercice 2012 Bénéfices Industriels et Commerciaux MISE EN GARDE AUX UTILISATEURS Les informations communiquées dans ce fascicule sont communiquées titre indicatif et ne peuvent être considérées,

Plus en détail

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur 29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

Formats d images. 1 Introduction

Formats d images. 1 Introduction Formats d images 1 Introduction Lorsque nous utilisons un ordinateur ou un smartphone l écran constitue un élément principal de l interaction avec la machine. Les images sont donc au cœur de l utilisation

Plus en détail

Note de cours. Introduction à Excel 2007

Note de cours. Introduction à Excel 2007 Note de cours Introduction à Excel 2007 par Armande Pinette Cégep du Vieux Montréal Excel 2007 Page: 2 de 47 Table des matières Comment aller chercher un document sur CVMVirtuel?... 8 Souris... 8 Clavier

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés : LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés

Plus en détail

Statistiques Exercice 2011

Statistiques Exercice 2011 Statistiques Exercice 2011 Bénéfices Industriels et Commerciaux MISE EN GARDE AUX UTILISATEURS Les informations consignées dans ce fascicule sont communiquées à titre indicatif et ne peuvent être considérées,

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

MATHEMATIQUES GRANDEURS ET MESURES

MATHEMATIQUES GRANDEURS ET MESURES FICHE GM.01 Objectif : Choisir la bonne unité de mesure Pour chaque objet, choisis entre les trois propositions celle qui te paraît la plus juste : ta règle ton cahier une coccinelle ta trousse la Tour

Plus en détail

Calculs de probabilités avec la loi normale

Calculs de probabilités avec la loi normale Calculs de probabilités avec la loi normale Olivier Torrès 20 janvier 2012 Rappels pour la licence EMO/IIES Ce document au format PDF est conçu pour être visualisé en mode présentation. Sélectionnez ce

Plus en détail

Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices

Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti

Plus en détail

C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.

C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent. Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part

Exercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879- Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

EXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES)

EXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES) EXAMEN : CAP ADAL SESSION 20 N du sujet : 02. FOLIO : /6 Rédiger les réponses sur ce document qui sera intégralement remis à la fin de l épreuve. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice : (7

Plus en détail

EVALUATIONS FIN CM1. Mathématiques. Livret élève

EVALUATIONS FIN CM1. Mathématiques. Livret élève Les enseignants de CM1 de la circonscription de METZ-SUD proposent EVALUATIONS FIN CM1 Mathématiques Livret élève Circonscription de METZ-SUD page 1 NOMBRES ET CALCUL Exercice 1 : Écris en chiffres les

Plus en détail

Codage d information. Codage d information : -Définition-

Codage d information. Codage d information : -Définition- Introduction Plan Systèmes de numération et Représentation des nombres Systèmes de numération Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale

Plus en détail

Saisir des règlements par le relevé de banque

Saisir des règlements par le relevé de banque Fiche procédure n 7 24 juillet 2012 Saisir des règlements par le relevé de banque Préambule et explications générales Pourquoi saisir le règlement des factures directement en banque? En fonctionnement

Plus en détail

Problèmes de dénombrement.

Problèmes de dénombrement. Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers

Plus en détail

ÉLÉMENTS DE GESTION DE PROJET

ÉLÉMENTS DE GESTION DE PROJET ÉLÉMENTS DE GESTION DE PROJET Gilles Boulet PMP gb@gillesboulet.ca Mai 2006 Révision Février 2009 Le management de projet est composé de 5 grands processus faisant chacun appel à 9 domaines de connaissances

Plus en détail

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On

Plus en détail

Axiomatique de N, construction de Z

Axiomatique de N, construction de Z Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................

Plus en détail

Mesurer les altitudes avec une carte

Mesurer les altitudes avec une carte www.ign.fr > Espace éducatif > Les fiches thématiques > Lecture de la carte Mesurer les altitudes avec une carte Les cartes topographiques ne sont pas uniquement une représentation plane de la surface

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3 8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant

Plus en détail

Chap17 - CORRECTİON DES EXERCİCES

Chap17 - CORRECTİON DES EXERCİCES Chap17 - CORRECTİON DES EXERCİCES n 3 p528 Le signal a est numérique : il n y a que deux valeurs possibles pour la tension. Le signal b n est pas numérique : il y a alternance entre des signaux divers

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

VOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE

VOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE Vos premiers pas avec TracenPoche page 1/16 VOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE Un coup d'oeil sur l'interface de TracenPoche : La zone de travail comporte un script, une figure, un énoncé, une zone d analyse,

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail

Les intermédiaires privés dans les finances royales espagnoles sous Philippe V et Ferdinand VI

Les intermédiaires privés dans les finances royales espagnoles sous Philippe V et Ferdinand VI Les intermédiaires privés dans les finances royales espagnoles sous Philippe V et Ferdinand VI Jean-Pierre Dedieu To cite this version: Jean-Pierre Dedieu. Les intermédiaires privés dans les finances royales

Plus en détail

Algorithmique et Programmation Fonctionnelle

Algorithmique et Programmation Fonctionnelle Algorithmique et Programmation Fonctionnelle RICM3 Cours 9 : Lambda-calcul Benjamin Wack Polytech 2014-2015 1 / 35 La dernière fois Typage Polymorphisme Inférence de type 2 / 35 Plan Contexte λ-termes

Plus en détail

Corrigés Exercices Page 1

Corrigés Exercices Page 1 Corrigés Exercices Page 1 Premiers algorithmes Questions rapides 1 1) V ; ) F ; 3) V ; 4) F. 1) a ; ) b ; 3) a et b ; 4) b. 3 L'algorithme répond à la question : "le nombre entré estil positif?". 4 a (remarque

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Présentation du programme d automatisation du bâtiment

Présentation du programme d automatisation du bâtiment Présentation du programme d automatisation du bâtiment Conditions de participation Programme Office fédéral de l énergie OFEN Conditions de participation >= une période de chauffage >=80% mazout / gaz-naturel

Plus en détail

DOMAINES RESULTATS. Nb : il ne doit pas y avoir d interdit et que les droits d inscription aient été réglés.

DOMAINES RESULTATS. Nb : il ne doit pas y avoir d interdit et que les droits d inscription aient été réglés. DOMAINES RESULTATS MATERIEL INDISPENSABLE POUR LA FORMATION : - être muni de son mot de passe et login apogée - être muni de ses codes VDI VET - élément pédagogique - être muni de son login pour l ENT.

Plus en détail