Vecteurs et translations
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- Lucile Larocque
- il y a 7 ans
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1 Vecteurs et translations p. 1 Vecteurs et translations Classe de Seconde Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques ybreney@free.fr Lycée Lumière - Luxeuil-les-Bains
2 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2
3 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition
4 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC]
5 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
6 1 - Translations Vecteurs et translations p. 2 Définition SoientAetB deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui, à tout pointc du plan, associe l unique pointdtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu. On dit alors qued est l image dec par la translation qui transformea enb.
7 Proposition Vecteurs et translations p. 3
8 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc Vecteurs et translations p. 3
9 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. Vecteurs et translations p. 3
10 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. C D A B
11 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B
12 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition
13 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition SoientAetB deux points du plan. La translation qui transformeaen B est appelée
14 Vecteurs et translations p. 3 Proposition Dire quedest l image dec par la translation qui transformeaenb signifie queabdc est un parallélogramme. 1 cas :C (AB) 2 cas :C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme. A C B D Le parallélogramme ABDC est alors aplati. D C A B Définition SoientAetB deux points du plan. La translation qui transformeaen B est appelée translation de vecteur AB. A AB B
15 2 - Vecteurs Vecteurs et translations p. 4
16 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation
17 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan.
18 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par :
19 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ;
20 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ;
21 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]).
22 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté
23 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0.
24 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0.
25 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition
26 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont
27 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction,
28 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction, même sens
29 Vecteurs et translations p Vecteurs Caractérisation SoitAetB deux points du plan. SiAetB sont distincts alors AB est caractérisé par : sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (deaversb) ; sa norme (notée AB, égale à la longueur du segment [AB]). SiAetB sont confondus, AB est appelé vecteur nul et est noté 0. Il n a ni direction, ni sens et sa norme est 0. Définition Deux vecteurs non nuls sont dits égaux lorsqu ils ont même direction, même sens et même norme.
30 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : B C A D F E
31 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : B C A D F E On peut affirmer que AD = BC = FE.
32 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont :
33 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ;
34 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ;
35 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE).
36 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : u A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE). Terminologie On dit que AD, BC et FE sont trois représentants du vecteur u.
37 Vecteurs et translations p. 5 Exemple Considérons la configuration suivante : u A AD D B BC C F FE E On peut affirmer que AD = BC = FE. En effet, AD, BC et FE ont : même direction (car les droites (AD), (BC) et (FE) sont parallèles) ; même sens (car lorsqu on va deaversd, deb versc ou encore def verse, on se déplace horizontalement de la gauche vers la droite) ; même norme (carad =BC =FE). Terminologie On dit que AD, BC et FE sont trois représentants du vecteur u. On dit également que AD est le représentant d origineaet d extrémitéd du vecteur u.
38 Proposition Vecteurs et translations p. 6
39 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : Vecteurs et translations p. 6
40 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; C A D B
41 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; C A D B
42 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ; C A D B
43 Vecteurs et translations p. 6 Proposition SoitA,B,C etd quatre points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes : AB = CD ; ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ; le pointdest l image du pointc par la translation de vecteur AB. C A D B
44 3 - Calcul vectoriel Vecteurs et translations p. 7
45 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs
46 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose :
47 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC =
48 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC
49 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles)
50 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC.
51 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme
52 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan.
53 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB + AC =.
54 Vecteurs et translations p Calcul vectoriel Définition Relation de Chasles - Somme de deux vecteurs Pour tous pointsa,b etc du plan, on pose : AB + BC = AC (Relation de Chasles) Soit u et v deux vecteurs etaun point du plan. SiB est le point tel que u = AB etc le point tel que v = BC alors u + v = AC. Proposition Identité du parallélogramme SoitA,B,C etdquatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB + AC = AD.
55 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v.
56 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u
57 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u 1 On construit le pointc tel que AC = u.
58 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. C
59 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. C
60 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. C
61 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. C
62 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. C
63 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB =. C
64 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v D B v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB = AC + AD =. C
65 Vecteurs et translations p. 8 Exercice 3 SoitAun point du plan et u et v deux vecteurs. Problème : Construire le pointb tel que AB = u + v. Première méthode : En utilisant l identité du parallélogramme : v v D B u + v A u u 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointd tel que AD = v. 3 On construit le pointb tel queacbd soit un parallélogramme. On a bien AB = AC + AD = u + v. C
66 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u
67 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u 1 On construit le pointc tel que AC = u.
68 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u.
69 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v.
70 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v.
71 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB =.
72 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v B v A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB = AC + CB =.
73 Vecteurs et translations p. 9 Exercice 3 Deuxième méthode : En utilisant la relation de Chasles : v u + v v B A u u C 1 On construit le pointc tel que AC = u. 2 On construit le pointb tel que CB = v. On a bien AB = AC + CB = u + v.
74 Définition Opposé d un vecteur Vecteurs et translations p. 10
75 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB Vecteurs et translations p. 10
76 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB.
77 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires.
78 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs
79 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v =.
80 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v = u + ( v ).
81 Vecteurs et translations p. 10 Définition Opposé d un vecteur Pour tous pointsaetb du plan, le vecteur BA est appelé opposé du vecteur AB et on note BA = AB. Remarque Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme mais sont de sens contraires. Définition Différence de deux vecteurs Pour tous vecteurs u et v, on pose u v = u + ( v ). Remarque Retrancher un vecteur revient à ajouter son opposé.
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