Enoncés. b) Déterminer la loi de Z et montrer que Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Transcription

1 Eocés Eercce Soet * lîn et p Î ],[. Sot N la varable aléatore égale au ombre de clets d'u marchad de fruts et légumes u jour doé. O suppose que N sut ue lo de Posso de paramètre l et que chaque clet achète des fruts avec ue probablté p et des légumes avec ue probablté q = - p(o suppose que les clets e peuvet acheter à la fos des fruts et des légumes). O suppose que les achats des dfférets clets sot dépedats. Soet X la varable aléatore égale au ombre de clets achetat des fruts et Y la varable aléatore égale au ombre de clets achetat des légumes. ) Détermer la lo cojote de (X,Y). 2) a) Détermer les los margales de X et de Y. b) Les varables aléatores X et Y sot-elles dépedates? E dédure cov(x,y) et E(XY). Eercce 2 Sot u eter aturel o ul et p Î ],[. Ue secrétare effectue appels téléphoques vers correspodats dstcts. O admet que les appels costtuet epéreces de Beroull dépedates de même paramètre p. Sot X la varable aléatore égale au ombre de correspodats obteus. ) Détermer la lo de X, so espérace et sa varace. 2) La secrétare rappelle ue secode fos, et das les mêmes codtos, chacu des correspodats qu'elle 'a pu jodre au cours de la premère sére d'appels. Soet alors Y la varable aléatore égale au ombre de persoes jotes au cours de cette secode sére d'appels et Z = X + Y la varable aléatore égale au ombre total de correspodats obteus lors de ces deu séres d'appels. a) Détermer, pour tout Î,, la lo codtoelle de Y sachat [X = ]. b) Détermer la lo de Z et motrer que Z sut ue lo bomale dot o précsera les paramètres. Page Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

2 Eercce 3 Soet X ue varable aléatore à valeurs das ue parte de N et u évéemet de l'espace probablsé cosdéré, tel que p() ¹. Sous réserve d'estece, o appelle espérace de la varable aléatore X codtoée par l'évéemet et o ote E( X ) le réel déf par : E( X ) p [X = ] =. ( Î W) ) Soet X ue varable aléatore et u évéemet vérfat les hypothèses précédetes. O suppose e outre que p() ¹ et que X admet ue espérace. a) Motrer que E( X ) et E( X ) estet. b) Etablr que : X E(X) = p()e( X ) + pe c) Sot * Î N. Quelle relato smlare peut-o détermer s X admet u momet d'ordre? 2) Soet X et Y deu varables aléatores à valeurs das N preat toutes leurs valeurs avec ue probablté o ulle. O suppose que Y admet ue espérace. a) Motrer que, pour tout Î Y b) Etablr que : N,E este. [X = ] Y ( [X = ] ) E(Y) = p(x = )E, (o pourra verser les deu sommes). c) Quelle relato smlare peut-o détermer s Y admet u momet d'ordre ( Î N * )? Page 2 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

3 Eercce 4 Pour toute varable aléatore X à valeurs das N, o ote G la focto : t G(t) p(x )t = = (lorsque X ÎN est au mos défe sur [-,] ). W est f, G est défe sur R et lorsque X( W ) est f, G ) Soet p u eter aturel supéreur ou égal à 2 et (X) pue famlle de varables aléatores mutuellemet dépedates à valeurs das,. E remarquat que, pour toute varable aléatore X à valeurs das,, o a : " Î R =, motrer que : t,g(t) E(t ) " t Î R,G = G(t). p p 2) Sot (X) * ue famlle de varables aléatores mutuellemet dépedates à valeurs das N. ÎN E remarquat que, pour toute varable aléatore X à valeurs das N, o a : " t Î[ -,],G (t) = E(t ), motrer que : * " Î N,t " Î[,],G - (t) = G(t). = Page 3 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

4 Correcto Eercce ) D après l éocé, o a claremet : (X,Y) achetat des fruts ou des légumes), o a égalemet : 2 W = N. De plus, comme X+Y=N (chacu des clets 2 "(,j) Î N,p[X = ] Ç [Y = j] = p[x = ] Ç[N- X= j] d où = p[x ( = ] Ç [N= + j] ) sot, d après la formule des X = = p p(n= + j). N = + j Or, comme chaque clet achète des fruts avec ue probablté p, pour tout probabltés composées : 2 (,j) Î N, sachat que le ombre total de clets N est égal à +j, X sut ue lo bomale de paramètres +j et p. O peut alors écrre : X = "(,j) Î N 2,p = C pq j. + j N= + j De plus, comme N sut ue lo de Posso de paramètre l, o peut égalemet écrre : + j 2 -l l (,j),p(n j) e ( + j)! " Î N = + =. O e dédut alors : l " Î N = Ç = = sot : + j 2 j -l (,j),p[x ( ] [Y j] ) C+ jpq e ( + j)! -l (p) l (q) l = e.! j! O peut désormas coclure : 2 2 -l (p) l (q) l (X,Y)( W ) = N et "(,j) Î N,p[X = ] Ç [Y = j] = e! j! 2) a) O a : X( W ) = N. Comme o a égalemet Y( W ) = N, o peut écrre : jîn "Î N,[X = ] = [X = ] Ç [Y = j] sot, e passat au probabltés : Page 4 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

5 æ ö "Î N,p(X = ) = p ([X ] [Y j] ) = Ç = ç sot ecore, l uo état dsjote (l e peut y avor çè jî N ø smultaémet u jour doé j et j clets achetat des légumes avec j ¹ j' ) : jîn = p[x = ] Ç [Y = j] et doc, d après les résultats de la questo précédete : = e jîn j -l (p) l (q) l! j!.e. : j -l (p) l (q) l = e sot ef, e recoassat la somme d ue sére! j! j= epoetelle : -l(p) l lq = e e et doc :! -l(-q) (p) l = e d où, comme -q=p :! -lp (p) l = e.! X et Y mus de leurs paramètres respectfs p et q jouat des rôles symétrques, o -lq (q) l peut égalemet écrre : Y( W ) = N et " Î N,p(Y = ) = e. O peut désormas! coclure que X et Y suvet des los de Posso de paramètres respectfs l p et l q,.e. : P(lp) et X P(lq),.e. : ìï -lp (p) l ïp(x = ) = e! X( W ) = Y( W ) = N et "Î N, ïí -q l (q) l ïp(y=)=e ïî! b) O e dédut alors : 2 -lp(p) l -lq(q) l "(,j) Î N,p(X = ) p(y = j) = e e.e. :! j! j -l(p+ q) (p) l (q) l = e sot, comme p+q= :! j! -l (p) l (q) l = e.e. :! j! = p[x ( = ] Ç [Y = j] ). Page 5 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

6 O peut doc coclure : X et Y sot doc dépedates Comme X et Y sot dépedates, o peut alors écrre : cov(x,y) = et E(XY)=E(X)E(Y). Or, comme X et Y suvet des los de Posso de paramètres respectfs lp et l q, o peut écrre : E(X) =lp et E(Y)= l q, d où la cocluso : cov(x,y) = l 2 et E(XY)= pq Eercce 2 ) Comme X est le ombre de correspodats obteus, X représete le ombre de succès (obter u correspodat) lors de la réalsato de essas dépedats ( coups de téléphoe) d ue epérece à deu ssues possbles (jodre ou e pas jodre le correspodat) dot la probablté de succès est p. X sut doc ue lo bomale de paramètre et p. O e dédut alors : X B(,p),.e. : X( W ) =, et " Î,, p(x=)=c p(-p) -, d où : E(X)=p et V(X)=p(-p) 2) a) Pour tout Î,, s X=, lors de la secode sére d appels, la secrétare rappelle les - correspodats qu elle a pas réuss à jodre lors de la premère sére, et ce das les mêmes codtos que précédemmet. O dédut alors que s X = ( Î,), Y sut ue lo bomale de paramètres - et p, d où la cocluso : ( Y = -- ) - "Î,, " Î,-,p = C p(-p) X = b) Comme Z est le ombre total de correspodats jots à l ssue de la secode sére d appels, o a claremet : Z( W ) =,. De plus, comme Z=X+Y, o a : " Î,,[Z = ] = [X = ] Ç [Y = -] d où e passat au probabltés : Page 6 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

7 æ ö " Î,,p(Z = ) = p ([X = ] Ç [Y = -]) ç çè ø sot, l uo état dsjote (o e peut avor smultaémet [X=] et [X= ] avec ¹ ' ) : p[x ( ] [Y ] ) sot ecore, d après la formule des = = Ç = - ( Y = - ) probabltés composées : = p p(x = ) et doc, d après les résultats X = précédets : C - p ( p) Cp( p).e. : = CC -p( 2-- p) et comme, = " Î, "Î,, - CC = CC : - = Cp(-p) C(-p) sot ecore, à l ade de la formule du bôme de Newto : = Cp(-p) (2- p) d où la cocluso : 2-2 Z( W ) =, et " Î,, p(z=)=c (p(2 -p)) ((-p) ) - 2 Comme p(2-p)+(-p) 2 =, o peut mateat écrre que Z sut ue lo bomale de paramètres et p(2-p),.e. : Z B(,p(2-p)) Eercce 3 ) a) O a : [X = ] ( ) p([x = ] Ç) " ÎX( W ),p = d où comme : p[x ( = ] Ç ) p(x = ) p() [X = ] ( ) p(x = ) " ÎX( W ),p doc : p() [X = ] ( ) p(x = ) " ÎX( W ), p. p() (car ([X=] Ç) Ì [X=]) : Page 7 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

8 Or, comme X admet ue espérace, la sére de terme gééral p(x=) est covergete, doc comme p() est dépedat de, d après les théorèmes de comparaso des séres à termes postfs, la sére de terme gééral p [X = ] ( ) coverge. O peut doc coclure : E ( X ) este " Î W p(x = ), et comme X admet ue p() espérace, o peut coclure : De même, comme : X, p [X = ] E X este b) Comme X admet ue espérace, o peut écrre : E(X) = p(x = ) sot, d après la formule des probabltés totales, la famlle ÎX( W) ÎX( W) (,) état u système complet d évéemets de probabltés o ulles : [X ] pp [X ] æ ö = p()p = = ç + çè d où comme les séres de termes ø [X = ] [X = ] sot falemet : = p() p + p p ÎX( W) ÎX( W) géérau respectfs p [X = ] ( ) et p [X = ] ( ) coverget (car E( X ) et E X estet) : ( X ) X E(X) = p()e + pe c) O motrerat, par u rasoemet aalogue, que, s X admet u momet d'ordre, alors E( X ) et E( X ) estet, pus que : E(X ) = p()e X + p()e X Page 8 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

9 2) a) Sot ÎX( W ). Comme p(x = ) ¹, e substtuat [X = ] à et Y à X das le rasoemet de la questo.a, o peut coclure : Y Pour tout ÎX( W),E [X = ] este b) Comme Y admet ue espérace et comme Y est ue varable aléatore à valeurs das N, o a : E(Y) = p(y = ) sot, d'après la formule des probabltés totales, la famlle = = (X = ) ÎN état u système complet d'évéemets tous de probabltés o ulles : [Y ] æ ö = p(x )p = = ç [X = ] çè ø sot, l'verso des sommes fes état autorsées car Y admet ue espérace : æ p(x ) p [Y ] ö = ç ( [X ] ) d'où, comme, pour tout Î W Y = = ç çè = ø = o E(Y) = p(x = )E este: Y ( [X = ] ) X,E [X = ] c) O motrerat, par u rasoemet aalogue, que, s Y admet u momet d'ordre, Î W, Y alors pour tout X E [X = ] este, pus que : E(Y ) = p(x = )E Y ( (X = ] ) Page 9 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

10 Eercce 4 ) Comme pour tout t Î R, la focto t est défe e tout pot de N, doc e tout pot de,, pour toute varable aléatore X à valeurs das, telle que, pour tout este, o a (théorème de trasfert): t Î R,E(t ) " Î R = doc : t,g(t) E(t ) p(x )t. = = = Or, pour toute varable aléatore X à valeurs das,, o a égalemet : " t Î R,G (t) = p(x = )t = " Î R =. t,g(t) E(t ), doc, e recoassat E(t ), pour tout t Î R,E(t ) este et : Motros, par motée fe, que s les varables aléatores mutuellemet dépedates, alors : S les varables aléatores (X) à valeurs das, sot p " Î 2,p, " t Î R,G (t) = G(t). X (X) p sot mutuellemet dépedates, alors X et X 2 sot 2 dépedates, doc, pour tout t Î R,t et t sot dépedats. O peut alors écrre : " t Î R,E(t t ) = E(t )E(t ), sot: " t Î R,E(t ) = E(t )E(t ). E utlsat la remarque précédete, o e dédut alors : " t Î R,G + (t) = G 2 (t)g (t). La 2 proprété est doc be vérfée au rag =2. Sot Î 2,p- (s p ³ 3), supposos que : " t Î R,G (t) = G(t) = aléatores aléatores. Les varables (X) p état mutuellemet dépedates, pour tout t Î R, les varables X X+ t et t sot égalemet dépedates, d'où : æ ö æ ö X X X + X + " t Î R,E t = t Et = = E(t ).e. : ç ç è ø è ø + æ ö æ ö X X X+ " t Î R,E t Et = E(t ) ce qu s'écrt ecore, d'après la remarque précédete : ç ç è ø è ø Page Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

11 " t Î R,G (t) = G (t)g (t) et doc, d'après l'hypothèse : + X X X+ æ ö ç G(t) G ç X X+ çè ø = ç (t).e. : + = G(t). = X s, o a be : " Î 2,p, " t Î R,G (t) = G(t). X X O peut alors coclure, pour =p : S (X) pest ue famlle de varables aléatores mutuellemet dépedates à valeurs das,, alors : " t Î R,G (t) = G(t) X X = 2) Comme pour tout t Î[,] -, l'applcato varable aléatore X à valeurs das N telle que, pour tout trasfert) : " t Î[ -,],E(t ) = p(x = )t. = t est défe e tout pot de N, pour toute t Î R,E(t ) este, o a (théorème de Or, pour toute varable aléatore X à valeurs das N, G est au mos défe sur [-,] et o peut écrre : absolumet doc " t Î R,G(t) = p(x = )t = E(t ) este et l'o a :. s, la sére de terme gééral p(x = )t coverge " Î - =. t [,],G (t) E(t ) Motros alors par récurrece, que s les varables aléatores mutuellemet dépedates, alors : X (X) * ÎN * " Î N,t " Î[,],G - (t) = G(t). = à valeurs das N sot u rag =, o a claremet : " t Î[ -,],G (t) = G (t). La proprété est doc be vérfée au rag. Sot * Î N, supposos. " t Î[ -,],G (t) = G(t) Page Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26

12 Les varables aléatores (X) * ÎN t Î[,] -, les varables aléatores état mutuellemet dépedates, l est clar que pour tout + t et t sot dépedates, d'où : æ ö æ ö + + " t Î[ -,],E t = t Et = = E(t ) ç è ø èç ø.e. : + æ ö æ ö + " t Î[ -,],E t Et = E(t ) ç è ø èç ø ce qu s'écrt ecore, d'après la remarque précédete : " t Î [ -,],G (t) = G (t)g (t) + + et doc, d'après l'hypothèse de récurrece : æ ö = ç çè G(t) G (t).e. : + ø + = G(t). s, o a be : * " Î N,t " Î[,],G - (t) = G(t), d'où la cocluso : = S (X) * ÎN est ue famlle de varables aléatores mutuellemet dépedates à valeurs das N, alors : * " Î N,t " Î[,],G - (t) = G(t). = Page 2 Matthas FEGYVERES Stéphae PRETESEILLE EduKlub S.. Tous drots de l auteur des œuvres réservés. Sauf autorsato, la reproducto as que toute utlsato des œuvres autre que la cosultato dvduelle et prvée sot terdtes. Fcher gééré pour Vsteur (), le 7/9/26