Un soir d été. P ) v e. ρ e. +ε ρ e1 ) g grad ( p 0. π e g est négligeable devant le terme 1 ρ e

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1 Corrigé Mins-Ponts PC 0 Physiqu Un soir d été Errur d énoncé sans aucun conséqunc, ls grandurs concrnés n sont pas utilisés par la suit) :c p t c v donnés sont ls grandurs molairs t non massiqus ) Définition d la comprssibilité isntropiqu : χ= V V P ) S Unité : Pa - Pour un GP : χ gp = γ P AN : pour un GP diatomiqu, γ= 7 5 d où χ gp, 7,40-6 Pa - >> χ : l gaz parfait diatomiqu st baucoup plus comprssibl qu l au ) Il faut comprndr qu l intrfac st n z = 0 Imprécision d l énoncé : lir «ε» Errur d énoncé : il faut lir «à l ordr n ε» ρ D v Dt =ρ g D ε v grad p ) dvint ρ +ερ ) = ρ D t +ε ρ ) g grad p 0 ρ g z+ε π ) En linéarisant n ε, t n tnant compt d la rlation d équilibr ρ g grad p 0 ρ g z )= 0, ainsi qu d la rlation thrmodynamiqu linéarisé ερ =ρ χ ε π, on arriv à v t =χ π g ρ grad π On chrch à détrminr à qull condition l trm χ π g st négligabl dvant l trm ρ grad π ; formons l rapport ds ordrs d grandur d cs dux trms : on obtint χ g ρ λ D où λ 0 = χ g ρ km, qui st bin évidmmnt très supériur à touts ls dimnsions d la piscin On n conclut qu la psantur st sans aucun fft sur la propagation ds onds acoustiqus dans l au d la piscin, t l on gardra v pour la suit t ρ grad π ) 3) La loi local d consrvation d la mass ρ t +ρ div v =0, soit ncor χ En rgroupant ) t ) on arriv à l équation d d Almbrt : π célérité ds onds sonors dans l au AN : =,470 3 ms - ρ +div ρ v )=0, un fois linéarisé, s écrit π t +div v =0 ) π =0 où = ρ χ 4) Rmarqu : ls valurs numériqus donnés pour t χ a smblnt étrangs La célérité du son qui n résult = 367 ms - ) aussi ; ll corrspondrait à un tmpératur ambiant d 63 C! Nous gardons cpndant pour la suit ls valurs fournis Par aillurs ls donnés n sont fournis qu avc dux chiffrs significatifs, alors mêm qu l énoncé dmand aux candidats d n fournir trois π a r,t )=Π a i ωt k r ) π a r,t )=Π a i π f t x sinθ+ z cos θ) avc ω= π f t k= π f cosθ z +sin θ x ), d où 5) La démonstration st classiqu, t nécssit d introduir dès c stad ls xprssions ds onds réfléchi t transmis, ainsi qu la continuité d la prssion à l intrfac dont l énoncé n parl qu à la qustion 7) : st la Rédigé par A Bllly t P Colin Pag /7

2 Corrigé Mins-Ponts PC 0 Physiqu Π a i ωt k i r ) +Πr i ω rt k r r ) =Πt i ω t t k t r) clls d l énoncé!) x, y,t, pour z = 0 Notations classiqus, plus soupls qu Ctt rlation impos d un part qu ls trois pulsations soint idntiqus, l ond réfracté a donc mêm fréqunc qu l ond incidnt, t d autr part qu ls trois vcturs d ond aint ds composants tangntills idntiqus, sin θ sin θ' c qui mèn aux lois classiqus d Dscarts, qu l on put écrir ici, pour l ond réfracté : = Si θ = 45, on obtint sin θ =,84, c qui st bin évidmmnt impossibl t signifi sulmnt qu il s produit un réflxion total : il n y a pas d ond réfracté L appl put êtr ntndu si θ<θ l où θ l =arcsin 4,4 st l angl d réfraction limit i π f π a =Π a t+ z ) i π f 6) On a θ = θ = 0 Et t z c π r =r Π a a) Nous avons noté r t t ls cofficints réflxion t d π t =t Π a i π f t + z ) transmission car ils sont a priori complxs pour prndr n compt d évntuls déphasags Π va= a i π f t + 7) Par xmpl n faisant usag d la notion d impédanc acoustiqu on arriv à : v r =r Π a i π f t v t = t Π a i π f t + ρ En utilisant la continuité d la prssion à l intrfac, t d la vitss normal ici confondu avc la vitss total) ρ +r=t r= on arriv à r = t ρ +, dont la résolution donn ρ t= ρ c On s aprçoit à c stad qu cs ρ + cofficints sont n fait réls 8) Définition : T / = intnsité d l ond transmis / intnsité d l ond incidnt Or l intnsité d l ond incidnt vaut Π a t cll d l ond transmis 4,80 usi t ρ,50 6 usi donc z ) z ) z ) t Π a ρ, d où T a/ =t ρ = 4ρ ρ + ) Or T a/ 4 ρ,300-3 La transmission d l air vrs l au s fait donc très mal la réflxion st quasi-total) t l nagur, du moins s il a ls orills immrgés, aura baucoup d mal à ntndr son profssur 9) a= v + v V ) v Ls ordrs d grandur rspctifs ds dux trms d droit sont T t V L, où V st l ordr d grandur d la vitss, T un tmps caractéristiqu t L un distanc caractéristiqu d variation d la Rédigé par A Bllly t P Colin Pag /7

3 Corrigé Mins-Ponts PC 0 Physiqu vitss Pour un ond harmoniqu, L = ut t donc, n ordrs d grandur, v << u prmt donc d proposr la form simplifié a v [ v ) v ] [ v t ] V u : l approximation v 0) L équation d Eulr s écrit alors ρ t =ρ rot g grad p v ) On n prnd l rotationnl : = 0 La t vorticité rot v st indépndant du tmps, t donc égal à tout instant à sa valur moynn, qui st null dans l cas d onds harmoniqus : l écoulmnt st irrotationnl t v= grad ϕ ϕ On a alors ρ grad t ) =ρ g grad p, soit ncor grad ϕ +g z+ ρ p ) = 0, d'où par intégration sur ϕ p l'spac +g z+ t ρ =At) L potntil ds vitsss ϕ r,t ) n'st bin sûr pas uniqu, t il st parfaitmnt possibl d l choisir d sort qu At) soit la fonction null c'st l choix qu nous frons pour la suit) : n fft on put prndr pour autr potntil ds vitsss au bsoin ψ r, t)=ϕ r,t ) At )dt : on ψ a bin grad ψ= grad ϕ idntité du champ ds vitsss) t +gz+ ρ p =0 Pour la suit on gard l "bon" potntil, qu l'on notra simplmnt ϕ, t on prndra At)=0 Il aurait été util qu l'énoncé définiss la surfac libr hx,y,t) d l'au La rlation précédnt, écrit à la surfac libr z = hx,y,t), donn ϕ t x, y,hx, y,t),t )+g hx, y,t)+ p 0 ρ =0 La condition aux limits à la surfac libr n z = hx,y,t) h x, y,t ) s'écrit : =v z x, y,hx, y,t ),t )= ϕ x, y, h x, y, t),t) En tnant compt du fait qu z l'amplitud hx,y,t) ds oscillations d la surfac st ptit par rapport à la longuur d'ond cla s démontr n fait à partir d v u ), on put fair l'approximation ϕ ϕ x, y,h x, y,t),t ) z z x, y,0,t ) D mêm on fait l'approximation ϕ t x, y,h x, y,t ),t ϕ ) x, y,0,t ) On aboutit bin à la rlation dmandé ϕ ϕ x, y,0,t)+g x, y,0,t )=0 t z ) La condition aux limits n z = 0 s écrit ω ξ0)+ g ξ ' 0)=0 La condition ξ ' H )=0 traduit sulmnt l fait qu la vitss vrtical s annul au fond d la piscin ) L équation local d consrvation d la matièr s écrit ici ϕ=0, c st-à-dir i ω u n x) ξ z)+ i ω u n y ) ξ z)+ξ ' ' z)=0 Or n x +n y =, d où ξ ' ' z) ω u ξz)=0 ξz) st donc d la form ξ z)=a ch ω u z+α ) La condition au fond d la piscin impos sh ω u H +α ) =0 d où ω u H +α=0 t nfin ξ z)=a ch ω u z+h ) ) En introduisant ξ0) on Rédigé par A Bllly t P Colin Pag 3/7

4 Corrigé Mins-Ponts PC 0 Physiqu ch ω u z+h ) ) aboutit à ξ z)=ξ 0) ch ω u H ) 3) La condition sur la surfac libr mèn alors à ω= g u th ω u H ) rlation d disprsion plus habitullmnt donné sous la form ω =g k thkh ) avc k /u ω 4) L approximation d grand profondur consist à supposr u H ; la rlation d disprsion s simplifi alors n ω g u ou ncor u ω g L approximation s écrit alors ω H ) g Ls onds sonors audibls ont ds fréquncs compriss ntr 0 Hz t 0 khz ; cla donn ds valurs d ω H qui vont d 50 3 à 50 9 nviron, t donc l approximation d grand profondur st accptabl dans g tout l domain audibl Pour f = 00 Hz par xmpl), on trouv u,56 cms - 5) La vitss d phas u dépnd d ω voir ci-dssus) donc la propagation st disprsiv Si l on rprnd la rlation d disprsion sous la form usull ω g k dans l approximation d grand profondur), on a ωd ω g d k d où u' = d ω d k = g ω = u : β= 6) Voir l cours 7) Très classiqu l 0 =l 0 +l 0 évidnt), t ds dux rssorts dont il st formé k = k + k C rssort équivalnt st plus soupl qu chacun 8) La forc xrcé par l nsmbl ds dux rssorts sur lur xtrémité commun vaut F = F + F =[ k l l 0 ) k l l 0 ) ] x On obtint la longuur à vid d c rssort équivalnt n écrivant F = 0 : d où l 0 = k l 0 +k l 0 k +k Et alors F = k +k ) l l 0 ) x, d où un raidur équivalnt k=k +k C rssort st moins soupl qu chacun ds dux rssorts dont il st formé 9) On put décomposr l fil n un infinité d ptits cylindrs élémntairs d sction ds avc d s=s ) t d longuur dl avc d l=l 0 ) ; chaqu ptit cylindr st assimilabl à un ptit rssort En considérant déjà un "tranch" du fil global, tranch d'épaissur dl, ll st formé d'un grand nombr d "rssorts" n parallèl, dont on additionn ls raidurs t ls sctions) : la raidur d ctt tranch st donc proportionnll à sa sction s, sa souplss qu l'on n notra pas s ici pour évitr la confusion avc la sction) proportionnll à /s Ls différnts tranchs n séri voint alors lurs souplsss s'additionnr pour donnr un souplss global proportionnll d'un part à /s, d'autr part à l 0, c qui st l résultat dmandé Analogi avc l'xprssion d la conductanc élctriqu d'un cylindr G=γ s l ; ls conductancs s'ajoutnt pour ds résistancs placés n parallèl comm ls raidurs k ds rssorts), alors qu c sont lurs invrss qui s'additionnnt pour ds résistancs placés n séri 0) L'équilibr du point d'attach d l'hamçon mèn à F + F + P= 0, d'où n projtant : F cos α =F cos α F sin α +F sin α =P, dont la résolution avc F t F comm inconnus mèn à Rédigé par A Bllly t P Colin Pag 4/7

5 Corrigé Mins-Ponts PC 0 Physiqu cosα F =P sin α +α ) cosα F =P sin α +α ) l ) Qustion purmnt géométriqu On a sin α =l sin α, dont la résolution avc cos t cos l cos α +l cos α =l 0 comm inconnus mèn à l cosα = 0 +l l l 0 l cosα = l 0 l +l l 0 l ) On a F =k l l 0 ) F =k l l 0 ), avc l 0 +l 0 =l 0 t k i = Es l 0i D'où difficulté la rlation dmandé : l 0 =l +x F ) +l +x F ) l +x F = l 0 +x F = l l 0, t l'on n tir sans On réécrit ctt rlation n la multipliant par +x F ) +x F ) t n dévloppant t on arriv à l'équation ax +bx+c=0 a t b étant positifs, la sul racin positiv st x= b+ b 4ac a 3) = 5,6 = 5,8 F = 3,98 mn F = 3,73 mn Es = 58,6 mn 4) E= Es) πr 0 ; on trouv pour ls six ligns du tablau ls valurs suivants dans l'ordr t n MPa) : On put à partir d cs valurs proposr pour l modul d'young E la valur MPa d E Par aillurs il faut aussi tnir compt d l'incrtitud sur la msur d r 0 : E =des) d r 0 L'incrtitud Es r 0 rlativ du st au prmir trm st d'nviron 5%, cll du au scond d 0%, soit un incrtitud rlativ total d 5% nviron Au final : E = 70 ± 80 MPa Commntair pour comparaison : l modul d'young d l'acir st nviron 300 fois plus élvé) 5) Ls fils radiaux ont pour longuur l 0,r sin α : lur longuur augmnt donc Si la déformation st homogèn, c qu l'on suppos, ls fils circulairs rstnt à la mêm distanc r p d l'ax Oz t donc lur longuur rst inchangé à l 0, c = πr p 6) L princip fondamntal d la dynamiqu, appliqué à l'insct considéré comm un point matéril), t projté sur la vrtical, donn m z= m g+n F cos α où F st la norm d la forc xrcé par chaqu fil radial D'où m z= m g+n Es l 0, r l 0,r sin α 0,r) l cosα, qui put s'écrir z+g= N E s m f α) avc Rédigé par A Bllly t P Colin Pag 5/7

6 Corrigé Mins-Ponts PC 0 Physiqu f α)= sin α ) cosα 7) Écrivons déjà à l'équilibr : g= N E s m f α 0 ) Écrivons alors l DL d f ) au voisinag d 0 : f α)= f α 0 )+α α 0 ) f ' α 0 ), qu l'on rport dans l'équation différntill, n tnant compt d la rlation d'équilibr précédnt : z=gα α 0 ) f ' α 0) f α 0 ) =gα α ln f α) 0 )d d α ) α=α0 Par aillurs z= R tanα R donc dz= sin α dα, soit d z d t = rst proch d 0, t on a donc d manièr approché D'où au final Pour α 0 = π 4, on a d α d t R sin α d z d t R d α sin α 0 d t dα dt d α dt = g R hα 0)α α 0 ) avc hα)=sin dln f α) α dα t donc Ls mouvmnts étant ptits, d z dt R d α sin α 0 d t =, g R α α 0) On n conclut qu l'équilibr st stabl, t qu ls ptits oscillations à son voisinag sont harmoniqus, d pulsation, g R 0,4 rads, donc d périod 0,603 s D manièr général, la périod ds oscillations st π R ; 0 dépnd d la mass m voir tout début g h α 0 ) d ctt qustion), donc h 0 ) aussi, donc la périod ds ptits oscillations dépnd d la mass m d l'insct 8) LOG0R) n fonction d LOG0L) LOG0R) - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,4 -,3 -, -, - -, y =,08E+00x + 3,08E-0 R = 9,76E-0 -,4 - -,6 -,8 LOG0L) - Ls points sont bin alignés, on trouv un xposant a =,08 soit approximativmnt R t L sont donc approximativmnt proportionnls : ls papillons ont tous à pu près l mêm rapport d form 9) On a vraismblablmnt c = 3, l volum étant proportionnlls au volum du corps du papillon 30) Analys dimnsionnll classiqu On arriv à p =, r =, q =, soit Π α S f b Rédigé par A Bllly t P Colin Pag 6/7

7 Corrigé Mins-Ponts PC 0 Physiqu 3) On a donc, n trms d dimnsions S f b =L 3 +L ou ncor, avc f b α L k, t comm S α RL α L : L k+ 4 L 3 +L Si c'st F v l trm n L 3 ) qui st prépondérant, alors k + 4 = 3 d'où k= Si c'st F S l trm n L ) qui st prépondérant, alors k + 4 = d'où k = 3) LOG0fb) n fonction d LOG0L) LOG0fb) y = -9,39E-0x - 3,6E-0 R = 9,76E-0 0,8 -, - -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,4 -,3 -,,6,5,4,3,, 0,9 LOG0L) Ls points sont assz bin alignés avc k = 0,939 donc il smbl qu l trm F S soit prépondérant Rédigé par A Bllly t P Colin Pag 7/7