Chapitre 3. Optimum économique et équilibre de marché.

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1 Chaptre 3. Optmum économque et équlbre de marché Problématque et défntons. On étude désormas l économe à l échelle de la collectvté. On suppose qu l y a I consommateurs, ndcés =1, 2,..., I, J producteurs, ndcés j =1, 2,..., J, etk bens, ndcés k =1, 2,..., K. On veut défnr, analyser, pus comparer, les notons d optmum économque et d équlbre de marché. La noton d optmum économque renvoe à l dée de melleur chox possble pour la collectvté ; la noton d équlbre de marché tradut un type d organsaton de l économe, où la coordnaton des plans ndvduels (des consommateurs et des producteurs) se fat au moyen d un système de marchés et de prx. Il faut au préalable donner une défnton formelle de ces notons Etats économques. Un état de l économe est un ensemble de plans de consommaton x,pour chaque consommateur, et de plans de producton y j, pour chaque producteur j. UnétatéconomquesenoteE (x,=1, 2,..., I; y j,j =1, 2,..., J) ou E (x, y). On appelle état possble de l économe un état E (x, y) qu vérfe : () Pour tout, x appartent à l ensemble des consommatons possbles X du consommateur ; () Pour tout j, y j appartent à l ensemble des productons possbles Y j du producteur j ; () Pour chaque ben k, onal égalté des emplos et des ressources IP P x k = J y jk + w k, =1 j=1 où w k est la dotaton ntale de l économe en ben k Etats optmaux au sens de Pareto. Pour donner un contenu opératonnel à l dée de melleur état économque, on utlse la noton d état optmal au sens de Pareto, qu prend appu sur les préférences des agents. Un état E 0 x 0,y 0 est un état optmal au sens de Pareto s l est possble et s l n exste aucun autre état possble E 1 tel que U x 1 > U x 0, pour tout, avec l négalté strcte pour au mons un consommateur. Un état optmal au sens de Pareto est donc un état possble tel que toute modfcaton de cet état (pour aller vers un autre état possble) ndut une perte pour au mons un consommateur. 1

2 Cette noton permet de classer les états économques en deux ensembles. Ceux qu vérfent la condton forment l ensemble des états optmaux au sens de Pareto ; les autres ne sont pas optmaux. Cette défnton ndut donc un ordre partel sur les états économques. En partculer, elle ne permet pas de comparer entre eux deux états optmaux au sens de Pareto. En ce sens, deux états optmaux dovent donc être consdérer comme équvalents. Pour aller plus lon, l faudrat défnr une foncton de ben-être socal. Pour une économe donnée (en partculer, pour des préférences de consommateurs, pour des technologes des producteurs et pour des dotatons ntales données), on construt un ensemble des possbltés d utlté en assocant à tout état économque possble E (x, y) le vecteur U 1 (x 1 ),U 2 (x 2 ),..., U I (x I ) des utltésobtenuesparlesconsommateurs. C est un sous-ensemble de R I. Par défnton, tout vecteur d utltés (u 1,u 2,..., u I ) prs dans cet ensemble est possble, au sens où l exste un état économque possble donnant l utlté u 1 au consommateur 1, u 2 au consommateur 2, etc. Par contre, un vecteur d utltés (u 1,u 2,..., u I ) prs en dehors de cet ensemble n est pas possble pour cette économe. Enfn, l est clar que l ensemble des états optmaux au sens de Pareto correspond à la frontère Nord-Est de cet ensemble. La fgure suvante représente ces dfférentes notons pour une économe comportant deux consommateurs. L ensemble des possbltés d utlté est l ensemble grsé. La frontère de Pareto est la courbe AB en pontllés. A u 2 O u 1 S B Equlbres de marché. On appelle équlbre de marché un état défn par des plans de consommaton x et des revenus R, pour chaque consommateur, des plans de producton y j, pour chaque producteur j, etdesprxp k,pourchaquebenk, état qu satsfasse l égalté des emplos et des ressources, état dans lequel chaque consommateur maxmse son utlté sous sa contrante de budget (sa dépense est bornée par 2

3 R ) et chaque entreprse maxmse son proft sous sa contrante technologque, lesunsetlesautresconsdérantlesprxcommedonnés Econome d échange pure. Pour smplfer, on suppose qu l n y a pas de producteurs et que l actvté économque se rédut à l échange des dotatons ntales. Dans ce cas, un état économque est possble s les plans de consommaton x =(x 1,x 2,..., x n ) des consommateurs appartennent à X et vérfent P I =1 x k = w k,enrappelantquew k détermne la dotaton ntale de l économe en ben k Prx assocés à un optmum de dstrbuton. On cherche d abord les proprétés d un état optmal. S E 0 estunétatoptmal,ldotnotamment maxmser l utlté du consommateur 1, sous la contrante que les utltés des autres consommateurs restent au mons égales à leur valeur en l état E 0. Sous l hypothèse que E 0 est ntéreur aux ensembles X, E 0 x 0 1,x 0 2,..., xi 0 maxmse donc U 1 (x 1 ) sous les contrantes U (x ) > U x 0 P, =2, 3,...,I,et I =1 x k = w k, k =1, 2,..., K. En vertu du théorème du Lagragen, on sat que s E 0 est soluton de ce problème, l exste des multplcateurs λ ( =2, 3,..., I) etμ k (k =1, 2,...,K) non tous nuls et une foncton Lagrangenne (pour smplfer l écrture, on pose dans cette expresson λ 1 =1, et on maxmse en fat λ 1 U 1 (x 1 ) U 1 x1 0 ) L (x) = I P =1 λ U (x ) U x 0 KP h PI μ k =1 x k w k k=1 dont les dérvées premères par rapport aux x k évaluées en E 0 sont toutes nulles L (x) =λ U 0 k x 0 x μk =0, =1, 2,..., I, k =1, 2,..., K. k En utlsant ce résultat, l vent que E 0 vérfe (en supposant que μ 1 est non nul) TMSk1 = U k 0 x 0 U1 0 (x0 ) = μ k, pour tout et tout k. μ 1 En d autres termes, en un état économque optmal, le taux margnal de substtuton de deux bens quelconques est égal entre tous les consommateurs. Ce pont est ntutf. Supposons que TMSk1 1 <TMS k1, c est-à-dre que le consommateur 1 accorde mons de valeur au ben k, comparé au ben 1, que le consommateur. (On se souvent que, pour tout et tout k, TMSk1 donne le nombre d untés du ben 1 compensant la perte d une unté du ben k.) Donc, s TMSk1 1 <TMS k1, l y a place pour un échange mutuellement 3

4 avantageux entre ces deux consommateurs (le consommateur 1 cède une unté de ben k au consommateur ). Le résultat serat le même s on supposat que TMSk1 1 >TMS k1. Il exste une smltude évdente entre ces condtons, caractérsant un état optmal, et celles vues au chaptre 2, caractérsant un équlbre du consommateur. Rappelons que s un plan de consommaton x 0 est un équlbre du consommateur pour les prx p et le revenu R,lvérfe TMSk1 = U k 0 x 0 U1 0 (x0 ) = p k, pour tout k, p 1 KX p k x 0 k = R. k=1 Alors, consdérons un état optmal E 0 quelconque. Il vérfe les condtons c-dessus pour des nombres μ k (k =1, 2,..., K) donnés. Chosssons mantenant des prx p, vérfant p k /p 1 = μ k /μ 1, pour tout k, etdesrevenusr 1,R 2,..., R I, vérfant R = P K k=1 p kx 0 k, pour tout. Pusque l état E0 estunétatoptmalau sens de Pareto, l vérfe l égalté des emplos et des ressources pour chaque ben (les utltés sont crossantes). Par constructon, pour chaque consommateur, l état E 0,lesprxp et le revenus R ans obtenus vérfent les condtons nécessares pour être un équlbre de chaque consommateur. S ces condtons s avèrent également suffsantes, on aura assocé à un état optmal quelconque un équlbre de marché. Or, on montre que ces condtons sont suffsantes s les fonctons d utlté sont strtement quas-concaves (hypothèse 2.4). Théorème 3.1. (Premer théorème de l économe du ben-être ; cas d une économe d échange pure). S E 0 est un optmum de dstrbuton, tel que, pour chaque consommateur, x 0 sot ntéreur à X et s les fonctons d utlté U et les ensembles X vérfent les hypothèses 2.1 à 2.4, alors l exste des prx p k et des revenus R tels que x 0 maxmse U (x ) sous la contrante budgétare p x 6 R, et cec pour tout. L étate 0,lesprxp k et les revenus R défnssent alors un équlbre de marché Représentaton graphque. Dans le cas où l y a 2 consommateurs ( =1, 2) et2bens(k =1, 2), une représentaton graphque de ces résultats est possble, prenant la forme de la boîte d Edgeworth. On suppose que X 1 = X 2 = R+. 2 Dans un repère d orgne O, onporte et, les consommatons de bens 1 et 2 par le consommateur 1. Ces quanttés sont bornées par la dotaton ntale w 1 et w 2 de l économe. L équlbre des emplos et des ressources mplque que + x 21 = w 1 et + x 22 = w 2. 4

5 Sot O 0 =(w 1,w 2 ). Du fat de l équlbre des emplos et des ressources, pour tout pont M =(, ), qu donne un plan de consommaton du consommateur 1, on lt drectement le plan de consommaton assocé du consommateur 2, comme les composantes du vecteur MO 0 =(x 21,x 22 )=(w 1,w 2 ) ou encore, comme les coordonnées du pont M par rapport aux axes d orgne O 0 et orentés dans le sens opposé aux axes du consommateur 1. Dans ce graphque, on peut représenter les courbes d ndfférence de 1 et 2 respectvement par rapport aux systèmes d axes d orgne O et O 0. Un pont M est un état optmal s l est à l ntéreur de la boîte d Edgeworth (l est alors possble), s les courbes d ndfférence des consommateurs passant par M sont tangentes et s la courbe d ndfférence de 2 n a aucun pont au Nord-Est de la courbe d ndfférence de 1. Sur la fgure, M et N sont deux états optmaux, de même que tous les ponts de la courbe en pontllés. Le taux margnal de substtuton en M est donné par la pente de la tangente T aux deux courbes d ndfférence passant par M. On retrouve donc la condton d égalté des taux margnaux de substtuton des deux consommateurs. Cette condton est suffsante s les fonctons d utlté sont quas-concaves (car alors, la courbe d ndfférence de 2 a bens tous ses ponts au Sud-Ouest de la courbe d ndfférence de 1). x 21 w 2 U 1 O N.. M. M 0 w 1 O U 2 T x 22 L état M est auss un équlbre de marché pour des prx p 1 et p 2 tels que p 2 /p 1 sot égal à la pente de la tangente T (en valeur absolue) et pour des revenus R 1 et R 2 tels que p 1 x M 11 + p 2 x M 12 = R 1 et p 1 x M 21 + p 2 x M 22 = R 2. Pour ces prx et ces revenus, la drote de budget des consommateurs 1 et 2 se confond avec la drote T. Tous les ponts sous la drote de budget T sont accessbles du consommateur 1, mas lu donne une utlté mondre qu en M ;touslesponts au-dessus de M lu sont naccessbles. Donc le plan de consommaton M est un 5

6 équlbre du consommateur 1 pour ces prx et ce revenu. Il en est de même pour le consommateur 2. En d autres termes, M est un équlbre de marché Relâchement des condtons du théorème. On peut utlser la boîte d Edgeworth pour suggérer que certanes condtons du premer théorème de l économe du ben-être ne lu sont pas nécessares. La fgure suvante montre que, même s on abandonne l hypothèse 2.3 de dfférentablté des fonctons d utlté, on peut encore assocer un équlbre de marché à un état optmal. Sur cette fgure, on vot que les fonctons d utlté ne sont pas dfférentables au pont M. Ce pont est un état optmal. Consdérons les prx et les revenus tels que la drote de budget des deux consommateurs se confonde avec une tangente aux courbes d ndfférence au pont M. Ilest clar que, pour ces prx et ces revenus, M est auss un équlbre de marché. On note,parcontre,quelerapportdesprxp 2 /p 1 n est pas défn de façon unque, pusqu l exste pluseurs tangentes aux deux courbes d ndfférence passant par M. U 1 O x 21 w 2. M O U 2 T w 1 x 22 La fgure c-dessous montre que le premer théorème de l économe du benêtre est encore vra quand l état optmal n est pas prs ntéreur aux ensembles X. Dans cet exemple, l état optmal M est tel que x 22 =0, c est-à-dre sur la frontère de l ensemble des consommatons possbles X 2 du consommateur 2. Ce n est donc pas une soluton ntéreure. Pourtant, en consdérant des prx et des revenus, défnssant comme drote de budget des deux consommateurs la drote T de la fgure, le pont M est un équlbre de marché et le premer théorème de l économe du ben-être est encore valable. On note au passage que, pour un état optmal non ntéreur, les courbes d ndfférence ne sont pas nécessarement tangentes et les taux margnaux de substtuton ne sont pas nécessarement égaux. 6

7 x 21 w 2. M U 1 O O U 2. M 0 T w 1 x 22 Par contre, la fgure suvante montre que l hypothèse 2.4 de quas-concavté des fonctons d utlté est nécessare au premer théorème de l économe du benêtre. Une foncton d utlté est quas-concave s, et seulement s, les ensembles au-dessus de n mporte quelle courbe d ndfférence sont convexes. Donc, dans l exemple c-dessous, la foncton d utlté de 1 n est pas quas-concave. Le pont M est un état optmal au sens de Pareto, mas l n est pas décentralsable par un équlbre de marché. En effet, le pont M est un équlbre du consommateur 2 s, et seulement s, les prx et les revenus sont choss tels que la drote T sot la drote de budget de 2. La drote T est alors auss la drote de budget du consommateur 1. Or, sur cette ensemble, le consommateur préfère M 0. U 1 O x 21 w 2. M. M 0 w 1 O U2 U 1 T x Optmalté des équlbres de marché. 7

8 Le premer théorème de l économe du ben-être admet une récproque, appelée second théorème de l économe du ben-être. Nous le presentons c-dessous. Consdérons un état E 0,desprxp k (k =1, 2,..., k) etdesrevenusr ( = 1, 2,..., I). Supposons que cet état, ces prx et ces revenus défnssent un équlbre de marché (x 0 maxmse U (x ) sous la contrante budgétare p x 6 p x 0 = R, pour tout ). Par l absurde, on peut montrer que E 0 est un état optmal. Supposons qu l exste un état E 1 vérfant U x 1 > U x 0, pour tout, l négalté étant strcte pour au mons un. S U x 1 >U x 0,leplandeconsommaton x 1 n est pas accessble avec le budget R = p x 0 (snon, x 0 ne serat pas un équlbre du consommateur ). On a donc p x 1 >R pour l ndvdu pour qu l négalté est strcte. S U x 1 = U x 0, le plan de consommaton x 1 est ou n est pas accessble avec le budget R = p x 0 ; mas s l est accessble, l sature la contrante de budget. Snon, le consommateur pourrat augmenter certanes composantes de x 1 et donc obtenr une utlté supéreure à celle de x0, ce qu contredrat à nouveau le fat que x 0 sot un équlbre de avec le budget R = p x 0. On a donc IX p x 1 >R = =1 =1 IX p x 0, sot à IX p x 1 IX =1 =1 =1 =1 x 0! > 0. Cec est contradctore avec l égalté des emplos et des ressources IX IX x 1 = x 0 = w. Théorème 3.2 (Second théorème de l économe du ben-être ; cas d une économe d échange pure). S E 0 est un état possble, s l exste des prx p k > 0 (k =1, 2,..., K) tels que, pour tout =1, 2,..., I, x 0 maxmse U (x ) sous la contrante budgétare p x 6 p x 0, et s les fonctons d utlté U et les ensembles X vérfent les hypothèses 2.1 et 2.2, alors E 0 est un état optmal au sens de Pareto Econome d échange et de producton. Les deux théorèmes de l économe du ben-être se transposent à une économe d échange et de producton. La correspondance entre l ensemble des états optmaux au sens de Pareto et l ensemble des équlbres de marché se montre de la même façon. On constate d abord que les condtons nécessares du premer 8

9 ordre coïncdent ; on détermne ensute les hypothèses pour que les condtons du premer ordre soent auss suffsantes. Théorème 3.3. (Premer théorème de l économe du ben-être ; cas général). S E 0 est un état optmal tel que, pour chaque consommateur, x 0 sot ntéreur à X, s les fonctons d utlté U et les ensembles X vérfent les hypothèses 2.1 à 2.4 et s, pour chaque entreprse j, l ensemble des plans de producton possbles y j vérfant f j (y j ) 6 0 est convexe, f j étant une foncton dfférentable dont toutes les dérvées premères ne sont pas smultanément nulles en yj 0,alors l exste des prx p k pour tous les bens et des revenus R pour tous les consommateurs, tels que : () x 0 maxmse U (x ) sous la contrante budgétare p x 6 R, pour tout, () yj 0 maxmse p y j sous la contrante technologque f j (y j ) 6 0, pour tout j. L état E 0,lesprxp k et les revenus R défnssent alors un équlbre de marché. Théorème 3.4. (Second théorème de l économe du ben-être ; cas général). S E 0 est un état possble, s l exste des prx p k > 0 (k = 1, 2,..., K) tels que, pour tout =1, 2,..., I, x 0 maxmse U (x ) sous la contrante budgétare p x 6 p x 0, et que, pour tout j =1, 2,..., J, y0 j maxmse p y j dans Y j,s les fonctons d utlté U et les ensembles X vérfent les hypothèses 2.1 et 2.2, alors E 0 est un état optmal au sens de Pareto Portée et sgnfcaton des théorèmes de l économe du benêtre Le premer théorème établt des condtons suffsantes (d nformaton, de ratonalté et de concurrence parfates, et de convexté) pour pouvor décentralser n mporte quel état optmal sous la forme d un équlbre de marché (après redstrbuton des revenus). Le second théorème énonce des condtons suffsantes (d nformaton, de ratonalté et de concurrence parfates) pour qu un équllbre de marché décentralse un état optmal au sens de Pareto. Ces condtons ne sont évdemment jamas réunes en réalté. Les agents ont une nformaton mparfate, auss ben sur leur envronnement (les prx) que sur leurs objectfs (leurs préférence ou leur technologe). Ils sont dotés d une ratonalté lmtée. Les stuatons de concurrence mparfate sont légons. Une fablesse du second théorème est qu l met de côté toute consdératon de justce socale, étant basé sur le crtère de Pareto. Un équlbre de marché, même optmal au sens de Pareto, peut très ben être jugé ndésrable, s l est négaltare. Pour autant, cec ne dsqualfe les marchés comme organsaton socale, du fat du premer théorème de l économe du ben-être Analyse descrptve de l équlbre général 9

10 Nous avons caractérsé un équlbre de marché, en supposant qu un tel état exstat et état rejont par l économe. On étude c la queston de l exstence et de la stablté de l équlbre général. On se contentera d une présentaton smplfée, lmtée au cas d une économe d échange pure Econome de proprété prvée. Une économe de proprété prvée est une économe dans laquelle chaque consommateur possède une dotaton ntale w de bens (en partculer, sa force de traval), élément de l espace des bens R K, et en use lbrement. La dotaton ntale de l économe se dédut des dotatons ndvduelles et vérfe w k = P I =1 w k, pour tout k. Dans une économe de proprété prvée, le revenu d un consommateur est détermné par la valeur sur le marché de sa dotaton ntale. Il est donc endogène. Formellement, pour tout vecteur de prx p, lerevenur du consommateur est égal à R = P K k=1 p kw k Equlbre général des marchés. Consdérons comme données les dotatons ntales w et les fonctons de demande nette d (p, R ) des consommateurs. (On se souvent que d (p, R ) donne le plan de consommatons qu maxmse l utlté U (x) du consommateur dans l ensemble des plans de consommaton possbles pour lu, c est-à-dre vérfant x X et p x 6 R.) Par défnton, l économe admet un équlbre de marché s l exste des prx p k, k =1, 2,..., K, tels que tous les marchés sont équlbrés smultanément. Dans une économe de proprété prvée, les revenus dépendant des dotatons ntales et des prx, un vecteur de prx d équlbre vérfe R = P K k=1 p kw k, pour tout, P I =1 d k (p, R )=w k, pour tout k. En remplaçant R par sa valeur, un équlbre de marché est la donnée de K prx, vérfant le système comportant K équatons d k (p) = IX d k (p, p w )=w k, pour tout k, =1 en défnssant d k (p) la demande globale pour le ben k. On se souvent que les fonctons de demande nette sont homogène de degré 0enp et R. Il en découle que le système est homogène de degré 0 par rapport aux prx. Par conséquent, l ne permet de détermner que les prx relatfs, un prx étant chos arbtrarement ; l le K 1 nconnues selon K équatons.on en vent à se demander s ces K équatons entre K 1 nconnues sont compatbles. On répond par l affrmatve, car les fonctons de demande vérfent : KX p k (d k (p, p w ) w k )=0, k=1 10

11 pusque chaque consommateur sature son budget. Cec mplque IX KX KX p k (d k w k )= =1 k=1 p k k=1 =1 IX KX (d k w k )= p k (d k w k )=0. Autrement dt, du fat que les consommateurs dépensent l ntégralté de leur budget, la réalsaton de l équlbre sur K 1 marchés (par exemple, d k = w k pour k =1,..., K 1) mplque la réalsaton de l équlbre sur le K-ème marché. On appelle lo de Walras cette proprété. Elle mplque qu une des équatons du système est redondante Représentaton graphque de l équlbre général. Sur la fgure c-dessous, on représente, à gauche, la détermnaton de l équlbre du consommateur 1, en foncton de sa dotaton ntale (w 11,w 12 ), de ses courbes d ndfférence et des prx (p 1,p 2 ), et, à drote, la boîte d Edgeworth, dans laquelle on reporte la "foncton de demande" du consommateur 1 ans obtenue et, de même, celle du consommateur 2. k=1 x 21 O d 1 w 12 P M N T O w 11 T T d 1 w d 2 12 P w 11 M O T w 1 x 22 Commentons d abord la fgure de gauche. La dotaton ntale est donnée par le pont P (par hypothèse). C est auss l équlbre du consommateur, pour des prx donnant la drote de budget PT. LepontM serat l équlbre du consommateur pour la drote de budget PT 0. Le pont N serat l équlbre du consommateur pour la drote de budget PT 00. En procédant parellement pour toutes les drotes de budget passant par le pont P, on construt la demande du consommateur 1, sous la forme de la courbe d 1. On note qu elle est toujours au-dessus de la courbe d ndfférence passant par le pont P. Cette nformaton est ensute reportée sur la fgure de drote. Commentons mantenant la fgure de drote. La dotaton ntale est donnée par le pont P. Les demandes des consommateurs 1 et 2, obtenues par la 11

12 méthode vue c-dessus, sont données respectvement par les courbes d 1 et d 2. Elles sont sécantes aux ponts P et M. LepontM défnt un équlbre général : sachant que les prx (p 1,p 2 ) et la drote de budget assocée PT 0, les demandes des deux consommateurs s équlbrent Exstence d un équlbre général. Lefatquelesystèmedéfnssant un équlbre général comporte le même nombre d nconnues que d équatons ne sufft à garantr l exstence d une soluton. On étude c les condtons suffsantes d exstence d un équlbre général, découverte par Debreu. La démonstraton repose sur un théorème de pont fxe. On dt qu une foncton f admet un pont fxe s l exste x tel que f (x )=x. Le théorème du pont fxe de Brouwer établt que : S une foncton f, défne sur un ensemble convexe, fermé et borné, dans lu-même, est contnue, alors cette foncton admet un pont fxe. La démonstraton de l exstence d un équlbre de marché procède alors comme sut. Les fonctons de demande d k (p) étant bornées, on chost des nombres postfs λ 1,λ 2,..., λ K pour que la foncton ϕ :(p 1,p 2,..., p K ) (p 1 + λ 1 (d 1 (p) w 1 ),p 2 + λ 2 (d 2 (p) w 2 ),..., p K + λ K (d K (p) w K )) sot défne d un ensemble convexe, fermé et borné dans lu-même. On note que la foncton est contnue (les fonctons de demande nette sont contnues). On sat alors que cette foncton admet un pont fxe p.onvérfe quecepontfxe est en fat un équlbre de marché, pusque ϕ (p )=p λ k (d k (p ) w k )=0, pour tout k. On a alors détermné un vecteur de prx qu équlbre tous les marchés, c est-àdre un équlbre général Uncté et stablté de l équlbre général. Pour l uncté et la stablté de l équlbre, on a beson d une hypothèse adhoc, dte hypothèse de substtuablté brute. La demande globale d un ben k quelconque vérfe l hypothèsedesubsttuablté brute s c est une foncton strctement crossante du prx des autres bens. d k (p) > 0, pour tout k 0 6= k. p k 0 Sous cette hypothèse, du fat de l homogénété de degré 0 des fonctons de demande, la demande globale d un ben quelconque est une foncton strctement décrossante de son prx : p k d k (p) > 0, pour tout k. 12

13 Et tout équlbre général est localement stable pour le processus de tâtonnement en temps contnu dp k dt = λ k (d k (p) w k ), λ k > 0, pour tout k, où l accrossement nstantané du prx des bens est proportonnel à l excès de la demande sur l offre. Remarque 3.1. On rappelle que x est un pont d équlbre du système dfférentel dx/dt = f (x) s f (x )=0. Il est localement stable s l exste un vosnage de ce pont tel que, pour tout x prs dans ce vosnage, la soluton x (t) du système converge vers x quand t tend vers l nfn. 13

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