CONCOURDS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES. DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l épreuve : 3 heures)

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1 00 MATH. II - PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURDS D ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l épreuve : 3 heures) Suje mis à l disposiion des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP. L emploi de l clculee es inerdi. Les cndids son priés de menionner de fçon rès pprene sur l première pge de l copie : MATHÉMATIQUES II - PC. L énoncé de cee épreuve, priculière ux cndids de l filière PC, compore 5 pges. Si un cndid repère ce qui lui semble êre une erreur d énoncé, il le signle sur s copie e poursui s composiion en expliqun les risons des iniiives qu il es mené à prendre. Le bu de ce problème es d éudier quelques propriéés de cerines équions différenielles du ype suivn : (E) y y 0. Première prie L obje de cee prie es l éude de l équion différenielle : (E 1 ) y e i y 0. I.1. Crcérision d une soluion périodique : Démonrer qu une foncion f, définie sur oue l droie réelle, soluion de l équion différenielle (E 1 ), es 2 -périodique si e seulemen si elle prend, insi que s dérivée f, mêmesvleursen0een2 : f 0 f 2, f 0 f 2 I.2. Consrucion d une soluion périodique : Soi f une foncion 2 -périodique soluion de l équion différenielle (E 1 );soic n f,n Z, ses coefficiens de Fourier. pour ou enier relif n : c n f 2 1 2^ f e?in d. 0. Démonrer que l foncion f es l somme de s série de Fourier, c es-à-dire que, pour ou -1/5-

2 réel, f c n f e in. n=? b. Exprimer les coefficiens de Fourier de l foncion dérivée seconde f de f en foncion de ceux de f. En déduire, à l ide de l équion différenielle, l relion de récurrence qui lie c n f à c n?1 f. c. Préciser l vleur du coefficien de Fourier c?1 f ; en déduire l vleur de ous les coefficiens de Fourier de rng sricemen négif. Clculer les coefficiens de Fourier de rng posiif en foncion de c 0 f. En déduire l expression de l foncion f. I.3. Inéglié vérifiée pr l foncion f e s dérivée f :. Soi h un réel sricemen posiif ; éblir une mjorion du module des deux nombres complexes C e D, définis ci-dessous pr les relions : C f h f hf ; D f h f hf. en foncion de l norme de l convergence uniforme de l foncion f : f sup f. b. Déduire des deux inégliés obenues l relion : f 2 f. Deuxième prie Soi u n n=0,1,2,... l suie des foncions définies sur l droie réelle pr l relion suivne : u n x 1 n xn n!. 2 Soi g l foncion somme de l série enière de erme générl u n x, définie dns l inervlle de convergence de cee série pr l relion suivne : g x 1 n n=0 Le bu de cee prie es l éude de l foncion g. xn n!. 2 II.1. Ryon de convergence : Déerminer le ryon de convergence R de l série de erme générl u n x. II.2. Signe de l foncion g : Quelle es le signe de l foncion dérivée g, sur le segmen 0, 2? En déduire qu il exise un réel x 0 el que l foncion g es posiive sur l inervlle semi-ouver 0,x 0 e négive sur l inervlle semi-ouver x 0,2. Démonrer l inéglié x 0 2 (prendre 2 1,41. Troisième prie -2/5-

3 : Le bu de cee prie es d éudier les zéros des soluions de l équion différenielle suivne (E 2 ) y e y 0. Dns oue cee prie y désigne une soluion réelle de l équion différenielle (E 2 ). III.1. Zéros de l foncion y :. Préciser l foncion y lorsqu il exise un réel el que l foncion y e s dérivée son nulles en ce poin : y 0, y 0. b. Soien e b deux réels b, z une soluion réelle de l équion différenielle suivne : (F) z e z 0. L foncion z es supposée s nnuler en deux poins e de l inervlle,b b e êre sricemen posiive sur l inervlle ouver,. Soi y une soluion de l équion différenielle (E 2 ). Soi H l hypohèse : l foncion y es sricemen posiive sur l inervlle,. Soi W l foncion définie sur l inervlle, pr l relion suivne : W y z y z. Eudier les vriions de l foncion W sur l inervlle, ; en déduire que l hypohèse H formulée ci-dessus es fusse. En conclure que, pour oue soluion réelle z de l équion différenielle (F), enre deux zéros consécuifs de l foncion z se rouve u moins un zéro de l foncion y. c. Déduire des résuls précédens que, pour ou réel, oue soluion y réelle de l équion différenielle E 2 u moins un zéro dns l inervlle, exp 2. III.2. Espcemen des zéros de l foncion y : Soi y une soluion réelle de l équion différenielle E 2, différene de l soluion nulle.. Soi un zéro de l foncion y ; démonrer qu il exise un inervlle ouver, c, oùc es un réel sricemen posiif sur lequel l foncion y n es ps nulle. b. Soien deux zéros consécuifs e de l foncion y. Démonrer, en considérn une soluion réelle z de l équion différenielle suivne : (G) z e z 0, que les réels e vérifien l inéglié suivne : exp 2. Qurième prie L obje de cee prie es de consruire une foncion soluion de l équion différenielle E 2. Soi v n n=0,1,2,..., une suie de foncions définies sur l droie réelle pr l relion : -3/5-

4 v n 1 n e n. n! 2 Lorsque l série de foncions de erme générl v n es convergene, soi l foncion somme de cee série : n=0 1 n n! 2 e n. IV.1Lfoncion es soluion de l équion différenielle E 2 :. Eblir que, pour ou réel, l série de erme générl v n es uniformémen convergene sur l demi-droie,. b. Démonrer que l foncion es une soluion de l équion différenielle (E 2 définie sur oue l droie réelle. IV.2. Zéros de l foncion : Démonrer, en uilisn des résuls des deuxième e roisième pries, que les zéros de l foncion consiuen une suie monoone croissne n n=0,1,2,..., de réels : n... elle que : ln2 2 0, lim n, n lim n+1 n 0. n Cinquième prie Le bu de cee prie es d éblir des mjorions des foncions soluions de l équion différenielle : (E) y y 0. V.1.Une inéglié : Soien M un réel sricemen posiif M 0 e un réel. Soien f e g deux foncions posiives, définies e coninues sur l demi-droie,, elles que, pour ou réel de l demi-droie,, l inéglié ci-dessous i lieu : f M f x g x dx. Eblir, en considérn pr exemple l foncion F, définie sur l demi-droie, pr l relion : l propriéé : F f x g x dx, f M exp g x dx. Dns l suie le réel es sricemen posiif 0 ; soi y une foncion réelle, définie e -4/5-

5 coninue sur l demi-droie,, vérifin l équion différenielle (E): (E) y y 0, où es une foncion réelle, définie e coninue sur l demi-droie,, elle que l foncion. es inégrble sur l demi-droie,. (l inégrle d exise). V.2. Mjorion de l foncion y / :. Déerminer une foncion ffine A : A, définie sur l demi-droie,, elle que, pour ou réel de cee demi-droie, l relion ci-dessous i lieu : y A x y x x dx. b. Démonrer que l foncion j définie pr l relion j y, es bornée lorsque le réel croî vers l infini. C es-à-dire : il exise deux réels sricemen posiifs C e D els que, pour ou supérieur ou égl à C C, il vienne : y D. V.3. Limies de y e de y / : Démonrer, en uilisn les résuls précédens que l foncion dérivée y : y une limie lorsque le réel croî vers l infini ; soi cee limie : b. En déduire que l expression j yâã lim y. pour limie lorsque le réel croî vers l infini. FIN DU PROBLEME -5/5-