Licence «Droit Economie Gestion» Magistère «Développement économique»

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1 Licence «Droit Economie Gestion» Magistère «Développement économique» Introduction Chapitre 1. Optimisation libre P. Combes Motel Cerdi CNRS U d Auvergne

2 Table des matières Table des matières... i Table des illustrations... iii Bibliographie... iv CHAPITRE 1. OPTIMISATION LIBRE RAPPELS Conditions nécessaires et / ou suffisantes Définition Exemple : théorème de Weierstrass Conditions d optimalité Condition du premier ordre Condition du second ordre Propriétés des fonctions et unicité de la solution Résultats Illustrations Effets des paramètres sur l optimum et l objectif Le théorème de l enveloppe La statique comparative Le théorème des fonctions implicites Optimisation univariée Optimisation multivariée LA MAXIMISATION DU PROFIT Les conditions de la maximisation du profit Solution analytique (n = 2 intrants) Conditions du premier et du second ordre En résumé Interprétation Condition de premier ordre La non négativité des choix optimaux Les rendements d échelle Représentation graphique Les propriétés de la fonction de profit Les demandes d intrant et l offre de produit La fonction de demande d intrants La fonction d offre de produit Le principe le Châtelier-Samuelson i

3 Fonctions de demandes libres et contraintes Fonction de demande libre en fonction de la fonction de demande contrainte Principe Le Châtelier Samuelson Courbes enveloppes en fonction du prix des intrants Courbes enveloppes en fonction du prix du produit EXEMPLES Points stationnaires Identification des points stationnaires et de leur nature Unicité des optima Fonctions concaves Préliminaires : matrice hessienne et forme quadratique Définitions et représentation Fonction Cobb Douglas Formes quadratiques Fonction f(x 1, x 2) = (x 2 x 12 )(x 2 2.x 12 ) Fonction f(x 1, x 2) = -(x 1) 4 (x 2) Théorème des fonctions implicites Exemple Exemple Exemple Exemple Théorème de l enveloppe Exemple Exemple Exemple Fonctions de demandes libres et contraintes Maximisation du profit Fonction de production univariée Session de janvier Fonction de production Cobb Douglas, exemple Fonction de production Cobb Douglas, exemple Conditions du premier et du second ordre Demandes d intrant, fonctions d offre et de profit Fonction de production : f(x 1, x 2) = min { x 1, x 2 } a ii

4 Optimisation. Introduction et Chapitre 1 Optimisation libre Table des illustrations Définition 1. Maxima global et local...7 Définition 2. Ensemble convexe Définition 3. Fonction concave Définition 4. Définition d une fonction concave selon les propriétés de ses dérivées premières Définition 5. Définition d une fonction concave selon les propriétés de ses dérivées secondes Définition 6. La fonction de profit Encadré 1. Optimisation et théorie néo-classique Encadré 2. Optimisation et théorie néo-classique Encadré 3. Analogie entre l économie et la biologie...2 Encadré 4. Le principe Le Chatelier-Samuelson Figure 1. Maxima locaux et globaux : y = x sin x ; y = 10-x2...7 Figure 2. Graphes des fonctions y = x3 ; y = x4...8 Figure 3. Ensembles convexes et non convexes Figure 4. Le choix optimal des intrants Figure 5. Le choix optimal des intrants Figure 6. La fonction de profit «enveloppe» en fonction du prix des intrants Figure 7. La fonction de profit «enveloppe» en fonction du prix du produit Figure 8. Non unicité d un maximum global Figure 9. Fonction d une variable concavité Figure 10. Fonction croissante et concave dérivées premières continues Figure 11. Fonction décroissante et concave dérivées premières continues Figure 12. Graphe de la fonction Figure 13. Graphe de la fonction Figure 14. Graphe de la fonction Figure 15. Graphe de la fonction y 3 e y x Figure 16. Courbe enveloppe de la fonction de valeur maximale en fonction du paramètre Figure 17. Fonction de profit et profit (x ; w/p) = x0,25 - w/p.x Figure 18. Fonction convexe Figure 19. Fonctions de profit libre et contraintes pour =0, Figure 20. Fonction de production à facteurs complémentaires f(x1, x2) = min { x1, x2 }a ; a=0,5 ; p= Tableau 1. Fonctions f*( ) et f(x ; ) pour f = -x2 + 2 x iii

5 Théorème 1. Proposition découlant du théorème de Weierstrass... 6 Théorème 2. Condition du premier ordre... 8 Théorème 3. Conditions du second ordre... 9 Théorème 4. Optima intérieurs locaux et globaux, fonctions concaves Théorème 5. Unicité des optima Théorème 6. Conditions nécessaires du premier ordre pour un optimum intérieur local de fonctions à valeurs réelles Théorème 7. Conditions nécessaires du second ordre pour un optimum intérieur local de fonctions à valeurs réelles Théorème 8. Conditions suffisantes pour un optimum intérieur local de fonctions à variables réelles Théorème 9. Conditions suffisantes pour un optimum intérieur global Théorème 10. Effet des paramètres sur la fonction d objectifs évaluée à l optimum Théorème 11. Les fonctions implicites dans Théorème 12. Les fonctions implicites dans n Théorème 13. La règle de Cramer Théorème 14. Maximisation du profit : conditions pour un profit maximal Théorème 15. La maximisation du profit : lemme de Hotelling Théorème 16. Théorème d Euler Théorème 17. Les propriétés des fonctions de demande d intrant et d offre de produit Bibliographie Alchian, A.A., Uncertainty, Evolution, and Economic Theory. Journal of Political Economy, 58(3), pp Bousquet, A. & Favard, P., Hétérogénéité des agents et la relation pollution-revenu. Revue économique, 52(6), p Conrad, J.M., Resource Economics, Cambridge: Cambridge University Press. Cornes, R. & Sandler, T., On Commons and Tragedies. The American Economic Review, 73(4), pp Cornes, R. & Sandler, T., The theory of externalities, public goods, and club goods 2nd ed., Cambridge: Cambridge University Press. Darreau, P., Mathématique et science économique. Available at: Dixit, A.K., Optimization in Economic Theory 2nd ed., Oxford University Press. Jehle, G.A., Advanced Microeconomic Theory, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall International. Available at: Kreickemeier, U., The Le Châtelier Principle in the Theory of International Trade. Journal of Economics, 89(3), pp Layard, P.R.G. & Walters, A.A., Microeconomic Theory, McGraw-Hill. Léonard, D. & Long, N. van, Optimal control theory and static optimization in economics, Cambridge: Cambridge University Press. Milgrom, P. & Roberts, J., The LeChatelier Principle. The American Economic Review, 86(1), pp Pennequin, D., Optimisation statique C. Jessua et al., eds. Dictionnaire des sciences économiques, pp Silberberg, E., The structure of economics: a mathematical analysis 2nd ed., McGraw-Hill Pub. Co. Simon, C.P. & Blume, L., Mathématiques pour économistes, De Boeck Supérieur. Varian, H.R., Microeconomic analysis 3rd ed., New York: W. W. Norton Company. iv