La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit»."

Transcription

1 Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de Théodore bis, et l site «somme=prodit».. Le problème. L exercice «de ci de là» N 54-4 éveillé m criosité, et je sohite vos fire prtger qelqes petits complémets, otmmet sr e étote site dot l somme est égle prodit. figre Voici l éocé : Ds le simili-escrgot de Pythgore ci-desss, les hters reltives x hypotéses mesret e ité. Les désiget les mesres des segmets. Motrer qe = = = Voici e soltio : Post OA. =, Pythgore ds le trigle ( OA A ) os dit : =, ce dot o dédit, e itért : = 0... = Mis l hter de loger décope dex trigles dot l somme des ires est égle tot. E mltiplit pr o obtiet : =, ce qi doe, e itért : =... = = =. O e dédit bie qe = =. L site «somme = prodit». L site ( ) est doc telle qe ses sommes prtielles sot égles à ses prodits prtiels! Voyos si l o pet défiir cette site idépedmmet de l géométrie. O voit tot de site qe si l o vet e site à termes >0, il ft prtir d 0 = >.

2 Spposos mitet qe 0,,..., soiet costrits vec s = = p = tos > i i i= 0 i= 0 s por etre 0 et. Alors s = p doe s = s, soit = 0 s > et o r bie s = p >. Por premier terme >, il existe doc e iqe site «somme=prodit» défiie pr K = récrrece forte pr =. = K L foctio Mple : :=->if =0 the else s:=dd((),=0..-): retr(simplify(s/(s-))) fi; 4 os doe ses premiers termes :,,,, Remrqos qe ds le progrmme ci-desss, o pet doc remplcer dd pr ml! Cepedt, le logiciel v rmer pe pls por les simplifictios. Mitet, l défiitio pr récrrece forte d e site pet sovet être rmeée à e défiitio pr récrrece simple. Pr exemple, = os doe tot de site =. Ici, c est pe pls complexe, mis o v y rriver. E effet il sffit d élimier s etre les reltios s = s et s = s. O obtiet = D où e foctio Mple pls simple : =, vlble selemet por. :=->if =0 the elif = the /(-) else simplify((-)^/((-)^-(-))) fi; x L étde fcile de l foctio x x x sr [, [ os permet de coclre qe l site décroît et ted vers à l ifii, qel qe soit so poit de déprt. ( ) De pls, l exme des premiers termes os lisse peser qe est le qotiet de polyôme e. pr

3 Posos doc P ( ) =, et ijectos ds l reltio ( ) ( ) ( ) =. O obtiet P = P P, ce qi os permet de démotrer pr récrrece qe = où P est polyôme itire à coefficiets etiers de degré P ( ). Je e sis ps si cette site de polyômes est coe, mis j i retré les premiers termes de l P ds l ecyclopédie des sites etières et sis tombé sr l A0044 défiie ( ) site ( ) comme sit : Cosider the seqece of frctios f() defied by: f() = /; f() is chose so tht f() Sm_{i=..} f(i) = f() * Prodct_{i=..} f(i); seqece gives deomitor of f(). C est bie otre site vec =! J i essyé les vlers de sivtes et j i costté q P certi Mrti Reer retré le 30 vril 03 ds l ecyclopédie totes les sites ( ) por de 3 à 0 Mis, à propos, le fit qe «seqece gives deomitor of f() impliqe qe l frctio P ( ) est irrédctible por =. E effet, ceci est ssrémet vri si est premier ; l reltio P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) =, ( ) = motre ds ce cs qe pisq o prt de P est jmis divisible pr. 3. L spirle de Théodore bis. Mis reveos à otre escrgot. Si l o trce pe pls de poits, o obtiet cette spirle : figre Elle ressemble à e spirle d Archimède, regrdos cel de pls près. Clclos por cel les coordoées polires de A.

4 Avec 0 =, o doc =, et o v qe... = ; cette expressio étt ps prtiqe, refisos pe de géométrie. Soit H le pied de l hter isse de A ds le trigle ( OA A ) ; yt gle e comm, les trigles rectgles ( OA A ), ( ) : OH = =, d où = OH A sot semblbles doc, et = = site récrrete simple. L gle α = A OA vérifie siα = = ; doc l gle polire de A est θ = α = rcsi. = = 0 Etdios pls vt l site ( ), vislisée ci-dessos :. De ove e figre 3 4 Elle ted cliremet vers l ifii, et l reltio = = ted vers et qe doc (Césro) ~, ~. motre qe O doc α = rcsi ~, et pr l règle de sommtio des éqivlets θ = rcsi ~ ~, doc ~ = 0 = θ : l spirle est bie d type «Archimède» (l ppelltio «escrgot» est doc idéqte, cr le gstéropode e coqille e spirle d type logrithmiqe!). Cherchos s il y e spirle d Archimède symptote, c est-à-dire si limite fiie. θ possède e Ecrivos θ = rcsi = = 0.

5 L covergece de = vers ζ ( / ) est bie coe. Por les dex tres termes, il v flloir ffier le développemet symptotiqe de. Si o pose v =, l récrrece sr v s écrit v = v v ; doc v v ~ et v ~ ~ l = ; doc ( ) l l = l o l = o. l Doc 0, et rcsi ~, terme géérl d e série de Bertrd 3/ covergete. Il y doc bie e spirle d Archimède symptote! 4. L spirle de Théodore clssiqe. Il ft dire qe si mo ttetio été ttirée pr cet éocé, c est prce qe je veis de corriger ds mo site mthcrve.com e errer qi y étit restée pls de 0 s. Ds l spirle de Théodore clssiqe ce e sot ps les hters A H qi vlet, mis les côtés A A. Or j vis cofod vec e troisième versio où ce sot les gles ( AOA ) qi sot égx. Ce qi est remrqble, c est qe ds ce cs, l spirle est d type logrithmiqe! L spirle de Théodore clssiqe est ssi d type «Archimède», et l démostrtio est d même ordre qe celle qe os veos de fire, e pls fcile cr o cette fois =. Rppelos d illers q o ttribe à Théodore de Cyrèe l costrctio de cette spirle de mière tot à fit idirecte : ce mthémticie d Vème siècle vt J.C. s étit rrêté à 7 ds s démostrtio de l icommesrbilité des rcies crrées d etier, or 7 est jstemet l derière étpe vt qe l spirle e repsse sr elle-même, comme o voit cidessos :

6 (figre 4 : sorce : wiipedi) 5. Des référeces. J i essyé de rechercher qi e l idée de l spirle de Théodore bis. Le problème d blleti est tiré d crx mthemticorm cdie volme 30 de 003, problème M4. Il est idiqé : proposé pr Seymc Jfri, Ir. O trove cette persoe sr liedi, mis je i ps réssi à l cotcter. Appel x lecters d blleti! D tre prt, l site e prtt de =, possède des mérters etiers qi se trovet ds l ecyclopédie des sites etières sos le méro A L site σ = / vérifie l récrrece pls simpleσ = σ σ (elle se trove depis logtemps ds mes exercices sr les sites!) qe l ecyclopédie désige sos le om de «Somos-Rsi recrsio». O trove e effet l référece qi regrope échge de mils etre les dex hommes drt l ée 999 sjet de cette site. O y trove le résltt complétt le développemet symptotiqe ci-desss : l l = l c o où c = 0, Merci, doc, x exercices de ci de là d voir iitié cette blde ds l géométrie d trigle rectgle, les sites, les séries, les polyômes, et même sopço d rithmétiqe!

2009/2010. Elaboré par : ALI AKIR

2009/2010. Elaboré par : ALI AKIR BAC MATHS 9/ Cors et 8 eercices Elboré pr : ALI AKIR Doe des cors prticliers e mthémtiqes por tos les ive Pls d iformtios : Cotcter à GSM : 4 96 4 Emil : kircm@gmilcom Site Web : http://mths-kirmidiblogscom/

Plus en détail

Suites arithmétiques et Géométriques. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1, 146.41...

Suites arithmétiques et Géométriques. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1, 146.41... Sites arithmétiqes et Géométriqes Nos allos cosidérer des sites de ombres réels Exemple La site des ombres,, 5, 7,, o la site des ombres,,,, 464 Défiitio/Notatio : La site est e gééral oté ( ) (o ( v )

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Concours des Grandes Ecoles Sujet de Mathématiques.

Concours des Grandes Ecoles Sujet de Mathématiques. Diel Aécssis.Ph.D Aée iversitire 9/ Cocors des Grdes Ecoles Sjet de Mthémtiqes. I. O trville ds l espce vectoriel sos espce vectoriel de. Soit ;;, ;;, ;;, ;;, 5 ; ; egedré pr l fmille U {,,,, 5 }. Costrire

Plus en détail

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q Sites géométriqes Itrodctio : M. Fiace dispose d e somme de 5 FF et désire faire frctifier so pactole ; por cela il va voir so baqier qi li propose de optios : e agmetatios forfaitaire, aelle, de 5 F =

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

CALCUL INTÉGRAL. 1. Notion d intégrale. Unité d aire (u.a.) : l aire du rectangle bâti à partir des vecteurs

CALCUL INTÉGRAL. 1. Notion d intégrale. Unité d aire (u.a.) : l aire du rectangle bâti à partir des vecteurs CALCUL INTÉGRAL Cors Termile S Notio d itégrle Soit e octio cotie et positive sr itervlle ; i j Soit c s core représettive ds le pl mi d repère orthogol ( O ;, ) Déiitio : O ppelle : Uité d ire () : l

Plus en détail

Algorithmique sur les automates. Recherche de motifs. On cherche toutes les occurrences

Algorithmique sur les automates. Recherche de motifs. On cherche toutes les occurrences Algorithmiqe r le tomte Recherche de motif O cherche tote le occrrece. Algorithme tilit de tomte Recherche de motif. Recherche de réglrité. Compreio.. Algorithme por l étde de tomte Compleité d étt : coût

Plus en détail

Cours (Terminale S) Limite d une fonction

Cours (Terminale S) Limite d une fonction Cours (Termile S) Limite d ue octio Limite d ue octio e + ou Foctio déiie u voisige de + (resp ) Soit ue octio d esemble de déiitio D O dir que «l octio est déiie u voisige de + (resp )» s il eiste u réel

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Suites généralités. u est une fonction qui à tout entier naturel n associe un nombre réel, noté u

Suites généralités. u est une fonction qui à tout entier naturel n associe un nombre réel, noté u Sites gééralités A Sites mériqes Notio de site Défiitio : Ue site ( qe : : a La site se ote o avec des parethèses ( est e foctio qi à tot etier atrel associe ombre réel, oté tel Le terme iitial de la site

Plus en détail

Intégration et primitives

Intégration et primitives DERNIÈRE IMPRESSIN LE 8 mrs 24 à 4:2 Itégrtio et primitives Tle des mtières Notio d itégrle 2. Défiitio................................. 2.2 Exemple de clcul d itégrle : l qudrture de l prole.... 3.3 Itégrle

Plus en détail

1. Limites. Les limites dans la vie courante. Vitesse instantanée. Pente d'une courbe en un point LIMITES

1. Limites. Les limites dans la vie courante. Vitesse instantanée. Pente d'une courbe en un point LIMITES LIMITES. Limites.. Les ites ds l vie courte Vitesse isttée L otio de vitesse, et e prticulier l vitesse d'u objet à u istt précis, est, étommet, subtile et difficile à défiir précisémet. Cosidérez cette

Plus en détail

Centres étrangers juin n + 2.

Centres étrangers juin n + 2. Cetres étragers ji 3 EXERCICE poits Comm à tos les cadidats O défiit, por tot etier atrel >, la site ( ) de ombres réels strictemet positifs par = Por tot etier atrel >, o pose v = a Motrer qe v = b Motrer

Plus en détail

Suites et séries de fonctions.

Suites et séries de fonctions. Suites et séries de foctios Chp 8 : cours complet 1 Suites de foctios : covergece simple et uiforme, cotiuité Défiitio 11 : Défiitio 12 : Défiitio 13 : Défiitio 14 : Théorème 11 : Théorème 12 : Théorème

Plus en détail

1 Convergence simple et convergence uniforme

1 Convergence simple et convergence uniforme Mster Métiers de l Eseigemet, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voi, 0/03 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 5 - Suites et séries de foctios Soiet E et F deu espces métriques quelcoques et (f ) ue suite d pplictios de

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ECOLE DE HUTES ETUDES COMMERCILES DU NORD Cocors d'admissio sr classes préparatoires MTHEMTIQUES Optio scietifiqe Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qalité de la rédactio,

Plus en détail

TS Exercices sur les limites de suites (3) 4 Pour tout entier naturel n 1, on pose :

TS Exercices sur les limites de suites (3) 4 Pour tout entier naturel n 1, on pose : T Exercices sr les limites de sites () Por tot etier atrel, o pose : O cosidère la site ( ) défiie sr N par so premier terme récrrece ( ) = + por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier

Plus en détail

Corrigé de Centrale 2016 PC math 1. I Autour de la fonction Gamma d Euler. f(t)dt existe si et seulement si x > 0.

Corrigé de Centrale 2016 PC math 1. I Autour de la fonction Gamma d Euler. f(t)dt existe si et seulement si x > 0. I.A.) ft) = t x e t doc t t x Puisque Corrigé de Cetrle 26 PC mth I Autour de l foctio Gmm d Euler x + tx+ e t =, ft) = t + o t 2 ) doc Le domie de défiitio de Γ est doc D =], + [. ft)dt existe si et seulemet

Plus en détail

Propriété Limites de suites convergentes usuelles. 1 lim 0 où k *

Propriété Limites de suites convergentes usuelles. 1 lim 0 où k * SUITES NUMERIQUES Le pricipe de récrrece Soit e propositio P dépedat d etier atrel. Por démotrer qe P est raie por tot etier 0, il sffit de motrer qe : La propositio est raie a rag 0 ; por etier qelcoqe

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

SUITES SE RAMENANT AUX SUITES ARITHMETIQUES OU GEOMETRIQUES - EXERCICES CORRIGES

SUITES SE RAMENANT AUX SUITES ARITHMETIQUES OU GEOMETRIQUES - EXERCICES CORRIGES Cors et exercices de mathématiqes SUITES SE RAMENANT AUX SUITES ARITHMETIQUES OU GEOMETRIQUES - EXERCICES CORRIGES Exercice O cosidère la site défiie par O pose Motrer qe ( est e site géométriqe Exprimer

Plus en détail

Suites arithmétiques et suites géométriques Bilan et croissances

Suites arithmétiques et suites géométriques Bilan et croissances Sites arithmétiqes et sites géométriqes Bila et croissaces I Bila sr les sites arithmétiqes et géométriqes ) Tablea de formles Défiitio Relatio etre dex termes coséctifs Calcl d terme 4 ) Ue qestio de

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION aril 20 MATHÉMATIQUES Série S Drée de l épree : heres Coefficiet : 7 o 9 Les calclatrices électroiqes de poche sot atorisées, coformémet à la réglemetatio e iger. Le sjet est

Plus en détail

Exemple 89. Définition 51. point d inflexion de Exemple Tracé du graphe d une fonction

Exemple 89. Définition 51. point d inflexion de Exemple Tracé du graphe d une fonction 59 Eemple 89. L foctio f : 2 est deu fois dérivle sur R, et pour dérivée et dérivée secode sur R : f ) = 2 et f ) = 2 Puisque s dérivée secode est positive sur R, l foctio f est covee sur R. E u poit 0

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

Exercices sur les suites arithmétiques (2)

Exercices sur les suites arithmétiques (2) ère S Exercices sr les sites arithmétiqes () Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso Exprimer e foctio de r Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermier tel qe 09 r Soit

Plus en détail

GEOMETRIE DANS L ESPACE. I) Vecteurs de l espace

GEOMETRIE DANS L ESPACE. I) Vecteurs de l espace GEOETRIE DNS L ESPCE ant tot, rappelons ne propriété fondamentale : Tot théorème de Géométrie plane s appliqe dans n importe qel plan de l espace. Les exemples de ce chapitre se réfèrent a dessin ci-contre

Plus en détail

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis Exercice sur les itégrles Exercice 5 : les itégrles de Wllis O pose si xdx ) Clculer I et I ) Motrer que l suite ( ) coverge 3) Etblir ue formule de récurrece etre et 4) Motrer que le produit ( + ) + est

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 6 : Oscillateur Harmonique Quantique

MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 6 : Oscillateur Harmonique Quantique MECANIQUE QUANTIQUE Cpitre 6 : Oscillteur Hroique Qutique Pr. M. ABD-LEFDIL Uiversité Moed V- Agdl Fculté des Scieces Déprteet de Pysique Aée uiversitire 6-7 Filières SM-SMI Itroductio L'oscillteur roique

Plus en détail

La présentation, le soin et la rigueur des résultats entreront pour une part importante dans l évaluation de la copie.

La présentation, le soin et la rigueur des résultats entreront pour une part importante dans l évaluation de la copie. NOM Tle S-A/B/C DS - Mathématiqes - Ldi 26 septembre 206 La présetatio, le soi et la riger des résltats etrerot por e part importate das l évalatio de la copie Exercice : sr 8 poits Cet exercice est costité

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Exercices sur les suites arithmétiques (2)

Exercices sur les suites arithmétiques (2) ère S Exercices sr les sites arithmétiqes () Soit la site arithmétiqe de premier terme et de raiso Exprimer e foctio de r Soit la site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso Détermier tel qe 09 r Soit

Plus en détail

Terminale S Les ROC d analyse à connaître.

Terminale S Les ROC d analyse à connaître. Termiale S Les ROC d aalyse à coaître Vos troverez ici les démostratios qe vos avez officiellemet des faire e cors (das le programme) Il est importat de préciser qe cela e sigifie e ac cas q il e faille

Plus en détail

Dentaurum Boutique en ligne. www.dentaurum.fr. plus rapide plus ergonomique plus simple

Dentaurum Boutique en ligne. www.dentaurum.fr. plus rapide plus ergonomique plus simple FR Dentarm Botiqe en ligne www.dentarm.fr pls rapide pls ergonomiqe pls simple shop.dentarm.fr Votre adresse por l orthodontie, les implants et la prothèse dentaire sr Internet Décovrez la botiqe en ligne

Plus en détail

Calcul de rayon de convergence concret

Calcul de rayon de convergence concret [http://mp.cpgedpydelome.fr] édité le 24 septembre 206 Eocés Calcl de rayo de covergece cocret Exercice [ 0097 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : (a) 0 2 + 3 z (b) 0 e 2

Plus en détail

Elle est associative, commutative et son élément neutre est la suite nulle notée 0

Elle est associative, commutative et son élément neutre est la suite nulle notée 0 Chapitre 9 : Sites mériqes-résmé de cors 1. Gééralités 1.1 Défiitio et exemples Déf: O appelle site tote applicatio de das. Si la site est otée, l'image de est oté pltôt qe (). O otera idifféremmet la

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Rappels : valeurs remarquables du cosinus. Le produit scalaire dans le plan (1) Expression trigonométrique. 1 ère S.

Rappels : valeurs remarquables du cosinus. Le produit scalaire dans le plan (1) Expression trigonométrique. 1 ère S. ère S Le prodit sclire dns le pln () Expression trigonométriqe Rppels : lers remrqbles d cosins ngle en degrés Pln d chpitre : x 0 0 45 60 90 0 5 50 80 I Définition d prodit sclire de dex ecters cos x

Plus en détail

Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure.

Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure. Estmto des certtdes sr les errers de mesre. I. Itrodcto : E sceces epérmetles, l este ps de mesres ectes. Celle-c e pevet être q etchées d errers pls o mos mporttes selo le protocole chos, l qlté des strmets

Plus en détail

7 Fonctions d une variable réelle

7 Fonctions d une variable réelle 7 Foctios d ue vrile réelle 7.1 Cotiuité Pour ce chpitre les référeces clssiques ([Liret Mrtiis, Lelog-Ferrd Arudiès, Moier Alyse, Rmis Deschmps Odou] etc. ) 7.1.1 Défiitios des limites et cotiuité O défiit

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

BAC BLANC de MATHEMATIQUES TS

BAC BLANC de MATHEMATIQUES TS BAC BLANC de MATHEMATIQUES TS Décembre 205 Lycée Jea Calvi - Noyo Exercice Das cet exercice, les probabilités serot arrodies a cetième. Partie A U grossiste achète d soja chez dex forissers. Il achète

Plus en détail

Guides d installation 300-012-581 Rév. 03

Guides d installation 300-012-581 Rév. 03 EMC Matériel VNXe3300 dans les environnements compatibles NEBS Gides d installation 300-012-581 Rév. 03 Les composants d système de stockage EMC VNXe3300 sivants ont passé avec sccès la site de tests de

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

CHAPITRE V. Suites et séries de fonctions.

CHAPITRE V. Suites et séries de fonctions. CHAPITRE V Suites et séries de foctios. I - Covergece simple d ue suite de foctios : le problème de l iterversio des ites. II - Covergece uiforme d ue suite de foctio : le théorème d iterversio des ites.

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Les puissances à exposants négatifs

Les puissances à exposants négatifs CHAPITRE Les puissces à exposts égtifs. Itroductio : les puissces de Nous coissos bie l ottio où est u etier positif : E géérl : ( ) 0 8 6 N... fcteurs Rerquos qu'il y ue reltio évidete etre deux puissces

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

CHAPITRE VI SUITES EXERCICES. ) rectangle en P 1 tel que CP. , etc. par récurrence et une formule explicite de cette suite.

CHAPITRE VI SUITES EXERCICES. ) rectangle en P 1 tel que CP. , etc. par récurrence et une formule explicite de cette suite. e B Chapitre VI Sites CHAPITRE VI SUITES EXERCICES ) Doez e défiitio géérale (explicite o par récrrece) des sites dot les premiers termes sot : a),,,, 4 b),, 5, 8, c) 4,,,, 4 5 d) 0,, 4, 9, e) 7, 6, 4,,,

Plus en détail

Théorème de convergence dominée

Théorème de convergence dominée [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le juillet 4 Eocés Théorème de covergece domiée Eercice [ 9 ] [correctio] Clculer les ites des suites dot les termes gééru sot les suivts : ) u = π/4 t b) v = + e Eercice

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Augmentation de capital - Comptabilisation

Augmentation de capital - Comptabilisation Ctluppi & Hug AG Softwre d Augmettio de cpitl - Comptbilistio Descriptio Ue ugmettio de cpitl est ue ugmettio du cpitl ctio d'ue société oyme pr émissio de ouvelles ctios. Il existe différetes formes d'ugmettio

Plus en détail

Intégration et calcul de primitives

Intégration et calcul de primitives École polytechique Itégrtio et clcul de primitives Tble des mtières Les foctios usuelles. Foctios primitives et foctios réciproques................... Les foctios logrithme et epoetielle......................3

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

6.1. Les fonctions exponentielles x q n avec q>0

6.1. Les fonctions exponentielles x q n avec q>0 6. Foctios potills L foctio 6.. Ls foctios potills vc >0. Défiitio : st foctio défii sr. S cor rprésttiv st ot rlit pr li coti t rélièr ls poits d coordoés ( ) foctio st pplé foctio potill d s. Cs > Cs

Plus en détail

Chapitre 7 : Racines carrées

Chapitre 7 : Racines carrées Chpitre : Rcies crrées. Itroductio, défiitios et eemples Scht que les crreu ci-dessous ot comme dimesios cm, costruisez ) u crré A d ire égle à 9 cm ; c) u crré C d ire égle à cm ; ) u crré B d ire égle

Plus en détail

arlesrsuitesraurbacr2013r==corriges=z

arlesrsuitesraurbacr2013r==corriges=z arlesrsuitesraurbacrr==corriges=z Frace métropolitaie septembre 5 poits 7 La foctio x x, ratioelle, est dérivable sr tot itervalle cote das so esemble x de défiitio * doc f est dérivable sr ] ; + [ et,

Plus en détail

SUITES. ) définie pour tout entier naturel n par : =. Calculer les trois premiers termes de la suite. ) définie par : MATHOVORE.FR

SUITES. ) définie pour tout entier naturel n par : =. Calculer les trois premiers termes de la suite. ) définie par : MATHOVORE.FR SUITES I Calcls de termes Exercice : O cosidère la site ( ) défiie por tot etier atrel par : a) Calcler,, b) Calcler,, c) Calcler les trois premiers termes de la site 5 Exercice : O cosidère la site (

Plus en détail

Repérage et vecteurs

Repérage et vecteurs Repérage et ecters Chapitre 10 page 241 Introdction : Rappels por démarrer : Page 241 I-Egalité de ecters 1- Détermination d'n ecter. Un ecter non nl est déterminé par : - sa direction ; - son sens ; -

Plus en détail

LES SUITES NUMERIQUES

LES SUITES NUMERIQUES LES SUITES NUMERIQUES I. Défiitio - Vocablaire - Notatios O appelle site mériqe tote foctio d'e partie P o ide de, das est le terme d'idice de la site. C'est l'image par de (o arait p la oter () mais est

Plus en détail

TRANSLATION ET VECTEURS

TRANSLATION ET VECTEURS TRNSLTION ET VETEURS 1 sr 17 ctivité conseillée ctivités de grope La Translation (Partie1) http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/trans_gr1.pdf La Translation (Partie2) http//www.maths-et-tiqes.fr/telech/trans_gr2.pdf

Plus en détail

SUITES - Cours. a a. C est donc une liste de nombres. On peut noter les éléments de la liste comme suit :... On appelle u. u (avec n N ).

SUITES - Cours. a a. C est donc une liste de nombres. On peut noter les éléments de la liste comme suit :... On appelle u. u (avec n N ). Cors de Mathématiqe S CHAPITRE N Partie : Algebre & Aalyse SUITES - Cors D abord qelqes petits rappels : a = a = a m m a a = a + ( )( ) a m = m a a = b b a + a a = a si a, alors a a a a = + a m = a m Notio

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Prodit scalaire das l'espace I) Norme d' ecter das l'espace : défiitio : Soit ecter de l'espace. Soiet dex poits et tels qe =. La orme de otée est la distace. = propriété : L'espace est mi d' repère orthoormé

Plus en détail

Polynômes de Bernstein

Polynômes de Bernstein Polyômes de Berstei Sergei Nataovic Berstei est é e 1880 et est mort e 1968. 1) Défiitio. Soit f ue foctio défiie et cotiue sur [0, 1] à valeurs das. Pour etier aturel o ul doé, le -ième polyôme de Berstei

Plus en détail

Exercices sur les suites (révisions de 1 ère et compléments)

Exercices sur les suites (révisions de 1 ère et compléments) T O cosidère la site Exercices sr les sites (révisios de ère et complémets) défiie sr par cos Étdier le ses de variatio de la site par étde de foctio Idicatio : O commecera par défiir e foctio f défiie

Plus en détail

Calcul intégral. 1 Aire sous une courbe 2

Calcul intégral. 1 Aire sous une courbe 2 Clcul itégrl Tble des mtières Aire sous ue courbe 2 2 Défiitios 3 2. Foctio cotiue et positive sur u itervlle.............................. 3 2.2 Foctio cotiue de sige quelcoque..................................

Plus en détail

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral...

Chapitre 1 Calculs algébriques dans... 3. Chapitre 2 Logique... 27. Chapitre 3 Fonctions numériques... 41. Chapitre 4 Calcul intégral... Avt-propos Cet ouvrge est coçu pour permettre u étudits des clsses préprtoires ECE d order leur première ée ds les meilleures coditios e fcilitt l trsitio vec l eseigemet secodire Aisi, l ojectif est i

Plus en détail

Suites et séries d applications

Suites et séries d applications Chpitre 3 Suites et séries d pplictios Ds tout ce chpitre,, b R vec < b (ou évetuellemet, et/ou b + ). Pour N, : [, b] R ou C sot des octios déiies sur l itervlle [, b] (ou R ou [, b] ou [, + [). 3. Covergece

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

4. Puissances et racines

4. Puissances et racines PUISSANCES ET RACINES 4. Puissces et rcies 4.. Puissces à exposts etiers Défiitio L puissce ième d'u ombre réel est u produit de fcteurs tous égux à : =, =, etc. O dit que est l bse de l puissce et l'expost.

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

TS Exercices sur les suites (2) 10 Soit u n

TS Exercices sur les suites (2) 10 Soit u n TS Exercices sr les sites () Soit la site défiie sr * par Soit e site défiie sr Tradire sos la forme d e phrase qatifiée la propriété «coverge vers» O cosidère e site défiie sr Tradire e termes de limites

Plus en détail

Exo7. Trigonométrie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Trigonométrie. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Trigoométrie Exercices de Je-Louis Rouget Retrouver ussi cette fiche sur wwwmths-frcefr * très fcile ** fcile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourble T : pour trviller

Plus en détail

Calcul d aire et intégrale

Calcul d aire et intégrale Clcul d ire et itégrle Tle des mtières I Activité d itroductio 1 II Défiitio de l itégrle 2 1 Itégrle d ue foctio cotiue et positive................................ 2 2 Itégrle d ue foctio cotiue et égtive...............................

Plus en détail

Centrale PSI 1 un corrigé

Centrale PSI 1 un corrigé Cetrle PSI u corrigé L foctio Γ. I.A. f : t t e t est cotiue sur R + ; les seuls problèmes d itégrbilité sot u voisiges de et de +. - Au voisige de, f (t) t est itégrble si et seulemet si < (foctios de

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

CAPES EXTERNE. Partie I : Première approche de la constante d Euler

CAPES EXTERNE. Partie I : Première approche de la constante d Euler SESSION 2 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Prie I : Preière roche de l cose d Euler Soi N L focio es coiue e décroisse sur ],+ [ e doc sur [,+] Doc our ou réel de [,+], o + D rès l iéglié, o O e dédui que +

Plus en détail

1S 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 (2 heures)

1S 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 (2 heures) S : DEVOIR SURVEILLÉ N 8 ( heres) Exercice ( poits) Calcler les sommes sivates : S + + 3 +... + + et S + + 3 +... + 8 +. Exercice (3 poits) La site ( ) est arithmétiqe de raiso r. O sait qe 5 46 et 86..

Plus en détail

Fonctions - Dérivation

Fonctions - Dérivation Termiale S Dériatio Chapitre 4 Foctios - Dériatio I- Dériabilité f est e foctio défiie sr D f (iteralle o réio d iteralles C f est sa corbe représatie Foctio dériable e a Nombre dérié Défiitio (Rappels

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

INTENTION LES PROCESSUS MATHÉMATIQUES

INTENTION LES PROCESSUS MATHÉMATIQUES INTENTION Adpttios u Cdre commu des progrmmes d études de mthémtiques M-9 telles que reflétées ds le documet Mthémtiques M-9 : Progrmme d études de l Albert (2007) Le coteu du documet Mthémtiques M-9 :

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

on note cette suite par ( u. Exemple concret:on peut considérer une suite comme une suite infinie de nombres réels : n+1 u n = un

on note cette suite par ( u. Exemple concret:on peut considérer une suite comme une suite infinie de nombres réels : n+1 u n = un I-Défiitios, vocablaire I- : Notio de site : Défiitio : e site d élémets d esemble A est e foctio de N vers R dot l esemble de défiitio est d type A R Si AR, o dit alors qe cette site est e site réelle

Plus en détail

1. Justifier que l intégrale I est l aire d une partie du plan que l on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

1. Justifier que l intégrale I est l aire d une partie du plan que l on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). Atilles-ue septembre 0 EXERCICE poits Commu à tous les cdidts O cosidère l foctio f défiie ] 0 ; + [ pr : f () = l Prtie A : Étude d ue foctio Détermier l limite de l foctio f e + b Détermier l limite

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Dérivées des fonctions de référence Du nombre dérivé à la fonction dérivée. 1 ère S. f a h f a k k h h. Objectifs : f a h f a lim 0

Dérivées des fonctions de référence Du nombre dérivé à la fonction dérivée. 1 ère S. f a h f a k k h h. Objectifs : f a h f a lim 0 ère S Objectifs : Dérivées des foctios de référece Du ombre dérivé à l foctio dérivée Poursuivre l objet d étude des deu cpitres précédets : l tgete à ue courbe Psser de l otio de ombre dérivé à l otio

Plus en détail

Suites numériques : une activité pour les introduire

Suites numériques : une activité pour les introduire Sites mériqes : e activité por les itrodire Cette activité imagiée por e classe de première STAE pet, e la simplifiat, être tilisée e Bac Pro. Avat de passer à la site échaffemet!. O doe les trois premiers

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail