La spirale de Théodore bis, et la suite «somme=produit».

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1 Etde d e vrite de l spirle de Théodore, dot issce à e site dot les sommes prtielles sot égles x prodits prtiels. Mots clés : spirle de Théodore, théorème de Pythgore, site, série, polyôme. L spirle de Théodore bis, et l site «somme=prodit».. Le problème. L exercice «de ci de là» N 54-4 éveillé m criosité, et je sohite vos fire prtger qelqes petits complémets, otmmet sr e étote site dot l somme est égle prodit. figre Voici l éocé : Ds le simili-escrgot de Pythgore ci-desss, les hters reltives x hypotéses mesret e ité. Les désiget les mesres des segmets. Motrer qe = = = Voici e soltio : Post OA. =, Pythgore ds le trigle ( OA A ) os dit : =, ce dot o dédit, e itért : = 0... = Mis l hter de loger décope dex trigles dot l somme des ires est égle tot. E mltiplit pr o obtiet : =, ce qi doe, e itért : =... = = =. O e dédit bie qe = =. L site «somme = prodit». L site ( ) est doc telle qe ses sommes prtielles sot égles à ses prodits prtiels! Voyos si l o pet défiir cette site idépedmmet de l géométrie. O voit tot de site qe si l o vet e site à termes >0, il ft prtir d 0 = >.

2 Spposos mitet qe 0,,..., soiet costrits vec s = = p = tos > i i i= 0 i= 0 s por etre 0 et. Alors s = p doe s = s, soit = 0 s > et o r bie s = p >. Por premier terme >, il existe doc e iqe site «somme=prodit» défiie pr K = récrrece forte pr =. = K L foctio Mple : :=->if =0 the else s:=dd((),=0..-): retr(simplify(s/(s-))) fi; 4 os doe ses premiers termes :,,,, Remrqos qe ds le progrmme ci-desss, o pet doc remplcer dd pr ml! Cepedt, le logiciel v rmer pe pls por les simplifictios. Mitet, l défiitio pr récrrece forte d e site pet sovet être rmeée à e défiitio pr récrrece simple. Pr exemple, = os doe tot de site =. Ici, c est pe pls complexe, mis o v y rriver. E effet il sffit d élimier s etre les reltios s = s et s = s. O obtiet = D où e foctio Mple pls simple : =, vlble selemet por. :=->if =0 the elif = the /(-) else simplify((-)^/((-)^-(-))) fi; x L étde fcile de l foctio x x x sr [, [ os permet de coclre qe l site décroît et ted vers à l ifii, qel qe soit so poit de déprt. ( ) De pls, l exme des premiers termes os lisse peser qe est le qotiet de polyôme e. pr

3 Posos doc P ( ) =, et ijectos ds l reltio ( ) ( ) ( ) =. O obtiet P = P P, ce qi os permet de démotrer pr récrrece qe = où P est polyôme itire à coefficiets etiers de degré P ( ). Je e sis ps si cette site de polyômes est coe, mis j i retré les premiers termes de l P ds l ecyclopédie des sites etières et sis tombé sr l A0044 défiie ( ) site ( ) comme sit : Cosider the seqece of frctios f() defied by: f() = /; f() is chose so tht f() Sm_{i=..} f(i) = f() * Prodct_{i=..} f(i); seqece gives deomitor of f(). C est bie otre site vec =! J i essyé les vlers de sivtes et j i costté q P certi Mrti Reer retré le 30 vril 03 ds l ecyclopédie totes les sites ( ) por de 3 à 0 Mis, à propos, le fit qe «seqece gives deomitor of f() impliqe qe l frctio P ( ) est irrédctible por =. E effet, ceci est ssrémet vri si est premier ; l reltio P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) =, ( ) = motre ds ce cs qe pisq o prt de P est jmis divisible pr. 3. L spirle de Théodore bis. Mis reveos à otre escrgot. Si l o trce pe pls de poits, o obtiet cette spirle : figre Elle ressemble à e spirle d Archimède, regrdos cel de pls près. Clclos por cel les coordoées polires de A.

4 Avec 0 =, o doc =, et o v qe... = ; cette expressio étt ps prtiqe, refisos pe de géométrie. Soit H le pied de l hter isse de A ds le trigle ( OA A ) ; yt gle e comm, les trigles rectgles ( OA A ), ( ) : OH = =, d où = OH A sot semblbles doc, et = = site récrrete simple. L gle α = A OA vérifie siα = = ; doc l gle polire de A est θ = α = rcsi. = = 0 Etdios pls vt l site ( ), vislisée ci-dessos :. De ove e figre 3 4 Elle ted cliremet vers l ifii, et l reltio = = ted vers et qe doc (Césro) ~, ~. motre qe O doc α = rcsi ~, et pr l règle de sommtio des éqivlets θ = rcsi ~ ~, doc ~ = 0 = θ : l spirle est bie d type «Archimède» (l ppelltio «escrgot» est doc idéqte, cr le gstéropode e coqille e spirle d type logrithmiqe!). Cherchos s il y e spirle d Archimède symptote, c est-à-dire si limite fiie. θ possède e Ecrivos θ = rcsi = = 0.

5 L covergece de = vers ζ ( / ) est bie coe. Por les dex tres termes, il v flloir ffier le développemet symptotiqe de. Si o pose v =, l récrrece sr v s écrit v = v v ; doc v v ~ et v ~ ~ l = ; doc ( ) l l = l o l = o. l Doc 0, et rcsi ~, terme géérl d e série de Bertrd 3/ covergete. Il y doc bie e spirle d Archimède symptote! 4. L spirle de Théodore clssiqe. Il ft dire qe si mo ttetio été ttirée pr cet éocé, c est prce qe je veis de corriger ds mo site mthcrve.com e errer qi y étit restée pls de 0 s. Ds l spirle de Théodore clssiqe ce e sot ps les hters A H qi vlet, mis les côtés A A. Or j vis cofod vec e troisième versio où ce sot les gles ( AOA ) qi sot égx. Ce qi est remrqble, c est qe ds ce cs, l spirle est d type logrithmiqe! L spirle de Théodore clssiqe est ssi d type «Archimède», et l démostrtio est d même ordre qe celle qe os veos de fire, e pls fcile cr o cette fois =. Rppelos d illers q o ttribe à Théodore de Cyrèe l costrctio de cette spirle de mière tot à fit idirecte : ce mthémticie d Vème siècle vt J.C. s étit rrêté à 7 ds s démostrtio de l icommesrbilité des rcies crrées d etier, or 7 est jstemet l derière étpe vt qe l spirle e repsse sr elle-même, comme o voit cidessos :

6 (figre 4 : sorce : wiipedi) 5. Des référeces. J i essyé de rechercher qi e l idée de l spirle de Théodore bis. Le problème d blleti est tiré d crx mthemticorm cdie volme 30 de 003, problème M4. Il est idiqé : proposé pr Seymc Jfri, Ir. O trove cette persoe sr liedi, mis je i ps réssi à l cotcter. Appel x lecters d blleti! D tre prt, l site e prtt de =, possède des mérters etiers qi se trovet ds l ecyclopédie des sites etières sos le méro A L site σ = / vérifie l récrrece pls simpleσ = σ σ (elle se trove depis logtemps ds mes exercices sr les sites!) qe l ecyclopédie désige sos le om de «Somos-Rsi recrsio». O trove e effet l référece qi regrope échge de mils etre les dex hommes drt l ée 999 sjet de cette site. O y trove le résltt complétt le développemet symptotiqe ci-desss : l l = l c o où c = 0, Merci, doc, x exercices de ci de là d voir iitié cette blde ds l géométrie d trigle rectgle, les sites, les séries, les polyômes, et même sopço d rithmétiqe!

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