Le raisonnement par récurrence, un outil puissant de démonstration

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1 TS Le raisoemet par récurrece, u outil puissat de démostratio I. Itérêt ) Exemple 0 0 u est la suite défiie par u u 2u (suite récurrete ; suite «arithmético-géométrique» ; o e coaît pas l expressio du terme gééral e foctio de ). Calculos les premiers termes de cette suite u Cojecture : Il semble que l o ait pour tout etier aturel, u 2 (cf. passage du mode récurret au mode explicite pour ue suite). 2 ) Problème Si l o ote pour la phrase P() : «u 2», o vérifie facilemet que P(0), P(), P(2) P(7) sot vraies. Pour démotrer que la phrase est toujours vraie, o e peut pas se coteter de quelques vérificatios, aussi ombreuses soiet-elles. Pour cela, il faudrait disposer d u raisoemet qui permette e u ombre fii d étapes de motrer que la phrase P() est vraie pour tous les etiers aturels (qui sot ue ifiité). Le raisoemet par récurrece permet précisémet d opérer «le passage du fii à l ifii» (selo la formule célèbre d Heri Poicaré). 3 ) Autre approche O a déjà utilisé u type de raisoemet appelé raisoemet de «proche e proche» qui permet d établir des propriétés sur le sige des termes d ue suite ou des majoratios-mioratios (par cotre, pas pour des ses de variatio). Le raisoemet par récurrece va permettre de formaliser ce type de raisoemet.

2 II. Théorème de récurrece ) Éocé (admis sas démostratio) P() est ue phrase mathématique dépedat d u etier aturel. O suppose que les deux coditios suivates sot vérifiées : C : P(0) est vraie C 2 : Si la phrase P() est vraie pour u etier aturel fixé alors la phrase P( + ) est vraie. Das ce cas, o peut affirmer que la phrase P() est vraie pour tout etier aturel. Schéma : P(0) est vraie P() P( + ) vraie Alors, pour tout etier aturel, P () est vraie. 2 ) Vocabulaire C : «iitialisatio» C 2 : «hérédité» - «trasmissibilité» - «propagatio» 3 ) Extesio (phrases vraies à partir d u certai rag) Lorsque P 0 est vraie P() P( + ) vraie Alors pour tout etier aturel 0, P() est vraie. III. Explicatio du pricipe ) Barreaux d ue échelle Si l o peut mettre u pied sur u barreau de l échelle (le barreau 0 ) et si l o peut passer d u barreau quelcoque au suivat, alors o peut gravir tous les barreaux de l échelle à partir du barreau 0. 2 ) Domios O peut aussi doer l image de domios qui tombet les us après les autres. 2

3 3 ) Remarques La partie «iitialisatio» est très importate ; il existe des phrases qui sot héréditaires mais pas vraies au rag iitial. La partie «hérédité» utilise u mode de raisoemet déductif. O peut avoir l impressio que l o part du résultat pour démotrer le résultat. Ce est évidemmet pas du tout le cas. IV. Exemple de mise e œuvre d u raisoemet par récurrece u0 u est la suite défiie par. u u 2 Démotrer par récurrece que pour tout etier u 2. 3

4 Rédactio Démotrer par récurrece que pour tout etier, o a : u 2. Pour o défiit la phrase P () : «u 2». Iitialisatio : Vérifios que P (0) est vraie. u0 par hypothèse doc u 0 2. D où P (0) est vraie. Hérédité : Commetaires Le résultat d ue récurrece : «pour tout» ou «pour tout 0» O doe u om à la phrase mathématique. Elle découle toujours de l éocé qui est doé. Trascriptio de la phrase P (0). O sait qu u tel etier existe ( = 0). Cosidéros u etier aturel tel que la phrase P() soit vraie c est-à-dire u 2. Démotros qu alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire u 2. Par hypothèse de récurrece, o a : u 2 d où u O part de O veut arriver à u 2 (hypothèse de récurrece) u u 2 2. u 2 2 Il faut «icruster» 2 et. u 2 Doc P est vraie. Coclusio : O a démotré que P (0) est vraie et que si P() est vraie pour u etier aturel, alors P( + ) est vraie. Doc, d après le théorème de récurrece, la phrase P () est vraie pour tout etier aturel. Coditios C et C 2 du théorème. Cela marche comme des domios qui tombet les us après les autres. P (0) vraie P () vraie P (2) vraie 4

5 (E gros le «pour tout» e marche qu avec le!) Il est importat de compredre que le «pour tout» est quelque chose que l o «gage» à la fi de la démostratio. O suppose que compredre). P est vraie doc o a le droit d utiliser E revache, o a pas le droit d utiliser que P das la suite (idée fodametale à P est vraie (puisque c est ce que l o veut démotrer). V. Autre exemple de mise e œuvre d u raisoemet par récurrece u est la suite défiie par u0 0 u 2u (reprise de l exemple du I). Démotrer que pour tout etier aturel, o a : u 2. Pour o défiit la phrase P () : «u 2». Iitialisatio : Vérifios que P (0) est vraie. 0 u0 0 par hypothèse doc u0 2. D où P (0) est vraie. Hérédité : Cosidéros u etier aturel tel que la phrase P() soit vraie c est-à-dire u 2. Démotros qu alors la phrase P( + ) est vraie c est-à-dire u 2. Par hypothèse de récurrece, o a : u 2 d où u Par suite, 2 2 u 2 (e effet : d après les règles sur les puissaces) u 2 Doc P( + ) est vraie. Autre rédactio : u 2u u 2 2 u u

6 Coclusio : O a démotré que P (0) est vraie et que si P() est vraie pour u etier aturel, alors P( + ) est vraie. Doc, d après le théorème de récurrece, la phrase P () est vraie pour tout etier aturel. VI. Remarques ) Remarque historique Pascal est le premier mathématicie à avoir fait u raisoemet par récurrece pour démotrer ue propriété («raisoemet iductif»). 2 ) Rédactio à bie respecter le protocole. (beaucoup de rédactio, aucu quatificateur). 3 ) Quelles propriétés peut-o démotrer par récurrece? - Avec des suites O pourra démotrer éormémet de résultats : mioratios, majoratios, ses de variatios, expressio du terme gééral d ue suite, formules sommatoires etc. - Sas des suites (cf. ex.) Propriétés des etiers aturels par exemple. Ne pas écrire de raccourci du type P (0) = 3. VII. Appedice : remarques sur le symbole ) Quelques formules u désige ue suite. u u u u u u u u u u u u u

7 2 ) Utilisatio : formules sommatoires Voir exercices. 7