( ) = b. Chapitre 5 : Fonction logarithme népérien. I. Fonction logarithme népérien. 1. Définition et propriétés

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1 Chapitre 5 : Fonction logarithme népérien I. Fonction logarithme népérien 1. Définition et propriétés La fonction exponentielle est strictement croissante sur! à valeurs dans 0;+, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a > 0, l'équation e x = a admet un unique solution sur!. Définition Pour tout réel a > 0, l'équation e x = a admet un unique solution sur! appelé logarithme népérien de a, et noté x = ln a. On définit ainsi sur 0;+ la fonction logarithme népérien : ln : 0;+! x " Si a état réel strictement positif et b un réel, alors on a : e b = a b = ln a. Pour tout réel strictement positif a : e ln a = a. Pour tout réel b : ln e b Remarques ( ) = b. lne = 1 et ln1= 0. La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques. Leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. 1

2 2. Variations et limites La fonction ln est continue sur 0;+. La fonction ln est dérivable sur 0;+ et pour tout réel x > 0, ( ln)' ( x) = 1 x. La fonction ln est strictement croissante sur 0;+. La fonction x! e = x est définie et dérivable sur 0;+. On a : ( e )' = 1, c'est-à-dire ( )' e = 1. Autrement dit ( )' x = 1, d où ( )' = 1 x. Comme x > 0, alors 1 x > 0, c'est-à-dire ln est strictement croissante sur 0;+. lim = et lim = +. Tableau de variation Représentation graphique Soit a et b deux réels strictement positifs. ln a = lnb a = b et ln a < lnb a < b En particulier : ln a < 0 0 < a < 1 ln a = 0 a = 1 ln a > 0 a > 1. Exercice 1 1. Résoudre dans! l inéquation suivante : Résoudre dans! l'équation suivante : ( ) 2. ( ) = 0. 2

3 2. Résoudre dans! l'inéquation suivante : ln( x 2 x 2) > 2ln( 3 x). Exercice 2 Soit f la fonction définie sur 0;+ par f x 1. Calculer f '( x). 2. Étudier le signe de f ' x ( ) ( = ) 2 ( ) et construire le tableau de variation de f. x. II. de la fonction ln 1. algébriques Pour tout réel a > 0 et b > 0, on a : ( ) = ln a + lnb 2. ln 1 a 1. ln a b = ln a 3. ln a b = ln a lnb 4. ln( a ) = 1 ln a 5. ln( an ) = nln a, avec n un entier relatif. 2 ln a b 1. e ( ) = a b = e ln a e lnb = e ln a+lnb. Donc ln( a b) = ln a + lnb. 2. ln 1 a + ln a = ln 1 a a = ln1= 0. Donc ln 1 a = ln a. 3. ln a b = ln a 1 b = ln a + ln 1 = ln a lnb. b 4. 2ln a ( ) = ln( a ) + ln( a ) = ln( a a ) = ln a donc. ln( a ) = 1 2 ln a. 5. par récurrence. ( ) = ln1= 0 = 0 ln a. ( ) = nln a. ( ) = ln( a n a) = ln( a ) n + ln a = nln a + ln a = n +1 Pour n = 0, ln a 0 Supposons qu'il existe un entier n tel que ln a n ln a n+1 Exercice 3 ( )ln a. Vrai pour n Écrire les réels suivants à l aide de ln2 et de ln3 : A = ln144 B = ln81+ ln( 3 3) 2. Simplifier les expressions suivantes : C = ln ( 3 +1) 18 + ln ( 3 1 ) 18 ( D = x) ( x). 3

4 2. Croissances comparées Théorème 1. lim 2. lim x = 0 et pour tout entier non nul n, on a lim x n = 0 x = 0 et pour tout entier non nul n, on a lim x n = 0 1. Posons X =. Ainsi e X = x, et donc x = e X X = Xe X. lim = donc par composée de limites on a lim lim Xe X = 0 x = 0. X 2. De même x = X e X et Remarque lim = + X lim X + e = 0 X donc par composée de limites on a lim x = 0. En cas de forme indéterminée, les puissances de x l'emportent sur la fonction ln. Propriété ln( 1+ x) lim = 1. x La fonction ln est dérivable en 1, et on a ln' 1 ln( 1+ h) lim = lim h 0 h h 0 ( ) ln1 h ln 1+ h = ln' ( 1) = 1. ( ) = 1 1 = 1 Exercice 4 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x ( ) 2. lim x 1 x 1 4. lim x ( ) lim ( ) ln 1+ 2x 6. lim 3x (poser X = 2x ). x ln 1+ 3 x (poser X = 3 x ). 3. lim x 1. 4

5 3. Fonction lnu Soit u ne fonction dérivable strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction lnu est dérivable et on a : ( lnu)' = u' u. Exercice 5 Soit f la fonction définie sur 0;+ par f ( x) = x Calculer les limites de f en 0 et en +. Interpréter ces résultats. 2. Calculer f '( x), étudier son signe et donner le tableau de variations de la fonction f. 3. En déduire le signe de f ( x). 4. Soit C la courbe représentative de la fonction ln. Soit T la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1. Déterminer une équation de la droite T. 5. Quelle est la position de la courbe C par rapport à la tangente T? Exercice 6 f est la fonction définie sur 0;+ par : f x dans un repère. 1. a. Étudier les limites de f en 0 et en +. b. Déterminer la fonction dérivée de f. c. Dresser le tableau de variation de f. 2. a. Montrer que, pour tout x > 0, f x b. Déterminer lim f x ( ) = ln e x 1 ( ), C f est sa courbe représentative ( ). ( ) = x + ln 1 e x ( ) x. Interpréter le résultat. ( ) d'équation y = x. c. Étudier la position de C f par rapport à la droite D 5