CCP-Maths-1-Session 2015

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1 CCP-Mths--Sessio 5 Correctio CCP-Mths--Sessio 5 Correctio proposée pr El Amdoui École Royle de l Air-Mrrech.Mroc Exercice I. I.. L foctio géértrice de X est doée pr : t [,] G X (t E ( t X L espérce de X est E(X G X ( λ L vrice de X est doée pr t P(X V(X G X(+G X( G X( Avec G X ( λ. Doc, près substitutio, V(X λ t λ! e λ e λ(t Exercice II. O ote I ],+ [ et o défiit pour etier turel o ul et pourx I, f e x e x II.. Soit N. L foctio f est défiie et cotiue sur I ],+ [. E, l foctio f est prologeble pr cotiuité e, voir que f ( E +, o f (x, + doc f est itégrble sur I et E coséquece ( II.. Soit x I, l série x f (tdt f (tdt [ e x + e x ] + x + f (x est combiiso liéire de deux séries géométriques e x et e x et chcue est de riso ds ],[, doc elle est coverget et s somme est l combiiso de deux sommes, c est-à-dire S(x e x e x e x e x e x e x e x e x ex + e x e x ex e x e x + L pplictio S : x I e x est cotiue sur I, prologeble pr cotiuité e et ( + S(x e x + x, doc S est itégrble sur I ( + f (x dx e x dx +e x [ l ( +e x] + l elmdoui@gmil.com

2 CCP-Mths--Sessio 5 Correctio II.3. L série ( f (x dx est forcémet divergete cr sio les ssertios du théorème de covergece domiée serot vérifiées et e coséquece o ur l églité ( ( + + f (tdt f (x dx Problème Prtie I: Exemples et cotre-exemples III.. S il existe ue suite de foctios polyômes (P coverget uiformémet sur ],] vers h. Ue telle suite est de foctios cotiues et doc pour tout N, P dmet ue limite fiie e qui vut P (, o coclut, isi que l suite (P ( est covergete, l foctio h dmet ue limite fiie e + et lim P ( lim h(x. Ce qui est bsurde + x + III.. P N est u sous-espce de dimesio fiie de l espce vectoriel ormé C([,b],R, doc c est u espce est complet. E prticulier, il est fermé. E coséquece ue limite uiforme d élémets de P N est u élémet de P N (III.. l pplictio N est bie défiie sur R[X] à vleurs positives, vérifit pour P,Q R[X] et λ R N (P, doe P est ul sur [, ], pr ifiité de rcies, il est ul prtout N (λp sup λp(t λ sup P(t λ N (P x [, ] x [, ] Pour tout t [, ], o P(t+Q(t P(t + Q(t N (P+N (Q (III..b Doc, l iéglité trigulire N (P +Q N (P+N (Q L foctio f est cotiue sur le segmet [, ], d près le théorème de Stoe Weierstrss il existe ue suite de foctios polyômes (P qui coverge uiformémet vers l foctio f sur [,]. N (P X N (P f P f [,], doc cette suite de polyômes (P coverge ds R[X] mui de l orme N vers X. De mêmen (P X 3 N (P f P f [,], doc cette suite de polyômes (P coverge ds R[X] mui de l orme N vers X Prtie II: Applictio : u théorème des momets m (III.. SoitP R[X], o écritp X. Pr liérité de l itégrle, pour tout polyôme, o : P (xf(xdx x f(xdx elmdoui@gmil.com

3 CCP-Mths--Sessio 5 Correctio (III..b L foctio f : x f(x est cotiue sur [,b]. Doc, d près le théorème de Weierstrss, il existe ue suite (P N coverget uiformémet sur [,b] vers f. Pour tout N et tout x [,b], e écrivt f (x f(xp (x f(x(f(x P (x et il e résulte que l suite (fp N coverge uiformémet vers f sur [,b]. D près le théorème d itégrtio des limites uiformes, il viet lors : f (xdx lim + f(xp (xdx L foctio f étt cotiue positive sur le segmet [,b] dítégrle ulle, doc f, isi l ullité de f III.3. Soit f F, lors pour tout N o (X f x f(xdx. D près l questio précédete f. Aisi F {} L églité E F F F est fsse cr elle existe des foctios cotiues sur [,b] ss qu elles soiet polyômes (III.3. Soit N, l pplictio x x e ( ix est cotiue sur [,+ [. E +, o x + e ( ix, doc l pplictio est itégrble sur [,+ [. x + Les deux pplictios x x + et x e ( ix sot de clsse C sur [,+ [ et x + e ( ix, doc pr ue itégrtio pr prties x + I + x + e ( ix dx ( e x + ( ix dx i [ x + e ( ix ]+ + + i } i {{ } + i I Pr ue récurrece simple sur N + Pour, o I e ( ix dx i Soit N, lors I + + x e ( ix dx i I. Or pr hypothèse de récurrece I il viet doc I + +! (+! i ( i + ( i + Récurrece chevée (III.3.b Soit N, o écrit i e i π 4 pour obteir ( i e i(+π ( + +! ( i +, D ue utre prt, l vleur de l itégrle demdée est l prtie imgiire de celle (4 +3! +3! de I 4+3. Mis, I 4+3 ( +(4 ( i R, doc x 4 e x x 3 sixdx (III.3.c L pplictio : u x 4 u est ue bijectio de clsse C de ],+ [ sur lui-même. Pr chgemet de vribles x 4 e x x 3 sixdx u e 4 u si ( 4 u du Aisi, l pplictio f : u e 4 u si( 4 u répod bie à l questio elmdoui@gmil.com 3

4 CCP-Mths--Sessio 5 Correctio (III.3.d Si f est uiformémet pprochée sur [,+ [ pr ue suite de polyômes (P N. O tire que ( P f N est mjorée et soit M u mjort d ue telle suite. E outre l foctio f vérifie, pr liérité de l itégrle, que O ussi N, l pplictio fp est cotiue sur [,+ [ l suite (fp coverge simplemet vers f qui est cotiue sur [,+ [ Pour tout x [,+ [, o P (xf(x P (xf(x f (x +f (x M f(x +f (x Avecf et f sot itégrbles sur [,+ [ Doc, d près le théorème de covergece domiée f (tdt lim + P (tf(tdt P (tf(tdt. Pr le lemme des trois coditios : f cotiue, positive d itégrle ulle, doc f, puis f Prtie III: Exemple vi u théorème de Dii III.4. g x est ue pplictio cotiue et dérivble sur I telle que t I, g x (t t x g x est doc croisste sur I et g x (I I, ce qui justifie l défiitio de (u. Motros d bord pr récurrece que N, u x x g x Pour, c est évidet. Soit N, o suppose que u x, lors pr l croissce de g x, o obtiet g x ( u + g ( x, vec g x ( x et g x( x x, o obtiet les iéglités u + x Filemet u + u ( x u, doc l suite (u est croisste et puisque elle est mjorée, elle coverge. E ott l s limite, il viet que l [, x] et pr cotiuité de g x, l g x (l. Cette derière équtio dmet ue seule solutio l x ds [, x] III.5. O pred [,b] [,] et pour, o cosidère l pplictio ffie pr morceux f défiie x si x [ ], x x+ si x [, ] si x [,] L suite (f de foctios cotiues coverge simplemet vers l foctio ulle. Puisque f (, l covergece est ps uiforme + III.6. Applictio : x O (III.6. Pour x [,], l suite (P (x coverge vers x. Aisi l suite de polyômes (P coverge simplemet sur [,] vers (III.6.b (P est ue suite croisste de foctios cotiues coverget simplemet sur [,] vers qui est cotiue sur [,]. Doc, d près le théorème de Dii, l covergece est uiforme x x elmdoui@gmil.com 4

5 CCP-Mths--Sessio 5 Correctio Prtie IV: Démostrtio du théorème d pproximtio de Weierstrss (III.6. Soit α >. O sit que E(S x et V(S x( x. Alors o fit ppel à l iéglité de Bieymé-Tchebychev, il viet P( S x > α V(S α x( x α Or pour tout x [,], o x( x 4, lors P( S x > α 4α (III.6.b Pr pplictio du théorème de Trsfert, o : ( ( S ( E f f P(S ( f C x ( x B (f(x (III.6. L foctio f est cotiue sur [, ] compct. D près le théorème de Heie, elle est uiformémet cotiue. Pour tout ε >, il existe α > tel que pour tous,b [,] b α f( f(b < ε ( Aisi pour tout [[,]] tel que x α, lors f f(x < ε (III.6.b Pr l iéglité trigulire, o ( ( ( ( f f(x P(S f + f(x P(S x >α x >α f P(S x >α ( S f P ( x >α S f P x > α (III.6.c O cosidère les deux esemblesi { [[,]] / x < α} etj { [[,]] / x α}. O I J [[,]] et I J. Doc : B (f(x f(x ( ( IC x ( x f f(x + JC x ( x f f(x ε C x ( x + f Cx ( x I ε + f Cx ( x ε + f J 4α Or N N tel que N f α ε Doc sup x [,] B (f(x f(x ε pour tout N, ce qui doe l covergece uiforme de B (f vers f sur [,]. J elmdoui@gmil.com 5