Récurrence ; Sommes, produits

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1 Récurrence ; Sommes, produts ECE3 Lycée Carnot 7 septembre 0 Pour ce trosème chaptre, un peu de théore, pusque celu-c va nous permettre de défnr quelques notatons et méthodes supplémentares qu nous seront ben utles par la sute (ou peutêtre devras-je dre plutôt pour les sutes, pusqu l s agt du premer thème fasant ntervenr de façon assez ntensve le symbole somme et les récurrences). Démonstraton par récurrence La démonstraton par récurrence est un schéma de démonstraton que nous utlserons extrêmement souvent cette année, et qu l est donc essentel de maîtrser parfatement. Réalser une bonne récurrence n est pas très complqué s on se force à ben en respecter la structure, la rgueur est donc de mse pour ne pas dre de bêtse! Proposton. Prncpe de récurrence : On cherche à prouver smultanément un ensemble de proprétés P n dépendant d un enter naturel n. On procède de la manère suvante, en respectant ces étapes qu devront être apparentes dans la rédacton de notre récurrence : Énoncé clar et précs des proprétés P n et du fat qu on va réalser une récurrence. Intalsaton : on vérfe que P 0 est vrae (habtuellement un calcul très smple). Hérédté : on suppose P n vrae pour un enter n quelconque (c est l hypothèse de récurrence) et on prouve P n+ à l ade de cette hypothèse (s on n utlse pas l hypothèse de récurrence, c est qu on n avat pas beson de fare une récurrence!). Concluson : En nvoquant le prncpe de récurrence, on peut affrmer avor démontré P n pour tout enter n. Exemple : On consdère la sute numérque défne de la façon suvante : u 0 et n N, u n+ +. On souhate prouver que cette sute est mnorée par, c est-à-dre que n N, u n u n >. Nous allons pour cela, ben évdemment, procéder par récurrence : Énoncé : Nous allons prouver par récurrence la proprété P n : u n >. Intalsaton : u 0 >, donc la proprété P 0 est vérfée. Hérédté : Supposons désormas P n vrae, c-est-à-dre que u n >, et essayons de prouver que u n+ >. C est en fat assez smple en partant de l hypothèse de récurrence : u n > u n > 0 u n > 0 u n + > u n+ >. Concluson : D après le prncpe de récurrence, la proprété P n est vra pour tout enter n. Remarque. Varatons du prncpe de récurrence : Le monde mathématque n étant pas parfat, une récurrence classque n est hélas pas toujours suffsante pour montrer certanes proprétés. Il faut donc être capable de modfer légèrement la structure dans certans cas :

2 s on ne cherche à montrer P n que lorsque n n 0 (n 0 étant un enter fxe dépendant du contexte), on peut toujours procéder par récurrence, mas en ntalsant à n 0. l est parfos nécessare que l hypothèse de récurrence porte non pas sur une valeur de n, mas sur deux valeurs consécutves. On peut alors effectuer une récurrence double : on vérfe P 0 et P lors de l étape d ntalsaton, et on prouve P n+ à l ade de P n et P n+ lors de l hérédté (on peut de même effectuer des récurrences trples, quadruples, etc. en fasant une ntalsaton trple ou plus, et en prenant une hypothèse de récurrence trple ou plus ; dans tous les cas on ne démontre qu une seule proprété lors de l hérédté). on peut même avor beson pour prouver l hérédté que la proprété sot vérfée pour tous les enters nféreurs. Dans ce cas, on parle de récurrence forte : le plus smple est de modfer la défnton de la proprété P n pour lu donner un énoncé commençant par k n. Ans, lorsqu on suppose P n vérfée, on a une relaton vrae pour toutes les valeurs de k nféreures ou égales à n (les plus malns d entre vous noteront d alleurs qu on peut toujours rédger une récurrence sous forme de récurrence forte, ça ne demande pas plus de traval et ça ne peut pas être mons effcace ; c est toutefos un peu plus lourd et déconsellé sauf nécessté). Sommes et produts. Sommes : notaton La somme est l opératon la plus élémentare qu sot en mathématques, vous l utlsez d alleurs fréquemment depus une bonne dzane d années mantenant. Mas autant sommer deux ou tros nombres est chose asée, autant l affare se complque quand on a beson de fare la somme d un grand nombre de termes (vore même d une nfnté, comme on le verra un peu plus tard). Plutôt que de recourr à des petts ponts à la fos peu rgoureux et neffcaces, on utlse une notaton un peu plus complexe au premer abord, mas qu smplfe grandement les calculs une fos maîtrsée. Problème ntroductf : L archtecte alexandrn Numérobs souhate contrure, pour la glore de sa rene Cléopâtre, une magnfque pyramde de 50 étages sur le modèle suvante : l étage supéreur est consttué d un seul bloc de perre, le deuxème de quatre bloc (un carré de deux blocs de côté), le trosème de neuf blocs (carré de tros blocs de côté), et ans de sute jusqu à l étage le plus bas, qu est donc consttué d un carré de 50 blocs de côté. Numérobs n étant pas très doué en calcul, l a peur de se tromper dans ses addtons ; exste-t-l une jole formule pour lu venr en ade? Défnton. Le symbole sgnfe «somme». Plus précsément, la notaton exemple «somme pour varant de à 7 de» et peut se détaller de la façon suvante : se lt par Remarque. Les bornes choses, et 7, ne sont que des exemples, on peut prendre n mporte quo, y comprs des bornes varables, par exemple n + (n + ) + (n + ) + + (n ) + (n ). Par contre, la borne de départ dot toujours être plus pette que la borne d arrvée (snon la somme est nulle). La lettre est une varable muette, autrement dt on peut la changer par n mporte quelle autre lettre sans changer la valeur de la somme. On chost tradtonnellement les lettres, j, k, etc. pour les ndces de sommes. Dans une somme, la varable muette prend toujours toutes les valeurs entères comprses entre la valeur ntale et la valeur fnale.

3 Exemple : S a est une constante, a (n )a (fates ben attenton au nombre de termes que content la somme...). Proposton. Règles de calcul sur les sommes. On a le drot d effectuer les opératons suvantes : factorser par une constante : 3 3 séparer ou regrouper des sommes de mêmes ndces : + + séparer les ndces en deux (relaton de Chasles) : fare un changement d ndce : 30 j (j + ) (on a posé j ) j0 Remarque 3. Tenter de smplfer d une façon ou d une autre une somme de la forme a b est par contre une très bonne manère de s attacher la rancoeur tenace de votre professeur ; les sommes et produts ne font pas bon ménage. Exemple : La technque de la somme télescopque consste à constater que la dfférence de deux sommes ayant beaucoup de termes communs comporte en fat nettement mons de termes que ce qu elle n en a l ar au départ. Consdérons S. A pror pas évdent à calculer, du mons ( + ) tant qu on a pas constaté que + + ( + ). On peut alors fare le calcul suvant : ( + ) ( + ) + jn+ j + jn j n + n + S la fn du calcul ne vous semble pas clare, on peut auss vor les choses ans : n n + n +.. Sommes classques Proposton 3. n N, n N, n(n + )(n + ) n N, 3 n (n + ) j n(n + ) ( kn q, n N, q k qn+ q k0 ) Démonstraton. Nous allons démontrer par récurrence que la proprété P n : est vrae pour tout enter n. Pour n 0, nous avons 0 et 3 j 0(0 + ) n(n + ) 0, donc P 0 est vrae.

4 Supposons P n vrae pour un enter n quelconque, c est-à-dre que n+ alors effectuer le calcul suvant : +n+ n(n + ). On peut n(n + ) n(n + ) + (n + ) +n+ (n + )(n + ), ce qu prouve P n+. D après le prncpe de récurrence, nous pouvons donc n(n + ) affrmer que, n N,. Nous allons prouver par récurrence la proprété P n : nous avons 0 0, et 0(0 + )( 0 + ) 0, donc P 0 est vérfée. Supposons désormas P n vrae pour un enter n quelconque, on peut alors écrre n(n + )(n + ). Pour n 0, + + (n + ) n(n + )(n + ) +(n+) n(n + )(n + ) + (n + ) (n + )(n(n + ) + n + ) (n + )(n + 7n + ) (n + )(n + )(n + 3) (n + )((n + ) + )((n + ) + ), donc P n+ est vérfée. D après le prncpe de récurrence, on peut conclure que P n est vrae pour tout enter naturel n. Nous allons prouver par récurrence la proprété P n : 3 n (n + ). Pour n 0, nous avons , et 0 (0 + ) 0, donc P 0 est vérfée. Supposons désormas P n vrae pour un enter n quelconque, on peut alors écrre (n + ) 3 n (n + ) + (n+) 3 n (n + ) + (n + ) 3 (n + ) (n + n + ) (n + ) (n + ), donc P n+ est vérfée. D après le prncpe de récurrence, on peut conclure que P n est vrae pour tout enter naturel n. Nous allons prouver par récurrence la proprété P n : k0 k0 kn q k qn+. Pour n 0, nous q kn avons q k q 0, et q q, donc P 0 est vérfée. Supposons désormas P n vrae pour une enter n quelconque, on peut alors écrre kn+ k0 kn q k k0 q k + q n+ qn+ q + q n+ q n+ + q n+ q n+ qn+, donc P n+ est vérfée. D après le prncpe de récurrence, q q on peut conclure que P n est vrae pour tout enter naturel n..3 Sommes doubles Ren ne nous nterdt de mettre une somme à l ntéreur d une autre somme. Dans ce cas, l est toutefos très mportant d utlser deux ndces dfférents pour les deux sommes, sous pene de confu-

5 son totale. Pluseurs notatons sont possbles pour exprmer des sommes doubles : j jn j j,j n jn j j. Cette somme est consttuée de n termes qu on peut par exemple représenter dans un tableau contenant n lgnes et n colonnes. L ordre dans lequel on place les deux sommes est ndfférent (d où également la possblté de n utlser qu une seule somme), on a donc ntérêt à les placer dans l ordre le plus pratque pour le calcul, c par exemple : j ( n(n + )(n + ) j n 3j 3 j 3 n(n + )(n + ) + 3n(n + ). Produts ( + ) 3 (n + )(n + n + 3n) + 3 Le fonctonnement est très smlare à celu des sommes : n(n + )(n + ). + ) n(n + ) Défnton. Le symbole 5 sgnfe «produt». Par exemple, Défnton 3. On appelle factorelle de l enter naturel n, et on note n!, le nombre n!. Exemples : a a n ; (n + )! n! + n + Proposton. Les règles de calcul suvantes peuvent être utles quand on manpule des produts : séparer ou regrouper des produts ayant les mêmes ndces : a b a b séparer les ndces (relaton de Chasles) : a a fare un changement d ndce : + a Remarque. Ben entendu, tenter de smplfer p jn a j+ j a p+ (a + b ) serat une grave erreur que, j en sus certan, vous ne commettrez pas deux fos (n même une seule, s possble). Exemple : Un pett calcul de produt pour fnr ce paragraphe. P n n! 5

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