SUITES (Partie 1) Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.

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1 SUITES (Partie ) I. Raisoemet par récurrece ) Le pricipe C'est au mathématicie italie Giuseppe Peao (858 ; 93), ci-cotre, que l'o attribue le pricipe du raisoemet par récurrece. Le om a probablemet été doé par Heri Poicaré (854 ; 9). O cosidère ue file ilitée de domios placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'u domio tombe, alors il fait tomber le domio suivat et ceci à 'importe quel iveau de la file. Alors, si le premier domio tombe, o est assuré que ts les domios de la file tombet. Défiitio : Ue propriété est dite héréditaire à partir du rag 0 si lorsque pr u etier k 0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pr l'etier k+. Das l'exemple, si o suppose qu'u domio (k) tombe alors le domio suivat (k+) tombe égalemet. Pricipe du raisoemet par récurrece : Si la propriété P est : - vraie au rag 0 (Iitialisatio), - héréditaire à partir du rag 0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pr tt etier 0. Das l'exemple, le premier domio tombe (iitialisatio). Ici 0 =. L'hérédité est vérifiée (voir plus haut). O e déduit que ts les domios tombet.

2 Remarque : Ue démostratio par récurrece sur les etiers est mise e œuvre lorsque tte démostratio "classique" est difficile. ) Exemples avec les suites Méthode : Démotrer par récurrece l expressio géérale d ue suite Vidéo O cosidère la suite (u ) défiie pr tt etier aturel par u + = u et u 0 =. = +. Démotrer par récurrece que : ( ) u Iitialisatio : à Le premier domio tombe. 0+ =. La propriété est doc vraie pr = 0. u 0 = et ( ) Hérédité : - Hypothèse de récurrece : à O suppose que le k-ième domio tombe. = k+. Supposos qu'il existe u etier k tel que la propriété soit vraie : ( ) - Démotros que : à Le k+-ième domio tombe-t-il? u = k+ k +. La propriété est vraie au rag k+ : ( ) u k + = u k + k + 3, par défiitio ( k ) = + + k+ 3, par hypothèse de récurrece = k + k+ + k+ = k + k+ ( k ) = u à Le k+-ième domio tombe. k Coclusio : à Ts les domios tombet. La propriété est vraie pr = 0 et héréditaire à partir de ce rag. D'après le pricipe = +. de récurrece, elle est vraie pr tt etier aturel, soit : ( ) u Méthode : Démotrer la mootoie par récurrece Vidéo O cosidère la suite (u ) défiie pr tt etier aturel par u + = 3 u + et u 0 =. Démotrer par récurrece que la suite (u ) est croissate. O démotre que pr tt etier aturel, o a : u + u

3 3 Iitialisatio : u 0 = u = 3 u 0 + = 3 + = 8 3 > doc u 0 < u Hérédité : - Hypothèse de récurrece : Supposos qu'il existe u etier k tel que la propriété soit vraie : u k < u k +. - Démotros que : La propriété est vraie au rag k+ : u k + < u k +. O a u k < u k + doc : 3 u k < 3 u k + et doc 3 u k + < 3 u k + + soit u k + < u k +. Coclusio : La propriété est vraie pr = 0 et héréditaire à partir de ce rag. D'après le pricipe de récurrece, elle est vraie pr tt etier aturel, soit : u < u + et doc la suite (u ) est croissate. 3) Iégalité de Berlli Soit u ombre réel a strictemet positif. Démotros que pr tt etier aturel, o a : ( a) Démostratio : Vidéo Iitialisatio : - La propriété est vraie pr = 0. E effet, ( ) 0 + a = et + 0 a = Hérédité : - Hypothèse de récurrece : + + a. Supposos qu'il existe u etier k tel que la propriété soit vraie : ( a) - Démotros que : La propriété est-elle vraie au rag k+? k+ Démotros alors que : ( ) ( ) + a + k+ a. k+ k ( a) ( a)( a) ( a)( ka) k + + ka + = , d'après l'hypothèse de récurrece. k+ + a + ka+ a+ ka + ka+ a, car ka 0. Doc : ( ) k+ Et doc : ( ) ( ) Coclusio : + a + k+ a.

4 La propriété est vraie pr = 0 et héréditaire à partir de ce rag. D'après le pricipe de récurrece, elle est vraie pr tt etier aturel. Remarque : L'iitialisatio est idispesable. E effet, démotros par exemple que la propriété " est divisible par 3" est héréditaire sas vérifier l'iitialisatio. Supposos qu'il existe u etier k tel que k est divisible par 3. k+ = k x = 3p x, où p est u etier (d'après l'hypothèse de récurrece). = 6p Doc k+ est divisible par 3. L'hérédité est vérifiée et prtat la propriété 'est jamais vraie. 4 II. Limite fiie ifiie d'ue suite ) Limite ifiie Exemple : La suite (u ) défiie sur N par u = a pr ite. E effet, les termes de la suite devieet aussi grad que l'o shaite à partir d'u certai rag. Si o pred u réel a quelcoque, l'itervalle a; cotiet ts les termes de la suite à partir d'u certai rag. Défiitios : - O dit que la suite (u ) admet pr ite si tt itervalle a;, a réel, cotiet ts les termes de la suite à partir d'u certai rag et o ote : u = - O dit que la suite (u ) admet pr ite si tt itervalle ;b, b réel, cotiet ts les termes de la suite à partir d'u certai rag et o ote : u = Algorithme permettat de détermier u rag à partir duquel ue suite croissate de ite ifiie est supérieure à u ombre réel A : O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = et pr tt etier, u + = 4u. Cette suite est croissate et admet pr ite. Voici u algorithme écrit e lagage aturel : E appliquat cet algorithme avec A = 00, o obtiet e sortie = 3. A partir du terme u 3, la suite est supérieure à 00. Lagage aturel Etrée Saisir le réel A Iitialisatio Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur Traitemet des doées Tat que u < A Faire Affecter à la valeur + Affecter à u la valeur 4u Sortie Afficher

5 5 E lagage calculatrice, cela doe : Vidéos das la Playlist : TI CASIO Exemple : ) Limite fiie La suite (u ) défiie sur N* par u = + a pr ite. E effet, les termes de la suite se resserret autr de à partir d'u certai rag. Si o pred u itervalle vert quelcoque coteat, ts les termes de la suite appartieet à cet itervalle à partir d'u certai rag. Défiitio : O dit que la suite (u ) admet pr ite L si tt itervalle vert coteat L cotiet ts les termes de la suite à partir d'u certai rag et o ote : u = L. Ue telle suite est dite covergete. Défiitio : Ue suite qui 'est pas covergete est dite divergete. Remarque : Ue suite qui est divergete 'admet pas écessairemet de ite ifiie. pred alterativemet les valeurs - et. Elle 'admet doc pas de ite fiie, i ifiie. Elle est doc divergete. Par exemple, la suite de terme géérale ( )

6 6 Propriétés : 3) Limites des suites usuelles - =, =, =. - = 0, = 0, = 0. Démostratio de = 0 : Soit u itervalle vert a;a, a réel positif o ul, coteat 0. Pr tt, tel que : > a, o a : 0 < < a et doc a;a Aisi, à partir d'u certai rag, ts les termes de la suite appartieet à l'itervalle a;a et doc = 0 III. Opératios sur les ites Vidéo ) Limite d'ue somme u = L L L v = L' ( u + ) = L + L' F.I.* * Forme idétermiée : O e peut pas prévoir la ite évetuelle. Exemple : ( ) +? = et =. D'après la règle sur la ite d'ue somme : ( ) ) Limite d'u produit + = u = L L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 0 = L' ( uv) = L L' F.I.

7 7? = 0 doc + = + 3 = Exemple : + ( + 3) et = doc ( ) D'après la règle sur la ite d'ue produit : ( 3) 3) Limite d'u quotiet + + = u = L L v = L' 0 L > 0 0 avec > 0 L < 0 0 avec > 0 L > 0 0 avec < 0 L < 0 0 avec 0 < 0 0 L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < 0 u = L L' 0 F.I. F.I. Exemple : 3? = doc ( ) = et doc ( 3) D'après la règle sur la ite d'u quotiet : = 3 = 0 Remarque : Ts ces résultats sot ituitifs. O retrve par exemple, u pricipe sur les opératios de ite semblable à la règle des siges établie sur les ombres relatifs. Il est importat cepedat de recoaître les formes idétermiées pr lesquelles il faudra utiliser des calculs algébriques afi de lever l'idétermiatio utiliser d'autres propriétés sur les calculs de ites. Les quatre formes idétermiées sot, par abus d'écriture : " ", " 0 ", " " et " 0 0 ". Méthode : Lever ue idétermiatio Vidéo Vidéo Vidéo Vidéo

8 8 Détermier les ites suivates : a) ( 3 ) b) c) + 3 d) ( + ) a) = et 3 = Il s'agit d'ue forme idétermiée du type " " = = Or = et Et doc : ( 3 ) 3 = doc par ite d'u produit : = 3 =. b) ( 5 + 4) = et ( 4 3) + = Il s'agit d'ue forme idétermiée du type " " = = Or 5 + = 5 et = doc par ite d'u quotiet = 5 4. Et doc : = 5 4. c) Il s'agit d'ue forme idétermiée du type " " = = + 3

9 9 Or 3+ = 3 et 3 + = 3+ doc par ite d'u quotiet + 3 = Et doc par ite d'u produit + 3 =. 3 + Soit + 3 =. d) Il s'agit d'ue forme idétermiée du type " ". + = ( + )( + + ) + +, o a multiplié par l'expressio cojuguée. = = + +. Or par ite d'ue somme + + = et doc + + = 0. Soit ( ) + = 0. Hors du cadre de la classe, aucue reproductio, même partielle, autres que celles prévues à l'article L -5 du code de la propriété itellectuelle, e peut être faite de ce site sas l'autorisatio expresse de l'auteur.