Suites numériques : définition générale.

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1 1 Suites arithmétiques Suites umériques : défiitio géérale.... Le pricipe de récurrece... 3 Suites arithmétiques... 4 Formule 1 des suites arithmétiques... 5 Appreos à compter... 6 Formule des suites arithmétiques... 7 Démostratio par récurrece de la Formule des suites arithmétiques... 8 Formule : cas gééral... 9 Foctio associée à ue suite arithmétique...1 Cas particuliers...11 Ue caractérisatio historique des suites arithmétiques...1

2 Suites umériques : défiitio géérale. Lorsque l o a associé à tout etier positif (ou ul) u ombre réel (ou complexe) o a défii ue suite umérique (ifiie). La suite umérique est fiie lorsque l o a associé à tout etier positif (ou ul) iférieur à u etier P u ombre réel (ou complexe). Remarque Ue telle suite umérique fiie o peut faire correspodre ue suite umérique ifiie e associat toujours la même valeur à l etier si P + 1. Exemple de suite (P5) Etier Valeur associée Notatio E utilisat par exemple la lettre u o peut désiger la suite umérique par : u : u. O peut aussi utiliser la otatio foctioelle : u : u(). Ue suite umérique est simplemet ue applicatio dot l esemble de départ est l esemble N des etiers aturels et l esemble d arrivée l esemble des ombres réels ou des ombres complexes. u : N R ou u : N C Exemple Etier u Vocabulaire Pour la suite umérique u : u le ombre u se omme : «Terme d idice» ou «Terme de rag» ou «Terme d ordre». O lorsque o s est fixé la valeur de l etier o dit alors que est l idice du terme u. Mise e garde Il e faut pas cofodre par exemple u + 1 avec u + 1. O cosidère la suite umérique dot les premiers termes sot doés das l exemple précédet. Doer le terme d idice Doer l idice du terme qui vaut Doer u terme qui est égal à so idice Pour 1 doer 5 u + 1,u + 1,u+,u +. Doer la valeur de u i i Réposes ;4;3;1,5,3,6; 31.

3 3 Le pricipe de récurrece Si est u etier positif (ou ul) et si o a associé à tout etier ue propriété P() qui peut être vraie ou fausse, alors : si P() est vraie et si chaque fois que P() est vraie alors P( + 1) est ecore vraie il e résulte que P() est vraie pour tout etier. E particulier : si o a associé à tout etier ue propriété P() qui peut être vraie ou fausse, alors : si P() est vraie et si chaque fois que P() est vraie alors P( + 1) est ecore vraie alors, P() est vraie pour tout etier. Si o a associé à tout etier 1 ue propriété P() qui peut être vraie ou fausse, alors : si P(1) est vraie et si chaque fois que P() est vraie alors P( + 1) est ecore vraie alors, P() est vraie pour tout etier 1. Le pricipe de récurrece s éoce aussi de la maière suivate : Soit N l esemble des etiers aturels (positifs ou uls), si A est ue partie de N qui cotiet et avec tout etier l etier +1 alors A est égal à N. Pour se trouver das cette situatio, il suffit d appelera l esemble des etiers tels que P() soit vraie. L esemble des etiers aturels est u esemble qui par défiitio vérifie (etre autres) le pricipe de récurrece. Démostratio par récurrece Pour motrer qu ue propriété P() est vraie pour tout etier positif o motre que P() est vrai et que si P() est vraie alors P ( + 1) est vraie. ( + 1) Prouver par récurrece que ( + 1) 1 (1 + 1) Preuve est vraie pour 1:1 Si 1 ( + 1) ( + 1) ( + ) est vrai alors est vraie. E effet : ( + 1) ( + 1) + ( + 1) ( + 1) ( + )

4 4 Suites arithmétiques Défiitio Si r est u ombre o ul, ue suite arithmétique de raiso r est ue suite umérique u : u telle que pour tout etier : u + 1 u + r. Pour tout etier, la propriété P() qui s écrit u + 1 u + r est vraie. Propriété Si u : u et v : v sot deux suites arithmétiques de même raiso r et si u v alors u v pour tout etier positif. Démostratio par récurrece La propriété P () : u v est vraie pour. Supposos la propriété vraie pour : u v, cette propriété est ecore vraie pour +1, e effet : u + 1 u + r v+ 1 v + r car o a sup posé : u v. La propriété u v est doc vraie pour tout etier positif. Remarque Les termes d ue suite arithmétique sot détermiés à partir du terme d idice. 1) Voici les deux premiers termes d ue suite arithmétique : u,u1 3. Doer les valeurs de : u et u3. Même questio si : u 3,u1. ) Caractériser les suites arithmétiques dot la raiso est ulle. 3) O cosidère la suite umérique telle que chaque terme est égal à so idice, vérifier que cette suite est arithmétique. 4) Vérifier que si u : u est ue suite arithmétique alors la ouvelle suite défiie par v : v u+τ si τ est u etier positif est ecore arithmétique de même raiso. 5) Vérifier que si u : u et v : v sot des suites arithmétiques alors la ouvelle suite défiie par w : w u + v est ecore ue suite arithmétique dot la raiso est la somme des raisos de ces deux suites. 6) Vérifier que si u : u est ue suite arithmétique, alors la ouvelle suite défiie par t : t a u si a est u réel est ecore arithmétique dot la raiso est multipliée par a. 7) Vérifier que si u : u et v : v sot des suites arithmétiques de raisos r et r la ouvelle suite défiie par s : s a u + b v est ecore ue suite arithmétique de raiso ar + br'. 8) Quelle sot la raiso et le premier terme de la suite arithmétique dot tous les termes sot uls? Si écessaire : demader à frace.com

5 5 Formule 1 des suites arithmétiques u : u est arithmétique de raiso r (r ). Les formules suivates sot vérifiées pour tout etier (positif ou ul) et tout etier p (positif ou ul) : u u + r u u1 + ( 1) r... u u p + ( p) r Formule 1 Preuve La formule u u + r se démotre par récurrece : u u + r est vrai. Si u u + r est vrai alors: u+ 1 u + ( + 1) r est vrai puisque: u + 1 u + r u + r + r u + ( + 1) r. La formule est doc vraie pour tout etier positif d après le pricipe de récurrece. Vérifios u up + ( p) r u u + r up u + p r u u up u p r pr ( p)r + ( p) r Les suites suivates sot arithmétiques { u },{ v}. { u } a pour raiso,1 et 5. 1 et 1. Calculer u1, v1. Réposes 15. 1,9. u v v1

6 6 Appreos à compter Si p et sot des etiers tels que p, o désige par {p,, } l esemble de tous les etiers i tels que p i. Propriété Le ombre des élémets de {p,, } est p + 1 Exemples Le ombre des élémets de {p} est p p + 1 Le ombre des élémets de {p, p+1} est p + 1 p + 1 Le ombre des élémets de {,, 9} est 1 Le ombre des élémets de {,, } est + 1 Le ombre des élémets de {67,, 34} est L esemble {5,, } est costitué de 1 élémets, quelle est la valeur de? Das l esemble {1,, 6} o supprime les 647 premiers etiers ; désiger l esemble des etiers qui restet. Combie existe t il de ombres etiers positifs à chiffres qui e se termiet pas par ou 1? Combie existe-il de ombres à chiffres pour? Que se passe t il pour 1? Réposes 14 {1649,, 6} L esemble des ombres à chiffres est :{ 1 1,...;1 1} pour. Si 1, o utilise pas cette propriété, pourquoi? Demader à frace.com

7 7 Formule des suites arithmétiques La somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique est égale au ombre de termes cosidérés multiplié par la somme du premier et du derier terme le tout divisé par deux La somme e déped pas de la raiso Etude mathématique Si u : u est ue suite arithmétique alors pour tout etier : ( + 1) (u + u ) u u Remarque Le ombre des élémets de {,, } est + 1doc le ombre de termes de la somme u u est +1. Cette formule s écrit : ( + 1) + u (u u ) Formule Démostratio élégate Remarquos que : u u Par exemple : u + u1 + u + u3+ u3 + u3 1 + u3 + u3 3 u3 + u + u1 + u Doc : u u + u u + u Comme la suite est arithmétique, si r est sa raiso : u + u u + r + u + ( )r u + r u + u pour tout,1., Il e résulte : u ( + 1)(u + u ) doc: u ( + 1)(u + u ) La suite u : u est arithmétique de raiso,1 et u 1. 1 Calculer metalemet u et u. Répose 9,5 et

8 8 Démostratio par récurrece de la Formule des suites arithmétiques ( + 1) + u ) u (u Formule Démostratio par récurrece (démostratio lourde) 1 u) La Formule est vraie pour 1 (u + :u Supposos la Formule vraie pour u etier et motros qu elle est vraie pour l etier suivat +1 e utilisat la Formule 1 ( + 1) (u + u ) u u + u+ 1 + u+ 1 ( + 1) (u + r) + u + ( + 1)r ( + 1) u + ( + 1) r + u + ( + 1)r ( + ) u + ( + 1) ( + )r ( + ) (u + ( + 1)r) ( + ) (u + u + ( + 1)r) ( + ) (u + u+ 1) Exprimer e foctio de la raiso r, de p, et de up : u pour p la suite arithmétique u : u. ( p + 1) (up + ( p)r) Résultat Remarque O utilise la suite v : v u+ p qui est arithmétique de même raiso. Résultat fial Soiet a,b,..., x termes cosécutifs d ue suite arithmétique alors : (a + x) a + b x (1 + ) ( p + 1)(p + ) Exemple et p i ( p + 1)(p + ) i i p

9 9 Formule : cas gééral Si u : u est ue suite arithmétique alors pour tout etier p et tout etier p : ( p + 1) (up + u ) up u Remarque Le ombre des élémets de {p,, } est p + 1, doc le ombre de termes de la somme u p u est p + 1. Cette formule s écrit : ( p + 1) (up + u ) u p E utilisat la formule 1 u u p + ( p) r : u p ( p + 1) (up + ( p) r) E particulier : u ( + 1) (u + r) La suite u : u est arithmétique de raiso,1 et u 1. Calculer metalemet u. 1 Demader (si écessaire) à frace.com

10 1 Soit f : z est arithmétique de raiso a. De plus: u Preuve f () a + b doc b u+ 1 u + a Comme a De plus f () Foctio associée à ue suite arithmétique az + b telle que a :u : b : u u b. alors la suite u : u f () f ( + 1) a( + 1) + b a + a + b a + b + a f () + a f () est arithmétique de raiso a. Soit u : u est arithmétique de raiso r(r ) alors la foctio f : z f (z) r z + u vérifie u f (). Preuve La formule 1 doe u u + r r + u u : u est arithmétiquesi et seulemet si u f (z) az + b a est alors la raiso de la suite et b le terme d'idice. f (z) z + 1 g(z) 3z + 5 h(z) 5z 6 f () avec : u f () v g() w h() pour tout etier. Doer la raiso et le terme d idice pour chacue des suites arithmétiques aisi défiies. A partir de quelle valeur de a t o v u? A partir de quelle valeur de a t o w v? Réposes ;1. 3;5.5;

11 11 Cas particuliers U terme d ue suite arithmétique est ul Soit u : u ue suite arithmétique de raiso r. Si u p la Formule 1 u u p + ( p) r s écrit : u ( p) r ( + 1) (u + u Si u p la Formule ) u s écrit : u ( + 1) ( p) r Si u u r ( + 1) r u La suite u : u est arithmétique de raiso,1 et u 1. Vérifier que la suite s écrit : 1 u 1

12 1 Ue caractérisatio historique des suites arithmétiques Les suites arithmétiques sot les suites qui possèdet la propriété suivate : Tout terme de la suite est la moyee (arithmétique) du terme qui le précède et du terme qui le succède. u : u est arithmétique si et seulemetsi : u u 1 + u + 1 pour tout etier 1 Cela est ue coséquece du Théorème de Thalès Les poits M(,u ) das u repère du pla sot situés sur ue droite. A(,) est le milieu du segmet A( 1,),A( + 1,) doc: [ ] [ ] M(,u ) est le milieu du segmet M(, u 1 ),M(,u + 1 ) La suite u : u est arithmétique de raiso,1 et u 1. Vérifier que pour tout etier : u 1 + u+ 1 u.

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