FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

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1 Fonctions affines Fonctions de référence Seconde Fonctions affines. Activité Trois tais T, T et T proposent les tarifs suivants : T : de prise en charge, puis 0,0 du kilomètre ; T : de prise en charge, puis 0,0 du kilomètre ; T : 7 de prise en charge, puis 0,0 du kilomètre ;. Quel est le tai le plus économique pour un trajet de km? 0 km? km? FONCTIONS DE RÉFÉRENCE. On note la distance que veut parcourir un client en tai. Eprimer les tarifs f (), f () et f () des tais T, T et T en fonction de.. Représenter dans le repère ci-dessous les courbes C, C et C des fonctions f, f et f O En vous basant sur le graphique, indiquez pour quelles distances il est plus économique de prendre le tai T, la tai T ou le tai T. On donnera les réponses sous forme d intervalle.. Un client désire faire plus de 0 km, et choisira le tai T. Il vous charge étudier le coût de son trajet en fonction du nombre de la distance. (a) Compléter le tableau ci-dessous : Distance Coût f () (b) La distance et le coût sont-ils des grandeurs proportionnelles? (c) À l aide du tableau précédent conjecturer de combien augmente le coût lorsque la distance augmente de km km km (d) Que peut-on dire alors des grandeurs «augmentation de la distance» et «augmentation du coût»? Page sur 7

2 . Bilan et compléments Fonctions de référence Seconde. Bilan et compléments Définition Les fonctions f, définies sur R, dont l epression peut se mettre sous la forme f ()=m+ p où m et p sont des réels sont appelées fonctions affines. Cas particuliers : si m= 0 alors f ()= p est dite constante ; si p = 0 alors f ()=m est dite linéaire. Propriété La représentation graphique d une fonction affine dans un repère est une droite. Celle d une fonction linéaire est une droite passant par l origine du repère. Démonstration. La représentation graphique d une fonction est l ensemble des points ( ; f ()) = ( ; m+ p) or on a vu dans le chapitre Équations de droites qu un tel ensemble est une droite. On a vu aussi que l intersection de cette droite avec l ae des ordonnées est le point (0; p), donc elle passe par l origine du repère si p = 0. Propriété Soit f une fonction déinie sur R. Si les variations des et des f () sont proportionnels, alors f est une fonction affine. Réciproquement, si f est une fonction affine, alors les variations des et des f () sont proportionnels. Dit autrement, on a : f () =constante f est une fonction affine. Ou encore : Pour tout et f () f ( ) =constante f est une fonction affine Démonstration. Si f est une fonction affine, alors f () f ( ) = (m + p) (m + p) = m m = m( ) donc, pour et distincts, f () f ( ) = m. Réciproquement, si pour tout et distincts, f () f ( ) = m alors f () f ( ) = m( ). En prenant = 0, on obtient : f () f (0) = m f () = m + f (0). Donc, par définition, f est une fonction afine. Propriété Soit f : m+ p une fonction affine. Si m> 0 alors f est strictement croissante sur R. Si m< 0 alors f est strictement décroissante sur R. Si m= 0 alors f est constante sur R. Démonstration. Si m> 0 a< b ma< mb ma+ p < mb+ p f (a)< f (b) donc f est strictement croissante. Si m< 0 a< b ma> mb ma+ p > mb+ p f (a)> f (b) donc f est strictement décroissante. Si m= 0, f (a)= f (b)= p. Propriété Soit f : m+ p une fonction affine avec m 0. Alors :. f ()=0 pour 0 = p m et. Le signe de f () selon les valeurs de est donné par le tableau suivant : Si m> Signe de f () 0 + Si m< Signe de f () + 0 Démonstration.. f ()=0 m+ p = 0 m = p = p car m 0 m. Si m> 0 alors f croissante donc < 0 f ()< f ( 0 ) f ()<0 donc f () négatif et > 0 f ()> f ( 0 ) f ()>0 donc f () positif. Si m < 0 alors f décroissante donc < 0 f ()> f ( 0 ) f ()>0 donc f () positif et > 0 f ()< f ( 0 ) f ()<0 donc f () négatif. Page sur 7

3 . Eercices Fonctions de référence Seconde. Eercices EXERCICE Voici les tarifs pratiqués par deu agences d location de voitures pour des véhicules identiques (tarifs journaliers, assurance comprise) : agence A : Forfait de 0 plus 0, par km ; agence B : Forfait de 0 plus 0,0 par km. Quelle est l agence la plus économique selon que l on désire faire un parcours de 0 km? 0 km? 00 km?. On appelle la distance que l on désire parcourir. Déterminer selon les valeurs de l agence la plus économique. EXERCICE Les tarifs mensuels d un abonnement pour un téléphone mobile sont les suivants : Forfait d une heure plus 0,0 par minute supplémentaire.. Compléter le tableau suivant, où la durée est la durée totale des communications du mois en minute et le coût est le montant final de la facture en euros : Durée 80 0 Coût. Eiste-t-il une fonction affine f qui à une durée de communication associe le coût f ()? EXERCICE Soit f une fonction affine. Déterminer l epression de f dans chacun des cas suivants :. f ()= et f ()=8. f ( )= et f ()=. f ()= et f ()=. f ( )= et f ()=7 EXERCICE Étudier le signe de P() = ( + )( + ). On pourra étudier le signe de chacun des facteurs et faire un tableau de signes. EXERCICE Résoudre l inéquation : 0 On pourra étudier le signe de chacun des facteurs et faire un tableau de signes. EXERCICE 6 Après avoir précisé les éventuelles valeurs interdites, résoudre les inéquations suivantes :. ( ) 0. ( )(π )(+ )>0. (+ ) ( ) EXERCICE 7 On donne f ()=(+ )( ) ( )(+ ). Résoudre f ()>0. On pourra commencer par factoriser. EXERCICE 8 Résoudre les inéquations suivantes :... Fonction carrée Définition Toute fonction f définie sur R qui peut s écrire sous la forme f ()= est appelée fonction carrée. La courbe représentative d une fonction carrée est appelée une parabole. 9 8 EXERCICE 9. Factoriser a b. Soit 0 a< b. (a) Quel est le signe de a b? (b) Quel est le signe de a+ b? (c) En déduire le signe de a b. (d) En déduire les variations de f ()= sur R +.. Mêmes questions avec a < b O i Propriété Soit f une fonction carrée. f est strictement décroissante sur R et est strictement croissante sur R + et admet comme minimum 0. f ()= 0 Page sur 7

4 Fonction cube Fonctions de référence Seconde Fonction cube Définition Toute fonction f définie sur R qui peut s écrire sous la forme f ()= est appelée fonction cube. EXERCICE 0. Montrer que a b = (a b)(a + ab+ b ).. Soit 0 a< b (a) Quel est le signe de a b? (b) Quel est le signe de ab? En déduire le signe de a + ab+ b. (c) En déduire le signe de (a b)(a +ab+b ) puis celui de a b. (d) En déduire les variations de f ()= sur R +.. Mêmes questions si a< b 0. O i Propriété 6 Soit f une fonction cube. f est strictement croissante sur R. f ()= 0 Fonction inverse Définition Toute fonction f définie sur R =] ; 0[ ]0;+ [ qui peut s écrire sous la forme f ()= est appelée fonction inverse. La courbe représentative d une fonction inverse est appelée une hperbole. EXERCICE. Montrer que a b = b a ab.. Soit 0< a< b (a) Quel est le signe de b a? (b) Quel est le signe de ab? (c) En déduire le signe de b a ab puis celui de a b. (d) En déduire les variations de f () = ]0;+ [.. Mêmes questions si a< b< 0. sur O i Propriété 7 Soit f une fonction inverse. f est strictement décroissante sur ] ; 0[ et f est strictement décroissante sur ]0;+ [ f ()= Page sur 7

5 Fonction valeur absolue Fonctions de référence Seconde Fonction valeur absolue. Généralités Définition On appelle fonction valeur { absolue la fonction, notée = si 0, définie sur R par = si 0 Eemples. = = 0 =0 EXERCICE. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : 0. À l aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de la fonction valeur absolue dans le repère ci-dessous : O i Propriété 8 Soit f la fonction valeur absolue. f est strictement décroissante sur R et est strictement croissante sur R + et admet comme minimum 0. f ()= Démonstration. Soit 0 a < b, alors a =a et b = b donc 0 a < b donc la fonction valeur absolue est strictement croissante sur R +. Soit a < b 0 donc 0 b < a, mais a = a et 0 b = b donc 0 b < a donc la fonction valeur absolue est strictement décroissante sur R. Par ailleurs 0 et 0 = 0 donc 0 est bien le minimum de la fonction. Propriété 9 On a les propriétés suivantes : Pour tout réel, 0 Pour tout réel et pour tout 0, = Pour tous réels et, = Pour tous réels et, + + (inégalité triangulaire). =0 = 0 = = ou = On l admettra. Page sur 7

6 . Valeur absolue, distance entre deu nombres, intervalle Fonctions de référence Seconde. Valeur absolue, distance entre deu nombres, intervalle.. Activité. Placer sur la droite des réels ci-dessous les points A, B, C, D, E et F dont les abscisses respectives sont,,,, et : O i. (a) Sur le modèle de la première ligne, compléter le tableau suivant : Point M Point N Distance M N M N M N B A B A= = = A B A C C A E F F E B D D B (b) Que constate-t-on?. (a) Représenter sur la droite des réels ci-dessous l intervalle [; ] : O i (b) Quel est le centre a de cet intervalle? (c) Que peut-on dire sur l ensemble des réels appartenant à cet intervelle en terme de distance à a? (d) En déduire une façon de noter l ensemble des [; ] utilisant une valeur absolue.. Mêmes questions pour l intervalle ] ; [.. Bilan Définition 6 Soient et deu réels quelconques. On appelle distance entre et le nombre. Eemples. = 0 est la distance entre et 0. = donc la distance entre et est. + = ( ) =7 donc la distance entre et est 7. Définition 7 Soit I = [a ; b] un intervalle (b> a). On appelle : centre de l intervalle I le nombre a+ b ; amplitude de l intervalle I le nombre b a (on parle aussi de raon d un intervalle). Remarque. Cette définition est aussi valable pour un intervalle ouvert I =]a ; b[ ou ouvert d un seul côté I =]a ; b], etc. Eemples. L intervalle [; ] a pour centre + = et pour amplitude =. L intervalle ] ; [ a pour centre + = 0, et pour amplitude ( )=. L intervalle [ 6; [ a pour centre 6 = et pour amplitude ( 6)=. Propriété 0 Soit I = [a ; b] un intervalle (a < b). On appelle α le centre de I et β son amplitude. Alors : On l admettra. [a ; b] α β Remarque. Dans le cas où I =]a ; b[, on a ]a ; b[ α < β Eemples. [; ] ] ; [ ( 0,) <, Page 6 sur 7

7 . Eercices Fonctions de référence Seconde. Eercices EXERCICE Résoudre les équations suivantes : =0 + = + 6 =9 = + =9 = + = EXERCICE Écrire les intervalles suivants à l aide des valeurs absolues :. [ ; ]. [0; ]. ] ; [. [ ; ]. ] ; [ 6. ] ; [ ];+ [ (on pourra commencer par le représenter sur la droite réelle). EXERCICE Écrire les solutions des inéquations suivantes sous forme d intervalle :.. <. +. <. + 6 < 6. > Page 7 sur 7