Séquence 2 : Géométrie. Chapitre 4 : Théorème de Pythagore et sa réciproque

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1 Séquence 2 : Géométrie Chapitre 4 : Théorème de Pythagore et sa réciproque

2 Chapitre 4 : Théorème de Pythagore et sa réciproque Objectifs du chapitre : - Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore et sa réciproque - Calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle à partir de celles des deux autres - En donner, si besoin est, une valeur approchée, en faisant éventuellement usage de la touche racine carrée de la calculatrice. I- Le théorème de Pythagore a) Activité introductive sur Géogébra, suivie d une activité démonstration. b) Enoncé du théorème Définition : Dans un triangle rectangle, on appelle l hypoténuse le côté opposé à l angle droit. Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit. Autre énoncé : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC²=AB²+AC² Hypoténuse Données : Le triangle ABC est rectangle en A Conclusion : AB²+AC²=BC² Remarques : - Attention à l ordre des mots. - Rappelons que AB²=AB x AB, par exemple 3²=3x3=9 - L hypoténuse d un triangle rectangle est le plus grand côté de ce triangle. Remarque : Le théorème de Pythagore ne s applique qu aux triangles rectangles. Il permet de calculer la longueur du troisième côté d un triangle rectangle dont on connaît déjà les longueurs de deux côtés. Application : Utiliser le théorème de Pythagore. a) Calcul de la longueur de l hypoténuse. MNP est un triangle rectangle en P tel que MP=8 cm et NP=6 cm. Calculer la longueur du côté [MP]. Rédaction type : 1- Faire un schéma 2- On cite le triangle rectangle dans lequel on se place, et on indique que l on utilise le théorème de Pythagore 3- On écrit l égalité correspondante en repérant l hypoténuse (ici [MN]) 4- Dans cette égalité on remplace deux longueurs par les valeurs données. 5- On calcule la 3 e longueur cherchée et on conclut. Rédaction de la solution : Données : Le triangle MNP est rectangle en P. Le théorème de Pythagore nous permet donc d écrire : MN²=PM²+NP²

3 MN²=8²+6² MN²=64+36 MN²= ou (-10) vérifie cette égalité, or MN>0 car c est une longueur, donc MN=10 Conclusion : Le côté [MN] a pour longueur 10 cm. b) Soit FGR un triangle rectangle en G, tel que GR=3cm, et GF=5 cm. Calculer FR. On donnera la valeur exacte en cm, puis l arrondi au millimètre. On dessine tout d abord la figure à main levée. Données : Le triangle FRG est rectangle en G. Donc d après le théorème de Pythagore : FR²=GF²+GR² FR²=5²+3² FR²=25+9 Conclusion : FR²=34, Or FR est une longueur donc FR>0. Ici on ne peut pas trouver de tête la solution de l équation FR x FR = 34, on va donc utiliser la touche racine carré de notre calculatrice. On écrit la valeur exacte : FR= 34, et on tape à la calculatrice 34 pour trouver une valeur approchée : 34 5,8, donc FR 5,8 cm 58mm c) Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit. Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB=6cm, et BC=7 cm. Calculer AC. On donnera la valeur exacte en cm, puis l arrondi au millimètre. Données : Le triangle ABC est un triangle rectangle en A. Le théorème de Pythagore nous permet donc d écrire : BC²=AB²+AC² 7²=AB²+6² 49=AB²+36 AB²=49 36 AB²=13 Conclusion : AB= 13 Valeur exacte AB 3,6 cm Valeur approchée au dixième. Propriété : Conséquence du théorème de Pythagore Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle n est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n est pas rectangle. Remarque : Cette propriété permet de démontrer qu un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés, n est pas rectangle. Application : Comment montrer qu un triangle n est pas rectangle? Le triangle RST est tel que RS=12 cm, ST=20 cm et RT=24 cm. Démontrer que le triangle RST n est pas rectangle. Méthode : 1- Si le triangle RST était rectangle, qui pourrait-être l hypoténuse? [RT], car c est le plus grand côté. 2- Si RST était rectangle, on aurait RT²=RS²+ST².On calcule le carré de la longueur du plus grand côté. 3- On calcul la somme des carrés des longueurs des deux plus petits côtés 4- On conclut

4 Rédaction de la solution : Données : RS=12 cm, ST=20cm, RT=24 cm. [RT] est le plus grand côté du triangle RST. On va donc comparer RT² et ST²+RS². D une part : RT²= 24²=24x24 =576 D autre part : RS²+ST²= 12²+20²=544 Conclusion : RT² RS²+ST² Or si le triangle RST était rectangle, alors, d après le théorème de Pythagore, on aurait RT²=RS²+ST², ce qui n est pas le cas. Donc le triangle RST n est pas rectangle. II- Réciproque du théorème de Pythagore Activité : Conjecturer à l aide d un logiciel de géométrie sur vidéoprojecteur. (Prisme p180) Théorème : (Réciproque du théorème de Pythagore) Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Autre énoncé : Si ABC est un triangle tel que BC²=AB²+AC², alors ABC est un triangle rectangle en A. Hypothèse : ABC est un triangle tel que BC²=AB²+AC² Conclusion : Le triangle ABC est rectangle en A Preuve : Idée : On va utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ABD, rectangle en A, puis on va déduire que (AB) est la médiatrice de [CD]. But : On veut montrer que le triangle ABC est rectangle en A. Pour cela, on va d abord montrer que (AB) est la médiatrice de [CD], en montrant que DB=BC, puis on montrera que (AC) est (AB) sont perpendiculaire. Soit ABC un triangle, tel que AB=c, BC=a et AC=b, avec a²=b²+c². Le point D appartient à la perpendiculaire à (AB) passant par A tel que AD=b. Les points C et D sont de part et d autre de la droite (AB). - Hypothèse : Le triangle ABD est rectangle en A. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore dans ce triangle. Conclusion : AB²+AD²=DB². D où, c²+b²=db². Or on sait que c²+b²=a², donc DB²= a²

5 Donc DB=a, DB=BC. - Hypothèse : On vient de montrer que : DB=BC et on sait que AC=AD. Propriété : Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Conclusion : A appartient à la médiatrice de [CD] et B appartient à la médiatrice de [CD]. Donc (AB) est la médiatrice du segment [CD]. - Hypothèse : On vient de montrer que (AB) était la médiatrice de [CD]. Or, la médiatrice d un segment est perpendiculaire à ce segment. Conclusion : (AB) et (CD) sont perpendiculaires, or on sait que (AB) et (AD) sont perpendiculaires, donc (AC) et (AB) sont perpendiculaires. Le triangle ABC est donc rectangle en A. CQFD Remarque : - Ce théorème est dit réciproque du théorème précédent pour indiquer que les contenus des données et conclusion ont été échangés. - La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu un triangle est rectangle lorsque les longueurs des trois côtés du triangle sont connues. Application : Comment démontrer qu un triangle est rectangle Le triangle RTY est tel que : RT= 7,2 m, RY= 9,6 m, et TY = 12 m. Démontrer que le triangle RTY est rectangle en R. Méthode : Montrons que le carré de la longueur du plus grand côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Données : RT = 7,2m RY= 9,6 m, et TY = 12 m [TY] est donc le plus grand côté du triangle RTY. Donc si RTY est un triangle rectangle, [TY] sera l hypoténuse. On compare donc TY² et RT²+RY². D une part, TY²=12 x 12 = 144 D autre part, RT²+RY²= 7,2²+9,6²=144 D où RT²+RY²=TY² Conclusion : Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RTY est rectangle en R.