Trigonométrie. Série 1 : Définitions. Série 2 : Calculs. Série 3 : Synthèse

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1 2 Trigonométrie Série 1 : éfinitions Série 2 : alculs Série 3 : Synthèse 97

2 SÉRI 1 : ÉINITIONS Le cours avec les aides animées Q1. ans quelle configuration peut-on appliquer la trigonométrie? Q2. onne la définition du cosinus, du sinus et de la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Les exercices d'application 1 Repérer dans un triangle rectangle Repasse en couleur les côtés demandés. a. Le côté adjacent à l'angle. b. Le côté opposé à l'angle MON. O M 2 Nommer dans un triangle rectangle a. Soit un triangle rectangle en. L'hypoténuse est.. Le côté adjacent à l'angle est.. Le côté adjacent à l'angle est.. b. Soit un triangle rectangle en. L'hypoténuse est.. Le côté opposé à l'angle est.. Le côté opposé à l'angle est.. c. I est un triangle rectangle en. Le côté adjacent à l'angle I est.. Le côté opposé à l'angle I est.. 3 vec plusieurs triangles rectangles c. L'hypoténuse en rouge et le côté opposé à l'angle SRT en bleu. T d. L'hypoténuse en rouge et le côté adjacent à l'angle WXY en bleu. W X e. L'hypoténuse en rouge et le côté adjacent à l'angle en bleu. N R S Y a. L'hypoténuse du triangle rectangle est.... b. L'hypoténuse du triangle rectangle est.... c. ans le triangle rectangle, le côté opposé à l'angle est. d. ans le triangle rectangle, le côté opposé à l'angle est. e. ans le triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle est. f. ans le triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle est. g. ans le triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle est. 4 Écrire le cosinus MNO est un triangle rectangle en O. N L'hypoténuse est.. Le côté adjacent à l'angle MNO est.. O onc cos MNO =. M 98 TRIONOMÉTRI : PITR 2

3 @options; repereortho(310,270,30,1,1){ 0, moyen, noir, = point( -3.77, 0.67 ) { croix1, (-1.34,-0.3) }; = point( 6.4, 0.67 ) { croix1, (0.33,-0.9) }; s = segment(, ) { noir }; = point( -2.1, 3.17 ) { i }; d = droite(, ) { i }; perpd = perpendiculaire(, d ) { i }; = intersection( perpd, d ) { croix1, (-0.23,-1.16) }; perps = perpendiculaire(, s ) { i }; = intersection( perps, s ) { croix1, (-0.37,0.27) }; s = segment(, ) { noir }; s = segment(, ) { noir }; s = segment(, ) { noir }; angle = angle(,, ); angle = angle(,, ); SÉRI 1 : ÉINITIONS 5 Écrire le sinus KJ est un triangle rectangle en K. L'hypoténuse est.. Le côté opposé à l'angle JK est.. onc sin JK =. 6 Écrire la tangente RST est un triangle rectangle en S. Le côté adjacent à l'angle SRT est.. Le côté opposé à l'angle SRT est.. onc tan SRT =. 7 Écrire les trois rapports trigonométriques TUV est un triangle rectangle en V. L'hypoténuse est.. Le côté adjacent à l'angle TUV est.. Le côté opposé à l'angle TUV est.. onc cos TUV =.., sin TUV =.. et tan TUV =. 8 vec une hauteur n utilisant la figure ci-contre, complète les phrases ci-dessous. a. ans le triangle rectangle en, on a : cos =. b. ans le triangle rectangle en, on a : cos =. c. ans le triangle rectangle en, on a : sin =. d. ans le triangle rectangle en, on a : tan =. e. ans le triangle rectangle en, on a : sin =. R T K V S J T U 9 ncore plus compliqué a. ans le triangle rectangle en, on a :.. =. b. ans le triangle rectangle en, on a :.. =. c. ans le triangle rectangle en, on a : cos... =. d. ans le triangle rectangle en, on a : sin... =. e. ans le triangle... rectangle en..., on a :. =. =. 10 ans quel triangle? Triangle n 1 Triangle n 2 Triangle n 3 cos = tan = sin = tan = sin = 11 À toi de dessiner Triangle n essine un triangle rectangle KLM tel que : sin KLM = KM KL. PITR 2 : TRIONOMÉTRI 99

4 SÉRI 2 : LULS Le cours avec les aides animées Q1. vec la calculatrice, comment obtient-on le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu? Q2. vec la calculatrice, comment obtient-on la mesure d'un angle dont on connaît la valeur du sinus? u cosinus? e la tangente? Les exercices d'application 1 alculer le sinus ou la tangente d'un angle À l'aide de la calculatrice, calcule les valeurs, arrondies au centième, du sinus et de la tangente des angles donnés. ngle Sinus Tangente 2 alculer la mesure d'un angle À l'aide de la calculatrice, calcule la valeur arrondie au degré de la mesure des angles. Sinus 0,4 0,32 0,9 Tangente 0,28 1,5 2,3 ngle ngle 3 alcul de la longueur de l'hypoténuse est un triangle rectangle en, = 5 cm et = 35. On veut calculer la longueur. a. Repasse en couleur la longueur connue et la longueur que l'on cherche puis complète. [] est..., [] est à l'angle, on utilise donc. de l'angle. b. alcule. ans le triangle rectangle en, on a :. = côté... à... donc. = On applique la règle des produits en croix : =. On remplace par les données : =. À l'aide de la calculatrice, on en déduit la longueur arrondie au millimètre :... cm. 5 cm ; 35 4 alcul de la longueur d'un côté de l'angle droit M MNP est un triangle rectangle en M tel que PN = 5,4 cm et MPN = N On veut calculer la longueur MP. a. Repasse en couleur la longueur connue et la longueur que l'on cherche puis complète. [PN] est, [MP] est à l'angle MPN, on utilise donc de l'angle MPN. b. alcule MP. ans le triangle MNP... en M, on a :. MPN = côté... à MPN... donc. MPN = On applique la règle des produits en croix : MP =... On remplace par les données : MP =... À l'aide de la calculatrice, on en déduit la longueur MP arrondie au millimètre : MP... cm. 5 alcul de la mesure d'un angle RST est un triangle rectangle en S tel que RS = 4 cm et ST = 7 cm. On veut calculer la mesure de l'angle SRT. a. Repasse en couleur les deux longueurs connues puis complète. [RS] est. à l'angle SRT, [ST] est. à l'angle SRT, on utilise donc. de l'angle SRT. b. alcule la mesure de l'angle SRT. ans le triangle RST rectangle en S, on a :. SRT =.. ;. SRT = donc. SRT = À l'aide de la calculatrice, on en déduira mesure de l'angle SRT arrondie au degré : SRT. P R 4 cm S 5,4 cm 7 cm ; T 100 TRIONOMÉTRI : PITR 2

5 SÉRI 2 : LULS 6 À toi de jouer IJK est un triangle rectangle en I tel que IJ = 3,2 cm et JK = 5,3 cm. J 5,3 cm 3,2 cm I 8 ans un trapèze rectangle est un trapèze rectangle de bases [] et [] tel que = = 4,5 cm et = 6 cm. alcule la mesure de l'angle K IKJ arrondie au degré. 7 hoisis le bon triangle 40 5 cm est un triangle rectangle en, est le pied de la hauteur issue de, = 5 cm ; = 40. a. alcule la longueur arrondie au dixième. b. alcule la longueur arrondie au dixième. a. alcule la mesure de l'angle arrondie au degré. b. alcule la longueur de la diagonale [] arrondie au millimètre. c. Quelle est la nature du triangle? Justifie. d. alcule la longueur arrondie au millimètre. PITR 2 : TRIONOMÉTRI 101

6 ÉRI 3 : SYNTÈSS SÉRI 1 Ombre Luc a construit un plan incliné de 30 dont la base mesure 15 cm de long pour propulser des billes. Quelle est la longueur de la pente? onne l'arrondi au millimètre. 2 Un peu de lumière ans la nuit, un lampadaire de 2,60 m de haut, dessine sur le sol un disque de 95 cm de rayon. Quelle est la mesure de l'angle, arrondie au degré, formé par le cône de lumière avec le sol? 3 Question de stabilité Pour effectuer une réparation sur un toit, steban doit poser son échelle contre un mur. Pour qu'elle soit suffisamment stable et pour éviter de glisser, cette dernière doit former un angle d'au moins 65 avec le sol. a. L'échelle mesure 2,20 m. êné par un bassin à poissons rouges, steban n'a pu poser son échelle qu'à 1,20 m du mur. ette échelle sera-t-elle suffisamment stable? Justifie cm P b. À quelle distance minimum du mur doit-il placer son échelle pour qu'elle soit stable? 4 xtrait du revet est un triangle rectangle en tel que = 8 cm et = 30. a. onstruire la figure en vraie grandeur. b. On note le pied de la hauteur issue de. alculer, en centimètres, la longueur du segment [], arrondie au millimètre. c. alculer, en centimètres, la longueur du segment [], arrondie au millimètre. d. On donne : cos 30 = 3 2 ; sin 30 = 0,5 et tan 30 = 3. éterminer la valeur exacte de 3 l'aire de. 102 TRIONOMÉTRI : PITR 2

7 SÉRI 3 : SYNTÈS 5 ans plusieurs triangles Sachant que les points, et sont alignés, on veut calculer la longueur S. a. alcule la mesure de l'angle S. b. alcule la mesure de l'angle S. c. éduis-en l'arrondi au dixième de S. 6 hoisir le triangle Joseph veut connaître la distance entre deux monuments placés en O et en T et alignés avec le point L. Il sait que LP = 2 km, (LP) (LT) et par visée à partir du point P, il a obtenu les mesures des angles LPO et LPT km P 70 a. xprime OT en fonction de LT et LO. b. alcule OT. 25 L O T S 8 cm 7 onne vue? eux immeubles distants de 10 m, U sont situés l'un derrière l'autre. Le premier immeuble mesure 12 m. akim N 1,5 m se trouve à 14 m du 10 m 14 m premier immeuble, ses yeux sont à 1,50 m du sol. Peut-il voir le deuxième immeuble qui mesure 17 m? 8 Quel outil? 17 m Sur la figure suivante, les points,, d'une part et,, d'autre part sont alignés. Les triangles et sont rectangles en et. = 3 cm ; = 6,6 cm et = 37. a. onne l'arrondi au dixième de. b. alcule. onne l'arrondi au dixième. c. onne l'arrondi à l'unité de. 12 m PITR 2 : TRIONOMÉTRI 103

8 ÉRI 3 : SYNTÈSS SÉRI 9 ans l'espace est un parallélépipède rectangle tel que : = 10 cm ; = 4,8 cm ; = 6,4 cm. a. alcule. b. Quelle est la nature du triangle? c. onne l'arrondi à l'unité de la mesure de l'angle. 10 Possible? a. Peux-tu trouver un angle aigu tel que cos = 3 5 et sin = 4? Justifie. Si oui, déduis-en 5 tan sans déterminer la mesure de l'angle. b. Mêmes questions si cos = 2 7 et sin = Sans calculer la mesure de l'angle a. est un angle aigu tel que cos = 0,6. Sans calculer la mesure de l'angle, détermine la valeur de sin. b. éduis-en tan. 12 émonstration a. Justifie que les angles et ont la même mesure. b. émontre que =. c. éduis-en 2 en fonction de et. d. pplication RST est un triangle rectangle en R, U est le pied de la hauteur issue de R, ST = 10 cm et SU = 6 cm. alcule la valeur exacte de l'aire de RST. 104 TRIONOMÉTRI : PITR 2