Correction détaillée du Devoir Commun de Mathématiques 4 ème (partie 2)

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1 Correction détaillée du Devoir Commun de Mathématiques 4 ème (partie 2) Exercice 1 : Roméo et Juliette /3pts A l occasion de la Saint-Valentin, Roméo impatient décide de rejoindre Juliette sur son balcon à l aide d une échelle. Le balcon est à une hauteur de 3,50 m. (JH = 3,50 m). Roméo est tenu à l écart de la maison par un fossé de 2 m. (HR = 2 m). On considère que les droites (JH) et (HR) sont perpendiculaires. Calculer, en justifiant, la longueur minimale de l échelle pour que Roméo puisse rejoindre Juliette. On arrondira au centimètre près. Pour calculer la longueur JR de l échelle, je vais utiliser la propriété de Pythagore dans le triangle JHR rectangle en H. «Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.» Comme le triangle JHR est rectangle en R, je peux utiliser la propriété de Pythagore et écrire : JR² = JH² + HR² d où BR² = (3,5m)² + (2m)² = 12,25m 2 + 4m² = 16,25m² Donc, JR= 16,25 m= 4,0311m La longueur de l échelle est 4, 03 m à 1cm près. Exercice 2 : des Programmes de calcul /4pts On propose les deux programmes de calculs suivants : Programme A Programme B Choisir un nombre ; Choisir un nombre ; Ajouter 5 ; Soustraire 3 ; Multiplier le tout par 2 ; Multiplier le tout par 5. Soustraire 7. 1) Montrer que si l on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 23 avec le programme A. On choisit 10 comme nombre de départ. Avec le programme de calcul A, on a En choisissant 10 comme nombre de départ, on obtient bien 23 à l arrivée.

2 2) On choisit le nombre 2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme B? On choisit 2 comme nombre de départ Avec le programme de calcul B, on a En choisissant 2 comme nombre de départ, on obtient 25 à l arrivée. 3) Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0? Avec le programme de calcul B, on a 3 5?? 0 1 ère méthode remonter le programme ème méthode résoudre une équation Si x est le nombre de départ, le programme B donne le nombre (x 3) 5 à l arrivée. Pour obtenir 0, il faut chercher le nombre x tel que (x 3) 5 = 0 D où x 3 = 0 donc x = 3 Il faut choisir le nombre 3 pour que le programme B donne 0. 4) Quel nombre faut-il choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes? Expliquer. Si x est le nombre de départ, le programme A donne le nombre (x + 5) 2 7 à l arrivée. Si x est le nombre de départ, le programme B donne le nombre (x 3) 5 à l arrivée. Pour que les deux programmes donnent le même résultat, il faut que (x + 5) 2 7 = (x 3) 5 On doit résoudre cette équation avec rigueur (penser à développer d abord!) 2x = 5x 15 2x + 3 = 5x 15 2x 5x = x = x = 3 3 x = 6 Il faut choisir le nombre 6 pour que les deux programmes donnent le même résultat.

3 Exercice 3 : Avec un tableur /3pts (A compléter sur cette feuille) La fiche de calcul ci-dessous donne le nombre de passagers d un vol Nantes-Toulouse durant une semaine : 1) Quelle est la formule écrite dans la cellule I2? = SOMME (B2 : H2) ou =B2+C2+D2+E2+F2+H2 2) Parmi les six formules suivantes, entourer celles qui peuvent convenir pour la cellule J2 : MOYENNE (152 : 163) = MOYENNE (B2 : H2)/1113 = SOMME (B2 : H2)/7 (B2+C2+D2+E2+F2+H2)/7 = MOYENNE (B2 : H2) = I2/7 A savoir : Il faut absolument le symbole = pour une formule 3) Calculer le nombre moyen de passagers sur ce vol pendant cette semaine. Mettre le résultat dans la cellule J / 7 = 159 Le nombre moyen de passagers sur ce vol pendant cette semaine est de 159. Exercice 4 : Sur la route /2pts Un routier quitte son entrepôt à 7 h 45. Le compteur de son camion indique km. Il roule sans arrêt à la vitesse moyenne de 80 km/h et arrive à 10 h 15 chez son client. Qu indique le compteur du camion à l arrivée chez le client? Expliquer. Calcul de la durée du trajet 10 h 15min 7 h 45min = 2h 30min = 2,5 h Calcul de la distance parcourue d = v t = 80km h 2,5h = 200km Calcul de la distance sur le compteur kilométrique du camion km + 200km = km Le compteur du camion à l arrivée chez le client indique km.

4 Exercice 5 : Les aventures de Tintin /2,5pts (A compléter sur cette feuille) Dans plusieurs albums de TINTIN, le capitaine Haddock prononce des jurons. 1) Sous chaque vignette, écrire sous la forme d une puissance de 10 le nombre prononcé par le capitaine. Nombre A : = = Nombre B : = = Nombre C : = = ) a) Que dire des nombres B et C? Les nombres B et C sont égaux. b) Quel est le carré du nombre A? A 2 = (10 12 ) 2 = = = B Le carré du nombre A est égal au nombre B. Exercice 6 : La cathédrale de Strasbourg /3pts Sur le dessin ci-contre, la Borne B est alignée avec la tête du bonhomme T et le sommet de la cathédrale S. On suppose que le bonhomme et la cathédrale sont en position verticale par rapport au sol horizontal. En H, le bonhomme qui mesure 1,77 m se trouve à 1,26 m de la borne B et à 100 m du pied de la cathédrale C. Calculer la hauteur de la cathédrale au mètre près. Expliquer. Pour calculer la longueur HT, je vais utiliser la propriété de Thalès dans les triangles BHT et BCS. Dans les triangles BHT et BCS, on a : Les points B, H, et C sont alignés Les points B, T, et S sont alignés Les droites (HT) et (CS) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même droite (BC). D après la propriété de Thalès, on peut écrire : BT = BH = TH BS BC SC Attention BC = BH + HC = 1,26m + 100m = 101,26m d où BT = 1,26m = 1,77m BS 101,26m SC On peut déduire que : SC = 101,26m 1,77m 1,26m 142,246m La hauteur de la cathédrale est de 142m à 1m près.

5 Exercice 7 : Les glaçons /2,5pts L eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-contre représente le volume de glace (en litres) obtenu à partir d un volume d eau liquide (en litres). 1) En utilisant le graphique, répondre aux questions : a) Quel volume de glace obtient-on avec 6,5 litres de liquide? b) Quel volume d eau liquide faut-il geler pour obtenir 10 litres de glace? 2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume d eau liquide? Justifier. Question Bonus : On admet que 10 litres d eau donnent 10,8 litres de glace. De quel pourcentage ce volume d eau augmente-t-il en gelant? 1) a) Avec 6,5 L de liquide, on obtient un volume d environ 7 L de glace. (voir tracés en pointillés rouges sur le graphique ci-dessus) b) Pour obtenir 10 L de glace, il faut geler environ 9 L d eau. (voir tracés en pointillés violets sur le graphique ci-dessus) A savoir : Une lecture graphique ne donne pas une réponse précise, on utilise donc le terme «environ» dans la réponse! 2) Les points du graphique sont alignés avec l origine du repère parce que l énoncé précise que l on a un segment de droite sur le graphique, on a donc une situation de proportionnalité ; ainsi : le volume de glace est proportionnel au volume d eau liquide. 3) Bonus On a une augmentation du volume de 0,8L pour 10L d eau. Comme on est dans une situation de proportionnalité (question 2), on aura une augmentation de 8L pour 100L d eau soit une augmentation de 8% du volume. Le volume d eau augmente de 8% en gelant.