Ses hauteurs [AP], [BQ] et [CR] se coupent au point H.

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1 D 9 E EE D EUE Soit un triangle. Ses hauteurs [], [] et [] se coupent au point. es milieux de [], [] et [] sont respectivement, et, ceux de [], [] et [] sont respectivement, et. Démontre qu il existe un cercle passant par les points,,,,,,, et? 1. Faisons une figure ' 2. uelques commentaires sur l énoncé Si il existe un cercle passant part les points,,,,,,, et ce cercle a pour diamètres [ ], [ ] et [ ]. [ ] et [ ] sont le diagonales du quadrilatère qui semble être un rectangle et [ ] et [ ] sont le diagonales du quadrilatère qui semble être un rectangle. es points, et sont des sommets des triangles, et qui sont des triangles rectangles. Il faut donc successivement démontrer que : - les quadrilatères et sont des rectangles,

2 - les segments [ ], [ ] et [ ] sont trois diamètres d un même cercle, et - les points, et sont des points du cercle ayant pour diamètres [ ], [ ] et [ ]. 3. Démontrons que le quadrilatère est un rectangle ' Dans le triangle, et sont respectivement les milieux des côtés [] et []. Dans le triangle, et sont respectivement les milieux des côtés [] et []. [] est le troisième côté de ces deux triangles. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors cette droite est parallèle au troisième côté. les droites ( ) et () d une part et () et () d autre part sont parallèles. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ces droites sont parallèles entre elles. les droites ( ) et () sont parallèles. dans le triangle, et étant les milieux respectifs des côtés [] et [] et, dans le triangle, et étant les milieux respectifs des côtés [] et [] et, [] étant le troisième côté de ces deux triangles, on démontre que : les droites ( ) et () d une part et ( ) et () d autre part sont parallèles et que : les droites ( ) et ( ) sont parallèles. [ ] et [] d une part et [ ] et [ ] d autre part sont les côtés opposés du quadrilatère, or : Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

3 le quadrilatère est un parallélogramme, est un point de la droite () donc les droites ( ) et () sont parallèles. () est la hauteur issue du sommet, donc les droites () et () sont perpendiculaires. si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. les droites ( ) et () sont perpendiculaires. les droites () et () sont perpendiculaires, les droites ( ) et () sont perpendiculaires et, l angle est un angle droit. Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle. le quadrilatère est un rectangle. 4. Démontrons que le quadrilatère est un rectangle ' De même nous allons démontrer que le quadrilatère est un rectangle. Dans le triangle, et sont les milieux respectifs des côtés [] et [] et, dans le triangle, et sont les milieux respectifs des côtés [] et [] et, [] est le troisième côté de ces triangles. les droites ( ) et () d une part et ( ) et () d autre part sont parallèles, les droites ( ) et ( ) sont parallèles. Dans le triangle, et sont les milieux respectifs des côtés [] et [] et, dans le triangle, et sont les milieux respectifs des côtés [] et [] et, [] est le troisième côté de ces deux triangles. les droites ( ) et () d une part et () et () d autre part sont parallèles, les droites ( ) et () sont parallèles.

4 [ ] et [ ] d une part et [ ] et [] d autre part sont les côtés opposés du quadrilatère, le quadrilatère est un parallélogramme. est un point de la droite () donc les droites ( ) et () sont parallèles. es droites () et () sont perpendiculaires, d où : les droites ( ) et () sont perpendiculaires, les droites () et () sont parallèles, les droites ( ) et () sont perpendiculaires et, l angle est droit. le quadrilatère est un rectangle. 5. Démontrons que [ ], [ ] et [ ] sont trois diamètres d un cercle passant par les points,,,, et. ' [ ] et [ ] sont les diagonales du rectangle. les diagonales d un rectangle ont même milieu et même longueur, d où : les segments [ ] et [ ] ont même milieu et même longueur. [ ] et [ ], étant les diagonales du rectangle, ont même milieu et même longueur. [ ], [ ] et [ ] ont même milieu et même longueur. Donc [ ], [ ] et [ ] sont trois diamètres d un même cercle passant par les points,,,, et.

5 6. Démontrons que ce cercle passe aussi par les points, et. ' e point est le pied de la hauteur () donc l angle est droit, le triangle est rectangle en et son hypoténuse est [ ], or : Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle ayant son hypoténuse pour diamètre, le triangle est inscrit dans le cercle de diamètre [ ], est un point de ce cercle. en considérant le triangle rectangle en qui a pour hypoténuse [ ] on démontre que : est un pont de ce cercle. Et : en considérant le triangle rectangle en qui a pour hypoténuse [ ] on démontre que : est un point de ce cercle. le cercle de diamètres [ ], [ ] et [ ] passe par les points, et. 7. onclusion Il existe un cercle passant par les points,,,,,,, et. e cercle est connu sous le nom de «cercle des neuf points» ou «cercle d Euler».

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