Devoir de révision vacances de printemps. Durée : 2 heures nom et prénom : Exercice 2 :

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1 Termiale sts Devoir de révisio vacaces de pritemps Durée : heures om et préom : Exercice 1 : U laboratoire pharmaceutique fabrique u médicamet. Le test de cotrôle de qualité de ce médicamet porte sur deux poits : sa masse et sa teeur e potassium. O s'itéresse au ombre de médicamets rejetés par ce laboratoire ces derières aées. O sait qu'e 1990 le ombre de médicamets rejetés était de O costate qu'à partir de cette aée-là, le ombre de médicamets rejetés a dimiué régulièremet de 3 % chaque aée, et o fait l'hypothèse que cette évolutio va cotiuer à se poursuivre. O ote u le ombre de médicamets rejetés pour les aées ( ). Das la suite de l'exercice, les résultats serot arrodis à l'uité. 1) Calculer u 1, u et u 3. ) Exprimer u + 1 e foctio de u. Quelle est la ature de cette suite? (Justifier) 3) Exprimer u e foctio de. 4) Quelle est le ombre de médicamets rejetés etre 1990 et 010? 8) Résolvez algébriquemet l'iéquatio ,97 < Iterpréter ce résultat. Formulaire : La somme de p termes cosécutifs d ue suite géométrique( u ), de raiso q différete de 1, se calcule de la p p+ 1 1 q maière suivate : u= u0+ u1+ u up= u0. 1 q = 1 Exercice : 5 poits Lors d'ue épidémie de grippe e Guadeloupe, o a relevé lors des six premières semaies, le ombre de ouveaux cas cotamiés. Cette épidémie a évolué comme idiqué das le tableau suivat : Semaie ( x i ) Nombres de persoes cotamiées ( y i ) Partie A : 1) Costruisez le uage de poits associé à la série statistique (xi, yi) das le repère orthogoal de la feuille ANNEXE. ) Calculez les coordoées du poit moye G et doez-e ue valeur arrodie au dixième. Placez le poit G das le repère orthogoal de la feuille ANNEXE. 3) E première approximatio, o evisage de représeter le ombre de persoes cotamiées y comme ue foctio affie du ombre x de semaies. L équatio de la droite d ajustemet est doée par : y = 3,8x - 38,7. Vérifier que G appartiet à cette droite. 4) Tracez cette droite (D) das le repère orthogoal de la feuille ANNEXE e justifiat. 5) Quelle prévisio pouvait-o faire lors de la 7 ème semaie avec cette approximatio? Doez ue valeur arrodie à l'uité. Partie B : E observat le uage de poits, o evisage u deuxième modèle d'ajustemet doé par y= f(x) avec : f( x) = x 100x ) Calculez la dérivée f ( x) et dressez le tableau de variatio de la foctio f sur l'itervalle [1; ]. ) Tracez la courbe représetative Cf de la foctio f das le repère orthogoal de la feuille ANNEXE e correspodace avec le uage de poit de la questio 1) de la partie A. 3) Quelle prévisio pouvait-o faire pour la 7 ème semaie avec ce deuxième ajustemet? Doez ue valeur arrodie à l'uité. Partie C : E réalité, le ombre de persoes cotamiées lors de la 7ème semaie a été e hausse de 0 % par rapport à celui de la semaie précédete. Des deux ajustemets evisagés das les questios précédetes, quel est celui qui doait la meilleure prévisio pour le ombre de persoes cotamiées lors de la 7 ème semaie? Justifiez votre répose.

2 Exercice 3 : Das ue partie du mode, o estime que 15 % de la populatio est cotamiée par u virus X. La stratégie de dépistage met e place u test biologique qui devrait être égatif si la persoe est pas cotamiée et positif si la persoe est cotamiée. O observe les résultats suivats : Quad la persoe est cotamiée par le virus X, le test est positif das 99, % des cas ; Quad la persoe est pas cotamiée par ce virus, le test est égatif das 97, % des cas. 1) E cosidérat ue populatio de persoes observées, compléter le tableau suivat, sas justifier les calculs. Test positif Test égatif Persoes cotamiées Persoes o cotamiées Total Total ) Das l exercice, les probabilités serot exprimées sous la forme d u ombre décimal, arrodi évetuellemet à10 près. O choisit ue persoe au hasard das cette populatio, toutes les persoes ayat la même probabilité d être choisies. O pose les évéemets : A : «la persoe est cotamiée par le virus» ; B : «la persoe a u test positif». a) Calculer la probabilité de chacu des évèemets A et B. b) Ecrire avec ue phrase e fraçais l évéemet A B. c) Calculer la probabilité de A B. d) Calculer la probabilité que la persoe e soit pas cotamiée par le virus et ait u test positif. e) Calculer la probabilité que la persoe soit cotamiée par le virus et ait u test égatif ; f) Calculer la probabilité de l évèemet F : «le test doe u résultat faux». 3) O choisit maiteat, au hasard, ue persoe ayat u test égatif. Quelle est la probabilité qu elle soit cotamiée par le virus? 4

3 Aexe : Exercice Nom et préom :

4 Termiale sts Correctio du devoir de révisio vacaces de pritemps Exercice 1 : 1) Comme il y a ue dimiutio e pourcetage de 3 % alors tous les termes sot multipliés par u coefficiet multiplicatif de 3 baisse égal à 1 3 = 0, doc u1= 1 u 0= 0, = u = 0, 97 u1= 0, = 193 et u3= 0, 97 u = 0, = ) Pour tout, u + 1= 1 u = 0, 97 u 100. Pour calculer le ombre de médicamets rejetés ue aée, o multiplie le ombre de médicamets rejetés l'aée précédete par u même ombre 0,97. Doc la suite ( u ) est ue suite géométrique de raiso 0,97 et de premier terme ) Selo la formule du cours, u = u q = , ) Pour calculer ce ombre, il faut faire la somme des termes cosécutifs de u 0 jusqu'à 0. O utilise la formule du cours q 1 0, 97 S = u0 + u u0 = u0 = = 8351 à l'uité. Il y a eu médicamets rejetés etre 1990 et 1 q 1 0, ) Pour résoudre cette iéquatio, ous auros besoi d'utiliser la foctio logarithme : log 0, , 97 < 4500 ssi 0,97 < ssi log 0,97 < log ssi log 0,97 < log ssi > log 0,97 (Le ses chage car log 0,97 < 0). Or log 0,5 45,51. Le premier etier à partir duquel l'iégalité est vraie est doc 4. log 0,97 Doc il faut 4 as pour que la quatité de médicamets rejetés soit iférieure au quart de la quatité de Exercice : Partie A : 1) Voir feuille ANNEXE ) xg = = 3,5 et yg = = 883, 3. Doc G (3,5 ; 883,3). 3) Si x = 3,5 alors y = 3,8 3,5 38,7 = 883,3 au dixième près. 4) Plaços les poits suivats : Si x =, y = 3,8 38,7 = 339,05 et si x =, y = 3,8 38,7 = 1790, 49. 5) O peut répodre graphiquemet ou par le calcul : Si x = 7, y = 3, , 7 = 153, 35. O peut estimer le ombre de cas à 153 lors de la 7éme semaie de l'épidémie. Partie B : f x x x 100 f x = 0 ssi13x 100 = 0 1) ( ) = =. C'est ue foctio affie à coefficiet strictemet positif. ( ) ssi x = = < 1. Alors la foctio dérivée est strictemet positive sur [1 ; ] La foctio f est strictemet croissate sur [1 ; ]. f ( 1) = = = 19 et f ( ) = = 00. Voici le tableau de variatio de f sur [1 ; ] : ) O représete la courbe grâce au tableau de valeurs suivat : x 1 x f( x) = x 100x f(x) 3) O peut répodre graphiquemet ou par le calcul : Si x = 7, f( 7) = = 74. O peut estimer le ombre de cas à lors de la 7éme semaie de l'épidémie avec cet ajustemet. 0 Partie C : S'il y a ue augmetatio de 0 % etre la ème et la 7éme, o calcule : = 000 1, 0 = 400. E 100 réalité, il y a eu 400 la 7éme semaie. Premier ajustemet : = 47 cas e mois par rapport à la réalité. Deuxième ajustemet : = 34 cas e plus que la réalité. Le premier ajustemet est doc le plus proche de la réalité. 00

5 Exercice 3 : 1) Persoes cotamiées : 15 = 1500 ; Si la persoe est cotamiée, le test est positif das 99, % des cas doc , = ; Si la persoe est pas cotamiée, le test est égatif das 97, % des cas doc 97, =. Persoes cotamiées Persoes o cotamiées Total Test positif Test égatif Total ) Il y a cas possibles. a) A : «la persoe est cotamiée par le virus» ; il y a 1500 cas favorables ; ( ) B : «la persoe a u test positif» ; ; il y a 198 cas favorables ; ( ) b) A B : «la persoe est cotamiée par le virus et a u test positif». c) il y a 1494 cas favorables ; ( ) 1494 P A B = = 0, P A = = 0,15 ; 198 P B = = 0,198. d) G : «la persoe est pas cotamiée le virus et a u test positif» ; il y a 04 cas favorables ; ( ) e) H : «la persoe est cotamiée et a u test égatif» ; il y a cas favorables ; ( ) P H = = 0, P G = = 0, 004. f) F : «le test doe u résultat faux» ; O remarque que F = G H, la réuio état disjoite ; il y a doc 04 + = 10 cas favorables ; ( ) 10 P F = = 0, 010. Ou bie P(F) = P(G) + P(H) = 0, ,000 = 0,010. 3) O choisit maiteat, au hasard, ue persoe ayat u test égatif. Il y a doc 830 cas possibles. A : «la persoe est cotamiée par le virus» ; il y a cas favorables ; ( ) P A = = 0,

6 Aexe : Exercice