Master de Sciences, Spécialité Statistique 2014/15 Master Actuariat. Analyse des données CORRIGÉ. Examen

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1 Université de Strasbourg Analyse des données Master de Sciences, Spécialité Statistique 2014/15 Master Actuariat Analyse des données CORRIGÉ Examen Durée : 2h00 Calculatrice autorisée Sans document Questions de cours [4 points] 1. En ACP normée, définir mathématiquement la matrice dont on recherche les vecteurs et valeurs propres. Quel nom porte cette matrice? Même question pour une ACP non normée. Si X désigne la matrice des données de dimensions (n,p), alors V = 1 n Xt X définit la matrice dite d inertie de l ACP. Lorsque les données de X sont centrées et réduites (ACP normée), la matrice V est égale à la matrice des corrélations. Lorsque les données de X sont uniquement centrées(acp non normée), la matrice V est égale à la matrice de variance - covariance. 2. Quelle est la valeur maximale de l inertie d un axe factoriel en AFC? Quelle est la structure du tableau de données dans un tel cas de figure? En AFC, l inertie d un axe ne peut dépasser la valeur 1. Lorsqu il existe un ou plusieurs axes factoriels dont l inertie est égale à 1, le tableau de contingence présente une structure par blocs : des modalités lignes sont associées de façon exclusive à des modalités colonnes. Par exemple, en cas d un seul axe factoriel dont l inertie vaut 1, un sous-ensemblei 1 de modalités lignes présentera une situation de dépendance totale avec un sous sous-ensemble de modalités J 1 de la variable en colonne (idem entre un sous-ensemble I 2 et un sous-ensemble J 2.) 3. Définir ce qu on appelle relations quasi-barycentriques en analyse factorielle des correspondances? Pourquoi ne sont-elles qualifiées que de quasi barycentriques? Les relations quasi-barycentriques en AFC mettent en relation les positions des modalités lignes (i) et celles des modalités colonnes (j) le long d un axe (k). En particulier : une modalité (i) se 1

2 positionne, au coefficient 1 λk près, au barycentre des modalités colonnes (j) : F k (i) = 1 J n ij G k (j) λk n i Ainsi une modalité (i) sera attirée par les modalités colonnes (j) pour lesquelles les fréquences n ij seront plus importantes. j=1 De façon similaire, une modalité (j) se positionne, au coefficient 1 λk près, au barycentre des modalités lignes (i) : G k (j) = 1 λk I i=1 n ij n j F k (i) Ces relations sont dites quasi barycentriques, car il est bien sûr impossible de représenter simultanément les lignes au barycentre des colonnes et vice versa... La présence du coefficient λk 1 intervient donc comme un coefficient de dilatation qui permet d assurer au mieux cette double propriété barycentrique. 4. Définir mathématiquement (formalisme matriciel/vectoriel) la notion de composante principale en ACP. En ACP, une composante principale de rangk, notée C k, est un vecteur de dimension n (où n est le nombre d individus du tableau de données) renfermant les coordonnées des individus le long de l axe (k). La coordonnée d un individu (i) est obtenue par projection de son vecteur de description x i sur l axe (k), engendré par un vecteur u k de norme 1 : c ik =< x i,u k >. On en déduit que C k est défini par : C k = Xu k. 2

3 Exercice 1. [8 points] On réalise l analyse des correspondances multiples d un tableau de données (voir Table 1) où neuf individus sont décrits par trois variables qualitatives X 1,X 2 et X 3. Ind X 1 X 2 X Table 1 Neuf individus décrits par trois variables qualitatives. La Table 2 fournit un extrait des résultats numériques produits par l ACM. Questions 1. Construire le tableau disjonctif complet associé au tableau de la Table 1. Déterminer les marges ligne et colonne de ce nouveau tableau. Avec les notations suivantes : I : nombre total d individus : I = J : nombre total de variables : J = 3 K : nombre total de modalités : K = 2. En déduire les coordonnées du barycentre G I des profils-lignes ainsi que celles du barycentre G K des profils-colonnes. Le barycentre G I des profils lignes est de terme général n k n ; celui des profils colonnes, G K est de terme général ni n. On en déduit que : G I = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ) et G K = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ) 3. Donner le profil ligne de l individu 1 et le profil-colonne de la deuxième modalité de la variable X 3. Profil ligne de l individu 1 : ( 1 3,0,0, 1 3,0,0, 1 3,0,0). Profil colonne de la 2e modalité de X 3 : (0, 1 3,0,0, 1 3,0,0, 1 3,0). 4. Quelles sont les masses associées aux profils-lignes? Quelles sont les masses associées aux profils-colonnes? (Justifier en rappelant les formules utilisées.) Masse d une ligne i : m i = 1 I. Donc m i = 1, i = 1,...,. Masse d une colonne k : m k = I k IJ. Donc m k = 3 27 = 1, k = 1,...,. 3

4 5. Combien d axes factoriels l ACM produit-elle? Rappeler la formule utilisée. Nombre d axes factoriels en ACM = (K J) = 3 = Sachant que la valeur propre la plus élevée vaut 5 et que la plus faible vaut 1, montrer que la dernière valeur propre (de multiplicité 4) est égale à 1 3. On sait que l inertie totale, égale à la somme des valeurs propres, est aussi déterminée par K J 1. D où : K=6 k=1 λ k = 3 1 = 2 Comme λ 1 = 5,λ 6 = 1 et que la dernière valeur propre λ est de multiplicité 4, on a : D où : λ = λ+ 1 = D après le critère de Kaiser, combien d axes serait-il intéressant de retenir pour l analyse? Le critère de Kaiser consiste à retenir les axes dont l inertie est supérieure à l inertie moyenne. Or l inertie moyenne en ACM vaut 1 J = 1 3. Seul le premier axe possède donc une inertie strictement supérieure à la moyenne. 8. Calculer la contribution brute et la contribution relative de l individu 1 au premier axe factoriel. La contribution brute d un individu (i) à un axe (k) se détermine par : ctr k (i) = m i c 2 ik La contribution brute de l individu (i 1 ) à l axe (1) se calcule donc comme suit : ctr 1 (i 1 ) = 1 ( 1)2 = 1 La contribution relative d un individu (i) à un axe (k) se détermine par : ctr k (i) λ k D où la contribution relative de l individu (i 1 ) à l axe (1) : 1 5 = 1 5. Calculer la distance entre le profil ligne de l individu 1 et son centre de gravité G I. En déduire la qualité de représentation de cet individu pour l axe 1. On rappelle que les deux profils sont donnés par : ( 1 i 1 = 3,0,0, 1 3,0,0, 1 ) 3,0,0 ( 1 G I =, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ) D où la distance du χ 2 entre ces deux profils : d 2 χ 2(i 1,G I ) = 1 1 = 3 = 2 ( 1 3 ) ( ( 0 1 ) 2 ) 2 +6 ( 0 1 ) 2 4

5 On en déduit la qualité de représentation de l individu i 1 sur l axe 1 : qlt 1 (i 1 ) = cos 2 (θ 1 ) = c 2 i1 d 2 χ (i 2 1,G I ) = ( 1)2 = Construire le graphique des variables pour les axes 1 et 2. Interpréter brièvement le graphe obtenu. En ACM, la coordonnée d une variable sur un axe est déterminée par son rapport de corrélation avec l axe (indicateurs eta2 dans R.) On en déduit donc la position suivante des trois variables dans le plan engendré par les axes 1 et 2 : Les variables X 1 et X 2 ont des coordonnées élevées sur l axe 1 : les individus se différencient donc principalement selon ces deux variables le long de l axe 1. Tandis que les différences perçues entre les individus le long de l axe 2 sont davantage liées aux modalités de la variable X 2. 5

6 > res$ind $coord Dim 1 Dim e e e e e e e e e e e e e e e e e e-01 > res$var $eta2 Dim 1 Dim 2 Dim 3 Dim 4 Dim 5 X e X e X e Table 2 Extrait des résultats produits par l ACM. 6

7 Exercice 2. [8 points] Cinq shampooings (P1 à P5) ont été évalués par un panel de 60 consommateurs. Pour chacun des shampooings, chaque consommateur devait indiquer si certains qualificatifs (sensuel, énergique, romantique, désir, etc.) s appliquaient oui ou non à ce produit. Le tableau 3 résume les résultats obtenus. Romantique Énergique Relaxé Sensuel Salivant P P P P P Irrité Nostalgique Affamé Désir Rafraîchi Heureux Mélancolique moyenne 1,4 28,4 30, ,2 6,8 12,2 5,4 15, écart type 4,2 4,8 6,2 3,7 8,8 2,7 4,4 3,5 4,7 3, 5,1 3,7 Table 3 Évaluation de cinq shampooings par 60 consommateurs. Dans chaque case (i,j) : nombre de consommateurs ayant indiqué que le qualificatif (j) s appliquait au shampooing (i). On réalise une analyse en composantes principales normée sur ce tableau. La Table 4 présente un extrait des résultats de l ACP fournis par le logiciel FactoMineR (certaines valeurs ont été effacées). La Figure 1 fournit le premier plan factoriel des individus et celui des variables. Questions 1. Rappeler précisément les transformations qui sont réalisées au préalable sur les données dans le cadre d une ACP normée. Quelles auraient été les conséquences concrètes du choix d une ACP non normée? Dans une ACP normée, chaque variable X j est centrée et réduite. Cela consiste à remplacer chaque valeur x ij par (xij xj) s j. Les nouvelles valeurs de X j sont ainsi de moyenne nulle et d écart type égal à 1. Lorsque l ACP est non normée (données centrées mais non réduites), chaque variable dans R n a une longueur proportionnelle à son écart type. Les qualificatifs associés à des écarts types plus importants (ceux qui discriminent bien les produits mais aussi ceux possédant des moyennes plus élevées 1 ) ont donc un peu plus de chance d attirer les axes dans une ACP non normée. 2. Combien d axes factoriels l analyse produit-elle? Commenter. Le nombre d axes d une ACP est calculé par min(n, p) = min(5, 12) = 5, soit la plus petite dimension du tableau. On remarque qu ici, le nombre d axes est égal à 4; cela signifie que le rang de la matrice d inertie est égal à 4, les individus se situent donc au départ dans un sous-espace de dimension Que vaut l inertie totale? Justifier. Retrouver toutes les valeurs propres effacées dans le tableau des inerties produit par R. L inertie totale est égale au nombre p de variables, car l ACP est normée, soit I tot = 12. λ D après le graphe, 2 I tot = 1 3. D où λ 2 = 4. λ On en déduit que le pourcentage d inertie associé à l axe 3 est : 3 I tot = les variables possédant des moyennes plus importantes ont mécaniquement des écart types plus élevés. 7

8 = D où λ 3 = L axe 4 a quant à lui une inertie λ 4 = = Retrouver la valeur de la qualité de représentation de l individu P5 sur l axe 1. On sait que K qlt k (i) = 100% D où : qlt 1 (P5) = = k=1 5. Calculer la valeur de la contribution relative (en %) de l individu P3 à l axe 1. En déduire la contribution relative de P4 à l axe 1. La contribution relative de i à l axe k est définie par : ctr k (i) = m i c 2 ik λ k D où : 1 5 ctr 1 (P3) = = 10.05% La somme des contributions des individus s élevant à 100% : n ctr k (i) = 100% on en déduit : i=1 ctr 1 (P4) = 1 ( )= Donner la valeur précise de la corrélation entre la variable Irrité et le deuxième axe factoriel. La corrélation est donnée par la coordonnée de la variable sur l axe : r(irrité,axe2) = Quelles sont les deux variables les plus corrélées au second facteur de l ACP? Justifier. Là encore, il suffit de repérer les coordonnées les plus élevées (en valeur absolue) sur l axe : r(heureux, axe2) = r(rafraîchi, axe2) = Peut-on affirmer que les produits 2 et 3 ont été perçus de façon similaire par les consommateurs? Pourquoi? On peut affirmer que P2 et P3 sont réellement similaires si leur qualité de représentation sur ce plan est satisfaisante. Mais ce n est pas le cas car P3 est mal représenté dans ce plan (alors que P2 l est). Leur proximité sur ce plan est donc (en partie) trompeuse.. À partir des représentations graphiques, commenter la manière dont le produit P 1 a été perçu par les consommateurs. Rappeler à cette occasion la règle de lecture utilisée en ACP qui vous permet d étayer votre commentaire. On utilise une règle de lecture directionnelle : le produit P1 prend des valeurs supérieures à la moyenne pour les variables allant dans sa direction (la variable rafraîchi) et inférieures à la moyenne pour les variables allant en direction opposée (les qualificatifs heureux, désir, affamé, salivant). En d autres termes, de nombreux utilisateurs associent donc de manière privilégiée le terme rafraîchi au produit P 1 mais peu souvent les termes salivant, affamé, etc. 10. Aurait-on pu étudier ce tableau de données à l aide d une autre méthode d analyse factorielle? Si oui, laquelle? Justifier. Ce tableau pourrait être traité de façon intéressante à l aide d une analyse factorielle des correspondances, car il se présente comme un tableau de contingence (chaque case peut être interprétée comme le nombre de fois où une modalité de la variable en ligne (Produit) est associée à une modalité de la variable en colonne (Qualificatif.) 8

9 > res$eig eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance comp comp 2 comp 3 comp > res$var $coord Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Romantique Energique Relaxé Sensuel Salivant Irrité Nostalgique Affamé Désir Rafraichi Heureux Mélancolique > res$ind $coord Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 P P P P P $cos2 Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 P P P P P $contrib Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 P P P P P Table 4 Extrait des résultats produits par l ACP

10 Individuals factor map (PCA) Dim 2 (33.33%) P4 P1 P5 P3 P Dim 1 (38.31%) Variables factor map (PCA) Dim 2 (33.33%) Nostalgique Romantique Mélancolique Relaxé Irrité Rafraichi Heureux Désir Affamé Sensuel Salivant Energique Dim 1 (38.31%) Figure 1 ACP des shampooings. Premier plan factoriel des individus et des variables. 10

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