ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE
|
|
- Ariane Brosseau
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers cedex. fouks@esip.univ-poitiers.fr E. Lesigne et M. Peigné. Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique. Faculté des Sciences et Techniques. Univ. François Rabelais. Parc de Grandmont, 3700 Tours. emmanuel.lesigne@univ-tours.fr marc.peigne@univ-tours.fr Résumé. La marche aléatoire centrifuge est une chaîne de Markov dans l espace euclidien dont les transitions sont celles d une marche aléatoire symérique ordinaire perturbées par une dérive centrifuge. Nous étudions le comportement de ce processus en moyenne, par trajectoires individuelles et en loi quand le temps tend vers l infini. Sommaire Introduction Présentation de la chaîne étudiée, sur un exemple simple. Méthodes et résultats 3 Motivation extra-mathématique 3. La marche centrifuge 3.. Présentation du modèle 3.. Quelques notations 5.3. Hypothèses de non-dégénérescence 5.4. Principaux résultats 5. Comportement en norme 6.. Estimations de moments 6.. Loi des grands nombres 9.3. Théorème limite central 0 3. Comportement en direction 3.. Convergence 3.. Piégeage dans les cônes et support de la loi limite 4 4. Indépendance asymptotique de la norme et de la direction 8 5. Questions Loi limite de la direction 5.. Théorème limite local 6. Appendice : TLC pour martingales avec paramètre 3 References 5 Date: novembre 004.
2 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Introduction L objet de cet article est l étude du comportement en temps grand d une marche aléatoire dans l espace euclidien, soumise à une dérive centrifuge. L étude précise de cette chaîne de Markov est justifiée par une double motivation. D une part la question est apparue en dehors du champ usuel du Calcul des Probabilités, lui ôtant ainsi le risque de généralisation purement gratuite, d autre part elle conduit à des résultats mathématiques significatifs, et à quelques problèmes ouverts. Présentation de la chaîne étudiée, sur un exemple simple. Nous considérons des processus markoviens à temps discret, dont les transitions sont sont gouvernées par celles d une marche aléatoire classique perturbées par une dérive centrifuge. La loi de la marche aléatoire et la perturbation sont soumises à des conditions de symétrie. Ces processus peuvent être à transitions discrètes ou continues, ils peuvent vivre dans un réseau ou dans l espace euclidien tout entier. Le cadre général est précisément décrit dans la première section de l article. Présentons ici l exemple le plus simple de ces marches aléatoires centrifuges. Nous partons de la marche aléatoire simple sur le réseau Z d, que nous perturbons pour imposer une dérive centrifuge. Pour éviter les formules trop lourdes plaçons nous en dimension d =. Soit a un paramètre réel fixé entre 0 et. La marche centrifuge plane aux plus proches voisins est une chaîne de Markov sur Z dont les transitions sont gouvernées par les probabilités suivantes : P 0, 0,, 0 = P 0, 0,, 0 = P 0, 0, 0, = P 0, 0, 0, = 4 et, si x, y Z, avec x, y 0, 0, en notant ρ := x + y, P x, y, x +, y = + a x, P x, y, x, y = 4 ρ 4 a x, ρ P x, y, x, y + = + a y, P x, y, x, y = a y. 4 ρ 4 ρ L accroissement moyen d un pas de cette chaîne à partir du point x, y non nul x, y. La dérive est donc centrifuge et d intensité constante. Pour éviter les est a ρ problèmes d arithméticité liés à cet exemple, et pour améliorer l isotropie de cette marche centrifuge le modèle d une marche aux huit plus proches voisins a aussi été proposé. En voici une description rapide. L espace des phases est encore Z et on fixe cette fois deux paramètres a et r compris entre 0 et. Les probabilités de transition s écrivent P 0, 0, x, y = r si x + y =, 4 P 0, 0, x, y = r si x = y =, 4 et, si x, y Z, x, y 0, 0, en notant ρ := x + y, ɛ = ±, ɛ = ±, P x, y, x + ɛ, y = r + ɛa x, 4 ρ P x, y, x, y + ɛ = r + ɛa y, 4 ρ P x, y, x + ɛ, y + ɛ = r + a ɛx + ɛ y. 4 ρ
3 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 3 Méthodes et résultats. Notre objectif est la description du comportement asymptotique de ces chaînes de Markov. Elles sont transientes. Leur vitesse de fuite à l infini est connue puisque nous démontrons une loi des grands nombres et un théorème limite central pour la norme de la marche. Nous démontrons aussi que, presque sûrement, la marche centrifuge s échappe à l infini dans une direction précise, et que norme et direction sont asymptotiquement indépendantes. Les principaux résultats sont rassemblés dans la Section.4. Les théorèmes limites pour martingales constituent notre principal outil. Nous utilisons en particulier un théorème limite central uniforme pour une famille de martingales, que nous présentons en appendice. Nous laissons ouvertes quelques questions qui nous emblent intéssantes, autour de la loi limite de la direction de la marche et autour du théor eme limite local. Motivation extra-mathématique. Le sujet trouve son origine dans les travaux menés par le premier auteur pour construire dans un espace discret une cinématique à partir de laquelle une machine de Turing pourrait simuler les lois de la physique. La marche aléatoire centrifuge sur le réseau Z d a été introduite comme un modéle d onde circulaire dans un espace physique discret. Le choix d un espace discret peut être défendu par plusieurs arguments : remise en cause du dogme de continuité de l espace ou, plus simplement, nécessité d utiliser le discret comme approximation du continu pour utiliser l outil informatique. Les discussions sur ce sujet ne sont pas l objet de cet article. Les résultats décrits dans cette article vitesse de fuite, isotropie, convergence en loi confortent le modèle choisi pour représenter l onde circulaire par un procédé aisément implémentable sur un ordinateur.. La marche centrifuge.. Présentation du modèle. Soit d un nombre entier > 0. Nous noterons <, > et le produit scalaire et la norme usuels de l espace R d. Nous nous proposons d étudier le comportement asymptotique d une marche aléatoire sur R d perturbée par une dérive centrifuge. Soit µ une mesure de probabilité sur R d qui représentera la loi de la marche non perturbée, et soit a une fonction de R + dans lui-même qui représentera un paramètre de la perturbation. On considère la probabilité de transition définie sur R d par P x, x + dy := + a y < x, y > x µdy. Pour x = 0 la formule doit se lire simplement P 0, dy = µdy. Cette convention sera utilisée dans l ensemble de nos calculs. La marche centrifuge est la chaîne de Markov associée à cette probabilité de transition. Pour que la formule définisse effectivement une probabilité de transition il est nécessaire que pour chaque x dans R d, la fonction y + a y <x,y> x soit une densité de probabilité pour la mesure µ. C est pourquoi nous devons imposer, outre la mesurabilité de la fonction a, les deux conditions suivantes pour µ-presque tout y, y a y, 3 y a y µdy = 0.
4 4 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Nous imposons également à la marche non perturbée d être non dégénérée, à pas bornés et symétrique par rapport à l origine. Autrement dit, on suppose que : 4 la probabilité µ est à support borné et est distincte de la masse de Dirac en zéro. et 5 pour toute fonction f µ-intégrable et impaire, fy µdy = 0. Pour mener à bien notre étude, nous imposons aussi une condition d isotropie à la marche non perturbée : nous supposons que la variance de la projection de l accroissement sur une direction quelconque est indépendante de cette direction. Cela se traduit par l existence d une constante m telle que, pour tout u sur la sphère unité de R d, 6 m := < y, u > µdy. Bien sûr, cette condition assure que le support de la marche aléatoire de loi µ issue de l origine n est pas contenu dans un sous-espace vectoriel propre de l espace R d. Enfin, nous imposons les deux conditions suivantes. Si u et v sont orthogonaux dans R d, alors 7 < y, u >< y, v > a y µdy = 0. Le nombre 8 m := < y, u > a y µdy est indépendant du choix de u sur la sphère unité de R d. Compte tenu de l hypothèse de symétrie 5, la condition 7 indique que l accroissement moyen de la marche perturbée est centrifuge ie l accroissement moyen de la marche issue de x est colinéaire à x, et la condition 8 indique que l intensité de cet accroissement est constant égal à m. Nous voulons que la perturbation centrifuge de la marche soit non triviale. Nous excluons donc le cas où, pour µ-presque tout y 0, on a a y = 0. Ainsi on aura toujours m > 0. Les conditions 3, 4, 5, 6, 7 et 8 sont évidemment satisfaites par les probabilités invariantes par les isométries vectorielles de R d. Elles le sont aussi, quelque soit le choix de la fonction a, par les probabilités discrètes uniformément distribuées sur les vecteurs d une base orthonormée et leurs opposés. Ces six conditions sont préservées par les similitudes de l espace vectoriel euclidien R d. Un barycentre discret ou continu de probabilités vérifiant ces conditions les vérifie encore. Exemples. Les exemples présentés dans l introduction entrent dans ce cadre général. Plaçons nous en dimension d =. Si les transitions de la chaîne se font aux quatre plus proches voisins on a µ = 4 δ,0 + δ 0, + δ,0 + δ 0,, alors m = a et m =. Si les transitions de la chaîne se font aux huit plus proches voisins on a µ = r 4 δ,0 + δ 0, + δ,0 + δ 0, + r 4 δ, + δ, + δ, + δ, où r est un paramètre entre 0 et, alors m = r a + ra et m = r.
5 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 5.. Quelques notations. Notons X n n 0 la chaîne de Markov à valeurs dans R d associée à la probabilité de transition P définie par, où la probabilité µ et la fonction a vérifient l ensemble des conditions précédentes de à 8. On a, pour toute fonction mesurable bornée f sur R d, E fx n+ X 0, X,..., X n = E fx n+ X n = fx n + y + a y < X n, y > µdy. X n La loi du processus X n n 0 est entièrement déterminée par la loi des transitions et par la distribution ν de la variable aléatoire X 0. Nous noterons alors P ν la probabilité sur l espace des réalisations et E ν l espérance associée. Nous noterons ρ n := X n et X n := ρ n X n, la norme et la direction du processus. Si la distribution initiale ν de la chaîne est une masse de Dirac, c est-à-dire si la variable aléatoire X 0 est constante, la probabilité P ν sera notée P ρ0,. X 0 Nous noterons F n la tribu engendrée par les variables aléatoires X 0, X,..., X n. Nous noterons V := y µdy. Nous noterons enfin M l ensemble des mesures de probabilité sur R d..3. Hypothèses de non-dégénérescence. Avant d énoncer les principaux résultats décrivant le comportement en temps grand de la marche centrifuge, nous devons distinguer deux situations dégénérées propres à la dimension. Dans le cas où d =, où la probabilité µ est portée par deux points y o > 0 et son opposé y o, et où ay o =, la marche centrifuge est déterministe y o dès qu elle a quitté l origine : elle passe de 0 à ±y o avec probabilité, mais elle passe sûrement de x à x + y o pour tout x > 0, et de x à x y o pour tout x < 0. Ce cas particulier sera appelé le premier cas dégénéré. Les hypothèses, 6 et 8, associées à l inégalité de Cauchy-Schwarz entraînent que, en dehors du premier cas dégénéré, on a toujours m > m. Dans le cas où d = et où a y = pour µ-presque tout y non nul, y la marche centrifuge s éloigne sûrement de l origine dès qu elle l a quittée. Ce cas particulier sera appelé le second cas dégénéré..4. Principaux résultats. Théorème. Loi des grands nombres pour la norme Quelle que soit la distribution initiale de la chaîne, la suite n ρ n tend vers la constante m quand n tend vers l infini. Plus précisément, pour tout ɛ > 0, on a 9 lim n n ɛ E ν n ρ n ρ 0 m = 0 uniformément en ν M, et, P ν -presque sûrement 0 lim n n ɛ n ρ n m = 0.
6 6 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Théorème. TLC pour la norme Quelle que soit la distribution initiale de la chaîne, la suite n ρ n nm converge en loi vers une gaussienne centrée de variance m m. En dehors du premier cas dégénéré, cette variance est non nulle, et la convergence en loi de n ρ n ρ 0 nm est uniforme en la distribution initiale. Autrement dit, on a lim sup n P ν nm m ρ n ρ 0 nm t ν M,t R π t e s / ds = 0. Théorème 3. Convergence de la direction Quelle que soit la distribution initiale, la suite X n converge presque sûrement vers une variable aléatoire X. Théorème 4. Loi limite de la direction En dehors du second cas dégénéré, et quelle que soit la distribution initiale, le support de la loi de la variable aléatoire X est la sphère de R d toute entière. Théorème 5. Indépendance asymptotique de la norme et de la direction Quelle que soit la distribution initiale, le couple ρn nm n, X n converge en loi vers et suit la loi gaussienne N 0, m m. Z, X, où la variable aléatoire Z est indépendante de X. Comportement en norme.. Estimations de moments. Dans cette section nous donnons des estimations utiles de l espérance, la variance et la transformée de Laplace du module ρ n de X n. Proposition. On a E ρ n+ F n = ρ n + mρ n + V. Pour tout ɛ > 0, il existe α > 0 tel que, pour tout ν M et pour tout n 0, nm E ν ρ n ρ 0 nm + αn ɛ. On a 3 E ρ n+ F n = ρ n + m + V m ρ n + O ρ, n où le O est uniforme en l aléa. Enfin pour tout ɛ > 0, il existe β > 0 tel que, pour tout ν M et pour tout n 0, 4 Var ν ρ n ρ 0 βn +ɛ. On note bien sûr ici Var ν la variance sous la probabilité P ν. Dans les démonstrations, nous utiliserons les notations d espérance E, de probabilité P et de variance Var pour des calculs sur la chaîne de Markov avec distribution initiale arbitraire. Démonstration. On a ρ n+ = X n + X n+ X n = ρ n + X n+ X n + < X n, X n+ X n >.
7 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 7 D où E ρ ρ n+ F n = n + y + < X n, y > + a y < X n, y > µdy. En développant cette expression et en utilisant la condition de symétrie 5, on obtient E ρ n+ F n = ρ n + y µdy + ρ n a y < X n, y > µdy. Ce qui est exactement la formule. On a ρ n+ ρ n + X n+ X n < Xn, X n+ X n > + < X n, X n+ X n >, X n X n+ X n c est-à-dire ρ n+ ρ n + <. X n, X n+ X n > On en déduit que ρ n+ ρ n + < X n, X n+ X n >, puis que E ρ n+ F n ρ n + < X n, y > + a y < X n, y > µdy. En développant cette expression et en utilisant à nouveau la symétrie de la mesure et la formule 8 on obtient 5 E ρ n+ F n ρ n + m, d où l on déduit immédiatement la première inégalité de. Démontrons la seconde inégalité de. On a E ρ n+ ρ 0 F n = E ρ n+ F n ρ0 E ρ n+ F n + ρ 0. En utilisant et 5, on en déduit que E ρ n+ ρ 0 F n ρ n + mρ n + V ρ 0 ρ n + m + ρ 0. ce qui entraîne successivement E ρ n+ ρ 0 F n ρn ρ 0 + mρ n ρ 0 + V, E ρ n+ ρ 0 E ρ n ρ 0 + me ρ n ρ 0 + V, 6 E ρ n ρ 0 n m Eρ k ρ 0 + nv, et k= n E ρ n ρ 0 m Eρ k ρ 0 + nv. k= La seconde inégalité de se déduit alors du lemme suivant. Lemme. Soit u n n une suite réelle telle que, pour tout n, n u n m u k + nv. k=
8 8 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Alors, pour tout n et tout ɛ > 0, u n nm + + ɛ mɛ V m n ɛ. On aura remarqué, par une simple application de l inégalité de Cauchy-Schwarz, que V > m. La vérification de ce lemme est laissée au lecteur. Démontrons à présent l estimation 3. On a ρ E ρ n+ F n = n + y + < X n, y > + a y < X n, y > µdy. En utilisant le développement limité ρ + y + ρ < u, y > = ρ+ < u, y > + y ρ < u, y > ρ + O ρ, dans lequel le O est uniforme en u sur la sphère unité et en y dans une partie bornée de l espace R d, en développant l intégrale et en utilisant la propriété de symétrie de µ, on obtient bien E ρ n+ F n = ρ n + m + V m + O, ρ n ρ n dans lequel le O est uniforme en l aléa. C est le résultat annoncé. Cherchons enfin une estimation de la variance. En utilisant successivement 6 et, on peut écrire Varρ n ρ 0 = E ρ n ρ 0 E ρ n ρ 0 n m E ρ k ρ 0 + nv E ρ n ρ 0 k= n m km + αk ɛ + nv nm = V m n + mα k= = On +ɛ. ρ n n k ɛ k= Cela achève la démonstration de la proposition. Notons sous forme d un lemme une conséquence utile de la proposition. Lemme. Soit W n une suite de variables aléatoires positives définies sur l espace canonique associé à la chaîne de Markov. S il existe c > 0 tel que, pour tout n, on ait W n < c et W n < c/ρ n, alors, pour tout ɛ > 0, il existe γ > 0 tel que, pour tout ν M et pour tout n, E ν W n γn +ɛ. Démonstration. On a P W n > c nm P ρ n < nm P ρ n ρ 0 < nm.
9 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 9 En utilisant l estimation de l espérance et l estimation de variance 4, ainsi que l inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on en déduit que P W n > c P E ρ n ρ 0 ρ n ρ 0 > nm nm 4 n m Varρ n ρ 0 = On +ɛ, uniformément en la distribution initiale. Puisque les variables W n sont uniformément bornées par c, on a E W n c P W n > c + c nm nm. Cela permet de conclure que E W n = On +ɛ, uniformément en la distribution initiale. Nous noterons S d la sphère unité de l espace euclidien R d. Proposition. Il existe λ > 0 et γ < tels que, pour tout ρ, u R + S d et pour tout n N, E ρ, u e λρ n γ n e λρ. Démonstration. Grâce à la propriété de Markov, il suffit de démontrer qu il existe λ > 0 et γ < tels que, pour tout ρ, u R + S d, 7 E ρ, u e λρ γe λρ. Pour u S d, notons µ u la mesure de densité y +a y < y, u > par rapport à la mesure µ. On a E ρ, u e λρ ρ = e λ ρ + y +ρ<y, u> ρ µ u dy e λ<y, u> µ u dy. Cette dernière quantité est la transformée de Laplace de µ u évaluée en λ u, que l on note L u λ. On a L u 0 = et L u 0 = < y, u > µ u dy. En utilisant 5 et 8, on voit que L u 0 = m < 0. On a L u λ = < y, u > e λ<y, u> µ u dy, et cette quantité est uniformément bornée par rapport à u et λ 0 puisque le support de µ est borné. La famille L u est donc équicontinue sur R +. En conséquence, il existe λ > 0 tel que γ := sup u S d L u λ <. Nous avons établi 7... Loi des grands nombres. Démonstration du théorème. Soit ɛ > 0. D après la proposition, on a Var n ρ n ρ 0 = O n +ɛ et E n ρ n ρ 0 m = O n +ɛ.
10 0 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Puisque / / E n ρ n ρ 0 m Var n ρ n ρ 0 + E n ρ n ρ 0 m, l affirmation 9 est établie. Pour établir la convergence ponctuelle avec vitesse, nous allons utiliser un argument de martingale. Posons Y n+ := ρ n+ E ρ n+ F n et Z n+ := E ρ n+ F n ρ n m. La suite Y n est une suite d accroissements de martingales uniformément bornés, n car Y n+ = ρ n+ ρ n E ρ n+ ρ n F n. La martingale k= k ɛ Y k est bornée en moyenne quadratique, donc presque sûrement convergente. Le lemme de Kronecker permet de conclure que, presque sûrement, lim n ɛ n k= Y k = 0 Les variables aléatoires Z n sont uniformément bornées et, d après 3, il existe une constante c > 0 telle que, pour tout n, on ait Z n < c/ρ n. Le lemme permet d affirmer que E Z n = On +ɛ. Cela étant vrai pour tout ɛ > 0, on en déduit successivement que la série E n ɛ Z n est convergente, la série n n ɛ Z n est presque sûrement convergente, n n presque sûrement, lim n ɛ Z k = 0. En rassemblant les estimations obtenues sur les séries Y k et Z k, on conclut que, presque sûrement, n ρ n ρ 0 nm = Y k + Z k = o n +ɛ. Et on en déduit l estimation Théorème limite central. k= Démonstration du théorème. Cette démonstration est basée sur un théorème limite central uniforme pour martingale dépendant d un paramètre. Pour une valeur fixée du paramètre, ce TLC est un résultat classique, et nous avons besoin d une convergence en loi uniforme en le paramètre. Le théorème est précisément décrit en appendice de cet article. Comme dans la démonstration du théorème, on écrit n n ρ n ρ 0 nm = Y k + avec Y n := ρ n E ρ n F n et Z n := E ρ n F n ρ n m. k= k= k= Z k
11 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE Quelle que soit la distribution initiale ν, la suite Y n est une suite d accroissements de martingale uniformément bornés par le rayon du support de µ. Notons n V n := m m E Yk F k. Nous allons montrer que, pour tout δ > 0, 8 P ν V n n > δ 0 quand n, uniformément en ν. k= En utilisant le TLC uniforme Théorème 6, on en déduit que n 9 P ν Y k t t e s / ds 0 nm m π k= quand n, uniformément en ν, t. Nous allons montrer également que, pour tout δ > 0, n 0 P ν n Z k > δ 0 quand n, uniformément en ν. k= En utilisant 9, 0 et l encadrement n n P ν Y k t δ P ν Z k > δ nm m nm m k= k= P ν nm m ρ n ρ 0 nm t P ν nm m n n Y k t + δ + P ν Z k < δ, nm m k= on obtient sans peine la conclusion du théorème. Il nous reste à démontrer les affirmations 8 et 0. De l identité 3, on déduit que E ρ n+ F n = ρ n + mρ n + m + V m + O, l estimation du reste en O ρ n étant uniforme en l aléa. Autrement dit, si l on pose R n := E ρ n+ F n ρ n + mρ n + m + V m, alors on a R n c ρ n, où c est une constante déterministe. Le lemme s applique aux variables aléatoires R n : pour tout ɛ > 0, n ɛ E R n 0 ρ n k= quand n, uniformément en la distribution initiale. La suite E R n étant uniformément bornée, on en déduit que n n ɛ E R k 0 quand n, k=0 uniformément en la distribution initiale.
12 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ L identité s écrit et nous avons D où et Ainsi, on a E ρ n+ F n = ρ n + mρ n + V, E Y n+ F n = E ρ n+ F n E ρn+ F n. P V n n E Y n+ F n = m m R n, V n n n = nm m R k. > δ k=0 n nm m δ k=0 E R k, et de l estimation découle alors la convergence en probabilité 8. Pour établir 0, rappelons que la suite Z n ρ n est bornée et que l on a donc, d après le lemme, pour tout ɛ > 0, n ɛ E Z n 0 quand n, uniformément en la distribution initiale. Puisque la suite E Z n et uniformément bornée, on en déduit que n n k= E Z k 0 quand n, uniformément en la distribution initiale. Et cela entraîne la propriété de convergence 0. Le théorème est démontré. 3. Comportement en direction 3.. Convergence. La démonstration de la convergence de la suite X n Théorème 3 est basée sur l étude de ses accroissements. En norme, ils sont faciles à estimer : puisque le support de la probabilité µ est borné, il existe une constante réelle c telle que, pour tout n, X n+ X n c ρ n, et on sait que, presque sûrement, ρ n est de l ordre de grandeur de n. La moyenne des accroissements est d un ordre de grandeur inférieur comme nous l indique le lemme suivant. Lemme 3. On a X E n+ X n F n = O ρ, uniformément en l aléa. n Démonstration. Si y = X n+ X n, alors ρ n+ = D où ρ n + ρ n < y, X n > + y.
13 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 3 X E n+ X n F n = ρ nx n + y ρ n + ρ n < y, X n + a y < y, X n > X n > + y µdy = ρ nx n + y ρ n + < y, X n > ρ n + O ρ X n + a y < y, X n > n y < y, X n > X n + O ρ n + a y < y, X n > µdy. ρ n µdy = Nous savons que la densité y + a y < y, X n > est bornée. On a donc X E n+ X n F n ρ n = y < y, X n > X n + a y < y, X n > µdy + O ρ n. Montrons que l intégrale apparaissant dans cette dernière expression est nulle. Cela concluera la démonstration du lemme. D une part, puisque la mesure µ est symétrique, on a y < y, X n > X n µdy = 0. D autre part, la condition 7 nous dit que, pour tout u, le vecteur < y, u > a y y µdy est colinéaire à u. Ainsi, pour tout u S d, on a < y, u > a y y µdy = < y, u > a y u µdy, ce qui nous donne bien y < y, X n > X n a y < y, X n > µdy = 0. Démonstration du théorème 3. Le lemme 3, associé à la proposition, nous donne X 3 presque sûrement, E n+ X n F n = O n. Posons n+ := X X n+ E n+ F n = X n+ X X n E n+ X n F n.
14 4 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ La suite n est une suite vectorielle d accroissements de martingale et, grâce à, on a E n+ F n = E X n+ X X n Fn E n+ X n F n E X n+ X n Fn c ρ. n On déduit du théorème que, presque sûrement, + n=0 E n+ F n < +. Un théorème classique de convergence de martingales cf par exemple 6, Proposition IV-6-, nous permet alors d affirmer que la série + n= n converge presque sûrement. Or l estimation 3 assure la convergence presque sûre de la série + X E n+ X n F n. On conclut que la série de terme général X n+ X n n=0 converge presque sûrement. C est ce qu il fallait démontrer. 3.. Piégeage dans les cônes et support de la loi limite. La proposition suivante nous dit que si la marche a atteint un point éloigné de l origine dans un cône ouvert, alors elle restera définitivement dans ce cône avec une forte probabilité. Proposition 3. Pour tout ɛ > 0, on a lim sup P ρ, u n, X n u < ɛ = 0. ρ u S d Pour démontrer cette proposition, nous utiliserons le lemme suivant, conséquence de la proposition. Lemme 4. Il existe α > 0 tel que, pour tout β > 0, il existe C β > 0 tel que, pour tout ρ, u R + S d et tout n 0, C β E ρ, u + ρ n β + nα + ρ β. Démonstration. Nous utilisons les notations introduites dans la proposition, et fixons α > 0 assez petit pour que r α := γe αλ <. On a E ρ, u e λρ n nα rαe n λρ, et E ρ, u + ρ n β P ρ, u ρ n < nα + ρ + E ρ, u + ρ n β, ρ n nα + ρ E ρ, u e λρn nα ρ + + nα + ρ β rαe n λρ ρ + + nα + ρ β.
15 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 5 Pour conclure la démonstration du lemme, il suffit de remarquer qu il existe un nombre C > 0, indépendant de n N et de ρ R + tel que rαe n λρ ρ C + nα + ρ β. Démonstration de la proposition 3. Comme dans la démonstration du théorème 3 nous posons k := X X k E k F k, et nous avons X n X 0 = n k + k= n k= X E k X k F k. Nous utiliserons l inégalité 4 sup X n n + X X 0 sup n n k + E k X k F k. k= k= n L inégalité maximale de Kolmogorov appliquée à la martingale k donne quelle que soit la distribution initiale : m P max k ɛ 4 m n ɛ E n k = 4 ɛ k= La majoration garantit l existence d une constante c telle que, E k E X k X k c E + ρ k. D où P max m n m k ɛ k= k= 4c ɛ En faisant tendre n vers l infini, on arrive à m 5 P sup k ɛ 4c ɛ m k= n k=0 + k=0 E n k= + ρ k E + ρ k k= n E k... nous Par ailleurs, grâce au lemme 3, on sait qu il existe une constante c, indépendante de la distribution initiale telle que E X E k X k F k c E + ρ k. Ainsi, d où + k= + P E k= E X E k + X k F k c k=0 E X k ɛ + X k F k c E ɛ k=0 + ρ k, + ρ k.
16 6 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Cette inégalité, associée à 4 et 5, nous donne l existence d une constante c ɛ, indépendante de la distribution initiale telle que P sup X n + X 0 ɛ c ɛ E + ρ k. n En utilisant le lemme 4, on en déduit l existence d une constante c ɛ telle que, pour tout ρ, u, P ρ, u sup X n n X 0 ɛ c ɛ + kα + ρ, n et cette dernière quantité tend vers zéro quand ρ tend vers l infini. Démonstration du théorème 4. Nous devons démontrer que, pour tout ouvert non vide O de la sphère S d et quelle que soit la distribution initiale on a X P O > 0. Il suffit de démontrer que, pour tout ouvert non vide O de la sphère S d, il existe n 0 0 tel que, P n n 0, X n O > 0. k=0 k=0 Fixons un tel ouvert O et considérons u O et ɛ > 0 tels que v S d et v u ɛ v O. La proposition 3 nous dit que si la marche passe par un point assez éloigné de l origine, elle restera ensuite définitivement dans un petit cône centré en ce point avec une probabilité non nulle : il existe r > 0 tel que si ρ > r et si v S d, alors P ρ, v n, X n v ɛ > 0. Si pour un entier n 0 on a P X n0 u < ɛ et ρ n0 r > 0, alors, grâce à la propriété de Markov on obtient P n n 0, X n u ɛ > 0. Il nous suffit donc de démontrer que, quelle que soit la distribution initiale, la marche visite avec une probabilité non nulle le domaine { } x R d x r et x x u ɛ. C est une conséquence du lemme suivant, qui concluera la démonstration du théorème 4. Lemme 5. Il existe R > 0 tel que, quelle que soit la distribution initiale, toute boule de rayon R est visitée avec probabilité non nulle par la marche aléatoire centrifuge X n. Démonstration. Commençons par remarquer que tout sous-groupe additif de R d qui n est pas contenu dans un sous-espace vectoriel propre rencontre toute boule de rayon suffisamment grand. Le support de la mesure µ est symétrique par rapport à zéro et n est pas contenu dans un sous-espace vectoriel propre de R d. Le support de la marche aléatoire de loi µ issue de l origine 0 est donc un sous-groupe G de R d, et il n est pas contenu dans un sous-espace vectoriel propre de cet espace. Le support de la marche aléatoire de loi µ et de distribution initiale arbitraire fixée est une réunion de translatés de G.
17 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 7 Toute boule de rayon suffisamment grand est donc visitée par la marche aléatoire de loi µ avec une probabilité non nulle. Étudions à présent la marche centrifuge. Pour chaque x dans R d, le support de la probabilité Px, est contenu dans celui de la probabilité µ translatée par x. Si, pour chaque x dans R d, le support de la probabilité Px, dy est le même que celui de la probabilité x + µdy, alors le support de la marche centrifuge est le même que celui de la marche de loi µ et le lemme découle de l affirmation de l alinéa précédent. Mais il peut arriver que le support de la probabilité Px, ne soit pas le même que celui de la probabilité δ x µ. On remarque tout de même que le support de la probabilité Px, contient le support de δ x µ privé des points z placés sur la demi-droite issue de x et passant par l origine. En effet, c est seulement en ces points z que la densité de Px, par rapport à δ x µ peut s annuler. Dans le cas d = et en dehors du premier cas dégénéré, il est facile de voir que le support de la marche centrifuge rencontre tous les intervalles suffisamment longs. En dimension d, en utilisant le fait que le support de la mesure µ est symétrique par rapport à l origine et non contenu dans une droite, on peut montrer que 6 le support de la marche centrifuge est le même que celui de la marche aléatoire de loi µ, privé éventuellement de l origine. Cela suffit pour conclure comme précédemment et achever la démonstration. Il nous reste donc à justifier l affirmation 6. Pour des raisons de facilité de rédaction, nous nous limiterons à l exposé du cas où la mesure µ est discrète. Pour tout nombre entier n, notons P n x, y la probabilité de transition en n pas de la marche centrifuge. Deux points x et y de l espace sont connectables par la marche centrifuge si et seulement si il existe n tel que P n x, y > 0. Ces deux points sont connectables par la marche aléatoire de loi µ si et seulement si il existe n tel que µ n y x > 0. Nous voulons démontrer que si les points x et y sont connectables par la marche aléatoire de loi µ et si y n est pas l origine, alors ces points sont connectables par la marche centrifuge. Examinons plusieurs situations. Si x, y et l origine ne sont pas alignés et si µy x > 0, alors Px, y > 0. Cela a déjà été vu. Si x, y et l origine sont alignés et deux à deux distincts et si µy x > 0, alors P 3 x, y > 0. En effet, le support de µ n étant pas contenu dans une droite, on peut considérer un point z non aligné avec x, y et 0 tel que µz x > 0. On a µz+y x z > 0 et µy z+y x > 0. Comme de plus aucun des trois triplets de points x, z, 0, z, z+y x, 0, z+y x, y, 0 n est un triplet de points alignés, on a P x, z > 0, P z, z + y x > 0 et P z + y x, y > 0. D où P 3 x, y > 0. Pour chaque y, on a P 0, y = µy. Ainsi, si x = 0 et µy x > 0, alors P x, y > 0. bilan d étape : nous savons que si la marche aléatoire de loi µ permet de passer de x à y en un pas et si y 0, alors la marche centrifuge permet de passer de x à y, en un ou trois pas ; il nous reste à examiner ce qui se passe pour deux points que la marche aléatoire de loi µ connecte en passant par l origine.
18 8 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Soient deux points x et y non alignés avec l origine et tels que µ x > 0 et µy > 0. On a µx + y x > 0 et µy x + y > 0. Comme aucun des deux triplets de points x, x + y, 0 et x + y, y, 0 n est un triplet de points alignés, on a P x, x + y > 0 et P x + y, y > 0. D où P x, y > 0. Soient enfin deux points x et y alignés avec l origine et distincts de celle-ci, tels que µ x > 0 et µy > 0. Il existe un point z, hors de la droite portant x, y et 0, tel que µz x > 0. On a µz x z > 0, µz x+y z x > 0 et µy z x + y > 0. Comme aucun des quatre triplets de points x, z, 0, z, z x, 0, z x, z x + y, 0 et z x + y, y, 0 n est un triplet de points alignés, on a P x, z > 0, P z, z x > 0, P z x, z x + y > 0 et P z x + y, y > 0. D où P 4 x, y > 0. L examen de l ensemble de ces cas nous montre que : À chaque pas de la marche aléatoire de loi µ qui relie un point quelconque à un point distinct de l origine on peut associer une trajectoire de la marche centrifuge qui possède les mêmes extrémités. À chaque paire de pas de la marche aléatoire de loi µ qui relie deux points distincts de l origine en passant par l origine, on peut associer une trajectoire de la marche centrifuge qui possède les mêmes extrémités. Ainsi, pour toute trajectoire de la marche aléatoire de loi µ relie une origine x à une extrémité y distincte de l origine, il existe une trajectoire de la marche centrifuge qui possède les mêmes extrémités. Cela justifie l affirmation Indépendance asymptotique de la norme et de la direction L objet de cette section est la démonstration de l indépendance asymptotique des variables aléatoires ρ n convenablement normalisée et X n. Démonstration du théorème 5. On considère la marche centrifuge de distribution initiale arbitraire et fixée ν, et on note P = P ν. Pour démontrer le théorème, il suffit de démontrer que, si t R et si A est un borélien de la sphère S d de frontière négligeable pour la loi de X X ie P A = 0, alors lim P n ρ n nm + t nm m et X n A = π t X e s / ds P A. Les caractérisations classiques de la convergence en loi sont exposées par exemple dans. Fixons t et A. Posons I n :=, nm + t nm m. Si B est un sousensemble de S d, nous noterons B c son complémentaire et, pour ɛ > 0, nous noterons B ɛ le ɛ-voisinage de B dans S d, défini par B ɛ := { u S d : v B, u v < ɛ }. Fixons deux suites de nombres entiers positifs a n et b n telles que, quand n, a n n b n,, a n < n et. b n a n Enfin, nous noterons L ρn, X n la loi du couple de variables aléatoires ρ n, X n.
19 ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE 9 La formule de Chapman-Kolmogorov permet d écrire P ρ n I n et X n A = ρ n an I n et X n an A dl ρan, ρ, u. X an R + S d P ρ, u On décompose cette expression en trois parties P ρ n I n et X n A = α n β n + γ n, où et α n := β n := R + A c P ρ, u R + A γ n := ρ n an I n et X n an A dl ρan, X an ρ, u, P ρ, u ρ n an I n et X n an / A dl ρan, ρ, u, X an R + A P ρ, u ρ n an I n dl ρan, X an ρ, u. Pour étudier la quantité α n, on introduit un paramètre ɛ > 0 et on découpe le X domaine d intégration en excluant les événements ρ an b n et an A ɛ. On obtient la majoration suivante : X α n P ρ an b n + P an A ɛ \A + X n an A dl ρan, ρ, u. X an b n,+ A ɛ c P ρ, u D après le théorème, on a lim P ρ an b n = 0. X Le théorème 3 assure en particulier la convergence en loi de la suite an vers X, et on en déduit que X X X lim sup P an A ɛ \A lim sup P an A ɛ \A P A ɛ \A. Enfin, puisque X X A ɛ \A = A on a lim P A ɛ \A = P A = 0. ɛ 0 ɛ>0 Le troisième terme de la majoration de α n est une intégrale sur un domaine où la variable u reste à distance ɛ de l ensemble A. Forts de cette observation, nous écrivons X n an A dl ρan, ρ, u X an puis b n,+ A ɛ c P ρ, u b n,+ A ɛ c P ρ, u b n,+ A ɛ c P ρ, u X n an A X n an u ɛ dl ρan, X an ρ, u sup ρ>b n, u S d P ρ, u dl ρan, X an ρ, u, X n an u ɛ.
20 0 JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ Enfin b n,+ A ɛ c P ρ, u X n an A dl ρan, X an ρ, u sup P ρ, u k > 0, X k u ɛ. ρ>b n, u S d D après la proposition 3, cette dernière quantité tend vers zéro quand n tend vers l infini. Nous avons démontré que lim α n = 0. L ensemble A et son complémentaire ayant même frontière, on obtient de la même façon lim β n = 0. Il nous reste à étudier le comportement de γ n. Commençons par limiter le domaine d intégration à ρ ma n. On a 0 γ n P ρ, u ρ n an I n dl ρan, ρ, u P ρ X an > ma n an 0,ma n A et lim P ρ an > ma n = 0, d après le théorème. Posons t n := t nm m + ma n ρ n an m m et remarquons que P ρ, u ρ n an I n = P ρ, u ρ n an ρ n a n m + t n n an m m. Notons Φx := π x e u / du la fonction de répartition de la loi normale. Le théorème permet d affirmer que, uniformément en ρ, u, on a On en déduit que γ n P ρ, u ρ n an I n Φt n 0 quand n. 0,ma n A Φt n dl ρan, X an ρ, u 0 quand n. On remarque de plus que la suite t n converge vers t, uniformément par rapport au paramètre ρ soumis à la condition 0 ρ ma n, et on obtient γ n Φt P ρ an ma n et X an A 0 quand n. En réutilisant la loi des grands nombres pour le module théorème on peut conclure que X X lim γ n = Φt lim P an A = Φt P A. C est ce que nous voulions démontrer. 5. Questions Notre étude laisse de nombreuses questions ouvertes. Parmi celles-ci figurent l étude de la loi limite de la direction et la question du théorème limite local.
Texte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailPRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE
Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailIntégrale de Lebesgue
Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................
Plus en détailTIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES
Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailProcessus aléatoires avec application en finance
Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et
Plus en détailUne réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen
Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen : on néglige les termes de fluctuations
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détail