TD n 4 : Electrocinétique, décomposition d un signal périodique en série de Fourier et filtrage linéaire A. Electrocinétique
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- Fernande Carignan
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1 TD n 4 : Electrocinétique, décomposition d un signal périodique en série de Fourier et filtrage linéaire A. Electrocinétique Exercice On se propose de déterminer la réponse indicielle du circuit suivant :. Etablir l équation différentielle reliant u(t) à e(t).. La réponse indicielle est définie comme étant e(t) C la réponse u(t) du circuit en fonction du temps lorsque l on soumet le circuit à un échelon de tension de forme : - Pour t <, e(t) - Pour t >, e(t) E 3. Quel est le temps de réponse à 5 % de ce circuit? Définir celui-ci puis le calculer. u(t) Exercice Dans le circuit linéaire suivant, le courant d entrée i L e i e fonction du temps t, est la grandeur d entrée. La tension u s est la grandeur de sortie.. Etablir l équation différentielle reliant i e et u s. C u s. Trouver deux solutions particulière en de cette équation correspondant aux deux cas : - i e I continu - i e I sin( t) 3. Quelle est la solution en u s si l entrée en courant est i I sin( e + I t)? Exercice 3 A. Un dipôle -C constitué d un condensateur de capacité C en série avec une résistance est disposé en série avec une source de tension de f.e.m. constante et de résistance r. Le condensateur est initialement déchargé et on bascule l interrupteur fermant le circuit à t.. Schématiser la situation de l énoncé. Déterminer i(t) l intensité circulant dans le circuit. 3. En déduire la tension aux bornes du dipôle -C. B. En ajoute en supplément une résistance en dérivation du dipôle -C. Le condensateur est initialement déchargé et on bascule l interrupteur fermant le circuit à t.. Montrer que l on peut se ramener au même type de montage qu à la ère question.. En déduire la nouvelle tension u(t) aux bornes du dipôle -C. Exercice 4 On se propose de déterminer la puissance P dissipée dans une impédance Z quelconque. Pour cela, on considère le montage de la figure (méthode dite des trois voltmètres) : r est une résistance, les trois voltmètres mesurent les tensions efficaces U, U et U 3. Exprimer la puissance P dissipée par l impédance Z en fonction de r, U, U et U 3. Exercice 5 Un générateur de Thévenin a une force électromotrice e E cos( t) et une impédance Z + jx. Il est branché sur un dipôle d utilisation Z' ' + jx'.. Schématiser la situation.. Quelle est la puissance moyenne P consommée dans le dipôle d impédance Z. 3. Pour Z fixée, quelle est la valeur de Z que l on doit choisir pour que la puissance dissipée dans le récepteur soit maximal. 4. Quel est l intérêt d un tel choix.
2 B. Décomposition d un signal périodique en série de Fourier Exercice 6 : Signal carré impair Déterminer la série de Fourier d un signal carré impair de valeur moyenne nulle et d amplitude crête à crête égale à E. L origine des temps est choisie de telle sorte que le signal est impair. Calculer les coefficients du développement de Fourier. Exercice 7 : Signal triangulaire pair Déterminer la série de Fourier d un signal triangulaire pair de valeur moyenne nulle et d amplitude crête à crête égale à V. L origine des temps est choisie de telle sorte que le signal est pair. Calculer les coefficients du développement de Fourier en remarquant que la dérivée d un signal triangulaire donne un signal carré de même période. Que remarque-t-on? Exercice 8 : Signal rectangulaire impulsionnel pair Soit le signal périodique formé par la répétition périodique (période T) d impulsion de durée τ (représenté τ sur la figure). On définie le rapport cyclique par α T u(t) E τ -τ / τ / T t. Déterminer les coefficients a n et b n de la décomposition en série de Fourier.. Pour un signal carré, montrer que les harmoniques paires s annulent à l exception de l ordre. Existe-t-il d autres valeurs du rapport cyclique pour lesquelles cette propriété est vraie? 3. Commenter l évolution des coefficients du développement au fur et à mesure que la durée de l impulsion diminue. C. Filtrage linéaire Exercice 9 : Filtre passif (I). Exprimer la fonction de transfert H du filtre de la figure en fonction de x C.. Tracer le diagramme de Bode du filtre. 3. Quel est son intérêt? Exercice : Filtre passif (II). Exprimer la fonction de transfert H du filtre de la figure en fonction de x C.. Tracer le diagramme de Bode du filtre. 3. Quel est son intérêt?
3 Exercice : Filtre actif (I) C' Le filtre actif ci-contre utilise un AOP idéal en régime linéaire alimenté en entrée par une tension sinusoïdale de pulsation. On donne : kω, kω, C 5 nf et C nf C '. Déterminer la fonction de transfert de ce circuit et la mettre sous la forme : a H ( j ) + j( ) Identifier les paramètres a, et.. Montrer que pour une fréquence f donnée (que l on calculera), le gain G passe par un maximum G à préciser. Quel est alors le déphasage entre u e et u s. 3. Tracer les diagrammes de Bode du filtre (asymptotique puis réel pour le gain en db et la phase) 4. Calculer la bande passante de ce filtre. 5. Définir et calculer littéralement puis numériquement son facteur de qualité Q. vs Exercice : Filtre actif (II) Un AOP idéal fonctionne en régime linéaire sinusoïdal avec le montage représenté ci-contre : C'. Etablir l expression de la fonction de transfert H en fonction des paramètres, C et C.. Déterminer les relations entre C et C pour que le G 4 gain puisse s écrire : Donner l expression de sachant que C nf et kω, calculer C ainsi que f, la fréquence correspondant à 4. Avec la valeur de C précédemment calculée donner les équation des asymptotes de la phase et du gain en db : G db en fonction de log() aux basses et hautes fréquences. Tracer rapidement les diagrammes de Bode. 5. Indiquer le rôle de ce filtre. Déterminer la pulsation C et la fréquence de coupure f C de ce filtre. Exercice 3 : Filtre déphaseur. On envisage le circuit de la figure où l'amplificateur opérationnel est idéal et en fonctionnement linéaire. jc Montrer que la fonction de transfert vaut : H ( j ) + jc. Déterminer son module H ( j ) et son argument ϕ. 3. À quelle condition le circuit se comporte-t-il comme une ligne à retard c'est-à-dire retarde-t-il un signal quelconque d'une durée τ c'est-à-dire engendre-t-il s(t) e(t - τ )? C C v s
4 Exercice 4 : principe de la modulation d amplitude A partir d'un signal e E cos( Ω t ) et d'une porteuse haute fréquence p S sin( t ) génère le signal modulé S ( + ke( t) ) sin( t ) ( > > Ω ), on s, porteur de l'information initiale et qui sera transmis.. On définit le taux de modulation par m ke. eprésenter le signal modulé en amplitude s(t) dans les deux cas m< et m>l.. eprésenter la décomposition spectrale du signal s(t). 3. eprendre la question précédente lorsque l'information à transmettre e(t) possède un spectre continu, analogue à celui de la figure ci contre. 4. Un circuit multiplieur délivre à sa sortie la tension u ( t ) ks ( t ) e ( t ) où e E sin( t ) est de même pulsation que la porteuse. Exprirner u(t) et préciser les différentes cimposantes de son spectre e) Comment recueillir le signal initial Exercice 5 : Action d un filtre sur les harmoniques d un signal H ( j ) Un filtre a pour fonction de transfert : + j 5. Quelle est la nature du filtre? Quelle est la fréquence de coupure? On donne, 5 rad. s -.. Trouver la tension de sortie v s en régime forcé et commenter éventuellement le résultat sachant que le signal d entrée est (v et v sont des constantes): a) v cos( t ) t) v cos t ( b) ( ) v v cos t v e + c) ( ) d) v cos( t ) + v cos( t ) e) (t) est le créneau représenté ci contre, de période T -3 s. Sa décomposition en série de Fourier est : E + + E π ve sin ( p + ) t p π ( p + ) T f) (t) est toujours le même créneau, mais de période T -5 s. Exercice 6 : Filtre pseudo-intégrateur Soit le circuit présenté ci-dessous. L'amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire.. Calculer sa fonction de transfert.. Montrer qu'il s'agit d'un intégrateur. On donnera la relation entrée-sortie en régime quelconque. 3.Si v + v cos( t ), que vaut le signal de sortie? Commenter. 4. On rajoute une résistance ' >> en parallèle sur la capacité. Montrer que le circuit est alors un pseudointégrateur dans un domaine de pulsations qu'on précisera. On donne : k Ω, ' k Ω et C, p F. 5. Que vaut le signal de sortie pour le signal t) v v cos( t ) vérifiant la condition avec 'Cw >>? ( +
5 6. Et pour le créneau représenté ci - dessus Préciser notamment l'amplitude de variation du signal de sortie. On supposera T<< 'C. Exercice 7 : Filtre Sallen-Kay On considère le filtre suivant : e(t) C A C B _ + s(t) Données : kω ; kω et C 47 nf. Etudier qualitativement le comportement à basse et haute fréquence de ce filtre de ce filtre. Quelle est la nature de ce filtre?. Calculer la fonction de transfert H ( j ) du filtre en fonction de,, C et. 3. On pose.calculer numériquement. En déduire la fréquence f C correspondante. 4. Exprimer H en fonction de la variable sans dimension x, σ et H en mettant la fonction de transfert sous une forme canonique: H ( jx) p( x) H x + jσ x Mettre en évidence un polynôme p(x) de degré. Déterminer le facteur d amortissement σ (réel) et le paramètre H (réel) en fonction de et et pour mettre cette fonction de transfert sous forme canonique 5. Identifier la ou les pulsation(s) de coupure à -3dB de ce filtre en fonction de. 6. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques. 7. Superposer sur les courbes précédentes l allure des diagrammes de Bode réels de ce filtre. 8. Quel est son intérêt? 9. On modifie les valeurs des résistances et. a) Le gain peut-il dépasser la valeur H? b) Si oui, quel phénomène nouveau apparaît? Est ce désirable pour un tel filtre? c) On cherche M tel que le gain du filtre soit maximal. Exprimer M en fonction de, et de C d) Comment doit-on choisir le facteur d amortissement σ du filtre précédent?. a) On suppose que l on soumet en entrée de ce filtre un signal sinusoïdal de fréquence f Hz. Quelle est l allure du signal de sortie? Justifier b) On suppose que l on soumet en entrée de ce filtre un signal triangulaire de fréquence f Hz.. a) On suppose que l on soumet en entrée de ce filtre un signal sinusoïdal de fréquence f 5 khz. Quelle est l allure du signal de sortie? Justifier b) On suppose que l on soumet en entrée de ce filtre un signal carré de fréquence f 5 khz. c) On suppose que l on soumet en entrée de ce filtre un signal triangulaire de fréquence f 5 khz.
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