4. MAGNÉTOSTATIQUE La magnétostatique est l étude des champs magnétiques constants dans le temps.

Transcription

1 MAGNÉTOTATQUE Page 5 4. MAGNÉTOTATQUE La magnétostatique est l étude des champs magnétiques constants dans le temps. 4. LE MAGNÉTME NATUREL Les pemièes obsevations du magnétisme emontent à l antiquité. Thalès de Milet, notamment, avait emaqué que les moceau de oche etaits d un gisement poche d une ville appelée Magnésia 7 possédaient la popiété d attie des petits débis de fe. Plus emaquable, en fottant un petit moceau de fe avec de la magnétite, on lui confèe cette popiété. Fig. 43 Magnétite La magnétite est tès épandue dans la natue. On en touve même en uisse (Binntal). Bien avant, au X e siècle avant note èe, les popiétés mstéieuses de cette oche, appelée aujoud hui magnétite, avaient déjà etenu l attention des natualistes chinois. ls avaient aussi emaqué qu une aiguille aimantée avait la popiété de s oiente selon la diection nod-sud. De là l invention de la boussole, qui pemet de gade le cap en me losqu on est loin de tout epèe teeste. Utilisée ensuite pa les Aabes, la boussole aive en Occident au X e siècle. L aiguille aimantée flotte su un moceau de liège dans un vase d eau. Ves 3, on a l idée de la mette su un pivot à l intéieu d une boîte (bussola en italien), munie d un cadan, ce qui end les mesues plus eactes. Depuis cette époque, on indique pa N la patie de l aiguille aimantée qui pointe ves le nod géogaphique. N N N N N N Fig. 44 Baeau aimantés Les pôles contaies s attient ; les pôles semblables se epoussent. 7 Ajoud hui Manisa, ouest de la Tuquie actuelle.

2 MAGNÉTOTATQUE Page 5 N N Fig. 45 Le pôle nod de la boussole pointe ves le pole sud d un baeau aimanté. Le pôle nod géogaphique est donc un pôle sud magnétique. La Tee se compote comme un gigantesque aimant, dont l ae coïncide appoimativement avec son ae de otation. Le magnétisme est vaisemblablement dû à la otation de la patie liquide du noau de la Tee, ente 9 et 5 km de pofondeu, qui est composé sutout de fe. Les mouvements de convection du magma jouent cetainement un ôle dans l autoamoçage du pocessus, mais le phénomène est encoe mal compis. Le champ magnétique teeste n est pas constant dans le temps. Au cous des 5 denies millions d années, il a même changé une douaine de fois de sens, la denièe fois il a 78 ans, comme le monte l analse des sédiments de oche. N Fig. 46 Mise en évidence les lignes de champ magnétique autou d un aimant En tout point autou d un aimant, la tangente à la ligne de champ passant pa ce point a la même diection que celle d une petite aiguille aimantée placée en ce point. A gande distance du baeau, le champ magnétique teeste epend le dessus. On constate que les lignes de champ se efement toujous su elles-mêmes.

3 MAGNÉTOTATQUE Page TRO EXPÉRENCE CÉLÈBRE 4.. Epéience d Oested En étudiant les effets du couant électique dans un fil, Oested 8 a emaqué que le passage du couant influençait l oientation d une boussole placée à poimité. + Pile _ Fig. 47 chéma de l epéience d Oested (8) Oested étudia ensuite sstématiquement ce phénomène : losque l on invese le sens du couant, l aiguille s oiente dans l aute sens ; losqu on coupe le couant, l aiguille indique à nouveau le nod géogaphique. Histoiquement, cette epéience maque le début de l électomagnétisme. 4.. Epéience d Ampèe Deu couants paallèles s attient, deu couants ciculant en sens invese se epoussent. + Pile _ Fig. 48 chéma de l epéience d Ampèe (fin 8) 8 Hans Chistian Oested, phsicien danois,

4 MAGNÉTOTATQUE Page Epéience de la otation magnétique de Faada Placé pès d un baeau aimanté, un fil pacouu pa un couant électique est le siège d une foce. Fig. 49 chéma 9 de l epéience de Faada (8) Les écipients contiennent du mecue. A doite, le baeau aimanté est fie. Une tige métallique libe de pivote autou de son point de suspension touche le mecue. Losqu un couant pacout la tige, celle-ci s anime d un mouvement de otation. A gauche, la tige est fie, mais le baeau aimanté est libe de toune. Cette epéience constitue le pemie moteu électique. On pouait encoe cite d autes epéiences, telles que la oue de Balow. Mais la question à taite maintenant est comment les intepéte. Comme dans le cas des foces électiques, l appoche la plus efficace est d intoduie un champ pou ende compte mathématiquement de l action à distance. Ainsi la ésolution d un poblème de magnétostatique se fait en deu étapes : ) pati de la distibution des couants pou calcule le champ magnétique, (Loi de Biot et avat) ; ) calcule les foces essenties pa les couants plongés dans le champ magnétique, (Loi de Laplace). 9 Epeimental Reseaches in Electicit, vol., Michael Faada, 844. mage numéique Wikimedia. l eiste une aute epéience potant le même nom, mais il s agit de la otation de la diection de polaisation d une onde lumineuse losqu elle tavese un diélectique soumis à un champ magnétique. Découvet pa Faada en 845, cet effet est la pemièe peuve epéimentale du lien ente le magnétisme et la lumièe.

5 MAGNÉTOTATQUE Page LE CHAMP MAGNÉTQUE 4.3. Fome des lignes de champ La fome des lignes de champ va natuellement efléte celle des couants. Penons pa eemple un conducteu ectiligne asse long et pacouu pa un fot couant. En appochant une petite aiguille aimantée, on constate que les lignes de champ sont des cecles centés su le conducteu. Fig. 5 Conducteu ectiligne Fig. 5 pie Fig. 5 Baes conductices (Vue en coupe, les couants sont pependiculaies à la feuille.)

6 MAGNÉTOTATQUE Page Foce su un élément de couant Loi de Laplace i l on veut calcule la foce magnétique agissant globalement su un conducteu pacouu pa un couant, il faut le découpe pa la pensée en petits tonçons et somme les foces élémentaies. On est donc amené à intoduie la notion d élément de couant. dl dl Fig. 53 Elément de couant Losqu un élément de couant est plongé dans un champ magnétique, l epéience monte qu il subit une foce pependiculaie à la fois à la ligne de champ et à l élément de couant. De plus, cette foce est : popotionnelle au couant ; popotionnelle à l intensité du champ ; popotionnelle au sinus de l angle ente l élément de couant et le champ. Fomulé mathématiquement, ceci constitue la loi de Laplace. Loi de Laplace df dl B [N] (4.) B df θ dl Ligne de champ Fig. 54 Foce su un élément de couant B est appelé champ d induction magnétique. L unité est le tesla, abégé T. Epimé en unités fondamentales: T N/(Am) kg (m/s )/(Am) kg/(as ) Epimé en volt ( V J/C) : T Nm/(Am ) As V/(Am ) Vs/m Piee imon, maquis de Laplace, , phsicien et mathématicien fançais.

7 MAGNÉTOTATQUE Page Application de la loi de Laplace: le galvanomète à cade mobile cade avec N spies noau de fe dou N champ magnétique adial essot de appel Fig. 55a chéma du galvanomète Ce dispositif pemet de mesue de faibles couants et constitue l élément sensible des voltmètes et ampèemètes analogiques. On cée un champ magnétique adial ente les deu pôles d un aimant pemanent et un noau de fe dou. Pacouues pa le couant à mesue, les spies potées pa le cade coaial subissent donc une foce constante quel que soit l angle de otation puisque le champ est toujous pependiculaie au couant. euls les côtés du cade paallèles à l ae subissent une foce utile. Le cade est elié à un essot de appel qui founit un couple popotionnel à l angle otation. Nous allons démonte que l angle de otation du cade est popotionnel au couant. Les paamètes sont les suivants : B le module du champ adial ; N le nombe de spies ; b la longueu du cade (paallèle à l ae de otation) ; a la lageu du cade ; le couant dans les spies ; θ l angle de otation du cade pa appot à sa position de epos ; k la constante du essot [Nm/ad] ; C le module du couple de appel, C kθ

8 MAGNÉTOTATQUE Page 58 Vu en coupe, les foces su le cade se pésentent comme dessiné ci-dessous. N B F Couple C F a lageu du cade B N Fig. 55b Foces su le cade du galvanomète elon la loi de Laplace, le module de la foce vaut : F ( Nb) B. Le cade est donc soumis à un couple dont le module vaut C af anbb. Ce couple est compensé pa le couple de appel du essot. Donc : anbb kθ ahbnb On en tie : θ k Ce qui monte que la déviation angulaie est popotionnelle au couant. Les couants mesués au moen d un galvanomète sont en généal de l ode du μa. Pou mesue des intensités plus élevées, on met une ésistance (shunt) en paallèle. Cette ésistance doit ête plus petite que la ésistance intene du galvanomète R i. Pou obteni un voltmète, met en séie une ésistance plus gande que R i. m R s G R i U R v U ( R R ) v + i m Ri R + s R s << R i G R i G R v >> R i Galvanomète Fig. 55c chémas d un ampèemète et d un voltmète analogique

9 MAGNÉTOTATQUE Page Moment magnétique Dans l eemple pécédent nous avons calculé le couple eecé pa le champ B su le cade mobile du galvanomète. C an bb Ce cade compotait N spies de dimension a b. Pou une seule spie de suface ab, on auait : Cette elation peut se généalise vectoiellement : C B. Moment magnétique Couple eecé pa un champ B μ [Am ] (4.) C μ B [Nm] (4.3) Module du moment magnétique (couant) (suface de la spie). C μ B B θ μ uface Couant Fig. 56 Convention pou le sens de μ Le sens positif de μ est tel que le couant laisse le vecteu μ à sa gauche.

10 MAGNÉTOTATQUE Page Loi de Biot et avat Cette loi pemet de calcule en tout point de l espace le champ B poduit pa des couants. Combinée à la loi de Laplace, elle joue en magnétostatique le même ôle que la loi de Coulomb en électostatique. v μ Loi de Biot et avat db dl 3 4 π 7 Avec μ 4π Vs/(Am) dl db [T] (4.4) Fig. 57 Champ poduit pa un élément de couant Le module de la foce magnétique ente deu éléments de couant est popotionnel au intensités des couants et invesement popotionnel au caé de la distance qui les sépaent. De plus le module de la foce dépend aussi de leu oientation espective. Foce magnétique ente couants Foce électique ente cops chagés Elément de couant : d l Elément de chage : dq v μ v Elément de champ : db dl de dq 3 4 π 3 4πε omme su tous les éléments de couant pou obteni B omme su tous les éléments de chage. pou obteni E. Foce su dl : F dl B Foce su q : F qe Table 7 Analogie des foces Appliquons maintenant la loi de Biot et avat pou calcule eplicitement le champ B losque la distibution de couant pésente des sméties simples.

11 MAGNÉTOTATQUE Page Champ B poduit pa un conducteu ectiligne dl db B P(,,) Fig. 58 Conducteu ectiligne infini Vu la smétie aiale, le module de B ne dépend que de la distance au conducteu. Choisissons un epèe dont l ae coïncide avec le conducteu. Calculons le champ en un point P situé à une distance du conducteu. Un élément de couant v μ d l situé en poduit au point P un champ db dl. 3 4 π En composantes : dl d + μ μ db d 3 4π 4π d ( ) + 3 / Au point P l élément de champ est diigé paallèlement à l ae. Le champ B total s obtient en faisant la somme, c est-à-die l intégale de toutes les contibutions. B μ d db 3 / 4π + ( ) On emaque que l intégand est la déivée pa appot à de Composante selon : B μ 4π ( + ) μ 4π ( ) / + ( ( ) ) / μ π Champ à une distance du conducteu μ B [T] (4.5) π

12 B P MAGNÉTOTATQUE Page 6 φ O Fig. 59 Champ B en en point P quelconque de coodonnées (,, ). Distance à l ae : + En coodonnées clindiques : cos φ et sin φ. Composante du champ B selon : Bsinφ ; selon : B cosφ Finalement : sinφ μ μ B cosφ π π ( + ) [T] (4.6)

13 MAGNÉTOTATQUE Page Champ B su l ae d une spie db db θ db P θ a dl φ Fig. 6 pie pacouue pa un couant Choisissons un epèe dont l ae coïncide avec celui de la spie. oit a le aon de la spie. Un élément de couant v μ d l poduit en point P un élément de champ db dl. 3 4 π db se décompose en un élément db paallèle à et un élément adial db. Vu la smétie aiale, l intégale de la composante adiale su le poutou de la spie sea nulle. l suffit donc de calcule l intégale de la composante aiale. μ a db dbcosθ ( adφ) cosθ 4π avec cosθ et a + B φ π π μ a μ db dφ 4π ( ) 4π a + 3 / ( a + ) φ a 3 / π Champ su l ae d une spie de B a + aon a ( ) 3 / a μ [T] (4.7) Au cente de la spie μ [T] (4.8) a B

14 MAGNÉTOTATQUE Page Bobines de Helmholt l s agit de deu bobines plates montées su un même ae et sépaées pa une distance égale à leu aon moen. L avantage de ce dispositif est de poduie en son cente une one où le champ magnétique est elativement homogène. Fig. 6 Bobines de Helmholt oit R le aon moen, l intensité du couant et N le nombe de spies de chaque bobine. Pa application de (4.7), le champ su l ae vaut : B μn ( ) R R R + 3 / μn + R R R / Au cente des bobines, en 8 μ B N [T] (4.9) 5 5 R Hemann von Helmholt, 8 894, phsicien allemand. A intoduit en phsique la notion d énegie potentielle et le pincipe de la consevation de l énegie.

15 MAGNÉTOTATQUE Page FORCE ENTRE DEUX CONDUCTEUR PARALLÈLE DÉFNTON DE L AMPÈRE oit d la distance sépaant ces deu conducteus, pacouus pa des couants et espectivement. d B v F F B v l Fig. 6 Deu conducteus paallèles μ elon (4.5), le champ poduit pa le pemie conducteu à l endoit du second vaut B. π d Ce champ est pependiculaie au second conducteu. Pa la loi de Laplace, ce champ eece su le second conducteu une foce pependiculaie à B v, donc dans le plan des conducteus et μl valant F l B. On peut faie le même aisonnement pou epime la foce π d eecée pa le deuième conducteu su le pemie. Ces foces tendent à appoche les conducteus losque les couants ont le même sens. Depuis 948, c est cette foce qui set à la définition de l unité d intensité électique. 7 Compte tenu que μ 4π, la définition de l ampèe s énonce : L ampèe (A) est l intensité d un couant électique constant qui maintenu dans deu conducteus paallèles, ectilignes, de longueu infinie, de section ciculaie négligeable et placés à une distance de mète l un de l aute dans le vide poduiait une foce égale à -7 newtons pa mète de longueu.

16 MAGNÉTOTATQUE Page LE THÉORÈME D AMPÈRE Ce théoème joue en magnétostatique un ôle analogue à celui de Gauss en électostatique. La ciculation du champ B su un contou femé est égale à μ fois la somme des couants enlacés pa ce contou. ous fome mathématique : C B d n μ k k [T] (4.) k d B C Fig. 63 Contou enlaçant des conducteus couants L intensité du couant est comptée positivement losqu en pacouant le contou on laisse le conducteu à sa gauche. Commençons pa démonte le théoème dans le cas d un conducteu ectiligne et d un contou ciculaie centé su de conducteu. u ce contou d est constamment paallèle à B. C Fig. 64 Contou ciculaie a P d B elon (4.5) le module de B est donné pa μ B πa C B d C μ μ d πa πa πa μ ce qui établit le théoème dans ce cas.

17 MAGNÉTOTATQUE Page 67 La ciculation ne dépend donc pas du aon du cecle. On peut eploite ce fait pou démonte le théoème dans le cas d un contou quelconque contenu dans un plan pependiculaie au conducteu. Contou quelconque C Cecle de aon a secteu j secteu secteu Fig. 65 Contou quelconque pacouu dans le sens tigonométique. Le couant est compté positivement s il sot de la feuille de papie. oit a le aon d un cecle entièement à l intéieu du contou C. On divise ce cecle en secteus et on fait l appoimation du contou pa des acs ce cecle comme dessiné su la figue ci-dessus. Pou chaque secteu, la ciculation du champ sea appoimativement égale à celle calculée su l ac de cecle intecepté pa ce secteu. Comme cette ciculation ne dépend pas du aon du cecle, on etouve μ losqu on fait la somme de toutes les contibutions. L appoimation est d autant meilleue que le nombe de secteus est gand. Ceci établit le théoème dans le cas d un contou quelconque entouant un conducteu. Losqu on est en pésence de plusieus conducteus, on invoque le pincipe de supeposition. En tout point, le champ poduit pa n conducteus est égal à la somme des n champs poduits pa n k k chaque conducteu. La somme des ciculations vaut donc μ. Ce qui démonte le théoème dans sa généalité.

18 MAGNÉTOTATQUE Page Applications du théoème d Ampèe Champ dans un solénoïde long l B Contou C 4 a 3 Fig. 66 Choi du contou Losque la longueu du solénoïde est beaucoup plus gande que son diamète, le champ B est patiquement constant à l intéieu et nul à l etéieu. Pou le calcule, on peut donc néglige les effets de bods. oit le couant, N le nombe de spies et l la longueu du solénoïde. Appliquons le théoème d Ampèe en penant le contou dessiné ci-dessus. a Le nombe de conducteus entoués est égal à N. l a Donc : B d μ N l C Ciculation de à : Ba. Ciculation de à 3 : nulle ca B est pependiculaie au chemin pacouu. Ciculation de 3 à 4 : nulle ca le champ est (quasi-)nul en dehos du solénoïde. Ciculation de 4 à : nulle ca B est pependiculaie au chemin pacouu. a Ba μ N l Champ dans un solénoïde long μ B N [T] (4.) l

19 MAGNÉTOTATQUE Page Champ dans une bobine toique B R m Contou C Fig. 67 Bobine toique oit le couant, N le nombe de spies et R m le aon moen du toe. Pou des aisons de smétie, les lignes de champ sont ciculaies à l intéieu du toe. En penant comme contou le cecle moen, la somme des couants entoués vaut N ; la ciculation du champ est égale à B π R ). En appliquant le théoème d Ampèe : ( m Champ dans un toe μ N B [T] (4.) π R m

20 MAGNÉTOTATQUE Page Foce de Loent On appelle foce de Loent la foce agissant su une paticule se mouvant dans un champ magnétique. Une paticule de chage q animée d une vitesse v pacout pendant un laps de temps Δ t une distance : dl vδt En multipliant cette elation pa la chage et en divisant pa Δ t, on voit que cette paticule epésente en fait un élément de couant. q d qv Δt l d l qv Vectoiellement : dl qv En appliquant la loi de Laplace, la foce agissant su cette paticule est donc : F dl B qv B Le teme qv B s appelle foce de Loent. Cette foce est à la fois pependiculaie au champ B v et à la vitesse v de paticule. Foce le Loent 3 F qv B [N] (4.3) Voons quelques applications Mouvement d une paticule dans un champ magnétique unifome oit m la masse de la paticule. L équation de Newton F ma, nous donne : qv B ma L accéléation étant la déivée de la vitesse, on peut écie : dv qv B m dt Effectuons le poduit scalaie de chaque membe de cette équation pa v, supposée non nulle. qv ( v B) dv mv dt Le pemie teme est nul, ca il s agit d un poduit scalaie de deu vecteus pependiculaies. 3 Hendik Antoon Loent, phsicien néelandais.

21 MAGNÉTOTATQUE Page 7 Reste le second teme qui peut s écie : dv d( v v) v dt dt Le module de la vitesse est donc constant. Nous sommes donc en pésence, soit d un mouvement ectiligne unifome (MRU), soit s un mouvement ciculaie unifome (MCU), soit d une supeposition de ces deu mouvements (hélice). On a : un MRU losque la vitesse initiale de la paticule est paallèle au champ B v ; ( v ) d dt un MCU losque la vitesse initiale de la paticule est pependiculaie au champ B v. v F q, m R B unifome Fig. 68 Tajectoie ciculaie Dans le cas du MCU, en désignant pa R le aon de la tajectoie, le module de l accéléation centipète vaut v /R. ntoduisant cette epession dans (4.3), il vient, en module : qv B v qvb m R Raon de Lamo 4 mv R [m] (4.4) qb La péiode du mouvement est indépendante du aon de la tajectoie. En effet : T πr m π [s] (4.5) v qb Pou un électon dans un champ de tesla, la féquence de Lamo vaut : eb,6 9 f 9 7,99 H 3 T π m e π 9,94 (~ 8 GH pa tesla) Cette féquence est aussi appelée féquence cclotonique. (Voi eecice.) 4 i Joseph Lamo, , phsicien ilandais.

22 MAGNÉTOTATQUE Page Effet Hall Considéons une plaque conductice pacouue pa un couant et soumise à un champ magnétique pependiculaie à cette plaque. B lageu b v + Épaisseu d F _ U longueu a Fig. 69 Géométie de l effet Hall 5 i le couant va dans la diection +, les électons vont dans la diection avec une vitesse moenne (voi 3..) : v ne avec : n nombe d électons de conduction pa unité de volume ; aie de la section, bd ; e chage élémentaie (+,6-9 C). Foce de Loent su un électon : F ev B l donc accumulation de chages négatives su un côté de la plaque et un déficit de chages négatives su l aute, ce qui povoque une difféence de potentiel U. Le champ électique selon vaut : E U / d En égime stationnaie, la somme des foces électique et magnétique est nulle : ee + ev B v E B U db U v db db db ne nbde On voit que la tension U est popotionnelle au champ B, ce qui founit un moen de mesue celui-ci. C est le pincipe de la sonde de Hall. B nbe 5 Edwin Hebet Hall, , phsicien améicain. Découvete de l effet Hall en 88.

23 MAGNÉTOTATQUE Page LE THÉORÈME DE GAU MAGNÉTQUE Une ligne de champ électique commence su une chage + et se temine su une chage -. Losqu on calcule le flu du champ électique à taves une suface femée, le théoème de Gauss nous dit que le ésultat est égal à / ε fois la somme des chages à l intéieu du volume. E d ε i n q i A la difféence des lignes du champ électique, celles du champ magnétique sont toujous femées su elles-mêmes. On peut monte que le flu du champ magnétique B à taves une suface femée est nul. Théoème de Gauss magnétique B d [Wb] (4.6) On peut intepéte cette équation en disant qu il n a pas de monopôles magnétiques. En effet si l on coupe un aimant en deu, on n obtient pas un pôle nod et un pôle sud sépaés, mais deu aimants plus petits avec chacun deu pôles. En fait les lignes de champ continuent dans la matièe aimantée et se efement bel et bien su elles-mêmes. Le magnétisme est engendé pa le mouvement des électons des atomes ou molécules qui constituent la matièe et non pa d hpothétiques monopôles.

24 MAGNÉTOTATQUE Page 74

25 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Jusqu à pésent nous avons étudié des champs E et B statiques. Que se passe-il losque ces champs vaient dans le temps? 5. EXPÉRENCE DE FARADAY N V Fig. 69 chéma de l epéience de Faada En appochant et en faisant bouge un aimant pès d une bobine, on mesue une difféence de potentiel à ses bones. i le mouvement cesse, la difféence de potentiel etombe à éo. Répétons l epéience de manièe à mieu contôle les paamètes qui inteviennent. Utilisons deu bobines de Helmolt pou poduie un champ B constant et une petite spie de suface. On elie la spie à un voltmète pa une paie de fils tosadés. B V B θ ens + du couant Flu : Φ B B cosθ Fig. 7 Quand on bouge la petite spie, on obseve que les vaiations de tension sont popotionnelles : à l intensité du champ B ; à la suface de la spie ; au cosinus de l angle ente le champ et la nomale à la spie ; à la apidité avec laquelle on fait bouge la spie. On en conclut que la tension induite est popotionnelle à la vaiation du flu du champ B intecepté pa la spie.

26 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 76 Le flu du champ d induction magnétique 6 B est défini d une manièe tout à fait analogue à celui du champ électique E (voi.3.3). Flu du champ B Φ B d [T m ] [Wb] (5.) L unité de flu magnétique est le webe 7, abégé Wb. ( Wb/m T) Pou une petite spie de suface dans un champ constant : Φ B B cosθ. Attention : Une fois choisi le sens de, le sens positif du couant est tel le couant laisse à gauche. (Même convention que pou la définition du moment magnétique.) Avec cette convention, les obsevations epéimentales se ésument finalement à une elation connue sous le nom de : Loi de Faada-Len U ind dφ [V] (5.) dt l faut pende gade au signe moins. En fait, il ne s agit pas d une nouvelle loi fondamentale comme la loi de Coulomb. Nous allons voi ci-apès que l on peut la etouve à pati de la foce de Loent. Considéons l epéience ci-dessous. _ B F U + R e v l + v t Fig. 7 chéma de l epéience On déplace une tige conductice à vitesse constante su deu ails conducteus hoiontau et paallèles. Le tout est plongé dans un champ magnétique vetical constant. Les électons de la tige subissent l effet de la foce de Loent F qv B diigée dans ce cas selon + (ca q e ). F ev B Cela povoque une accumulation de chages négatives su un ail et une accumulation de chages positives su l aute. l a donc une difféence de potentiel induite ente les deu ails. 6 En anglais B magnetic flu densit 7 Wilhelm Eduad Webe, 84 89, phsicien allemand.

27 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 77 i l on elie les ails pa une ésistance R, il a appaition d un couant. En égime stationnaie, le tavail effectué pa la foce de Loent F sea dissipé dans la ésistance. On a donc, pou un électon : F l evbl eu Au bones de la ésistance : U Bv l A tout instant, la suface du cicuit est égale à l l( + v t) d U B dt i B est constant, la tension au bones de la ésistance est égale à la déivée du flu. l d dt l v U dφ dt u la fig. 7, le couant s écoule dans le sens de la flèche loque v >. Compte tenu du sens choisi pou calcule le flu, le couant induit doit ête compté positivement s il laisse à gauche. u la figue, il laisse à doite. Donc : ind et U U ind Ainsi, on etouve bien U ind dφ dt Losque la suface de la spie augmente, il appaaît donc un couant induit qui engende un champ magnétique de sens opposé à celui du champ B. Le couant induit s oppose donc à la vaiation du flu. Ceci est un cas paticulie de la loi de Len 8, qui est un loi généale en phsique : tout phénomène tend à s oppose à la cause qui le poduit. Appliquée au phénomène de l induction, elle s epime ainsi : Le sens du couant induit est tel qu il tend à s oppose à la vaiation de flu magnétique. Le aisonnement ci-dessus a été fait avec un champ B constant et une spie (cicuit) de suface vaiable, mais la loi de Faada-Len est également valable losque le champ B vaie avec le temps. U ind dφ d ( B) B dt dt d dt db dt Voons maintenant quelques applications de la loi de Faada-Len. 8 Heinich Len, , phsicien usse.

28 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Applications de la loi de Faada-Len 5... Bobine tounant dans un champ magnétique unifome Considéons une bobine ectangulaie de N spies de lageu a et de longueu b. tounant dans un champ unifome B. i(t) n nomale au cade θ B U ind R b Fig. 7 Bobine tounant dans un champ oit θ θ + ωt l angle ente le champ B et la nomale au cade. ω est la vitesse angulaie. Flu magnétique à taves le cade : Flu magnétique à taves N spies : abb cosθ Φ NabB cosθ Tension induite : U ind dφ dt NabB d dt ( θ + ωt) ) Nω abbsin( θ + ω ) cos( t Nω abb Couant induit : i( t) sin( θ + ωt) R l s agit d un couant altenatif. i l on veut le epésente dans la figue ci-dessus, il faut le faie de telle sote que losque le couant est positif, il laisse la nomale n à gauche. Cet eemple monte le pincipe d une généatice de tension altenative.

29 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Pincipe du moteu à couant continu La patie fie, le stato, est constituée d un aimant pemanent généant un champ B constant. La cacasse fait office de etou magnétique (pou efeme les lignes de champ). La patie tounante, le oto, compote des encoches dans lesquelles passent des fils conducteus alimentés pa un couant amené pa des balais fottant su un clinde segmenté, le collecteu. Le oto est câblé de telle sote que losqu un conducteu passe devant un pôle du stato le couant soit dans la bon sens pou assue le couple. F N B n θ - F Fig. 73a Moteu à couant continu à aimant pemanent Paamètes : B le module du champ inducteu ; N le nombe de spies alimentées ; la suface d une spie; le couant dans les spies ; ω vitesse angulaie ; θ ( t) θ + ωt position angulaie du oto ; R ésistance ohmique de l induit ; U tension d alimentation. Pou N spies alimentées pa le couant : Couple : C NB cosθ ( t) Flu magnétique : Φ NBsinθ ( t) dφ Tension induite : U ind NBω cosθ ( t) dt

30 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 8 omme des tensions dans la maille R U R + U ind U U ind U R U ind Fig. 73b chéma équivalent Losque la spie alimentée passe pès des pôles on a θ, donc en moenne cosθ ( t). En emplaçant pa sa valeu en fonction du couple, il vient : C U R + NBω NB Posons k NB constante de couple du moteu. C U R + kω k Couple en fonction de la vitesse de otation Équation du moteu à couant continu k k C U ω [Nm] R R Les paamètes k et R sont en généal donnés pa le fabicant du moteu. C C ma Déplacement de la doite quand U augmente ω ω ma Fig. 73b Caactéistique d un moteu couant continu Le couple maimum est obtenu à vitesse nulle, ce qui est intéessant pou le démaage losque le moteu entaîne une chage.

31 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page nductance d un solénoïde μ Nous avons vu au que le champ dans un solénoïde long est donné pa B N. l oit R la ésistance de la bobine et soit U la tension en égime continu. Le couant est alos donné pa la loi d Ohm : U / R U + _ R Pas de chute de tension en continu Fig. 74a chéma électique équivalent (couant continu) i l on fait vaie la tension au bones de la bobine, chaque spie va voi le flu magnétique qui la tavese vaie et pa conséquent ête le siège d une tension induite qui va s oppose à la tension appliquée. oit i (t) le couant et la suface d une spie. La tension induite dans une spie vaut : dφ d( B) μn di dt dt l dt Comme le solénoïde compote N spies, la tension totale induite à ses bones vaut : μ N di di U ind L l dt dt La constante L est l inductance du solénoïde. Elle se mesue en hen 9, abégé H. nductance du solénoïde long μ N L [H] (5.3) l H Vs/(Am) m Vs/A Wb/A i (t) R u (t) L di U ind L dt Fig. 74b chéma électique équivalent (couant quelconque) 9 Joseph Hen, , phsicien améicain. Découvete de l auto-induction en 83.

32 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 8 Le schéma monte que la tension au bones est égale à : di u( t) Ri( t) Uind Ri( t) + L [V] (5.4) dt l s agit d une équation difféentielle à coefficients constants. Résolvons-la dans le cas où l on enclenche la tension U au temps t. Pou t : u ( t) pou t > : u ( t) U di La solution de l équation Ri ( t) + L U est la somme de dt la solution de l équation sans second membe, qui s intège comme celle vue au 3.. R i ( t) C ep t avec C constante L U et d une solution paticulièe, pa eemple i ( t). R R U ( t) C ep t + L R i Le couant étant nul en t, la constante C vaut U. Finalement : R Couant apès l enclenchement U R i( t) ep t R L [A] (5.5) i(t) U / R L/R constante de temps L/R L/R t Fig. 75 Allue de i(t)

33 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page nductance mutuelle de deu solénoïdes R R B i i N spies Nspies l l Fig. 76 Vue en coupe de deu solénoïdes coaiau On monte (voi eecice) que les tensions au bones des solénoïdes son eliées au couants pa : avec : M M M L πr l di di u Ri + M + M dt dt di di u Ri + M + M dt dt μ N nductance du solénoïde (auto-inductance) ; μ N nductance du solénoïde ; L πr l μ N N nductance mutuelle de, égale à celle de. M πr l D un manièe généale l induction mutuelle ente deu cicuits est définie pa M jk uind dik dt j [H] (5.6) u tension induite dans le j ème cicuit pa une vaiation du k ème couant. ind j

34 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Enegie stockée dans une bobine oit L l inductance de la bobine et soit i (t) l intensité du couant ciculant au temps t. La tension au bones u (t) est donnée pa l équation (5.4). (Voi fig. 73b.) di u Ri + L dt Multiplions membe à membe pa le couant et analsons chaque teme : ui Ri + di Li dt ui puissance délivée pa la souce de tension ; Ri puissance dissipée pa effet Joule dans le ésistance ; di Li dt puissance appotée à la bobine. L énegie appotée à la bobine pendant un temps dt vaut donc dw Li di. W i dw Li di L i di i i i L Enegie stockée L W [J] (5.7) Densité d énegie du champ B On peut la calcule facilement en penant le cas du solénoïde long. μ A l intéieu, le champ est quasi homogène : B N l μ N on inductance vaut : L l Enegie stockée : μn Bl W L l μn O l est le volume intéieu du solénoïde. Donc : B l μ Densité d énegie du champ B B w [J/m 3 ] (5.8) (dans le vide) μ

35 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page LO DE FARADAY OU FORME NTÉGRALE La loi de Faada-Len est valable pou des spies de fomes quelconques et des champs B non unifomes. B P P d E ens de pacous du contou C C uface Fig. 77 uface quelconque, entouée pa le contou C En intoduisant la définition du flu (5.) dans (5.), il vient : U ind t B Losque le champ décoît, la tension induite est positive. i la fontièe de la suface était matéialisée pa un fil conducteu, un couant ciculeait en laissant B à gauche. Un tel couant auait comme effet de cée un champ dans le sens de B, en s opposant à sa décoissance, confomément à la loi de Len. oit deu points P et P du contou comme dessiné ci-dessus. Le potentiel en P est plus élevé qu un P puisque le couant iait de P ves P d U ind V ( P ) V ( P ) Pa définition de la difféence de potentiel (.8) : V P v P ) V ( P ) E d ( P v En combinant les elations ci-dessus : E d B d t P Les points P et P peuvent ête choisis infiniment poches, ce qui équivaut à un contou femé. P Loi de Faada C v E d t B d [V] (5.9)

36 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page LE CHAMP D NDUCTON MAGNÉTQUE DAN LA MATÈRE Jusqu à pésent nous avons étudié les phénomènes d induction dans le vide. Que se passe-t-il losqu on intoduit de la matièe dans un solénoïde? Comment vaie son inductance? Essaons de éponde à ces questions en suivant une démache similaie à celle adoptée pou étudie le champ électique dans la matièe. Nous avions pis un condensateu plan et ajouté de la matièe à l intéieu. Un dispositif qui convient bien pou étudie le magnétisme dans la matièe est la bobine tooïdale, ou toe. Le champ est quasi homogène à l intéieu et on évite d avoi à taite les effets de bods qu on auait avec un solénoïde doit. Commençons pa calcule l inductance d un toe dans le vide. Au 4.5.., nous avons vu que le champ à l intéieu du toe était donné pa : avec : i le couant ; N le nombe de spies ; R le aon moen du toe. m B μ Ni π (Nous utilisons l indice pou signifie «dans le vide».) oi a le petit aon du toe, supposé petit vis-à-vis de R m. La section est égale à A πa Le flu magnétique intecepté pa une spie vaut : Φ R m B d B A Pou N spies, la tension induite est donnée pa : U ind μni A πr dφ μn A N dt πr m m di dt nductance d un toe vide μn A L [H] (5.) π R m 5.3. Peméabilité elative i l on place un matéiau à l intéieu du toe, on constate que l inductance vaie. Fomons le appot : μ L / L (inductance du toe avec matéiau) / (inductance du toe vide). Ce appot est caactéistique des matéiau étudiés et pemet de les classe : μ < substance diamagnétique μ vide μ > substance paamagnétique μ >> substance feomagnétique

37 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 87 Losque μ > le matéiau a la popiété d augmente le flu magnétique pa appot à la valeu qu il auait dans le vide. Comme la section du toe est la même, c est donc le champ d induction qui a augmenté, comme si le matéiau était plus peméable au lignes de champ. C est pouquoi on appelle μ le coefficient de peméabilité du matéiau. Pou ête pécis : B / B μ peméablité elative (sans dimension) μ μ peméablité absolue (Vs/Am) l convient donc de distingue le champ appliqué («l ecitation») du champ d induction auquel s ajoute la contibution («la éponse») du matéiau Champ magnétique H et magnétisation Dans le vide, le champ magnétique H est tout simplement égal à B / μ. Pa eemple : N À l intéieu d un toe : H Dans un solénoïde long : H πr m v Loi de Biot et avat : dh dl 3 4 π N l Le théoème d Ampèe n H d k C k [A] (5.) Le champ magnétique d ecitation H se mesue en A/m. Dans la matièe, il s ajoute une contibution M appelée magnétisation ou aimantation. Le champ d induction magnétique total ésulte de la somme des deu contibutions : Champ d induction magnétique B ( H + M ) μ [T] (5.) La magnétisation se mesue aussi en A/m. Pou des champs magnétiques pas top élevés, on constate que la magnétisation est popotionnelle au champ, ce qui pemet de défini la susceptibilité magnétique du matéiau. usceptibilité magnétique χ M H [-] (5.3) m / En egoupant les elations ci-dessus : B ( H + M ) μ ( + χ H μ μ H μ m) μ + χ m [-] (5.4)

38 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page ntepétation de la magnétisation. La matièe est fomée de paticules chagées qui ne sont pas immobiles. O une paticule chagée animée d une vitesse peut ête considéée comme un petit couant, ce qui va donne naissance à de petits champs magnétiques. Un électon non appaié obitant su la couche etene d un noau donne un moment magnétique dipolaie. En généal, en l absence de champ magnétique etene, l agitation themique a pou effet de ende aléatoie l oientation de ces dipôles et le magnétisation totale est nulle. En pésence de champ, ce n est plus le cas. Définissons : somme des moments magnétiques μ M unité : (Am )/(m 3 ) A/m volume dela matièe Diamagnétisme : les atomes ont un moment magnétique nul. En pésence de champ magnétique, les électons ont tendance à toune autou des lignes de champ à la féquence de Lamo, ce qui cée un couant, qui a son tou engende un champ opposé à celui appliqué en vetu de la loi Len. Les atomes acquièent donc un faible moment dipolaie qui s oppose au champ appliqué. La susceptibilité est donc négative ; sa valeu est tès petite. χ m bismuth -6,4-5 plomb -,6-5 antimoine -6,9-5 NaCl -,4-5 mecue -,8-5 cuive -, -5 agent -,4-5 eau -,9-5 Cabone (gaphite) -,4-5 hdogène -, -9 Table 7 usceptibilité de quelques substances diamagnétiques (Le diamagnétisme ne vaie pas avec la tempéatue.) χ m Paamagnétisme : les atomes ont un moment magnétique non nul. En pésence de champ magnétique, ils vont s oiente dans la diection du champ. Cet effet est pépondéant pa appot à l effet diamagnétique. La susceptibilité est donc positive. L agitation themique tend à détuie l alignement, d où une dépendance de la susceptibilité avec la tempéatue. χ m ogène liquide 4-5 sodium,85-5 uanium 4-5 ogène gaeu,9-5 platine 7-5 ai,36-5 aluminium, -5 Table 8 usceptibilité de quelques substances paamagnétiques (Le paamagnétisme vaie en /T ; les valeus ci-dessus (ecepté ogène liquide) sont données pou la tempéatue ambiante.) (ouce : Handbook of Chemist and Phsics) χ m

39 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 89 Feomagnétisme : les atomes ont un moment magnétique non nul, mais en plus il eiste une fote inteaction ente dipôles, ce qui a pou effet de les aligne paallèlement les uns au autes dans de petites égions, ou domaines. L effet d alignement est beaucoup plus maqué que dans le cas des paamagnétiques ( μ >> ). Un matéiau feomagnétique aua tendance à ête attié fotement pa un aimant. Le couplage des dipôles n est possible que si les atomes du éseau cistallin se touvent à une cetaine distance les uns des autes, ce qui ne se poduit que pou cetains éléments : fe, cobalt, nickel, cetains odes et cetains alliages fittés appaentés au céamiques (feites). Un matéiau feomagnétique est caactéisé pa sa coube de magnétisation (ou d aimantation), déteminée epéimentalement (ou donnée pa le fabicant). Coube de pemièe aimantation B B -H c B H H -B Fig. 78 Allue d une coube de magnétisation à gauche : matéiau «magnétiquement du» ; à doite : matéiau «dou». La pente de la coube donne la peméabilité absolue : μ μ db dh, qui n est pas une constante dans le cas des feomagnétiques. Le champ d induction B dépend non seulement de la valeu de H, mais encoe de son «histoie». Apès une augmentation et une diminution H ma, on constate qu il este un champ d induction émanent B, ce qui coespond à une aimantation pemanente. C est ce qu on appelle le phénomène d hstéésis. Le champ magnétique -H c nécessaie à annule l aimantation est le champ coecitif. Cet effet de «mémoie» des feomagnétiques est à l oigine d un gand nombe d inventions : enegisteus à bandes magnétiques, disques dus et mémoies d odinateus, etc La densité d énegie du champ magnétique dans le vide est Dans la matièe : B μμh w μ μ BH B w ( voi éq 5.8). μ Petes dues à l hstéésis : on monte que la suface compise à l intéieu de coube d hstéésis multipliée pa le volume du matéiau est égale à l énegie dépensée pa ccle.

40 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 9 Losque ces petes sont gênantes, pa eemple dans les tansfomateus où le ccle est pacouu 5 fois pa seconde, il faut choisi un matéiau magnétiquement dou, ca il a un faible champ coecitif et la suface englobée pa la coube d hstéésis est petite. Magnétiquement dou atuation B s [T] Rémanence B [T] Coecitif H c [A/m] μ maimum Cuie T c [K] Acie dou, Fe (Commecial 99Fe),6, Feosilicium à cistau oientés,, Feosilicium isotope,95, Mumétal,75, upemallo,79,5, Magnétiquement du Acie au chome,, Acie au cobalt,95 4 Alnico 4, % Fe ; % Al ; 7% Ni ; % Co ; 6% Cu Feite BaFe O 9 8, Feite NiFe O 4, mco 5 8, ~75 7 Table 9 Caactéistiques de quelques substances feomagnétiques (ouce : Handbook of Chemist and Phsics) i l on augmente la tempéatue d un feomagnétique, on constate que les popiétés magnétiques dispaaissent en dessus d une cetaine limite appelée tempéatue de Cuie. L agitation themique détuit l alignement des domaines. Pincipe de la mesue de la susceptibilité magnétique Pou les matéiau dia- et paamagnétiques, on place un échantillon ente les pôles d un puissant électo-aimant et on mesue la foce magnétique à l aide d une balance. Pou les feomagnétiques, on place le matéiau à l intéieu d une bobine toique et on mesue le flu en fonction du champ magnétique appliqué. Flumète : voi eecice.

41 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Les cicuits magnétiques La gande peméabilité du fe pemet en quelque sote de canalise les lignes du champ d induction magnétique. Cette popiété est de pemièe impotance en patique puisque elle est à la base des tansfomateus et des machines électiques. Fig. 79a olénoïde vide (La ligne hoiontale du bas est l ae de smétie.) Fig. 79b olénoïde + noau de fe Champ d induction magnétique : lignes du champ B v et coubes de niveau de B v

42 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Loi d Ohm magnétique Considéons un solénoïde bobiné autou d un baeau feomagnétique. Φ U l b a ection Fig. 8 Cicuit magnétique Champ magnétique à l intéieu du solénoïde : H N l Champ d induction magnétique : B μ μ H μμ N l μ N Flu magnétique : B μ Φ l On peut également écie ce ésultat sous la fome : L analogie avec la loi d Ohm est évidente : N Φ l μ μ U R U Φ R m m Tension U olénation N U m Couant Flu Φ Résistance l R ρ Réluctance R m l μ μ Pou cette aison, cette loi est appelée loi d Ohm magnétique. Dans un conducteu, c est la difféence de potentiel qui cée le couant ; dans un cicuit magnétique, c est la solénation N

43 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 93 qui cée le flu. Dans les lives de phsique, la solénation pote difféents noms : difféence de potentiel magnétique, foce magnétomotice. En technique, on pale d ampèes-tous. Loi d Ohm magnétique N U R R Φ m [Wb] (5.5) m m Réluctance d un baeau de section et de longueu l R m l μ μ [H - ] [A/Wb] [ampèe-tou pa webe] (5.6) L invese de la éluctance est la peméance. Peméance d un baeau de section set de longueu l μ μ [H] [Wb/A] Λ m l [webe pa ampèe-tou] (5.7) Placées en séie, les éluctances s ajoutent. Placées en paallèle, les peméances s ajoutent Eemple de calcul du flu dans un cicuit simple Penons le cicuit de la fig. 8. Valeus numéiques : a cm ; b 6 cm ; 4 cm ; μ 5 ; N spies ; A. La éluctance d un côté est popotionnelle à sa longueu. La section étant constante, la éluctance totale est la somme des éluctances des 4 côtés. Le cicuit étant supposé de fome caée, la longueu moenne du poutou d une ligne de flu a + b vaut appoimativement 4 ( a + b). Réluctance du cicuit : Flu magnétique : Φ R ( a + b) ( + 6) 5 m,865 A/Wb 7 4 μμ 4π 5 4 N R m 3,49 5,865 4 Wb 4 Φ 3,49 Champ d induction magnétique : B, 873 T 4 4 Le calcul ci-dessus est appoimatif. En patique, si l on veut obteni des valeus plus pécises, en tenant compte de la géométie eacte et des popiétés du matéiau, il faut utilise un logiciel de calcul de flu pa éléments finis.

44 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Eemple de calcul du champ dans l entefe d un aimant Φ olénation N δ b a ection Fig. 8 Cicuit magnétique avec entefe Penons δ 5 mm et les mêmes valeus que pécédemment : a cm ; b 6 cm ; 4 cm ; μ 5 ; N spies ; A. Réluctance de la patie fe : (On pouait néglige δ dans ce calcul.) R ( a + b) δ (, +,6),5,845 5 m A/Wb 7 4 μμ 4π 5 4 Réluctance de l entefe (ai) : δ,5 6 R δ 9,947 A/Wb 7 4 μ 4π 4 Ainsi la éluctance de l entefe est plus gande que celle de la patie fe à cause de la gande valeu de μ. Flu magnétique : Φ N R + m R δ 9, , ,947 6 Wb 6 Φ 9,774 Champ d induction magnétique : B, 44 T 4 4

45 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Foce électomécanique Considéons le dispositif ci-dessous composé d une pièce fie avec un enoulement de N spies et d une pièce mobile. Nous allons calcule la foce qui s eece su la pièce mobile en fonction de la distance de sépaation. olénation: N Φ ection F em F b a Fig. 8 Electoaimant Réluctance de la patie fe : R m ( a + b ) ( a + b) μ μ μ μ Réluctance des entefes (ai) : μ R Flu magnétique : Φ N R + R m μμn ( a + b μ ) δ + nductance : L NΦ μμn ( a + b + μ ) Enegie magnétique stockée : Wmag L

46 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 96 oit F la foce qu il faut applique à la pièce mobile pou la mainteni à une distance. Losque cette foce tavaille à éloigne la pièce mobile, elle founi au sstème un tavail mécanique : dw méc F( ) d. Cet accoissement est égal à la difféence d énegie potentielle mécanique ente et +d. L énegie étant consevée, on a : dw mag + dwméc d L + F( ) d À couant constant : dl F( ) d F( ) dl d F( ) d d μμ N μμn ( a b μ) μ ( a + b + μ ) μ( μ N) F( ) 4( a + b + μ ) Cette fomule est valable pou des entefes petits vis-à-vis des dimensions a et b. Pa le pincipe de l action et de la éaction, si l on maintient la pièce mobile avec une foce F, il eiste une foce opposée F em qui tend à appoche les pièces. Cette foce F em tend à maimise le flu magnétique.

47 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Tansfomateus Un tansfomateu est constitué d enoulements bobinés autou d un cicuit magnétique appelé noau. Pou facilite les calculs, on considèe chaque enoulement comme un solénoïde long. Nombe de spies : N, N Longueu : l, l ection intéieue : i Φ i u u Fig. 83 Pincipe du tansfomateu Convention pou la mesue des tensions et des couants : À l instant t le couant i est positif, le sens de Φ est comme dessiné. i à l instant t le couant est en tain de diminue, le couant induit i va cicule dans le sens dessiné pou s oppose à la diminution du flu. Le sens positif de la tension u est alos bien comme dessiné μμn μμ N Champs d induction poduits pa les solénoïdes et : B i et B i l l Flu magnétique : N N Φ Φ + Φ B + B μ μ i + i l l Ce même flu passe au taves des deu solénoïdes. Compte tenu du sens de mesue des tensions : u N u N dφ dt dφ dt En divisant membe à membe, pou autant que le flu vaie : Tansfomateu idéal u N [-] (5.8) u N

48 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page 98 i l on tient compte de la ésistance des enoulements, on obtient le schéma équivalent suivant : Fig. 84 chéma d un tansfomateu + chage Φ Φ dt d N R i u dt d N R i u En divisant membe à membe, pou autant que le flu vaie : N N R i u R i u Multiplions chaque membe pa i i. i i N N i i R i u R i u C est en fait le appot ente les puissances instantanées entante et sotante dans un tansfomateu idéal. Ce appot doit ête égal à un. i i N N i i N N En combinant les elations ci-dessus : Tansfomateu i i N N R i u R i u [-] (5.9) i u R u R i Z N spies N spies

49 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page Compotement du champ magnétique à l inteface de deu matéiau H n H B μ μ H Matéiau b H t Contou femé C Matéiau b H n H H t B μ μ H a Fig. 85 nteface de deu matéiau (pas de couant de suface) Au voisinage de l inteface, considéons une potion de l espace asse petite pou que l on puisse admette que les champs H et B soient constants. Chaque champ se décompose en composantes nomale et paallèle à l inteface. H n + H t et B B n + B t H La continuité du flu implique celle de la composante nomale de B. Donc : μ μ (5.a) Hn H n Pou voi comment se compotent les composantes tangentielles, calculons la ciculation du champ H su le contou femé C. En l absence de couants entoués pa le contou, la ciculation doit ête nulle (voi 5.). C H d H a H b H b H a + H b + H Donc la composante tangentielle de H est continue. t n n H t H t t n (5.b) n b

50 NDUCTON ÉLECTROMAGNÉTQUE Page

51 ÉQUATON DE MAXWELL Page 6. LE ÉQUATON DE MAXWELL 6. FORME NTÉGRALE Nous avons vu que les équations qui égissent l électicité et le magnétisme pésentaient cetaines sméties. L unification, en 86, de ces deu théoies en une seule, l électomagnétisme, est l oeuve de James Clek Mawell (83-879). Quate équations suffisent pou calcule les champs à pati des chages et des couants qui en sont les causes. n () D d qi () B d i libes v (3) E d B d t C n (4) H d k + D d t C k Théoème de Gauss Théoème de Gauss magnétique (.39a) (4.6) Loi de Faada (5.9) Théoème d Ampèe modifié pa Mawell (5.) Relations constitutives : pou teni compte des effets de la polaisation, de la ésistivité et de la magnétisation dans la matièe. D B ε E + P ou D ε ε E Polaisation (.38) ( H + M ) μ ou B μ μ H Magnétisation (5.) v J σe Loi d Ohm (3.) Losque les distibutions de chage et de couant sont continues, les équations () et (4) s écivent : () D d ρdv (4) H d J d + D d t C V Théoème de Gauss Théoème d Ampèe modifié pa Mawell (.39b) Le teme t D d edonnent l équation de continuité. a été intoduit pa Mawell pou que les deu équations ci-dessus J d V ρ dv t L équation de continuité (3.4)

52 ÉQUATON DE MAXWELL Page Dans la patique, plutôt que de ésoude diectement les équations de Mawell pou calcule les champs à pati des distibutions de chages et de couants, il est souvent plus simple d utilise les lois de Coulomb et Biot-avat. Ces lois sont en quelques sotes incluses dans les équations de Mawell et peuvent ête edémontées à pati d elles. Le lien avec la mécanique est assué pa les epessions donnant la foce su une paticule chagée et su un couant. Foces de Coulomb + Loent F q( E + v B) [N] (.4) et (4.3) Foce de Laplace df dl B [N] (4.) Le méite de Mawell a donc été de fomalise mathématiquement les équations qui établissent le lien ente l électicité et le magnétisme. l a efomulé la loi de Faada sous fome intégale (voi 5.) et complété celle d Ampèe afin qu elle soit aussi valable quand les champs dépendent du temps. Le teme ajouté, le couant de déplacement, povient de la vaiation de la polaisation et pemet de satisfaie à l équation de continuité. L étape suivante consiste à fomule les équations sous fome locale et d eamine leus solutions d un point de vue théoique. Mawell a été le pemie à monte qu elles admettent des solutions qui coespondent à des ondes. Dans le vide, leu vitesse de popagation est égale à celle de la lumièe, d où l hpothèse que la lumièe est en fait un cas paticulie d onde électomagnétique. Ainsi se touvent éunies sous le même fomalisme non seulement l électicité et le magnétisme, mais encoe l optique phsique. Les phénomènes de éfaction, diffaction, polaisation de la lumièe touvent tous une intepétation élégante dans le cade de la théoie de Mawell. Nous veons cela dans la patie du cous PHY consacées au ondes. 6. FORME LOCALE Nous avons vu ( 3.3.3) comment l équation de continuité peut s écie sous fome locale au moen de l opéateu difféentiel divegence. (,, ) Fome intégale ρ J d dv t V Fome locale ρ J t On voit que l opéateu divegence pemet de tansfome une intégale su une suface femée en une intégale potant su le volume à l intéieu de cette suface. J d ( J ) dv V Etablit mathématiquement en toute igueu, ceci est connu sous le nom de théoème de la divegence ou d Ostogadski-Gauss.