Problème de contrôle optimal en temps minimal pour un avion contraint en phase de montée

Transcription

1 Problème de conrôle opimal en emps minimal pour un avion conrain en phase de monée D.Goubina, en collaboraion avec O.Cos, J.Gergaud Journées SMAI-MODE mars, Toulouse

2 Sommaire Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur 1 Conexe Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer 2 Éude géomérique Principe du maximum Exrémales non conraines Exrémales conraines 3 Résulas numériques Résumé Simulaion 4 Conclusion e Travail Fuur 2/22

3 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer Une rajecoire d avion se compose de plusieurs phases de vols conraines Décollage Aerrissage Dépar Monée Croisière Descene Arrivée Les conraines son imposées par : le conrôle aérien, l enveloppe de vol, les procédures de vol. 3/22

4 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer On s inéresse exclusivemen à la phase de monée pour un avion de ype moyen-courrier, où les procédures acuelles son de la forme : Débu de croisière arc à MACH consan arc à CAS consane pieds Les conraines à prendre en compe sur cee phase son : viesse maximale (CAS e MACH) pene minimale e maximale aux de monée (non consideré ici) 4/22

5 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer Dynamique d un avion : h Porance Trainée P V γ d dh d = V sin(γ) dd d = V cos(γ) Trainée { }} { m dv = εtmax (h) d dm = εcs(v )Tmax (h) d mv dγ d = 1 2 ρ(h)sv 2 C L mg cos(γ) } {{ } Porance 1 2 ρ(h)sv 2 C D (C L ) mg sin(γ) h : aliude d : disance longiudinal V : viesse air m : masse γ : pene air C s : débi de carburan T max : poussée maximale ρ : masse volumique de l air C L, C D : coefficiens aérodynamiques ε : rappor de poussée S : surface alaire g : consane graviaionnelle 5/22

6 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer Modèle amosphérique : Modèle ISA (Inernaional Sandard Amosphere) T = T 0 βh ( ) g T βr ρ = P, R : consane spécifique de l air. RT P = P 0 T 0 Modèle de performance avion : ( T max =C T1 1 h ) + C T3 h 2 : poussée maximale C T2 ( Modèle BADA C s =C s1 1 + V ) : débi carburan C s2 C D =C D1 + C D2.CL 2 : coefficien de rainée 6/22

7 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer Écriure sous forme d un problème de conrôle opimal : - éa : x = (h, d, v, m, γ), - conrôle : u = (ε, C L ), - paramères : ω = ( ) S, g, C T1, C T2, C T3, C D1, C D2, C s1, C s2, R, T 0, β, P 0, - foncions auxiliaires : θ(x) = (θ 1 (x), θ 2 (x), θ 3 (x), θ 4 (x)). h es l aliude d es la disance longiudinale V es la viesse air γ es la pene air m es la masse ε es le rappor de poussée C L es le coefficien de porance 7/22

8 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer On obien alors la dynamique suivane : dx d = f (x, u) = f 0(x) + u 1 f 1 (x) + u 2 f 2 (x) + u2 2 f 3(x) ( f 0 = x 3 sin(x 5 ), x 3 cos(x 5 ), ω 6 θ 3 (x) ω 2 sin(x 5 ), 0, ω ) T 2 cos(x 5 ) x 3 ( f 1 = 0, 0, θ ) T 1(x), θ 1 (x)θ 2 (x), 0 Avec x 4 ( f 2 = 0, 0, 0, 0, θ ) T 3(x) x 3 f 3 = (0, 0, ω 7 θ 3 (x), 0, 0) T Dans cee présenaion, on se limiera à l éude de la conraine de pene c 1 (x) = x 5,min x /22

9 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Posiion du problème Dynamique Un problème de Mayer Ceci nous amène à résoudre le problème de conrôle opimal (OCP) écri sous forme de Mayer e défini par : min f ( f,u) dx d () = f (x(), u()), [0, f ] p.p. u() U = { u = (u 1, u 2 ) R 2, u i [u i,min, u i,max ], i = 1, 2 } x() X = R 5 c(x()) 0, [0, f ] x(0) = x 0, x f X f = {x( f ) X, b f (x( f )) = 0} X x 1f x 1 ( f ) x 2f x 2 ( f ) Avec b f (x) = x 3f x 3 ( f ), e c(x) = x 5,min x 5 x 5f x 5 ( f ) 9/22

10 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Principe du maximum Exrémales non conraines Exrémales conraines Hamilonien : H(x(),p(),u(),η())= p(), f (x(), u()) + η(), c(x()) Condiions Nécessaires : Si le riple ( f, x, u ) es opimal alors il exise p VB ([0, f ], (R n ) ) e p 0 0, (p, p 0 ) (0, 0) el que p.p : ẋ () = H p (x (), p (), u (), η ()) ṗ () = H x (x (), p (), u (), η ()) H(x (), p (), u (), η ()) = max u U H(x (), p (), u, η ()) On complèe ces équaions avec les condiions -de ransversalié : p 4 ( f ) = 0, H(x ( f ), p ( f ), u ( f ), η ()) = p 0 -de complémenarié : [0, f ], η ()c(x ()) = 0 e η () 0 -de joncions : H[τ + ] = H[τ ], p (τ + ) = p (τ ) ν τ c (x (τ)), ν τ 0 Remarque - τ es soi un emps de conac soi un emps de joncion avec la conraine, c(x(τ)) = 0. - On appelle exrémale le quadruple (x( ), p( ), u( ), η( )) qui saisfai les condiions nécessaires excepé les condiions de ransversalié. 10/22

11 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Principe du maximum Exrémales non conraines Exrémales conraines Pour H 3 (z) 0, on défini ū 2 (z) := H 2 (z)/2h 3 (z).q. u2 H(z, ū 2 (z)) = 0 avec z := (x, p). Considérons une exrémale sans conraines acives (c(x) < 0) le conrôle u = (u 1, u 2 ) es défini par u 1 = u 1,max si H 1 > 0, ou u 1,min si H 1 < 0 (on suppose qu il n y a pas d arc singulier), ū 2 (z), si ū 2 (z) [u 2,min, u 2,max ] si H 3 (z) < 0, u 2,max, si ū 2 (z) u 2,max u 2,min, si ū 2 (z) u 2,min u 2 =, u 2,max, si H 2 (z) > 0 si H 3 (z) = 0, u 2,min, si H 2 (z) < 0 u 2 [u 2,min, u 2,max ], si H 2 (z) = 0 η( ) 0, On dédui alors x( ) e p( ) des condiions nécessaires par inégraion. Remarque - H i = p, f i es le relèvemen Hamilonien du champs f i 11/22

12 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Principe du maximum Exrémales non conraines Exrémales conraines Definiion On défini l ordre m de la conraine c comme le premier enier el que c u = ċ u =... = c(m 1) = 0 e c(m) 0 u u R 2. Considérons la conraine acive e d ordre 1, i.e c 1 = ċ 1 = 0, c 1 u = 0 e ċ 1 u = (0, θ 3 x 3 ) 0. De ces informaions, on dédui le quadruple relaif à cee exrémale : le conrôle conrain u = (u 1, u 2 ) es donné par u 1 = u 1,max si H 1 > 0, ou u 1,min si H 1 < 0 (on suppose qu il n y a pas d arc singulier), u 2 = ω 2 θ 3 cos(x 5,min ), u 2 ]u 2,min, u 2,max [ = ϕ 2 = 0, ϕ 2 = 0 = {H, ϕ 2 } = { H, H 2 } + 2u 2 { H, H 3 } η ċ 1 u 2 + 2H 3 u 2 f, le sau ν es nul, Comme précédemmen, x( ) e p( ) son déduis des condiions nécessaires par inégraion. Remarque - {H, H i } = p, [f, f i ] représene le croche de Poisson, où [f, f i ] es le croche de Lie enre f e f i. - ϕ 2 (z) := u2 H(z), H := p, f 12/22

13 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Difficulés renconrées Problème non conrain : sabilié numérique Problème conrain : sabilié numérique, changemen de srucure Approche On uilise les méhodes direces de façon à iniialiser la méhode de ir muliple méhodes direces : - Bocop 1 - grand rayon de convergence = iniialisaion du ir muliple plus précise méhodes indireces : - Hampah 2 - grande précision h() hp ://bocop.org 2. hp ://hampah.org /22

14 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Méhodes Direces On uilise le logiciel Bocop, il discréise un problème de conrôle opimal en un problème d opimisaion non linéaire en dimension finie qui es résolu par le solveur IPOPT. Données u 1,min = 0.3, u 1,max = 1, u 2,min = 0, u 2,max = 1.6 x 0 = (3480, 0, 145, , 0.25) T x f = (9144, , 191.0, libre, 0) T Iniialisaion Les variables d éas son iniialisées suivans leur comporemen global connus Inégraeurs implicie d Euler (ordre 1) e de Gauss (ordre 4) de 500 à 1000 poins de discréisaion 14/22

15 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Méhodes Indireces Le principe du maximum perme d écrire un problème de conrôle opimal en un problème de ir muliple résolu par le logiciel Hampah. Tir muliple ( 0, z 0 ) c < 0 ( 1, z 1 ) c = 0 ( 2, z 2 ) c < 0 ( 3, z 3 ) c < 0... c < 0 ( f, z f ) z 0 = (x 0, p 0 ) c(x 1 ) =0 z( 2, 1, z 1 ) = z 2 z( 3, 2, z 2 ) = z 3 b f (x( f, i 1, z i 1 )) =0 u 2,nc (z 1 ) =u 2,c (x 1 ) z( 1, 0, z 0 ) =z 1 p 4 ( f, i 1, z i 1 ) =0 H(z( f, i 1, z i 1 )) =1 Tir muliple de srucure Tir muliple de sabilié On cherche alors un zéro de S(X), avec X = (p 0, 1, 2, 3,..., f, z 1, z 2,..., z i 1 ) à l aide d une méhode de ype Newon. Le ir muliple es iniialisé grâce aux données issues des méhodes direces 15/22

16 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Problème non conrain : h() d() h d V() m() γ() V m γ 16/22

17 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Problème non conrain : γ() γ 17/22

18 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Problème conrain : h() d() h d V() m() γ() V m γ 18/22

19 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Problème conrain : Comparaison des résulas de Bocop e Hampah Profil de commande : u 2 () 1.00 u 2 () indirec direc 0.94 u 1 : rappor de poussée 0.2 indirec direc 0.1 u 2 : coefficien de porance Temps de monée : f = 696 s sous Bocop f = 698 s sous Hampah 19/22

20 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Problème conrain : Comparaison des résulas de Bocop e Hampah h() p h () indirec 0.05 indirec direc direc h : aliude p h : ea adjoin de h η 1 () 1.0 η 1 () indirece indirece direce direce η 1 : données brues η 1 : données pos-raiées 20/22

21 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Résumé Simulaion Problème conrain : Trajecoire ressemblan à une monée de ype CAS/MACH obenue avec Bocop x 1 () f 700 h x 2 () f 700 d x 3 () x 4 () x 5 () f V m f 700 γ 21/22

22 Conexe Éude géomérique Résulas numériques Conclusion e Travail Fuur Conclusion Déerminaion d un ype de rajecoire à emps minimal avec une conraine de pene Relaion enre les méhodes direces e indireces de façon à iniialiser du ir muliple Travail Fuur Inégraion numérique des arcs comporan des conraines de viesses Éude de problème de consommaion minimale Éude des rajecoires de monée en changean le ype d avion Comparaison des rajecoires opimales rouvées avec les procédures acuelles 22/22