Triangles et droites remarquables

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1 Triangles et droites remarquables chapitre 8 Te souviens-tu? 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. et ctivités 1 Découvrir l'inégalité triangulaire 1. Le voyage de lara Le trajet le plus court est celui passant par Paris. b) Non, il est plus long. c) La longueur d'un côté d'un triangle est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. 2. Triangle? red est embarrassé car il ne peut pas construire son triangle. La longueur de son plus grand côté est plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. + = = 6 cm et = 7 cm Donc > +. lara est bien embarrassée car la longueur de son plus grand côté est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. + = = 9 cm et = 9. Donc = + b) Pour tous les points,, du plan, on a +. c) Lorsque les points, et sont alignés, on a = +. 2 Mesurer des angles Mo a bien mesuré. l a placé correctement son rapporteur. Dimitri n'a pas utilisé les bonnes graduations. lara n'a pas mis le sommet sur le centre du rapporteur et a mis un côté de l'angle le long du bas du rapporteur. b) c) P 40 M N 75

2 3 onstruire le cercle circonscrit à un triangle l semblerait que red puisse aller à Quimper. c) Les distances sont égales. d) red doit s'installer au point d'intersection des deux droites précédemment tracées. e) Les 3 médiatrices d'un triangle se coupent en un même point. g) Le cercle qui a pour centre le point d'intersection des médiatrices d'un triangle et qui passe par un sommet du triangle, passe par les deux autres sommets du triangle. 4 onstruire les médianes d'un triangle et b) 8 cm ' 10 cm ' 12 cm ' Les trois droites ('), (') et (') sont sécantes en un même point. c) Les droites qui passent par un sommet d'un triangle et le milieu du côté opposé se coupent en un même point. 5 onstruire les hauteurs d'un triangle Les droites vertes sont sécantes en un même point. 76

3 b) 6 cm 6, 11 cm Les droites vertes sont sécantes en un même point. c) 6 cm 8 cm H 10 cm J Les hauteurs sont sécantes en un même point, le point. d) Les droites qui passent par un sommet d'un triangle et sont perpendiculaires au côté opposé se coupent en un même point. xercices fondamentaux alcul mental ,2 b) 15,8 c) 3,4 d) 11,6 2 3,5 b) 2,25 c) 1,9 d) 4,7 3 7,8 b) 8,6 c) 12,5 d) 7,7 77

4 4 37 b) 53 c) 62 d) b) 53 c) 3 d) L 6 Les angles d'un rectangle sont des angles droits. b) Pour mesurer un angle, on peut utiliser un rapporteur, l'unité usuelle est le degré. c) La mesure d'un angle aigu est plus petite que celle d'un angle droit. d) Un angle droit mesure la moitié d'un angle plat. 7 Qui suis-je? Je suis une hauteur. b) Je suis le centre du cercle circonscrit. c) Je suis une médiane. d) Je suis une médiatrice. L'inégalité triangulaire 11 T + TP = = 6 Donc T + TP < P. n ne peut donc pas construire le triangle TP. 12 T H 1,8 cm 4, 2, 8 S 13 1, ,350 = 3,8 La tanière du loup est entre la maison du haperon Rouge et celle de sa Mère- rand. lle ne pourra donc pas lui échapper. 9 7 cm 14 Si = +, alors le point appartient au segment []. + = 3,7 + 3,9 = 7,6 Donc les points ne sont pas alignés = 700 L'épicerie doit donc se trouver entre le collège et la maison de red. 16 Les points semblent alignés. Si = +, alors le point appartient au segment []. H + J = 4,85 + 5,7 = 10,55 Donc les points ne sont pas alignés. 17 1,5 + 5,9 = 7,4 ui, le père de Dimitri peut passer chercher red sans faire de détour. 78

5 18 Le Soleil, la Lune et la Terre sont alignés lors de l'éclipse = La distance de la Lune au Soleil était de km. d) 48 Mesurer des angles e) est un angle obtus et est un angle aigu. mélie s'est trompée dans ses mesures. lle n'a pas utilisé les graduations correspondant au zéro choisi b) 128 f) b) b) 73 c) 117 d) b) 119 c) 128 d) 109 b) c) d) b) c) [] mesure 2,7 cm, [] mesure 1,7 cm et mesure

6 28 33 L 43 [] mesure 3,, mesure 36 et mesure La longueur de la poutre métallique est d'environ cm. 115 ercle circonscrit à un triangle H HJ mesure 42 et HJ mesure 23. J ,8 cm 2,7 cm 3, 37 3, M N MN et NM mesurent 71, T 40 P 32 R 4, n remarque que le centre du cercle circonscrit est au milieu de [].

7 37 40 T R D 38 Z Le centre du cercle circonscrit au triangle D est le même que celui du triangle, c'est-à-dire le point Mo a tort. ela n'est vrai que pour les triangles rectangles. 42 Rendez-vous D M 39 D 43 D est le milieu de []. (D) est perpendiculaire à (D). b) (D) est la médiatrice de []. appartient à la médiatrice. Tous les points de la médiatrice d'un segment sont à la même distance des extrémités de ce segment. Donc =. Donc est bien un triangle isocèle en. 44 b) est le centre du cercle circonscrit au triangle D car les points, et D sont sur le cercle. 81

8 Pour trouver le centre du cercle : - on place trois points, et sur le cercle ; - on trace les médiatrices de [] et de [] ; - le point d'intersection des deux médiatrices est le centre du cercle. La ficelle aura comme longueur le rayon du cercle. l ne lui restera plus qu'à tourner pour peindre le cercle. 45 Médianes d'un triangle 48 Vrai car [] et [] sont des rayons du cercle et si un point est à la même distance des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. b) Vrai car [] et [] sont des rayons du cercle. c) aux d) Vrai car, et sont sur le cercle de centre , Ville 2 R 5, éroport 50 Ville 1 2,6 cm 4, Ville 3 n trouve que la distance, sur le dessin, entre la ville 1 et l'aéroport est de 2,6 cm. Donc en réalité, la distance de cet aéroport à chacune des villes est de 26 km. 47 l peut retrouver le centre du cercle en plaçant trois élèves sur le cercle et en construisant la médiatrice de deux côtés. Les médiatrices se coupent au centre du cercle. Puis il place un élève au centre du cercle qui tient une ficelle sur laquelle il aura fixé un pinceau. b) D est un rectangle. Ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc est le milieu de [D]. Donc la droite () est la médiane issue de dans le triangle D. 82

9 51 (d) 55 J H b) La droite () est la médiane issue de. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. n appelle médiane d'un triangle une droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé La droite rouge est une médiane pour les figures c et d, car elle passe par le milieu d'un côté et par son sommet opposé. 53 Dans l'énoncé, il y a les affirmations suivantes : - est le milieu du segment [] - D est le milieu du segment [] b) () et (D) sont des médianes du triangle. Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point. La droite () passe par le point d'intersection de (D) et (). 'est donc une médiane. D'après la définition des médianes d'un triangle, () passe par le milieu de []. Donc est le milieu du segment [ P Les hauteurs sont sécantes en. 57 Hauteurs d un triangle 54 4, b) (H) est la hauteur issue de dans le triangle. Donc (H) est perpendiculaire à (). (D) est parallèle à (). Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc (H) est perpendiculaire à (D). (H) est donc la hauteur issue de dans le triangle D. 83

10 58 La médiatrice de [S], la hauteur et la médiane issues de sont confondues. Le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité sont alignés. 60 b) La médiatrice du côté [] est aussi la médiane et la hauteur issue de. Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Si un point est à la même distance des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. n appelle médiane d'un triangle une droite passant par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé. n appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet en étant perpendiculaire au côté opposé cm 9 cm () est la droite passant par le sommet et par le point qui est le milieu du côté opposé à. Donc () est une médiane. b) est isocèle en. Donc =. Si un point est à la même distance des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. Donc est sur la médiatrice de []. est le milieu de []. Donc est sur la médiatrice de []. Donc la droite () est la médiatrice de []. c) () est la médiatrice de []. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. Donc () est perpendiculaire à []. n appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Donc () est la hauteur issue de. S 6 cm 84

11 61 laires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. 63 (d') (d) b) Les droites (d) et (d') sont parallèles. c) Les propriétés utiles sont : (1), (2) et (4). 62 (d') (d) Les droites (d) et (d') sont perpendiculaires. b) Définition : on appelle hauteur d'un triangle une droite qui passe par un sommet en étant perpendiculaire au côté opposé. Propriété : si deux droites sont perpendicu- Q Les médiatrices sont aussi les hauteurs et les médianes. Le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité sont confondus. Q est un triangle équilatéral. Donc Q =. Si un point est à la même distance des extrémités, alors il est sur la médiatrice de ce segment. Donc est sur la médiatrice de [Q]. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. Donc la médiatrice de [Q] est aussi la hauteur issue de et la médiane issue de. D'une façon analogue, on montre que les médiatrices de [Q] et de [] sont aussi hauteurs et médianes issues de et de Q. Qui dit vrai? lara a raison. urélie a tort de dire que cela est uniquement vrai dans un triangle isocèle. xercices d approfondissement 64 âbord ou tribord? 65 Des cercles, encore des cercles Le bateau est en équilibre. 85

12 66 Hauteurs et compas Pour construire la hauteur issue de : - on place le point D sur la demi-droite [) tel que D = ; - on construit la médiatrice relative à [D]. n fait de même pour les deux autres hauteurs. 67 Parallèles et Perpendiculaires est un triangle rectangle en. b) La médiatrice du côté [] et la droite () sont parallèles. c) La médiatrice du côté [] est parallèle à (). lle est aussi perpendiculaire à la droite (). Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Donc les droites () et () sont perpendiculaires. Donc est un triangle rectangle en. 69 ù est passé le cochonnet? M 9, 10 cm cochonnet 7,9 cm 70 Un deux trois triangles Pour savoir si on peut construire un triangle ou non, il suffit de comparer la longueur du plus grand côté à la somme des longueurs des deux autres côtés. Les longueurs des côtés du triangle ne peuvent que mesurer 1 cm, 1 cm et 1 cm puisqu elles doivent être des nombres entiers de centimètres. Le triangle est équilatéral. b) Les longueurs des côtés peuvent être 1 cm, 1 cm et 2 cm. omme on a 2 = 1 + 1, le triangle est plat. c) Pour un périmètre de 6 cm, les longueurs des côtés peuvent être : 1 cm, 1 cm et. lors on ne peut pas construire de triangle car 4 > cm, 2 cm et. lors le triangle est plat car 3 = Pour un périmètre de 7 cm, les longueurs des côtés peuvent être : 1 cm, 1 cm et. lors on ne peut pas construire de triangle car 5 > cm, 2 cm et. lors on ne peut pas construire de triangle car 4 > cm, et. lors on peut construire un triangle car 3 < cm, 2 cm et. lors on peut construire un triangle car 3 < Pour un périmètre de 10 cm, les longueurs des côtés peuvent être : - 1 cm, 1 cm et 8 cm. lors on ne peut pas construire de triangle car 8 > cm, 2 cm et 7 cm. lors on ne peut pas construire de triangle car 7 > cm, et 6 cm. lors on ne peut pas construire de triangle car 6 > cm, et. lors le triangle est plat car 5 = cm, 2 cm et 6 cm. lors on ne peut pas construire un triangle car 6 > cm, et. lors le triangle est plat car 5 = cm, 2 cm et. lors le triangle est plat car 4 = , et. lors on peut construire un triangle car 4 <

13 Pour un périmètre de 12 cm, les longueurs des côtés peuvent être : 1 cm, 1 cm et 10 cm. lors on ne peut pas construire de triangle car 10 > cm, 2 cm et 9 cm. lors on ne peut pas construire de triangle car 9 > cm, et 8 cm. lors on ne peut pas construire de triangle car 8 > cm, et 7 cm. lors on ne peut pas construire de triangle car 7 > cm, et 6 cm. lors le triangle est plat car 6 = cm, 2 cm et 8 cm. lors on ne peut pas construire un triangle car 8 > cm, et 7 cm. lors on ne peut pas construire un triangle car 7 > cm, et 6 cm. lors le triangle est plat car 6 = cm, et. lors on peut construire un triangle car 5 < , et 6 cm. lors le triangle est plat car 6 = , et. lors on peut construire un triangle car 5 < , et. lors on peut construire un triangle car 4 < Six pour quatre Voici la construction d mélie : D Décodage Pour construire cette figure : Je construis un triangle isocèle en et je trace la médiane de ce triangle. Je trace une droite qui part de et place le point D symétrique de par rapport à cette droite. b) Le centre du cercle circonscrit au triangle D est le point. est sur la médiatrice de car il est à égale distance de et de. Puisque D est le symétrique de par rapport à la droite qui passe par, cette droite passe par le milieu de [D] et est perpendiculaire à ce segment par les propriétés de la symétrie axiale. Donc elle est la médiatrice de [D]. Donc est le point d intersection des médiatrices de et D. omme les médiatrices se coupent en un même point et que ce point est le centre du cercle circonscrit, est le centre du cercle circonscrit. 3, Les triangles,, D et sont équilatéraux. 74 Triangles et séismes 72 Deux triangles 18, 15, 50 3, 16, 87

14 b) Dans le deuxième cas l émetteur est en dehors du triangle formé par les récepteurs. 18, M N P 15, 16, 75 Un agent très secret l n y a pas de triangle de localisation car les cercles ne se coupent pas. Les récepteurs étaient mal réglés. d) vec ces distances, on ne peut pas construire le triangle de localisation. n peut doubler le rayon des cercles des récepteurs et ainsi obtenir un triangle de localisation. b) n peut construire le triangle de localisation. c) Dans le premier cas, le triangle de localisation existe et l émetteur est à l intérieur du triangle formé par les récepteurs. 76 Le vernissage - b) Plaque n 1 2 cm 88

15 Plaque n 2 1, 1, 1, c) Le centre de gravité est confondu avec le centre du cercle circonscrit pour la plaque n 2 car c est un triangle équilatéral. d) Le centre de gravité est confondu avec le point de concours des hauteurs pour la plaque n 2 car c est un triangle équilatéral. 77 igure du chapitre Plaque n 3 Voici la figure que vous devriez obtenir : et avec le coloriage : Plaque n 4 2 cm 89

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