Chapitre 5 : Pyramides et cônes

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1 Chapitre 5 : Pyramides et cônes Dans les exercices, le théorème de Pythagore sera souvent utilisé car on a des triangles rectangles. Il faut revoir ce chapitre. 1) Aire d un rectangle et d un carré (rappel) : L aire d un rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa largeur. laire (rectangle) = Longueur x largeur = L x l L Exemple : l aire d un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 2 cm est Aire (rectangle) = L x l = 4 x 2 = l8 cm² l L aire d un carré est égale à son côté multiplié par lui-même. laire (carré) = côté x côté = c x c c Exemple : L aire d un carré de côté cm est Aire (carré) = c x c = x = l 9 cm²

2 2) Aire d un triangle et d un disque (rappel) : L aire d un triangle est égale à une de ses bases multipliée par sa hauteur et divisée par 2. laire (triangle) = base x hauteur 2 = b x h 2 hauteur hauteur base base (Un triangle est toujours la moitié d un rectangle donc on divise l aire du rectangle par 2) Exemple : L aire du triangle de base 4m et de hauteur m est Aire (triangle) = b x h 2 = 4 x 2 = l6 m² L aire d un disque est égale à son rayon multiplié par lui-même et par le nombre π. laire (disque) = Rayon x Rayon x π = R x R x π R = 2cm Exemple : L aire du disque de rayon 2cm est Aire (disque) = R x R x π = 2 x 2 x π = 4 x π = 4π cm² 1 cm² On donne la valeur exacte avec π puis la valeur approchée en utilisant le symbole et on rajoute l unité.

3 ) Rappels sur les volumes : Le volume d un prisme droit (parallélépipède rectangle, cube, cylindre, ) est égal à l aire de sa base multipliée par sa hauteur. lvolume(parallélépipède) = Vol (cube) = Vol(cylindre) = Aire de la base hauteur Exemples : 2cm cm 4cm Le volume du parallélépipède rectangle de longueur 4cm, de largeur cm et de hauteur 2cm est Volume (parallélépipède) = aire de base x hauteur = Aire (rectangle) x h V = Longueur x largeur x h = 4 x x 2 = l24 cm 2cm Le volume d un cube de côté c = 2cm est Volume (cube) = aire de base x hauteur = Aire (carré) x h V = c x c x c = 2 x 2 x 2 = l8 cm cm R = 2cm Le volume du cylindre de rayon 2cm et de hauteur cm est Volume (cylindre) = Aire de base x hauteur = Aire (disque) x h = R x R x π x h V = 2 x 2 x π x = 4 x π x = 12 x π = 12π cm 8 cm

4 4) Pyramide : S arête hauteur B C A D base H Une pyramide de sommet S est un solide délimité par: - sa base : c'est la face qui ne contient pas le point S. - ses faces latérales : ce sont des triangles de sommet S dont un des côtés est sur la base. Les côtés des triangles sont les arêtes. La hauteur d'une pyramide de sommet S est la longueur du segment [SH]. Le segment [SH] est perpendiculaire au plan de la base (avec H point de ce plan). En perspective cavalière, on dessine les arêtes cachées AB, BC et SB en pointillés. Exemple : la pyramide de Khéops a pour base un carré de côté 20 mètres et une hauteur de 146 m. Calculer la longueur de ses arêtes (218,55 m).

5 5) Patron d une pyramide : Pour construire une pyramide, on dessine un patron. Exemple : la pyramide d arête 5,5 cm et de base un carré de côté 5,8 cm ( Khéops à l échelle 1/4000) Pour faire le patron, on trace un carré de côté 5,8 cm et, à l aide du compas, on construit des triangles isocèles de côté 5,5 cm qui ont pour base les côtés du carré. On découpe et on plie les côtés du carré pour construire la pyramide. Autre exemple : la pyramide de base un carré ABCD de côté 5 cm et de hauteur AS de 5 cm. Attention, les côtés de triangles qui se suivent ont la même longueur comme BS 1, BS 2, DS et DS 4 que l on reporte au compas. S 1 S 4 A B S 2 D C S

6 6) Volume d une pyramide : Avec trois pyramides comme la précédente, on peut former un cube : rmer un cube : Le volume de chaque pyramide est égal au volume du cube divisé par. Le volume d un cube est égal à l aire de sa base multipliée par sa hauteur. Le volume d'une pyramide est égal à l aire de sa base multipliée par sa hauteur divisée par. C est vrai pour n importe quelle pyramide. lvolume (pyramide) = aire de base x hauteur = B x h Exemple : Calculer le volume d une pyramide de hauteur 9 cm et de base un carré de côté 2 cm. La base est un carré donc l aire de la base est égale à l aire du carré c est-àdire «côté x côté». On a donc : Volume (pyramide) = aire de base x hauteur = c x c x h = 2 x 2 x 9 = 12 cm Remarques : La formule est vraie pour n importe quelle pyramide. Si la division par ne tombe pas juste, on donne la valeur exacte avec la fraction et on arrondit (souvent à l unité). On n oublie pas de rajouter l unité (m, cm, )

7 7) Cône de révolution : révolution: S hauteur M O base Lorsqu on fait tourner un triangle rectangle autour d un des côtés de l angle droit, on obtient un cône de révolution. (révolution veut dire tourner) Exemple : on fait tourner le triangle SOM rectangle en O autour de la droite (SO). On obtient un cône de révolution de sommet S. La base du cône est le disque de centre O et de rayon OM. La hauteur du cône est la longueur du segment [SO]. Le segment [SO] est perpendiculaire à la base. Remarques : On trace en pointillés la partie cachée de la base qu on dessine ovale sans instrument mais on utilise la règle pour tracer le triangle isocèle. (SM) peut être appelée la génératrice (elle génère le cône).

8 8) Volume d un cône : Le volume d'un cône est égal à l aire de sa base multipliée par sa hauteur divisée par. lvolume (cône) = aire de base x hauteur = B x h (C est la même formule que pour une pyramide). La base est un disque de rayon R. L aire d un disque de rayon R est égale à Aire (disque) = Rayon x Rayon x π Le volume d un cône de rayon R est donc égal à Volume (cône) = R x R x π x h π,14 mais on utilise la touche lπ de la calculatrice. Exemple : Calculer le volume d un cône de rayon 2 cm et de hauteur 9 cm. Volume (cône) = V = 2 x 2 x 9 aire de base x hauteur = R x R x π x h π = 12π cm 8 cm. = 2 x 2 x π x 9 Remarques : 12π est la valeur exacte obtenue en calculant à part les nombres qui sont différents de π. 8 est la valeur approchée obtenue avec la calculatrice en arrondissant le résultat à l unité. On peut calculer séparément l aire de la base mais il faut garder la valeur exacte et arrondir seulement après avoir multiplié par la hauteur et avoir divisé par.

9 Annexe : extrait du programme officiel :.2 Configurations dans l espace Pyramide et cône de révolution. - Réaliser le patron d une pyramide de dimensions données. L observation et la manipulation d objets constituent des points d appui indispensables. Ces activités doivent être complétées par l observation et la manipulation d images dynamiques données par des logiciels de géométrie. Les activités sur les pyramides exploitent des situations simples. L objectif est toujours d apprendre à voir dans l espace, ce qui implique un large usage des représentations en perspective et la réalisation de patrons. Ces travaux permettent de consolider les images mentales relatives à des situations d orthogonalité. 4.1 Aires et volumes Calculs d aires et volumes. - Calculer le volume d une pyramide et d un cône de révolution à l aide de la formule V = 1 B h. L objectif est, d une part, d entretenir les acquis des classes antérieures et, d autre part, de manipuler de nouvelles formules, en liaison avec la pratique du calcul littéral.

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