Pour l objet 2 : tube de colle, rouleau d essuie-tout. Pour l objet 3 : tablette de «Toblerone», kaléidoscope.

Transcription

1 Prisme et cylindre chapitre 13 Te souviens-tu? 1.C ;.B ; 3.A ; 4.C ; 5.B. Activités 1 Observation et vocabulaire a) Pour l objet 1 : cube, boîte de chaussures. Pour l objet : tube de colle, rouleau d essuie-tout. Pour l objet 3 : tablette de «Toblerone», kaléidoscope. Ils ont tous les deux des faces latérales rectangulaires et deux faces polygonales. Un prisme droit est défini par deux bases polygonales situées dans des plans parallèles et des faces latérales rectangulaires qui sont perpendiculaires aux bases. d) Un cylindre droit est défini par deux disques et une surface latérale dont le patron est un rectangle. Perspective cavalière 1. Représenter un prisme a) Les arêtes parallèles sont représentées par des segments parallèles. Les arêtes cachées sont représentées par des segments en pointillés. Les arêtes latérales ne seront pas toutes représentées en vraie grandeur, seules la face latérale de face et celles qui lui sont parallèles le seront. 159

2 et d). Représenter un cylindre a) La première image est la plus vraisemblable car l étiquette de la boîte est parallèle au bord de la boîte. En perspective cavalière, les bases d un cylindre sont représentées par des ovales, les bords du cylindre par des segments. 3 Patrons 1. Un prisme droit à base triangulaire a) Le meuble possède 5 faces. Les faces verticales sont des rectangles. Les faces horizontales sont des triangles rectangles. Il y a plusieurs façons de les placer. 160

3 7 cm 4 cm 4 cm 7 cm. Un prisme droit ayant pour base un parallélogramme a) Les bases de ce prismes sont : ABCD et EFGH. Ce sont des parallélogrammes. Les faces latérales sont : ABFE, ADHE, DCGH et BCGF. Ce sont des rectangles. 4 cm 4 cm 35, 35 4 cm 161

4 d) Un patron de prisme droit dont la base est un parallélogramme est constitué de 4 rectangles et de parallélogrammes. e) Première façon : Aire de DCGH = Aire de ABFE =,5 4 = 10 cm Aire de AEHD = Aire de BFGC =,5 3 = 7, Aire latérale = ,5 = 3 Deuxième façon : Aire latérale = ( ),5 = 14,5 = 3 f) L aire latérale d un prisme droit est égale au produit du périmètre du polygone de base par la hauteur du prisme. 3. Un cylindre a) On peut poser l étiquette à plat sur la table. On obtient un rectangle. C est le dessin de Fred qui est juste car la longueur du rectangle correspond au périmètre du disque. 1, 9,4 cm 1, d) Un patron de cylindre est constitué d un rectangle et de deux disques. e) Périmètre du disque : π 1,5 9,4 cm La longueur du rectangle fait environ 9,4 cm. Aire de la face latérale : 9,4 5 = 47 cm Aire du disque : π 1,5 7,1 cm Aire totale : ,1 = 54,1 cm 16

5 4 Les volumes 1. Volume d un prisme droit a) Elle obtient un pavé droit. Volume du pavé droit : = cm 3 Volume du solide : = cm Aire de la base : = 700 cm Produit de l aire de la base par la hauteur : = On remarque qu on obtient le même volume qu en. d) Le volume d un prisme droit est égal au produit de l aire de base par la hauteur.. Volume d un cylindre a) Pour calculer le volume du prisme bleu et celui du prisme vert, on calcule l aire de base et on multiplie par la hauteur. Pour calculer le volume du cylindre, on calcule l aire de base et on multiplie par la hauteur. Volume du cylindre : π 5 11 = π ,9 cm 3 Exercices fondamentaux Calcul mental 1 a) d) 70 a) d) 49 3 a) ,5 d) a) 4 0, ,01 d) 7, 5 a) 3 00 dm 3 7, cm 3 40 cm 3 d) 0,0 3 Vocabulaire 6 a) Je suis un prisme droit, à base triangulaire, mes deux bases sont des triangles, mes faces latérales sont des rectangles. Je suis un cylindre droit, mes deux bases sont des disques. Je suis un prisme droit, mes bases sont des rectangles, je suis aussi un parallélépipède rectangle. d) Je suis un prisme droit à base pentagonale, j ai donc 15 arêtes, 7 faces et 10 sommets. 7 a) Les faces latérales d un prisme droit sont des rectangles. La surface latérale d un cylindre droit est un rectangle «enroulé» autour de l axe, ses bases sont des disques. De chaque sommet d un prisme droit partent trois arêtes. d) Un cylindre droit possède un axe qui passe par les centres de deux disques de base. Observation et vocabulaire 8 Les objets qui sont des prismes droits sont a, c et d. 163

6 9 Les objets qui sont des cylindres sont a, c et d. 10 a) Faux. Vrai. Vrai. d) Faux. d) Il y a trois solutions. 13 On a besoin de 4 couleurs différentes. 11 a) Impossible. d) 1 a) 14 Les paires d arêtes perpendiculaires sont : (FD) et (DA) ; (FD) et (FC) ; (DE) et (DA) ; (DE) et (EB) ; (FE) et (FC) ; (FE) et (EB) ; (CA) et (DA) ; (CA) et (FC) ; (AB) et (DA) ; (AB) et (EB) ; (CB) et (FC) ; (CB) et (EB). 15 a) Les arêtes parallèles sont : [FD] et [CA] ; [DE] et [AB] ; [FE] et [CB] ; [FC], [DA] et [EB]. Les arêtes parallèles sont : [IG], [JP], [EK], [DL], [CM] et [AB] ; [IJ] et [GP] ; [PE] et [JK] ; [ED] et [KL] ; [CD] et [ML] ; [AC] et [BM] ; [GA] et [IB]. Il y a deux solutions. Il y a trois solutions. 16 Il y a 3 arêtes perpendiculaires à la face ABC : [FC], [DA] et [EB]. 17 L arête cachée sur le prisme ABCDEF est [BC]. Les arêtes cachées sur le prisme GHIJKL sont [GJ], [LJ] et [JK]. 18 Perspective cavalière a) Il y a deux solutions. 164

7 d) 19 Ce sont tous des prismes droits en perspective cavalière car leurs bases sont des polygones superposables situés dans des plans parallèles et leurs faces latérales sont rectangulaires et perpendiculaires à leurs bases. De plus, les arêtes visibles et cachées sont dessinées correctement. 0 a) Ce n est pas la représentation d un prisme droit en perspective cavalière car les arêtes cachées ne sont pas dessinées correctement. C est une représentation en perspective cavalière d un prisme droit car les bases sont des polygones superposables situés dans des plans parallèles et les faces latérales sont rectangulaires et perpendiculaires aux bases. De plus, les arêtes visibles et cachées sont dessinées correctement. C est une représentation en perspective cavalière d un prisme droit car les bases sont des polygones superposables situés dans des plans parallèles et les faces latérales sont rectangulaires et perpendiculaires aux bases. De plus, les arêtes visibles et cachées sont dessinées correctement. d) Ce n est pas la représentation d un prisme droit en perspective cavalière car les arêtes cachées ne sont pas dessinées correctement. d) a) d) 3 a) 1 a) 165

8 d) d) Patrons 4 a) C est le patron d un prisme droit car les faces des bases seront superposables quand on assemblera le solide et les faces latérales sont rectangulaires. Ce n est pas le patron d un prisme droit car les faces des bases ne seront pas superposables quand on assemblera le solide. Ce n est pas le patron d un prisme droit car les largeurs des faces latérales ne sont pas égales aux longueurs des côtés du triangle de base. d) C est le patron d un prisme droit car les faces des bases seront superposables quand on assemblera le solide et les faces latérales sont rectangulaires. 6 a) Ce n est pas le patron d un prisme droit. Ce n est pas le patron d un prisme droit. C est le patron d un prisme droit. d) Ce n est pas le patron d un prisme droit. 7 a) 5 a) 166

9 d) K N L M 4, 8 a) Non car la longueur du côté représenté de la face de base est plus grande que la largeur de la face rectangulaire à gauche. Non car la face latérale dessinée n est pas rectangulaire. Non car les deux faces de bases se touchent. d) Non car il y a une face latérale qui n est pas rectangulaire. 9 C,8 cm A 3,4 cm B 3, D A 30 B 1, 3, 30 33, A 15,7 cm C 30 34,, cm 1,6 cm 4 cm 7 cm 167

10 35 4 π 131,9 Le périmètre du disque de base du cylindre est d environ 1,3 m. On ne peut donc pas décorer les piliers de la grande salle du collège avec des feuilles rectangulaires de 80 cm sur 1,30 m. 36 La largeur du patron est de : 4, = 8 cm La longueur du patron est de : 4,5 π 8,7 cm Le patron ne tiendra donc pas dans une feuille de format 1 cm 9,7 cm. 37 Aire de la base = 6 8 = 4 cm Aire latérale = ( ) 11 = 64 cm Aire totale = = 31 cm 38 Aire latérale = 6 5 7,5 = 39 Aire de la base = π 8 01,06 cm Aire latérale = π ,9 Aire totale = 01, ,9 = 753,98 cm 40 Aire de la base = π 0,8,01 m Aire latérale = π 0,8 5 5,13 m Aire totale =,01 + 5,13 = 7,13 m Donc l aire de la surface vitrée est égale à 7,13 soit 13,565 m. Les volumes 41 a) 5 50 cm 3 = 5,50 dm 3 1 m 3 = dm 3 0,14 m 3 = 140 dm 3 d) cm 3 = 705 dm 3 4 a),8 m 3 = 800 dm dm 3 = 40 m 3 8 cm 3 = mm 3 d) 70 mm 3 = 0,7 cm 3 43 a) 700 cm 3 = 0,7 dm 3 8 mm 3 = 0,008 mm cm 3 = 43, dm 3 d) 0,05 m 3 = 50 dm 3 44 a) cm 3 = 000 dm 3 = 000 L mm 3 = 0,38 dm 3 = 0,38 L cm 3 = 43, dm 3 = 43, L d) 3 m 3 = dm 3 = L 45 a) 6,5 L = 6,5 dm 3 = cm 3 0,05 dl = 0,005 dm 3 = L = dm 3 = 5,4 m 3 d) 7 hl = 700 dm 3 = 0,7 m 3 Volume : prisme et cylindre 46 1,50 = 30 On dispose de 30 m 3 d air. 47 Aire du triangle rectangle = 1 9 = 54 cm Volume = = 97 cm 3 48 Aire du losange = 5 30 = 37 Volume = = 6 50 cm 3 49 Aire du parallélogramme = 1 8 = 96 cm Volume = 96 8 = 688 cm 3 50 Aire du disque = π 5,5 9 Volume 3,5 95 = 33, 3 168

11 L = 4 m 3 4 (π 0,8 ) La hauteur de la citerne est d environ m. 5 π 0,7 5,5 8,5 Le volume de colle contenue dans le tube est d environ 8, Calcul du volume d une bougie : π 1,5 18,8 3 Calcul du volume de cire : = 360 cm 3 Calcul du nombre de bougies : ,85 19,1 On peut donc fabriquer 19 bougies. 54 π 0,4,5 1,6 m 3 Il y a environ 1,6 m 3 d eau. 55 Calcul du volume de la bassine : π ,6 cm 3 Calcul du volume d un pot : π 3, ,4 cm 3 Calcul du nombre de pots : 7 068,6 346,4 0,4 Elle pourra remplir 0 pots de confiture. 56 π 0, ,0038 m 3 Mo dispose d environ 0,0038 m 3 d eau. Qui dit vrai? C est Mo qui a raison. Si on double la hauteur, on multiplie le volume par alors que si on double le rayon, on multiplie le volume par 4. Exercices d approfondissement 57 Peux tu les dessiner? a) Il a 7 faces et 15 arêtes. Il a 10 sommets et 15 arêtes. Il a 1 sommets et 8 faces. 58 Des formules a) Un prisme droit, dont la face de base a 3 sommets, a 9 arêtes. Un prisme droit, dont la face de base a 5 sommets, a 15 arêtes. Le nombre de sommets du prisme droit est s. Le nombre d arêtes du prisme droit est 3s. d) Le nombre de face du prisme droit est s+. 59 Combien sont ils? Il y a 9 patrons différents pour un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral. 60, Cerf volant 61 Jardinage π ,1 Le volume du rouleau à gazon est d environ 7 093,1 cm 3 soit 7,0931 L. On a alourdi le rouleau de 7,0931 kg. d) π ,4 L aire du gazon roulé est d environ 3 870,4 cm. 169

12 6 La piscine a) Première façon : (1,5 + 0,7) 15 Aire du trapèze = = 16,5 m Volume de la piscine = 16,5 5 = 8,5 m 3 = L Deuxième façon : Calcul du volume du prisme droit à base triangulaire : Aire du triangle rectangle = 0,8 15 = 6 m Volume du prisme = 6 5 = 30 m 3 Calcul du volume du pavé droit : 0, = 5,5 m 3 Calcul du volume de la piscine : ,5 = 8,5 m 3 = L Donc le volume de la piscine est de 8,5 m 3 soit L. 0, = 3,75 m 3 Il faut ajouter 3,75 m 3 soit L. 63 En pâtisserie Aire du trapèze (8 + 9,5) 4 = = 3 Volume du cake avant la cuisson = 35 5 = 87 3 Le volume du cake sorti du four est donc de 875 soit cm La niche du chien Calcul de l aire totale du demi-cylindre : Aire latérale du demi-cylindre π = 10,6 cm Aire du demi-disque de base π 15 = 353,4 cm Aire totale du demi-cylindre = 10, ,4 = 87,4 cm Calcul de l aire d un côté de la niche : = 1 48 Calcul de l aire du fond de la niche : = 990 cm Calcul de l aire de la surface à repeindre : 87, = 6 787,4 cm 65 Aménagement Calcul du volume du cylindre de rayon 4,50 m : π 4,50 0,06 3,8 m 3 Calcul du volume du cylindre de rayon 7m: π 7 0,06 9, m 3 Calcul du volume des gravillons : 9, 3,8 = 5,4 m 3 Il faut donc 5,4 m 3 de gravillons. 66 Un peu de sucre? Calcul du volume qu il reste dans sa tasse : π 3,75 0,1 4,418 cm 3 Calcul du volume d un sucre : 1,7,7 0,6 =,754 cm 3 Calcul du nombre de sucres : 4,418,754 1,6 Il pourra donc mettre 1 sucre avant que sa tasse déborde. Énigme de fin de chapitre La largeur de feuille est de et sa longueur est de 10 cm. 170