Chapitre 4 - Les triangles

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1 Chapitre 4 - Les triangles I- Définitions et triangles particuliers Un triangle est un polygone qui a trois côtés. Dessiner trois triangles : un quelconque (classique), un qui est équilatéral et un qui a un angle obtus. Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Si un triangle ABC a son angle droit au sommet A, on dit que ABC est rectangle en A. De plus, le côté qui est en face de l angle droit s appelle l hypoténuse. Pour chacun des triangles suivants, repasser en rouge l hypoténuse et coder l angle droit. Un triangle isocèle est un triangle qui a (au moins) deux côtés égaux. Le sommet qui touche les deux côtés égaux s appelle le sommet principal et le côté qui est opposé au sommet principal s appelle la base du triangle isocèle. Faire deux dessins, un posé sur la base et un posé sur l un des deux côtés égaux. Indiquer le vocabulaire : base et sommet principal. Marquer les côtés égaux.

2 Remarques : - Dans un triangle isocèle, il y a un axe de symétrie : la droite qui passe par le milieu de la base et par le sommet principal. - Dans un triangle isocèle, les deux angles qui touchent la base sont égaux. Définition 4 : Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés égaux. Faire deux dessins, un petit et un plus grand en marquant les côtés égaux. Remarque : Un triangle équilatéral est un triangle isocèle, il a donc un axe de symétrie. En fait il en a trois, un pour chaque sommet. II- Construction d un triangle dont on connaît la longueur des trois côtés On veut construire un triangle dont on connaît les trois côtés. Par exemple : construire le triangle ABC tel que AB = 7cm, BC = 10cm et CA = 6cm. Méthode + exemples : (feuille à coller) III- Inégalité triangulaire 1) Propriété des longueurs des côtés d un triangle Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Par exemple, dans le triangle ABC, on a : AB < AC + CB AC < AB + BC BC < BA + AC Ce sont les inégalités triangulaires. Remarque : Cette propriété revient à dire que, pour aller du point A au point B, il est plus court d aller directement de A à B (en suivant le segment [AB]) que de passer par C (si celui-ci n est pas sur le trajet direct, c est-à- dire le segment [AB]).

3 2) Vérifier qu un triangle est constructible Pour vérifier s il est possible de construire un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés, il suffit de vérifier que la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. Exemple 1 : On veut savoir si le triangle ABC, avec AB = 6cm, AC = 4cm et BC = 3,5 cm est constructible ou pas. On prend la longueur du plus long côté : AB = 6 cm. Et on compare avec la somme des longueurs des deux autres côtés : AC + BC = 4 + 3,5 = 7,5 cm. Comme AB < AC + BC, le triangle est constructible. Exemple 2 : On veut savoir si le triangle ABC, avec AB = 7cm, AC = 4cm et BC = 2,5 cm est constructible ou pas. On prend la longueur du plus long côté : AB = 7 cm. Et on compare avec la somme des longueurs des deux autres côtés : AC + BC = 4 + 2,5 = 6,5 cm. Comme AB > AC + BC, le triangle n est pas constructible. 3) Cas d égalité Propriétés : - Si un point M appartient au segment [AB], alors on a : AB = AM + MB. - Si trois points A, B et M sont tels que AB = AM + MB, alors M appartient au segment [AB] (c est-à dire que les points A, B et M sont alignés) Exemple : Ici on a : AB = 7 cm, AC = 4.5 cm et BC = 2.5 cm. On a donc AB = AC + BC, donc C est un point du segment [AB]. (On peut voir ABC comme un «triangle aplati»).

4 IV- Construction d un triangle dont on connaît un côté et deux angles On veut construire un triangle ABC tel que AB = 10cm, A=30 et B=60. Méthode : feuille à coller V- Construction d un triangle dont on connaît deux côtés et un angle On veut construire un triangle ABC tel que AB = 10cm, BC=8cm et B=60 Méthode : feuille à coller VI- Médianes d un triangle Dans un triangle ABC la médiane issue de A est la droite passant par le sommet A et le milieu du côté opposé [BC]. Faire trois triangles. Pour chaque triangle, tracer les médianes. Remarques : - Les médianes d un triangle se coupent en un même point, on dit qu elles sont concourantes. Leur point d intersection s appelle le centre de gravité du triangle. On pourra justifier cette propriété dans quelques mois. - Le centre de gravité se situe toujours à l intérieur du triangle. VII- Médiatrice, définition et propriétés La médiatrice d un segment [AB] est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu. Exemples (tracé avec règle et équerre) Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors ce point est à égale distance des extrémités de ce segment.

5 Exemple : - On sait que : Le point M appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]. - On en déduit que : Le point M est à égale distance des points A et B. Faire un point P qui n est pas sur la médiatrice de [AB] : ce point n est pas à égale distance de A et de B. Si un point est à égale distance des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Exemple : - On sait que : Le point M est à égale distance des points A et B. - On en déduit que : Le point M appartient à la médiatrice du segment [AB]. Méthode de tracé avec le compas (feuille à coller) VIII- Cercle circonscrit à un triangle Les médiatrices d un triangle sont les médiatrices de ses côtés. Propriétés : - Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes. - Le point d intersection des médiatrices est le centre d un cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle. IX- Hauteurs d un triangle Dans le triangle ABC la hauteur issue de A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à (BC). Exemple Faire deux dessins

6 Remarque : Les hauteurs ne sont pas forcément à l intérieur du triangle, parfois il faut prolonger les côtés à l extérieur du triangle pour pouvoir les tracer. Propriété (admise) : Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes. X- Récapitulatif sur les droites remarquables d un triangle Perpendiculaire au côté Passe par le milieu du côté Passe par le sommet opposé Médiane Non Oui Oui Médiatrice Oui Oui Non Hauteur Oui Non Oui

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