COLLEGE ROLAND DORGELES PARIS. GEOMETRIE EN 3ème

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1 COLLEGE ROLAND DORGELES PARIS GEOMETRIE EN 3ème Démontrer qu'un point est le milieu d un segment... 2 Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d un triangle... 3 Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d un triangle... 3 Démontrer que deux droites sont parallèles... 4 Démontrer que deux droites sont perpendiculaires... 5 Démontrer qu'une droite est une médiane... 6 Démontrer qu'une droite est une hauteur... 6 Démontrer qu'une droite est une tangente d un cercle... 6 Démontrer qu'une droite est une médiatrice... 7 Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice... 8 Démontrer qu'un triangle est isocèle... 9 Démontrer qu'un triangle est équilatéral... 9 Démontrer qu'un triangle est rectangle Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle Démontrer qu'un quadrilatère est un losange Démontrer qu'un quadrilatère est un carré Démontrer que deux segments ont la même longueur Calculer la longueur d'un segment Démontrer que deux angles ont la même mesure Calculer la mesure d'un angle Utiliser la trigonométrie Utiliser la symétrie par rapport à une droite Utiliser la symétrie par rapport à un point... 20

2 Démontrer qu'un point est le milieu d un segment Le milieu d un segment est le point du segment qui est équidistant de ses extrémités Définition (5 ) Deux points A et B sont symétriques par rapport à un point O signifie que O est le milieux du segment [AB] La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu Définition (5 ) Une médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. I point de [AB] (d) est la médiatrice de [AB] I est un point de [AB] et IA = IB I est le milieu de [AB] A et B sont symétriques par rapport au point O O est le milieu de [AB] La droite (d) est la médiatrice du segment [AB] (d) passe par le milieu de [AB] La droite (d) est la médiane issue de C du triangle ABC (d) passe par le milieu de [AB] Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. (d) est la médiane issue de C Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. Théorème (4 ) Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle parallèlement à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu (EF) // (BC) La droite (EF) passe par le milieu E de [AB] parallèlement à (BC) La droite (EF) passe par le milieu de [AC]

3 Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d un triangle Le centre du cercle circonscrit d un triangle est le point de concours des médiatrices du triangle Les médiatrices des segments [AB] et [BC] sont sécantes en O O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC Propriété (4 ) Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est milieu de l hypoténuse Le triangle ABC est rectangle en A Le centre du cercle circonscrit du triangle ABC est le milieu O de [BC] Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d un triangle Propriété (4 ) Le centre du cercle inscrit dans un triangle est le point de concours des trois bissectrices du triangle Les bissectrices issues de A et B sont sécantes en I I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC

4 Démontrer que deux droites sont parallèles Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles (d1) // (d3) et (d2) // (d3) (d1) // (d3) et (d2) // (d3) (d1) // (d2) (d1) (d3) et (d2) (d3) (d1) // (d2) Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles Définition (5 ) Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles a et b sont alternes-internes et a = b (d1) // (d2) a et b sont correspondants et a = b (d1) // (d2) (AB) // (DC) Propriété (4 ) Si une droites passe par les milieux de deux côtés d un triangle alors elle est parallèle au troisième côté I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] (IJ) // (BC) Théorème (3 ) ( Réciproque de Thalès ) Si les points A,M,B sont alignés dans cet ordre si les points A,N,C sont alignés dans cet ordre si AM AB = AN AC alors (MN) est parallèle à (BC) AM AB = AN AC A, M, B sont alignés dans cet ordre A, N, C sont alignés dans cet ordre AM AB =. AN AC = On constate que AM AB = AN AC (D après la réciproque du théorème de Thalès) (MN) // (BC)

5 Démontrer que deux droites sont perpendiculaires Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une alors elle est perpendiculaire à l autre. La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu Définition (5 ) Une hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. (d1) // (d2) (d) est la médiatrice de [AB] (d) est la hauteur issue de C (d1) // (d2) (d3) (d1) (d3) (d2) (d) est la médiatrice de [AB] (d) (AB) (d) est la hauteur du triangle ABC issue de C (d) (AB) ABCD est un losange (AC) (BD) Si un quadrilatère est un cerf-volant alors ses diagonales sont perpendiculaires. ABCD est un cerf-volant (AC) (BD) Définition (4 ) A est un point d un cercle de centre O. La tangente au cercle au point A est la droite perpendiculaire au rayon [OA] au point A O est le centre de cercle (d) est la tangente au cercle de centre O au point A (d) (OA)

6 Démontrer qu'une droite est une médiane Définition (5 ) Une médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé Propriété (4 ) Si un triangle est isocèle alors la hauteur, la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues (d) hauteur issue de A (AI) passe par le sommet A et le milieu I de [BC] (AI) est la médiane issue de A du triangle ABC Le triangle ABC est isocèle en A (d) est la hauteur issue de A (d) est aussi la médiane issue de A Démontrer qu'une droite est une hauteur Définition (5 ) Une hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé Propriété (4 ) Si un triangle est isocèle alors la hauteur, la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues (d) médiane issue de A La droite (AP) passe par A et est perpendiculaire à (BC) (AP) est la hauteur issue de A Le triangle ABC est isocèle en A (d) est la médiane issue de A (d) est aussi la hauteur issue de A Démontrer qu'une droite est une tangente d un cercle Définition (4 ) A est un point d un cercle de centre O. La tangente au cercle au point A est la droite perpendiculaire au rayon [OA] au point A (d) est perpendiculaire au rayon [OA] en A (d) est la tangente au cercle de centre O au point A O est le centre de cercle

7 Démontrer qu'une droite est une médiatrice La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu (d) est perpendiculaire à (AB) (d) passe par le milieu I de [AB] (d) est la médiatrice de [AB] Si un point est équidistant de deux extrémités d un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment Propriété (4 ) Si un triangle est isocèle alors la hauteur, la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues (d) médiane (par exemple) MA = MB et NA = NB M et N appartiennent à la médiatrice de [AB] (MN) est la médiatrice de [AB] Le triangle ABC est isocèle en A, (d) est la hauteur issue de A (d) est aussi la médiatrice de [BC]

8 Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure Propriété (4 ) Si un point situé entre les côtés d un angle est équidistant des côtés de l angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle Propriété Les bissectrices d un triangle sont concourantes x O z = z O y [Oz) est la bissectrice de l angle x O y Le point M est équidistant des côtés [Ox) et [Oy) M appartient à la bissectrice de l angle x O y OM est la bissectrice de l angle x O y Les bissectrices [BI) et [CI ) sont sécantes en I [AI) est la troisième bissectrice Propriété (4 ) Si un triangle est isocèle alors la hauteur, la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues (d) médiane par exemple Le triangle ABC est isocèle en A, (d) est la médiane issue de A (d) est aussi la bissectrice issue de A

9 Démontrer qu'un triangle est isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur AB = AC Le triangle ABC est isocèle en A Si un triangle a deux angles de même mesure alors c est un triangle isocèle A B C = A C B Le triangle ABC est isocèle en A Démontrer qu'un triangle est équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur AB = AC = BC Le triangle ABC est équilatéral. Si les trois angles d un triangle mesurent 60 alors c est un triangle équilatéral A B C = A C B = B AC = 60 Le triangle ABC est équilatéral

10 Démontrer qu'un triangle est rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit A C B = 90 le triangle ABC est rectangle en C Si un triangle a deux angles complémentaires alors c est un triangle rectangle Théorème (4 ) Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un côté du triangle alors le triangle est rectangle A C B = 90 B AC + A B C = 90 B AC + A B C = 90 le triangle ABC est rectangle en C Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] le triangle ABC est rectangle en C Théorème (4 ) Si dans un triangle une médiane issue d un sommet a pour longueur la moitié de la longueur du côté opposé à ce sommet alors le triangle est rectangle Théorème (4 ) (Réciproque de Pythagore) Si dans un triangle le carré d un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle AB² = AC² + BC² La médiane CI a pour longueur la moitié de AB IC = AB 2 le triangle ABC est rectangle en C AB² =.. AC² + BC² =. On constate que AB² = AC² + BC² (D après la réciproque de Pythagore) Le triangle ABC est rectangle en C

11 Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme Définition (5 ) Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés parallèles et de même longueur alors c est un parallélogramme. (AB) // (DC) et (AD) // (BC) (AB) // (DC) (AB) // (DC) (AD) // (BC) ABCD est un parallélogramme Les diagonales [AC] et [DB] ont le même milieu O ABCD est un parallélogramme AB = DC AD = BC ABCD est un parallélogramme (AB) // (DC) AB = DC ABCD est un parallélogramme

12 Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle Les angles B A D A B C et A D C sont droits ABCD est un rectangle. Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur alors c est un rectangle Si un parallélogramme a ses diagonales même longueur alors c est un rectangle Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O et sont de même longueur. ABCD est un rectangle et AC = BD ABCD est un rectangle Si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle et B A D = 90 ABCD est un rectangle

13 Démontrer qu'un quadrilatère est un losange Définition(6 ) Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur AB = BC = CD = AD ABCD est un losange Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires alors c est un losange Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu et sont perpendiculaires ABCD est un rectangle Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c est un losange et ses diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires ABCD est un losange Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un losange et AB = AD ABCD est un losange

14 Démontrer qu'un quadrilatère est un carré Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu perpendiculaires et de même longueur alors c est un carré Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c est un carré Propriété ( 5 ) Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un carré Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O (AC) (BD) AC = BD ABCD est un carré et (AC) (BD) AC = BD ABCD est un carré ABCD est un rectangle et AB = AD ABCD est un carré Si un losange a un angle droit alors c est un carré ABCD est un rectangle ABCD est un losange B A D = 90 ABCD est un carré ABCD est un losange

15 Démontrer que deux segments ont la même longueur Si un point appartient à la médiatrice d un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment Le point M appartient à la médiatrice de [AB] MA = MB Propriété (4 ) Si un point appartient à la bissectrice d un angle alors il est équidistant des côtés de et angle Le point M appartient à la bissectrice de l angle MT = MR Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur (d) bissectrice de l angle ABC isocèle en C Le triangle ABC est isocèle en C CA = CB Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales sont de même longueur ABCD parallélogramme ABCD rectangle ABCD est parallélogramme AB = DC ABCD est un rectangle AC = BD

16 Calculer la longueur d'un segment Théorème (4 ) (Théorème de Thalès) Si A,M,B sont alignés si A,N,C sont alignés et si (MN) // (BC) alors AM AB = AN AC = MN BC Théorème (3 ) (Théorème de Thalès) Si A,M,B sont alignés si A,N,C sont alignés et si (MN) // (BC) alors AM AB = AN AC = MN BC Théorème (4 ) (Théorème de Pythagore) Si un triangle est rectangle alors le carré de l hypoténuse est égale a la somme des carrés des côtés de l angle droit Théorème(4 ) Si un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle alors il a pour longueur la moitié du troisième côté Théorème (4 ) Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l angle droit a pour longueur la moitié de l hypoténuse (MN) // (BC) (MN) // (BC) A, M, B sont alignés A, N, C sont alignés (MN) // (BC) (D après le théorème de Thalès) AM AB = AN AC = MN BC M, A, B sont alignés N, A, C sont alignés (MN) // (BC) (D après le théorème de Thalès) AM AB = AN AC = MN BC Le triangle ABC est rectangle en A (D après le théorème de Pythagore) BC² = AB² + AC² M est le milieu de [AB] N est le milieu de [AC] MN = BC 2 Le triangle ABC est rectangle en A et M est le milieu de [BC] AM = BC 2

17 Démontrer que deux angles ont la même mesure La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure [Ou) bissectrice de x O y [Ou) est la bissectrice de l angle x O y x O u = u O y Si un triangle est isocèle alors les deux angles à la base sont de même mesure Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes-internes qu elles déterminent sont de même mesure Si deux droites parallèles sont coupées par une sécantes alors les angles correspondants qu elles déterminent sont de même mesure Si un quadrilatère est un parallélogramme alors les angles opposés ont la même mesure ABC isocèle en A (d1) // (d2) (d1) // (d2) ABCD parallélogramme La triangle ABC est isocèle en A A B C = A C B Les angles x O z et t O y sont opposés par le sommet O x O z = t O y les angles a et b sont alternes-internes et (d1) // (d2) : a = b Les angles a et b sont correspondants et (d1) // (d2) a = b B A D = B C D

18 Calculer la mesure d'un angle La somme des angles d un triangle est égale à 180 Propriété(5 ) Si un triangle est rectangle alors ses deux angles aigus sont complémentaires Propriété(5 ) Si un triangle est équilatéral alors ses angles mesurent 60 La somme des angles du triangle ABC est égale à 180 A B C + A C B + B AC =180 Le triangle ABC est rectangle est rectangle en A A B C + A C B = 90 Le triangle ABC est équilatéral A B C = A C B = B AC = 60 Propriété(5 ) Si un triangle est rectangle et isocèle alors ses angles aigus mesurent 45 Si un quadrilatère est un parallélogramme alors deux angles consécutifs sont supplémentaires Théorème (3 ) Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent un même arc alors ils ont la même mesure ABCD parallélogramme Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A A B C = A C B = 45 D A B + A B C =180 Les angles A M B et A N B sont inscrits au cercle et interceptent le même arc AB A M B = A N B Théorème(3 ) Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre interceptent un même arc alors la mesure de l angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l angle au centre O centre du cercle L angle A M B inscrit au cercle et l angle au centre A O B interceptent le même arc AB A M B = 1 2 A O B

19 Utiliser la trigonométrie Définition (4 ) Dans un triangle rectangle le cosinus d un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à l angle par la longueur de l hypoténuse Définition (3 ) Dans un triangle rectangle le sinus d un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à l angle par la longueur de l hypoténuse Définition (3 ) Dans un triangle rectangle la tangente d un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à l angle par la longueur du côté adjacent Le triangle ABC est rectangle en A cos A B C = BA BC Le triangle ABC est rectangle en A sin A B C = AC BC Le triangle ABC est rectangle en A tan A B C = AC AB

20 Utiliser la symétrie par rapport à une droite A et B sont symétriques par rapport à une droite (d) signifie que (d) est la est la médiatrice du segment [AB] Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite alors ils sont de la même longueur Si deux angles sont symétriques par rapport à une droite alors ils ont la même mesure A et B sont symétriques par rapport à (d) (d) est la médiatrice de [AB] : (d) (AB) et I est le milieu de [AB] Les segments [AB] et [A B ] sont symétriques par rapport à la droite (d) AB = A B Les angles sont symétriques par rapport à la droite (d) a = b Les angles sont symétriques Utiliser la symétrie par rapport à un point Définition (5 ) Deux points A et B sont symétriques par rapport à un point O signifie que O est le milieux du segment [AB] Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils sont de la même longueur A et B sont symétriques par rapport au point O O est le milieu de [AB] Les segments [AB] et [A B ] sont symétriques par rapport au point O AB = A B Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même mesure Si deux droites sont symétriques par rapport un point alors elles sont parallèles Les angles sont symétriques (d) et (d ) symétriques par rapport à O Les angles sont symétriques par rapport au point O a = b (d) et (d ) sont symétriques par rapport au point O (d) et (d ) sont parallèles

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