Partie A : CALCUL INTEGRAL :
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- Aubin Pelletier
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1 Uiversié Mohmmed V - Agdl Fculé des Scieces Dépreme de Mhémiques e Iformique Aveue I Bou, B.P. 4 R, Mroc Filière : SMI - SM & SMP - SMC Module : M 6 NOTES de cours d Alyse II Prie A : CALCUL INTEGRAL : Pr Ali ALAMI-IDRISSI Sïd EL HAJJI e Smir HAKAM Groupe d Alyse Numérique e Opimisio Aée 5-6
2 Ojecifs : Clcul Iégrl ) Clculer l ire d ue régio à prir de limie ) Défiir l iégrle de Riem. 3) Clcul des sommes de Riem 4) Coire e uiliser quelques méhodes (echiques) d iégrios 5) Eudier les iégrles impropres 6) Déermier l covergece de ceries séries. Pl : I : Iégrle de (ou u ses) de Riem II : Focio défiie pr ue Iégrle III : Clcul des iégrles. IV : Clcul de primiives : Techiques de Bse V : Iégrles Impropres I - Iégrle de Riem ) Clcul d ires à l ide de limie Ds oue l suie, o cosidère l iervlle fermé oré, vec e réels e. Défiiio : O ppelle sudivisio ou priio de,, ue suie sriceme croisse de omres réels,,..., el que.... O oe P i i, ou P,,...,,. Chque sous-iervlle de,, i, i i,, es de logueur i i i. Ue priio es die régulière lorsque.... O di ussi que l priio es à ps cos. Eemple : Soi f ue focio coiue, décroisse, posiive sur l iervlle fermé oré, e soi C f s coure représeive. y y y ep, I e S 4 y ep, I e s 4 Figure Soi u eier supérieur à ( ), ( 4 sur l figure). L iervlle, é prgé e iervlles de logueur égle. O désige pr S l ire des recgles circoscris, s l ire des recgles iscris e I l ire limiée pr l coure C f (f ep sur l figure), l e o e les droies e. Tous les recgles de l figure o pour logueur e pour hueur: i) Pour les recgles iscris: f, f, f,, f
3 ii) Pour les recgles circoscris : f, f,, f, f D où les epressios de S e s : Desquelles, o dédui que Pr cosrucio, o : S f f f f k k s f f f k S s f f. f k s I S I s S s S s S s Ce qui ous mée à l coclusio I s f f S s f f lim s lim S I. Eemple : Soie f ue focio orée sur l iervlle fermé oré, e C f s coure représeive. Cosidéros l ire limiée pr C f, l e o e les droies e. Pour clculer pproimiveme cee ire, o prge l iervlle, e pries égles ( ) e o :,,,, k k,, O désige pr S l ire des recgles circoscris, s l ire des recgles iscris e I l ire limiée pr l coure C f, l e o e les droies e. Tous les recgles de l figure o pour logueur e pour hueur: i) Pour les recgles iscris: M, M,, M où M k supf/ k k ii) Pour les recgles circoscris: m, m,, m où m k iff/ k k D où e O : s S m m m M M M m k k M k k s I S ) Iégrle de Riem Défiiio : O di qu ue focio f es iégrle sur l iervlle fermé oré, si lim s lim S
4 Cee limie es oée: I f d e so ppelées les ores de l iégrle défiie. I e déped que de f e de l iervlle fermé oré,.
5 Défiiio 3: O ppelle ire lgérique limiée pr l coure C f, l e o e les doies e l iégrle défiie (ou iégrle) de f sur l iervlle fermé oré,. Remrque : Cee iégrle peu êre posiive ( ), égive ( ) ou ulle ( ). Défiiio 4: Soi P ue priio quelcoque de l iervlle fermé oré, : e Si l o cosidére l somme P c,, c,,c, fc fc fc k O di que f es iégrle u ses de Riem, si lim eise e es fiie. k k fc k Cee limie es oée f d, elle es idépede du choi de l sudivisio (priio) P e es ppelée iégrle de Riem de f ds l iervlle fermé oré,. es ppelé somme de Riem de f sur l iervlle fermé oré,. D où l iégrle de f es l limie des sommes de Riem. Remrques fodmeles : i) les pois c i i, i e e so ps doés eplicieme. ii) Ds l secio précédee, s e S so égleme des sommes de Riem. Ds le cs S, pr eemple, chque c i ei choisi el que fc i doi le mimum de l focio ds le sous iervlle i, i. De plus, les i éie égu Eemple 3: Soi f l focio cose sur l iervlle fermé oré, :c es à dire f C pour ou,. O cosidère ue priio régulière de, (o pries égles de logueur,,,, k k O Doc s S f k k C d C,, C C C k Défiiio 5: i) Ue focio f :, IR es die ue focio e esclier s il eise ue sudivisio P,,..., de, elle que f soi cose sur chque iervlle i, i. ii) Ue focio f :, IR es die ue focio coiue pr morceu s il eise ue sudivisio P,,..., de, elle que f soi coiue sur chque iervlle i, i e dmee ue limie à guche e à droie e ou poi i. Eemple 4: Soi f :, l focio défiie pr: f O f es ue focio e esclier. Pr défiiio de l iégrle de Riem, o : si,. 5 si. 5,
6 f d Théorème :( à dmere) ) Soi P,,..., ue priio de,, Si f es ue focio e esclier sur, e f A i i, i lors f d i A i i i ) Toue focio coiue sur u iervlle fermé oré, es iégrle sur ce iervlle. f :, f, f, c es à dire fd eise, es fiie e de plus, si o oe pr P,,..., ue priio de, lors fd i i i fc i où c i i, i. Remrque : i) L démosrio se fi pour les focios e escliers puis pour les focios coiues pr morceu e pr pssge à l limie pour le cs géérl. ii) Ue focio orée sur l iervlle fermé oré, qui dme qu u esemle fii ou déomrle de pois de discoiuiés es iégrle sur,. Eemple 5: ) Soi f :, l focio défiie pr f pour ou, E cosidér le prge de, e pries égles de logueur, o : D où Doc,,, k k S f f f,,, s f f f, lim S lim s
7 d ) Soi f :, l focio défiie pr f pour ou, E cosidér le prge de, e pries égles de logueur,,,, k k,, o : d lim k lim k 3 k lim k Remrque 3: Ds os différes eemples, ous ous sommes limiés à clculer les iégrles de focios polyomiles. Ceped lorsque il s gi d évluer des iégrles de focios elles que, si, e, ec..., l méhode décrie plus hu es impricle. Av de décrire quelques méhodes de se pour évluer ue iégrle défiie, ous llos éocer les propriéés de cee derière. 3) Propriéés de l iégrle Théorème : Lorsque l iervlle d iégrio, es fié, l iégrle de Riem es ue forme liéire c es à dire pour f e g iégrle sur l iervlle fermé oré, e pour ou o : Preuve: Soie P,,, i) Noos, f g d f d g d f d f d ue priio régulière de, ( k k ). m k f iff/ k, k, M k f supf/ k, k m k g ifg/ k, k, M k g supg/ k, k m k f g iff g/ k, k, O s f s g s f g cr pour ou k, k k k M k f g supf g/ k, k m k f,s f m k g,s g k k m k f g,s f g k m k f m k g m k f g m k f iff/ k, k f m k g ifg/ k, k g M k f M k g M k f g. k m k f m k g f g doc m k f m k g es u mior de l esemle f g/ k, k e m k f g es le plus grd des miors de l esemle f g/ k, k. d où m k f m k g m k f g.
8 De même o cr pour ou k, k M k f M k g M k f g M k f iff/ k, k f M k g ifg/ k, k g M k f M k g f g doc M k f M k g es u mjor de l esemle f g/ k, k e M k f g es le plus pei des mjors de l esemle f g/ k, k. d où e D où M k f M k g M k f g. m k f m k g m k f g M k f g M k f M k g s f s g s f g S f g S f S g lims f s g lim s f g lim S f g lims f S g f e g iégrle implique lim s f lim S f lim s g lim S g d où f g es iégrle e o d où ii) lim s f g lim S f g f d g d f g d f d g d f d g d f g d s f S f k k m k f M k f m k f iff, k, k m k f si M k f si M k f supf, k, k d où si o M k f si m k f si s f s f S f S f
9 lim s f lim s f lim S f lim S f de même si o d où s f S f S f s f lim s f lim S f lim S f lim s f f d f d, Propriéé : Pour oue focio f iégrle ds,, o : i) f d, IR f d f d f d f d ii) Relio de Chsles f d c f d c f d,c, iii) f d f d Preuve: i) sur l iervlle, f es ue cose e es égle à f. f d f. C d C ii) Soie u prge de,c e iervlles pr les pois i i : c e u prge de c, e iervlles pr les poisy i i : y c y y. E soie,,, elle que k k, k e,,, elle que k y k, y k. Noos,c f f k k k f k e,c y y f y y f k y k y k f k. D ure pr soi le prge de, e iervlles pr les pois i i e y i i : c y y y. E oos e d près l remrque o :, f f y y f y y f k y k y k f k k,c c, k k f k lim,c c,, lim
10 lim,c c f d lim c, c f d lim, f d lim,c c, lim, f d c f d c f d iii) d près ii) pour c o d près i) c f d f d c f d f d f d f d f d f d Propriéé : Pour oue focio f e g iégrles ds,, o : i) ii) iii) pour o : Preuve: i) f, f d. f g, f d g d f d f d S f M k f M k f supf/ k, k k Or ii) lim S f f d f g h gf. h d g d f d f d g d iii) O e d près ii) o f f f, f d f d f d f d f d
11 Théorème 3: Soi f ue focio orée sur l iervlle fermé oré,. i) Si les réels m e M so elque: lors lors ii) Si Preuve: i) m f M,, m f d M f M,, f d M m f M, lors o d près ii) de l propriéé m d f d M d d où Or o ii) m d m, M d M m f d M f M, lors o d près ii) e iii) de l propriéé f d f d M d M f d M Théorème 4: (Théorème de l moyee) Si f es coiue sur l iervlle fermé oré,,, lors il eise c, elque f d fc Preuve: Si f es coiue sur, fermé oré il eise m e M elque doc f, m,m m f M, m f d M m f d M f d m, M
12 f d m,m f, f, m,m c, fc f d Aure démosrio: Si f es coiue sur l iervlle fermé oré, il eise m e M elque f, m,m m f M,,,f m,f M Soi g f f d O g es coiue sur, e g m f d g M f d g, g g c,gc Eemple 6: Trouver l limie suive: O f cos,,, (cr pour k o e k k k. k fc f d lim f k k lim k cos k e pour k o ) k cos k cos k 4 4 lim 4 si cos d si cos k k cos d 4
13 II Focio défiie pr ue Iégrle. Soi f ue focio orée sur l iervlle fermé oré,. Si f es iégrle sur,, lors o peu défiir ue ouvelle focio sur, pr: F f d, pour ou, Théorème 5: Si f es iégrle sur,, lors l focio F :, f d es coiue sur,. Preuve: Comme f es orée sur l iervlle fermé oré,, lors il eise M elque pour ou, f M. Soi,, o : F F f d f d d près l propriéé iii) e le héorème 3 ii) o : f d f d f d M D où M F F M, vérifi F F. Ce qui more que F es coiue e,,. Doc F es coiue sur,. Théorème 6: Soi f ue focio iégrle sur, e à vleurs réelles. Si f es coiue sur,, lors F :, f d es différeile sur, e o : F f,, Preuve: Soi,, moros que F es différeile sur,. Cherchos l limie lorsque h ed vers de F h f h O : F h f h f d f d h h f d D près le héorème de l moyee, il eise c, h el que: F h f f d fc h h f lim fc f h (cr c h qui ed vers qud h ed vers d où c ed vers qud h ed vers ) F lim h f f h h Ce qui more que F es différeile e,,. Doc F es différeile sur,. Défiiio 6: Ue focio F elleque F f,, es die primiive de f sur,. L focio F es défiie à ue cose ddiive près.
14 Corollire : Soie f :, coiue, g e h deu focios différeiles sur,, lors: i) F g f d es différeile sur, e o F fgg,, h ii) F f d es différeile sur, e o g F fhh fgg,, Preuve: i) Posos F Hg g f d. y Hy y gy y Hgy O d près le héorème dérivio des focios composées que F Hg H gg. De plus o Hy y f d H y fy. D où F fgg. ii) Posos F g f d e F h f d. O F F F. D près i) o F F F F comme différece de deu focios différeiles. F g f d F fgg F h f d F fhh e pr l suie F F F fhh fgg
15 III - Clcul des iégrles ) Clcul u moye d ue primiive Théorème 7: Deu primiives d ue même focio f différe d ue cose. i.e. si F e G so deu primiives de f lors F GC, où C es ue cose. Preuve : Soi H F G H F G f f cr F G f H C F G C Théorème 8: Si F es ue primiive de f sur, c es à dire F f,,, lors f d F F Preuve : Soi G l primiive de f sur,, G f d. o G f d D près le héorème 7 o G F C G F C C F. Pour, o G f d F F G f d F F ) Clcul u moye d u chgeme de vrile Théorème 9: (u chgeme de vrile es ijecif) Soi :, ue focio coiûme différeile ( o di de clsse C ) e soi f ue focio coiue sur, vec e. Alors f d f d Preuve : O f coiue sur,, doc f es iégrle sur,. O cosidére l focio F f d, F Si o pose G F, o G es différeile sur, (cr c es l composée de deu focios différeiles F e ) e G F f G d G G f d F F F F F f d Eemple 7: ) Clculos l iégrle de l focio sur l iervlle,. Posos cos si.
16 cos e cos. 3 f f cos si si si cr si pour, 3 si d si d d ) Clculos l iégrle de l focio sur l iervlle i) Posos. e f ,. f d d d ii) Il es plu simple ceped de remrquer que rc. Comme ff d f rc d rc. 3) Clculos l iégrle de l focio sur l iervlle,. Posos. e 3. f cr, f 3 d 3 3 3) Clcul u moye d ue iégrio pr pries Théorème : Soi f e g deu focios coiûme dérivle sur,. d d
17 Alors Preuve : O l relio f g d fg fg d fg f g fg fg d fg d f g d d où fg f g d fg fg d Eemples 8: ) Clculos l iégrle de l focio log sur l iervlle, 3. f f g log g 3 f g d fg 3 3 fg d log 3 3 d 9 log log log3 ) Clculos l iégrle de l focio sur l iervlle,. f f g g d d Corollire : Soi f :, fois coiûme dérivle. Alors vec f f! f! R,! f! f d f R, Preuve : Démosrio pr récurrece. Pour o
18 f f! f d f d Supposos que l relio soi vrie jusqu à l ordre f f! f! f! vec R,! f d Pr iégrio pr pries de R,, o : f f g f g f d où vec R,! f f! f! f! f R, f! R,! f d f! f d f R, f d f R, Propriéé 3 : ) Périodicié : Soi f ue focio coiue sur, T périodique, Alors T f d
19 ) Prié : Soi f ue focio coiue sur. Pour ou o : i f d f d ii f d Preuve : ) Posos F f d F T F T f d d où ) i) F T F f T f F T F C T f d T f d f d f d f d f d f d f d f d f d (chgeme de vriles u u d e f f cr f es pire). ) ii) Eemple 9: ) ) f d f d f d f d f d f d f d cos d d 3) cos es périodique de période e pire. cos d cos d si cos d cos d si
20 IV -Clcul des Primiives : Techiques de se Défiiio 7: D ue primiive d ue focio. Soi f ue focio coiue. Ue primiive de f es ue focio F do f es l dérivée. Coiss ue primiive F de f, o oie oues les ures primiives de f pr l relio: G F C où C es ue cose. Ue primiive de f es ppelée ecore l iégrle idéfiie de f e es oée f d. Elle es défiie à ue cose ddiive près. ) Tleu des primiives d, d d cos d si d cos d d d si d cos d d rcsi d rccos d d d d d d d d d d d log d d d d d log d, log ) Iégrio pr pries Soie u e v deu focios coiûme dérivles, lors o : u dv uv v du
21 Eemple : I e d u v e Clculos J e d du d dv e d e d e e d d où u v e du d dv e d e d e e d e e C I e d e e e C 3) Chgeme de vriles O clcule ue iégrle idéfiie vec l méhode de chgeme de vriles suiv : Si vec ue focio coiume dérivle, lors o f d f d Eemple : I 3 d posos d 3 d 3 d où l o : I 3 d 3 I 3 d 9 d 3 3 d 3 9 C 3 C 4) Iégrio des focios rioelles réelles. Soi F P ue frcio rioelle réelle, où P e Q so des polyômes. Q Pour clculer ue primiive de F, o décompose l frcio rioelle e élémes simples ds e o iégre chque erme de cee décomposiio. Eemple : Clculos l primiive de l frcio rioelle F 4 O cherche les rcies du déomieur 4. 4 e so des rcies du déomieur. F 4 A F B A B C C D D Pour o B 6 F A B C D Pour o D 6 F F F A A A B C B B C C D D D
22 A C e B D 6 Pour, o F 6 B 4 C D 4 C B C 3 d où C A 3 F d d 3 d 6 d 3 d 6 3 log 6 3 log 6 3 log log 8 4 Eemple 3: Clculos l primiive de l frcio rioelle F 3 O cherche les rcies du déomieur 3. 3 e so des rcies du déomieur. F 3 A B C DE F 3 A B C D E Pour o B F Pour o C 3 F 3 d où le syséme A B C D E A3 B 3 C D E 3 A4 A B 3 B C 4 C 3 C D 4 D 3 E 3 E 3 4 A CD 3 B CDE CE A B B B A A CE C E 3 B CDE D B C 3 3 A CD D C 3 d où F 3 3 3
23 3 Clculos I d. d d e 3 d 3 3 d d où I d d 3 d log 3 d d où E fis le chgeme de vriles d 3 3 d Pr suie I d d C 3 3 J log C 3 C log 3 3 C 3 log 6 log 3 3 d d 3 3 C 5) Iégrle se rme à des frcios rioelles 5.) Frcios rioelles e si e cos Si I Fsi, cos d où F es ue frcio rioelle. Ue méhode pour clculer I cosise à fire le chgeme de vriles g rc ce qui ous doe E o d d, cos, si d, o I Fsi, cos d F, d Aisi le clcul de lprimiive d ue frcio rioelle e si e cos se rmée à celui d ue frcio rioelle de polyomes.
24
25 Eemple 4: Clculos l primiive de l focio si cos si cos si cos d d d d d d d A B C A BC A B C B CB C B B C C B B B C C C C e si cos d d d log log C d log log C Remrque 4: i)le chgeme de vrile es ps uique. O peu uiliser ou ure chgeme de vriles qui soi plus simple. ii) Le chgeme de vriles seri mldroi si l iégrle I es l u des ypes suivs:
26 I Fsi cos d u si I Fcos si d u cos ci F d cos Eemple 5: ) Clculos l primiive de l focio si cos cos d u Effecuos le chgeme de vriles u cos du si d d où si cos cos d du u u GU u u uu A u B u ugu A Bu u u A e ugu Au u u B uu u u B uu du u du u du si cos cos ) Clculos l primiive de l focio I cos cos d log u log u C d log cos log cos C cos log cos cos, cos cos cos C cos si Effecuos le chgeme de vrile u si du cos d d où cos I si d du u du u v u du du
27 e I du u du u dv v v C log v v cos cos d C log u u log si si 5.) Frcios rioelles e Si I F d où F es ue frcio rioelle. Ue méhode pour clculer I cosise à fire le chgeme de vrile log ce qui ous doe d d e o I F d F d Eemple 6 : Clculos l primiive de l focio e d e d d d d d d d A B C C A B A A B B I d d d log log C log C d d log e e C
28 .5.3 Frcios rioelles e ch e sh Si I F, d où F es ue frcio rioelle. Ue méhode pour clculer I cosise à fire le chgeme de vrile e d d e o e e e e e e e e e e e e e e e I F, d F Eemple 7: Clculos l primiive de l focio d d d A B, d C d A B C d A A A B B C A B A B C A A B A B C A A B C d d d d d log log C d log e e C Remrque 5 : Le chgeme de vrile e ser mldroi si l iégrle I es l u des ypes suivs: d
29 I F d u I F d u ci F d d u Eemple 8: Clculos l primiive de l focio Effecuos le chgeme de vrile u du d d où d du u log u C log C log C
30 V : Iégrles Impropres Ds ce chpire (secio) ous llos éedre l oio d iégrles défiies à des focios qui ede vers l ifiie pour ue ou plusieurs vleurs d u iervlle I quelcoque e à des focios coiues sur des iervlles ifiis. Défiiio 8: L iégrle fd es die ue iégrle impropre si i) f ed vers l ifiie () pour u ou plusieurs vleurs de l iervlle, ou ii) u mois ue des ores d iégrio es ifiie ( ou ). Eemple 9: ) d es ue iégrle impropre, cr ed vers qud e,. 3 ) d es ue iégrle impropre, cr ed vers qud e, 3. 3) d es ue iégrle impropre, cr ue des ores d iégrio es ifiie. V-) Iégrle Impropre sur u ouver oré ) Défiiios e Noios Défiiio 9: Soi f ue focio défiie sur l iervlle oré,, o suppose que f es iégrle sur ou iervlle fermé,,, (pr eemple f coiue). Cosidéros l focio: I f d, Si l focio I dme ue limie fiie qud, o di que l iégrle impropre coverge ( o oe C.V. ou CV) e o pose f d lim f d Si l focio I ps de limie (l limie d eise ps) qud ou que cee limie ed vers l ifiie, o di que l iégrle impropre f d diverge ( o oe D.V. ou DV).
31 Remrque 6: i) L covergece de l iégrle impropre sur l iervlle oré,, déped de l eisece de l limie lim f d ii) Si l iégrle eise u ses usuel lors elle eise u ses de l ouvelle défiiio e l même vleur. iii) De fço logue, o peu défiir (si elle eise) De même o défii: f d lim f d f d lim, f d Eemples : ) O cosidére l iégrle impropre I d d log log, d lim d I es divergee ) O cosidére l iégrle impropre I log d Pr iégrio pries, o log d log d log I log d lim log d lim log I log d I es covergee. 3) O cosidére l iégrle impropre d d log d L iégrle coverge pour e diverge pour. E priculier o : Remrque : Crière de Cuchy : Cosidéros l focio: d I f d
32 L focio I dme ue limie fiie e, si l o :, : I I Eemple : O cosidére l iégrle impropre : f d f d f d I cos d L focio cos es coiue e orée sur l iervlle, e es mjorée pr ( cos ) doc I es covergee. ) Résuls de se sur les iégrles covergees Propriéés 4: i) f g d f d g d ii) f f d. c iii) f d f d c f d, c
33 iv) Iégrio pr pries : Soie g e h deu focios dérivles sur, e elque g e h soie coiues sur,. Supposos que l o i : ) lim g h eise e es fiie. ) L ue des iégrles impropres g h d, g h d es covergee. Alors o : g h d lim g h g h d v) Chgeme de vriles : Soie f ue focio coiue sur A,B e g ue focio coiue sur, qui dme ue dérivée coiue g sur,. O suppose que g, A,B. Ds ces codiios, o l formule de chgeme de vrile ds ou iervlle, elque : g g fsds fgg d Si l ue des iégrles précédees dme ue limie fiie pour ed vers, il e es de même de l ure, e o oie: g lim fsds g fgg d Preuve : Les proprieés i) e ii) découle direceme des proprieés de l iégrle usuelle. Pour iii) o : pour,, o pplique l formule d iégrio pr pries sur l iervlle, g h d g h g h d Il suffi lors de fire edre vers. Eemple 3: ) O cosidére l iégrle impropre : I si d,. Eudios l covergece de l iegrle impropre de l focio si sur,, ( ). Soi,, pr iégrio pr pries, o : si d cos cos d i) lim cos ii) cos d coverge cr l focio cos es coiue sur, e es orée pr. Pr coséque o : cos d si d cos ) O cosidére l iégrle impropre : rccosd Eudios l covergece de l iégrle impropre de l focio,. Soi, e cosidéros l iégrle: rccosd posos s ds d rccos sur l iervlle
34 rccos rccoss ds L focio rccoss es coiue sur l iervlle fermé oré,, doc so iégrle es prfieme défiie d où l o : rccos rccoss ds Théorème : Soie f e g deu focios coiues sur, e elles que: f f g, Alors l covergece de l iégrle impropre g d implique l covergece de l iégrle f d. Si l iégrle impropre f d diverge, il e es de même de l iégrle g d. Remrque 7: Le héorème s pplique ecore si les mêmes codiios so vérifiées reliveme à u iervlle,.
35 Preuve : Cosidéros les focios F f dg g d D prés les hypohèses du Théorème o : - G es dérivle e pour dérivée g cr ( f g) doc G es croisse. - F G. Si l iégrle g d coverge, cel erie que G es mjorée d où F l es ussi, ce qui doe l covergece de l iegrle f d. Pour le cs de l iervlle, o cosidére les focios: F f dg g d Les focios F e G so décroisses e F G. Si G es mjorée, il e es de même de F. Corollire 3: Soie f e g deu focios défiies sur l iervlle, e iégrles sur l iervlle, c, pour ou c,, elles que f e g soie sriceme posiives (f, g ) sur, e f lim k, fii (k ). Alors g f d g d O di que les deu iégrles so de même ure. Preuve : Soi, k, il eise el que pour vérifi f g k doc o k g f k g Noos c e ppliquos le héorème précéde ds l iervlle c, pour voir le résul. Le résul s éed u iégrles impropres relives à,. Eemples 4: ) Eudios l covergece de l iégrle f sur,. 4 f es coiue e sriceme posiive (f ). Cosidéros l focio g. o f lim g d D où d 4 O peu ussi procéder de l fço suive: 4 e uiliser le héorème précéde. ) Eudios l covergece de l iégrle f e sur,. f es coiue e sriceme posiive (f ). Cosidéros l focio g. o
36 f lim g d D où e O peu ussi procéder de l fço suive: e 3) Eudios l covergece de l iégrle f cos sur,. f es coiue e sriceme posiive (f ). Le développeme Tylor des focios e cos ce qui ous doe d où d 3 3! cos 3 3! si f 3 3! si 5 5 d cos 5 d
37 3) Iégrles solume covergees Défiiio : Soi f ue focio défiie sur l iervlle,. o di que l iégrle impropre f d es solume covergee, si l iegrle impropre f d es covergee. O l même défiiio pour u iervlle de l forme,. Propriéé 5: L covergece solue implique l covergece simple. Soi f ue focio défiie sur, elle que l iégrle impropre f d es solume covergee c es à dire f d es covergee. Alors l iégrle impropre f d Preuve: O pose F f d. Pour, o F F f d f d f d f d Remrque 8: L covergece simple implique ps l covergece solue f d f d E effe : Si l o cosidére l focio f si o : si d si d V-) Iégrle Impropre sur u ouver o oré ) Défiiios e oios Défiiio : Soi f ue focio défiie sur u iervlle,, o suppose que f es iégrle sur ou iervlle fermé,, (pr eemple f coiue). Cosidéros l focio: I f d, Si l focio I dme ue limie fiie qud, o di que f dme sur, ue iégrle impropre covergee égle à cee limie. f d lim f d Si l focio I ps de limie qud ou que cee limie es ifiie, o di que l iégrle impropre f d diverge. L covergece de l iégrle impropre déped de l eisece de l limie lim f d De fço logue, o peu défiir (si elle eise) De même o défii: f d f d lim f d lim y f d,y,
38 Eemple 5 : Eudios l iégrle impropre y d d y logy y d L iégrle coverge pour e diverge pour. E priculier o pour d Remrque 9: Criére de Cuchy Cosidéros l focio: I f d d L focio I dme ue limie fiie lorsque, si l o :, A : A A I I f d f d f d Eemple 6: Soi u réel sriceme posiif ( ), o cosidére l focio f m m pour m d m m d doc pour m doc l iégrle impropre lim m m m m lim d m m m m d m m m log log log lim log lim d
39 d m m m ) Résuls de se sur les iégrles covergees : Propriéés 6: i) f g d f d g d, IR e IR ii) f f d. iii) f d c f d c f d,c : c Preuve : Les proprieés i) e ii) découle direceme des proprieés de l iégrle usuelle. Pour iii) pour,, o pplique l formule d iégrio pr prie sur l iervlle, g h d g h g h d il suffi lors de fire edre vers. Théorème : i) Iégrio pr pries Soie g e h deu focios de clsse C sur,. Supposos que l o i: ) lim g h eise e es fiie. ) L ue des iégrles impropres g h d, g h d es covergee. Alors o : g h d lim g h g h d ii) Chgeme de vriles Soie f ue focio coiue sur u iervlle I e g ue focio de clsse C sur,. O suppose que g, I. Ds ces codiios o l formule de chgeme de vriles ds ou iervlle, el que : g fsds g fgg d Si l ue des iégrles précédees dme ue limie fiie pour ed vers, il e es de même de l ure, e o oie: lim g fsds g fgg d Eemple 7 : ) Eudios l covergece de l iegrle impropre de l focio log sur,. Pour, uilisos ue iégrio pr pries pour clculer l iégrle log d log d log log d lim log log lim ) Eudios l covergece de l iégrle impropre de f si Soi, e cosidéros l iégrle: sur l iervlle,.
40 Posos s ds d si si d d s si s ds si d s si s ds Eercice: log Clculer m d Théorème 3: Soie f e g deu focios coiues sur, e elles que: f f g, Alors l covergece de l iégrle impropre g d implique l covergece de l iégrle f d. Si l iégrle impropre f d diverge, il e es de même de l iégrle g d. Remrque : Le Théorème s pplique ecore si les mêmes codiios so vérifiées reliveme à u iervlle,. Preuve: Cosidéros les focios F f dg g d D prés les hypohèses du héorème o : - G es dérivle e pour dérivée g cr ( f g) doc G es croisse. - F G. Si l iégrle g d coverge, cel erie que G es mjorée d où F l es ussi, ce qui doe l covergece de l iegrle f d. Pour le cs de l iervlle, o cosidére les focios: F f dg g d Les focios F e G so décroisses e F G. Si G es mjorée, il e es de même de F. Eemple 8 : Eudios l iégrle impropre de l focio sur, e e O : e e d lim d d e e d lim e e e e e e e d lim e doc l iégrle impropre e e d Pour l iégrle d o cosidére les deu cs : e e, l focio es coiue ce qui implique que l iégrle e e e e d d
41 , o Pr suie, d où l iégrle impropre e e e e d e d lim e e e lime e e e e e e Corollire 4: Soie f e g deu focios défiies sur l iervlle, e iégrles sur l iervlle,c, pour ou c,, elles que f e g so sriceme posiives (f, g ) sur, e lim f g k, fii (k ). Alors f d g d O di que les deu iégrles so de même ure. d d
42 Preuve : Soi,k, il eise A el que pour vérifi doc o A f g k k g f k g E ppliqu le héorème précéde ds l iervlle A, o le résul éocé. Remrque : Le résul s éed u iégrles impropres relives à,. Eemple 9 : ) Eudios l covergece de l iégrle f e sur,. f es coiue e sriceme posiive (f ). Cosidéros l focio g e. Pour o e e D où e d lim e d lim e e d lim e e e ) Eudios l covergece de l iégrle f e sur,. f es coiue e sriceme posiive (f ). Cosidéros l focio g. o Or lim f g lim e e lim lim y d e y y d où, pr pplicio du résul précéde, l covergece de l iégrle e d d
43 Eercice: Eudier l covergece de l iégrle f d sur l iervlle,. e 3) Iégrles solume covergees ) Défiiio : Soi f ue focio défiie sur l iervlle,. o di que l iégrle impropre f d es solume covergee, si l iegrle impropre f d es covergee. O l même défiiio pour u iervlle de l forme,. Propriéé 7: L covergece solue implique l covergece simple. Soi f ue focio défiie sur, elle que l iégrle impropre f d es solume covergee c es à dire f d es covergee. Alors l iégrle impropre f d Preuve : Uilisos le crière de Cuchy: Noos F f d e pour A e A, o : F F f d f d f d f d Remrque : L covergece simple implique ps l covergece solue f d f d E effe, si o cosidére l focio f si, o : si d si d
44 4) Compléme sur les iégrles impropres: Théorème 4: Soi f e g deu focios défiies e sriceme posiives sur l iervlle,, peu êre fii ou ifii. f i) Si lim e si g d coverge lors g f d coverge. ii) Si lim f g e si g d diverge lors f d diverge. Corollire 5: Soi f ue focio défiies e sriceme posiives sur l iervlle,. i) Si lim f e si lors f d coverge. ii) Si lim f e si lors f d diverge. Ali ALAMI-IDRISSI Sïd EL HAJJI e Smir HAKAM Uiversié Mohmmed V - Agdl Fculé des Scieces Dépreme de Mhémiques e Iformique Groupe d Alyse Numérique e Opimisio Aveue I Bou, B.P. 4 R, Mroc Tel e f (37)77547 Pges we : hp:// Emil : lidl@fsr.c.m elhjji@fsr.c.m s-hkm@fsr.c.m hp://
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