Les triangles. CAS PARTICULIERS : Propriété 2 (admise) : Si les points A, B et C sont alignés dans cet ordre, alors AC=AB+BC.

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1 Les triangles. Activité avec des spaghettis cassées en 3 parties. Peut-on toujours construire un triangle? Activité : les triangles sont-ils constructibles. I- Construction d un triangle. a. Inégalité triangulaire. Propriété 1 (admise): Si a, b et c sont les mesures des trois côtés d un triangle (dans la même unité), alors : a<b+c b<c+a c<a+b. Pour tout triangle, la mesure d un côté est inférieure à la somme des mesures des deux autres côtés. Cette propriété est appelée Inégalité triangulaire. Remarque : L inégalité triangulaire est une autre façon de dire que dans un triangle, la mesure du plus grand côté est plus petite que la somme des deux autres. Conséquence : Pour savoir si on peut construire un triangle, il suffit donc de vérifier que la mesure du plus grand côté est plus petite que la somme des deux autres. Dans le cas contraire, on ne peut pas construire le triangle. CAS PARTICULIERS : Propriété (admise) : Si les points A, B et C sont alignés dans cet ordre, alors AC=AB+BC. Propriété 3 (admise) : Si trois points A, B et M sont tels que AB=AM+MB, alors M est sur le segment [AB]. b- comment construire un triangle. 1 ) Construction connaissant les longueurs des trois côtés (et respectant l inégalité triangulaire). Exemple : Construire un triangle ayant pour mesure des côtés 7cm, 5 cm et 6 cm. (On peut le tracer car 7<5+6) Construction Programme de tracé

2 1 ) Tracer un des côtés (en général on trace le plus long) ) On trace un arc de cercle de centre l une des extrémités et de rayon 5cm. 3 ) On trace un arc de cercle de centre l autre extrémité et de rayon 6cm. 4 ) Les deux arcs se coupent au troisième sommet du triangle. Le côté [AB] étant tracé, on peut construire 4 triangles répondant à la question : ABC1, ABC, ABC3 et ABC4. ABC1 et ABC sont symétriques par rapport à la droite (AB). ABC1 et ABC3 sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB]. ABC et ABC3 sont symétriques par rapport au milieu de [AB]. ) Construction connaissant un angle compris entre les deux côtés dont on connaît la mesure. Exemple : Construire un triangle tel que les deux côtés mesurent 3cm et,5cm et un angle compris entre ces deux côtés de 5. Construction Programme de tracé 1 ) on commence par faire un schéma à main levée ) Tracer un des côtés du triangle 3 ) Tracer l angle connu à l aide du rapporteur 4 ) Reporter la mesure du deuxième côté sur le deuxième côté de l angle. Le côté [AB] étant tracé, on peut construire 4 triangles répondant à la question : ABC1, ABC, ABC3 et ABC4. ABC1 et ABC sont symétriques par rapport à la droite (AB). ABC1 et ABC3 sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB].

3 ABC et ABC3 sont symétriques par rapport au milieu de [AB]. 3 ) Construction connaissant la mesure d un côté et des deux angles adjacents à ce côté. Exemple : Construire un triangle tel que la mesure du côté adjacent aux deux angles est 4cm et deux angles mesurant 70 et 40. Construction Programme de tracé 1 ) Faire un schéma à main levée ) Tracer le côté connu 3 ) Tracer un premier angle adjacent au côté à l aide du rapporteur 4 ) Tracer le deuxième angle adjacent au côté à l aide du rapporteur. 5 ) les Le côté [AB] étant tracé, on peut construire 4 triangles répondant à la question : ABC1, ABC, ABC3 et ABC4. ABC1 et ABC sont symétriques par rapport à la droite (AB). ABC1 et ABC3 sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB]. ABC et ABC3 sont symétriques par rapport au milieu de [AB]. II- Droites remarquables du triangle cercle circonscrit à un triangle. Activité 6p171 (phare 5eme) 1 ) Médiatrices d un segment (rappels) a) Définition Définition : On appelle médiatrice d un segment la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment. Propriété : Si un point est situé à égale distance des extrémités d un segment, alors il est situé sur la médiatrice de ce segment. Conséquence : On peut construire la médiatrice d un segment au compas. b) Cercle circonscrit au triangle.

4 Définition : On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle passant par les trois sommets du triangle. Propriété : Les trois médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes (se coupent) en un point équidistant (à égale distance) des extrémités des sommets du triangle. Conséquence : Le cercle qui a pour centre le point de concourt des médiatrices des trois côtés d un triangle et qui passe par un sommet passe aussi par les autres sommets du triangle. C est le cercle circonscrit au triangle. c) Construction du cercle circonscrit Remarque : Le centre du cercle circonscrit à un triangle a pour centre le point de concourt des médiatrices des côtés du triangle. Il suffit de tracer deux médiatrices pour l obtenir. ) Médianes d un triangle Définition : Dans un triangle, la médiane issue d un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé. Exemple :

5 Propriété : Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. 3 ) Hauteurs d un triangle Définition : Dans un triangle, une droite perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé est appelée hauteur relative à ce côté. Par abus de langage, le mot hauteur signifie à la fois la droite et la longueur du segment joignant le sommet et le pied de la hauteur. Exemple : Propriété : Les trois hauteurs d un triangle sont concourante en un point appelé orthocentre du triangle. III- Somme des angles d un triangle. Activité 3p170 (phare 5eme) : retour sur les propriétés de la symétrie Propriété : La somme des angles d un triangle est égale à 180. Cette propriété permet de déterminer la mesure d un angle d un triangle connaissant les deux autres.

6 CAS DES TRIANGLES PARTICULIERS : Activités 4-5p171 (phare 5eme) Propriété : Les deux angles à la base d un triangle isocèle sont égaux. Propriété : Les trois angles d un triangle équilatéral sont égaux à 60. Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures des angles aigus est égale à 90 Exemple 1 : IJK est un triangle isocèle en K tel que IKJ = 84. Quelle est la mesure des angles IJK et KIJ? Exemple : RTS est un triangle rectangle en T tel que RST = 37. Quelle est la mesure de l angle TRS? IV- Aire d un triangle. Activité à trouver. Propriété : La mesure de l aire d un triangle est égale au demi produit de la mesure d une hauteur par la mesure du côté correspondant. Remarque : Ce produit ne dépend pas du côté et de la hauteur choisis. Formule : A = Exemple : longueur d'une base hauteur relative à cette base

7 AC BH A = AB CG A = BC AF A = Propriété : La médiane d un triangle partage ce triangle en deux «petits» triangles de même aire.