Séries à termes réels et complexes, intégrales généralisées sur une demi-droite

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1 Séries à termes réels et complexes, intégrles générlisées sur une demi-droite JPB er septembre 2008 Tble des mtières I Générlités 4 Nottions 4 2 Séries numériques 4 II Séries numériques à termes positifs 3 Comprison des séries à termes positifs 2 3. Les résultts fondmentux Comprison à une série de Riemnn Recherche d un équivlent puissnce Méthode n α u n Comprison d une série à termes positifs à une intégrle Comprison à une série géométrique Comprison d une suite à une suite géométrique Règle de d Alembert III Convergence bsolue, semi-convergence 7 Pge /50

2 4 Absolue convergence d une série, intégrbilité d une fonction complexe sur une demi-droite 7 5 Espce vectoriel des suites complexes dont l série ssociée est bsolument convergente 8 IV Séries lternées 9 6 Théorème des séries lternées 9 7 Séries se rmennt à une série lternée 2 V Convergence de suites, problèmes symptotiques élémentires 22 8 Utilistion d une série pour prouver l convergence d une suite Suites définie pr une somme Suites définies pr un produit À termes réels positifs Appliction ux produits infinis complexes Encdrement de sommes de séries et de suites Télescopge des termes Utilistion d intégrles Développement d une intégrle 26 Décélértion de l divergence vs ccélértion de l convergence 28. Développements symptotiques de sommes prtielles et de restes de séries à termes positifs (resp d intégrles de fonctions positives) et pplictions Cs des séries lternées Développement symptotique de suites récurrentes 3 2. Suites u n+ = n u n + b n vec n 0 pour tout n Pge 2/50

3 2.2 Cs d un point fixe ttrctif Cs d un point fixe superttrctif (méthode de Newton) VI Sommtions de séries 32 3 Clcul de sommes pr l technique de télescopge Les polynômes Les frctions rtionnelles Utilistion de l décomposition en éléments simples Techniques utilisnt des séries de fonctions 32 VII Exemples et contre-exemples 32 5 sur les intégrles et séries de fonctions de signe constnt Contre-exemples ux théorèmes de comprison lorsque les suites et les fonctions ne sont ps ultimement de signe constnt 33 6 Contre-exemples et exemples divers Fonction intégrble ne tendnt ps vers VIII Développement déciml d un nombre réel 35 7 Définitions et nottions 35 8 Approximtions d un nombre réel Prties entières à 0 n prés Chiffres Représenttion décimle d un nombre réel Trvux dirigés 4 Pge 3/50

4 Première prtie Générlités Nottions K = R ou C. K N désigne le K-espce vectoriel des suites à vleurs dns K. R N (resp C N ) est le R (resp C) espce vectoriel des suites réelles (resp complexes). Si K désigne R ou C, le K-espce vectoriel des pplictions continues pr morceux sur [, + [, à vleurs dns K ser noté C m ([, + [, K). Si P (y) est une propriété vérifiée pr le complexe y, (u n ) K N (resp f C m ([, + [, C)), on dit que u n (resp f(x)) vérifie l propriété P à prtir d un certin rng si : n 0 N / n n 0 P (u n ) resp X 0 / x X 0 P (f(x)) 2 Séries numériques Définition. Soit (u n ) n N une suite de nombres réels ou complexes (resp f C m ([, + [, C)). On ppelle suite des sommes prtielles de l série u n (on dit ussi de l série de terme générl u n ) l suite (S p ) où : n 0 S p = p n=0 On dit que l série n 0 u n converge (resp l intégrle impropre (ou générlisée) + f(x) dx converge) si et seulement si l suite (S p ) (resp l fonction X X f(x) dx) dmet une limite qund p (resp qund X + ). Cette limite est lors ppelée somme de l série u n que n 0 u n Pge 4/50

5 l on convient de noter : n=0 u n resp + f(x) dx Dns le cs contrire, on dit que l série n 0 u n (resp l intégrle impropre + f(x) dx) diverge. Remrque. L série (resp l intégrle impropre) n est ps un objet en soi, c est seulement un "objet du discours". Seules sont défines les ssertions : «l série converge» et «l série diverge». Même chose pour les intégrles. Proposition 2.. Soit (z n ) n N une suite complexe, l série n 0 z n converge si et seulement si les deux séries Re(z n ) et Im(z n ) convergent et, dns n 0 n 0 ce cs : z n = n=0 Re(z n ) + i n=0 Im(z n ). n=0 Résultt nlogue pour les intégrles impropres. Idée de l preuve. On se rmène à un résultt nlogue sur les suites pr pssge ux sommes prtielles. Exemple (Convergence et somme de l série hrmonique lternée). ln(2) = ( ) n n= Exemple 2 (Convergence et vleur d une intégrle impropre). Convergence et clcul de : + x dx (x + 2)(x 2 + 2x + 2) Mple 2.. Essyer de fire clculer pr Mple : L intégrle de l exemple 2 pge 5. L intégrle : n x dx (x + )(x 2 + x + 2) ( > 0). Pge 5/50

6 L intégrle : Qu en pensez vous? + 0 x dx ( + x) (x x + 2 ). Définition 2 (Reste d une série convergente, reste (ou queue) d une intégrle convergente). Soit (u n ) n N une suite de complexes, N un entier nturel (resp f C m ([, + [, C) et x > un réel). Les deux propriétés suivntes sont équivlentes : u n converge (resp l intégrle impropre + f(t) dt converge). L série n 0 L série n N+ u n converge (resp l intégrle impropre + x f(t) dt converge). En cs de convergence, l somme de l deuxième série (resp l vleur de l seconde intégrle) s ppelle reste de rng N de l série n 0 u n, (resp reste (ou queue) de rng x de l intégrle + f(t) dt). Si l on pose : R N = Il vient lors, pour tout entier N : n=n+ u n u n = S N + R N n=0 resp + f(t) dt = x f(t) dt + x + f(t) dt et : + lim R n = 0 resp lim f(t) dt = 0 n x + x Idée de l preuve 2. L définition et le trvil sur les sommes prtielles resp les intégrles prtielles des séries concernées resp des intégrles. Remrque 2. R N = S S N représente l écrt entre l somme prtielle d ordre N et l limite S de l suite (S n ) ; interpréttion nlogue pour les intégrles. Exemple 3. Accélértion de l convergence de l série hrmonique lternée. Approximtions de ln 2 et π/4. Pge 6/50

7 Proposition 2.2 (Lien entre suites et séries). Soit = ( n ) n N une suite de complexes (resp f une ppliction de clsse C de [, + [ dns C). On lui ssocie l suite u = (u n ) n définie pr : u n = n n (On peut ussi prendre n+ n. Les lecteurs reformuleront ce qui suit dns ce cs). On noter souvent u = Δ que l on ppeller dérivée discrète de l suite ( n ). Il vient lors, pour p : p u n = p 0 n= resp x f (t) dt = f(x) f() Les deux propriétés suivntes sont équivlentes : L série u n (resp l intégrle impropre + f(t) dt) converge. n L suite ( n ) (resp l fonction f) possède une limite en +. En cs de convergence, on : lim n = 0 + n n= + u n resp lim f(x) = f() + x f (t) dt Ce point de vue (rmener l étude de l convergence d une suite à celle d une série) prend son sens si on fit une interpréttion cinémtique. On peut contrôler l position d un mobile (dont le mouvement est discret ou continu) vi une informtion globle sur s vitesse, on ne peut ps fire l inverse. Idée de l preuve 3. On trville sur les sommes resp les intégrles prtielles. Exercice de cours. Soit f C m ([0, + [, C) et ( n ) une suite strictement croissnte de réels qui tend vers +. Quel lien y--t il entre : L convergence de + f(x) dx? L convergence de n+ n f(x) dx? n 0 Soit (u n ) une suite de complexes. On définit l fonction f : R C pr : f(x) = u n si n x < n + Quel lien y--t il entre : L convergence de + 0 f(x) dx? Pge 7/50

8 L convergence de n 0 u n? Proposition 2.3 (Divergence grossière). Si une série n 0 u n converge lors : lim u n = 0 n L réciproque est fusse. On peut bâtir fcilement un contre-exemple à l ide de l proposition 2.2 pge 7 : u n = ln(n + ) ln n ou n + n Une série dont le terme générl ne tend ps vers 0 est dite grossièrement divergente. Proposition 2.4 (Cs des intégrles). Soit f C m ([, + [, C) telle que l intégrle + f(x) dx converge. on suppose que f dmet une limite l en + lors nécessirement l = 0. Idée de l preuve 4. Commencer pr le cs où l fonction est à vleur réelle et remrquer que, si l > 0 il existe X tel que f(x) l/2 pour x X puis fire un dessin. Remrque 3. ATTENTION LE RÉSULTAT DE LA PROPOSITION 2.3 pge 8 EST FAUX POUR LES INTÉGRALES IMPROPRES CON-VERGENTES (cf le contre-exemple 3 pge 34). D où l proposition 2.4 pge 8. Proposition 2.5 (Série géométrique complexe). Soit z un nombre complexe. L série n 0 z n converge si et seulement si z <, dns ce cs : n=0 z n = z Si z < le clcul du reste d ordre n se fit rpidement en mettnt z n+ en fcteur : z k = zn+ z k=n+ Pge 8/50

9 Idée de l preuve 5. Clcul de l somme prtielle puis convergence d une suite géométrique vue en HX. Exercice de cours 2. Clculer à l ide de l définition : n=0 sin(nθ) 2 n, θ R Proposition 2.6 (Propriétés lgébriques). L ensemble des suites complexes (resp réelles) (u n ) n 0 telles que l série n 0 u n converge est un C (resp R) sous espce vectoriel de C N. Plus précisément, si u n et v n n 0 n 0 convergent, si λ et μ sont des complexes, lors λ u n + μ v n converge et : n 0 λu n + μv n = λ u n + μ n=0 On dispose d un résultt strictement nlogue pour les intégrles convergentes. Idée de l preuve 6. On se rmène à l linérité de l limite vi les sommes prtielles. Remrque 4. Attention à ne ps utiliser ce résultt intempestivement dns l utre sens. Pr exemple : n=0 n(n + ) = n n + donc l série converge et s somme vut (clculer l somme n(n+) n prtielle), pourtnt chcune des séries /n et divergent. n+ n n 0 n=0 v n De l même mnière, une suite convergente peut être somme de deux suites divergentes Pge 9/50

10 Si l on exprime le terme générl u n d une série convergente sous l forme d une somme n + b n, il fut s ssurer que n et b n n 0 n 0 convergent pour pouvoir écrire : u n = n=0 n + n=0 En revnche, on peut trviller sur les sommes prtielles. Même remrque pour les fonctions. n=0 b n Exercice. Que dire d une série dont le terme générl est l somme des termes générux d une série convergente et d une série divergente? Exercice 2. Montrer que l intégrle : + converge et clculer s vleur. (Argsh x Argch x) dx Remrque 5 (Au sujet des clculs). - Ne jmis clculer sur des symboles (, lim) tnt que l convergence n ps été prouvée (pour l instnt on n ucun moyen théorique de prouver à priori l convergence d une série ou d une intégrle impropre, il fut donc trviller sur les sommes et les intégrles prtielles. Une inéglité est un clcul. Dns cet ordre d idées, si l on à étblir des inéglités sur des sommes de séries, il est préférble d écrire les inéglités correspondntes sur les sommes prtielles et de les psser à l limite ; même chose pour les intégrles impropres. Rppel (Pssge d inéglités à l limite). ( ) Exemple 4. Soit n = ln + et b n(n+) n =. On 0 n(n+) n b n pour n. On montré que l série b n converge. On verr, dns l n prtie suivnte, que cel entrine l convergence de n n. une fois cel Pge 0/50

11 correctement rédigé, on peut écrire, pour tout entier nturel p : 0 p n n= D où, en pssnt cette inéglité à l limite qund p et prce que l on sit que les limites existent, on peut écrire : 0 n n= p n= b n b n = n= Deuxième prtie Séries numériques à termes positifs Les lecteurs étendront eux même les résultts de cette section ux séries dont le terme générl est de signe constnt (resp à prtir d un certin rng) insi qu ux fonctions de signe constnt à prtir d un certin rng. Rppel 2 (Théorème de convergence monotone discret et continu). Proposition 2.7. Pour qu une série n 0 u n de nombres positifs converge il fut et il suffit que l suite (s p ) de ses sommes prtielles soit mjorée. Il vient lors : + u n = lim s p = sup s p p n=0 Lorsque cette série diverge on : lim s p = + p Idée de l preuve 7. L suite (s p ) est croissnte. On l nlogue suivnt dns le cs continu. Pge /50

12 Proposition 2.8 (Intégrbilité des fonctions positives). Soit f une fonction continue pr morceux sur I = [, + [, à vleurs réelles positives. L fonction F, définie sur I pr : F (X) = X f(x) dx est continue et croissnte. Si elle est mjorée elle possède une limite finie lorsque X +,on dit lors que f est intégrble sur I. Dns le cs contrire il vient lim x + F (x) = + Remrque 6. Le sens du mot "intégrble" ser précisé dns l section 4 pge 7 pour les fonctions qui n ont ps un signe constnt. Pour l instnt une fonction continue pr morceux sur I = [, + [, positive et telle que + f(x) dx converge est dite intégrble sur I. 3 Comprison des séries à termes positifs Rppel 3 (reltions de domintion et d équivlence des suites et fonctions). - Si (u n ) et (v n ) pprtiennent à K N, on note : u n = O(v n ) si N N, M R +, n N, u n M v n u n = o(v n ) si ɛ > 0, N N, n N, u n ɛ v n u n v n si u n v n = o(v n ) S il existe un rng u del duquel v n 0, ces propriétés peuvent respectivement s écrire sous l forme : u n v n bornée u n v n 0 u n v n Pge 2/50

13 On rppelle enfin que si les suites réelles (u n ) et (v n ) sont équivlentes, il existe un rng N tel que u n et v n soient de même signe pour n N. On définit des notions nlogues pour des fonctions f et g continues pr morceux sur [, + [ à vleurs complexes ; il fut cependnt préciser en plus que l on se plce u voisinge de Les résultts fondmentux Théorème 3. (Convergence pr domintion pour les séries de signe ultimement constnt). Soient (u n ) et (v n ) deux suites de nombres réels positifs telles que u n = O(v n ) ; lors l convergence de n 0 v n implique celle de u n. (Évidemment l divergence de u n implique celle de v n ). n 0 n 0 n 0 Résultt nlogue pour deux éléments f et g de C m ([, + [, R), positifs tels que f = O(g) u voisinge de + Idée de l preuve 8. On utilise l proposition 2.7 pge vi les sommes prtielles des deux séries. Théorème 3.2 (Convergence pr équivlence pour les séries de signe ultimement constnt). Soient (u n ) et (v n ) deux suites de nombres réels telles que u n v n et v n positive à prtir d un certin rng ; lors il en est de même de u n et les séries de termes générux u n et v n sont de même nture. Résultt nlogue pour deux éléments f et g de C m ([, + [, R), tels que f g u voisinge de + et g 0 à prtir d un certin rng. Idée de l preuve 9. On utilise le théorème 3. pge 3 dns les deux sens. Remrque 7. Ces résultts sont fux en générl lorsque les suites (u n ) et (v n ) (resp les fonctions f et g) ne sont ps de signe constnt, cf les contre-exemples pge 33 et 2 pge 34 qu on étudier plus loin en détil : resp f(x) = sin x sin x + x x et g(x) = sin x x u n = ( )n n + n et v n = ( )n n Pge 3/50

14 Exercice 3. Retrouver le résultt de l proposition 2.4 pge 8 en utilisnt ce qui précède. Proposition 3. (Séries de Riemnn). Pour s R, l série : n n s converge si et seulement si s >. (resp l intégrle) + Idée de l preuve 0. Encdrement des sommes prtielles pr des intégrles vi les vritions de l fonction puissnce. Cette méthode permet églement de trouver un équivlent de l suite (s p ) en cs de divergence. dx x s 3.2 Comprison à une série de Riemnn 3.2. Recherche d un équivlent puissnce Lorsqu on peut trouver un équivlent simple du terme générl u n sous l forme n s, lors u n > 0 à prtir d un certin rng et l nture de l série est celle de l série de Riemnn n n s. résultt nlogue pour les intégrles Exercice de cours Étudier l convergence de l intégrle impropre : + [ 3 x3 + x 2 + x + x b ] dx x 2. Étudier l convergence de l série : ( ) 2 Arccos π rctn(nα ) n vec α > 0 Exercice 4. Étudier les séries de termes générux : ( ) πn ( ( ) ( π n tn cos, tn ln 4n + n) 2 + ) n n n 2 n [ ( )] α n Arccos, sin Arctg(n n ) sin Arctg n 2 Pge 4/50

15 [ ] n n α Arctg n, Arctg(n + )! + 2! + + n!, (n + p)! ( ( π n α cos n)) n tn( π 4 + n ) Méthode n α u n Cetines fonctions, telle f(x) = e x ne peuvent se développer simplement u voisinge de +. Si l on désire étudier l nture de l série n 0 f(n), on peut tenter de comprer f(n) u terme générl d une série de Riemnn n s. En prtique cel se fit en étudint le comportement de n s f(n) u voisinge de +. Dns le cs présent : lim n n2 f(n) = 0, d où f(n) = o et, puisque f(n) 0, l série converge. Exercice de cours 4 (Intégrles de Bertrnd). ( ) n 2 Étudier l convergence de : + 2 x α ln β x dx α, β R Exercice de cours 5. Étudier les séries de termes générux : [ ] n α ln n [ ], n α (n + ) n+ n n n n ln(n + ) Exercice 5. Étudier l série de terme générl : th( ln(n)) 3.3 Comprison d une série à termes positifs à une intégrle Théorème 3.3. Étnt donné une fonction f continue pr morceux sur [0, + [, à vleurs réelles positives, décroissnte, l série de terme générl : w n = n n f(t)dt f(n) Pge 5/50

16 est convergente. En prticulier l série n 0 f(n) converge si et seulement si f est intégrble sur [0, + [. Idée de l preuve. Dessin qui permet d interpréter w n comme une ire et de le mjorer pr l ire d un rectngle qui vut f(n ) f(n). On peut insi retrouver l étude déj fite des séries de Riemnn. Exemple 5 (Constnte d Euler). L suite de terme générl : Converge vers un réel positif noté γ. Exemple 6 (Séries de Bertrnd). u n = n ln(n) Étude de l série de terme générl : n α ln(n) β, α, β R 3.4 Comprison à une série géométrique 3.4. Comprison d une suite à une suite géométrique Règle de d Alembert Exemple 7. pour k > 0. Étude de L série de terme générl : u n = k n e n Exercice 6., b > 0, étudier les séries de terme générux : n 2 n 2 n + b, n + n ln(n) n b n + ln(n) n Exercice de cours 6. Imginer et démontrer un critère nlogue pour les intégrles générlisées. Pge 6/50

17 Troisième prtie Convergence bsolue, semi-convergence 4 Absolue convergence d une série, intégrbilité d une fonction complexe sur une demidroite Définition 3. On dit qu une fonction f à vleurs complexes, continue pr morceux sur I = [, + [ est intégrble sur I si l fonction positive f l est où, ce qui revient u même, si l intégrle impropre + f(x) dx converge (ce qui est cohérent vec l définition de l intégrbilité des fonctions positives à prtir d un certin rng donnée dns l proposition 2.8 pge 2). On dit ussi que l intégrle impropre + f(x) dx est bsolument convergente. On définit de même une série bsolument convergente. Remrque 8. On encore un résultt nlogue à celui prouvé dns l définition 2 pge 6. Théorème 4.. Soit f : I R, continue pr morceux et intégrble sur I, lors les fonctions positives f + et f le sont églement. Il en résulte que + f(x) dx converge et : + f(t) dt = + f + (t) dt + f (t) dt Si mintennt f est une fonction continue pr morceux sur I = [, + [, à vleurs complexe, intégrble sur I lors les fonctions à vleurs réelles g = Re(f) et h = Im(f) le sont églement. Il en résulte que + f(x) dx converge et : + f(t) dt = + g(t) dt + i + h(t) dt Résultt nlogue pour les séries. L réciproque est fusse. Le contreexemple pge 33 propose l exemple d une intégrle convergente Pge 7/50

18 mis non bsolument convergente et le théorème 6. pge 9 permettr de montrer que l série hrmonique lternée, dont l convergence déjà été étblie à l exemple pge 5 constitue un contreexemple dns le cs des séries. Idée de l preuve 2. On remrque que 0 f + f et 0 f f et on utilise l intégrbilité des fonctions positives pr domintion. Même méthode pour les séries. 5 Espce vectoriel des suites complexes dont l série ssociée est bsolument convergente Proposition 5. (Série exponentielle). Si z C, l série n 0 bsolument convergente. De surcroît : n=0 z n n! = ez z n n! est vec : e z = e x (cos y + i sin y) et x = Re z, y = Im z Idée de l preuve 3. Formule de Tylor vec reste intégrl ppliquée à l fonction t e zt entre 0 et puis mjortion du reste intégrl. Exercice 7. Soit λ un complexe tel que λ < et (u n ) C N une suite bornée telle que l suite (u n λu 2n ) converge. Prouver que (u n ) converge. Théorème 5. (Théorème du point fixe, cs élémentire). Soit f une ppliction contrctnte d un intervlle fermé I R dns R qui stbilise I. Alors f dmet un unique point fixe x dns I qui est l limite de n importe quelle suite (x n ) n N définie récursivement pr x 0 I, x n+ = f(x n ) De plus, si k [0, [ est une constnte de contrction de f, il vient : x n x = O (k n ) Pge 8/50

19 Idée de l preuve 4. x n+ x n k x n x n puis x n+ x n k n x x 0. On en déduit une mjortion du reste pr sommtion des inéglités. Qutrième prtie Séries lternées 6 Théorème des séries lternées Définition 4. Une série n 0 u n à termes réels est dite lternée si pour tout entier n, u n et u n+ (éventuellement nuls) ont des signes contrires ie u n u n+ 0. Exemple 8. L série u n vec u n = ( )n est lternée pour α > 0. L série n n α ( ) n s ppelle série hrmonique lternée. n n Théorème 6. (Théorème des séries lternées). Soit n 0 u n une série lternée, telle que l suite ( u n ) tende vers 0 en décroissnt. On note S n l somme prtielle de rng n : Les suites extrites de rng pirs et impirs (S 2p ) et (S 2p+ ) sont djcentes c est à dire monotones, de sens de vrition opposés et leur différence tend vers 0. L série n 0 u n converge et s somme le signe de u 0. Si elle ne converge ps bsolument, l série n 0 u n est dite semi convergente. Si R n = lors : k=n+ u k est le reste de rng n de l série convergente n 0 R n u n+ et R n l signe de u n+ Ce qu on exprime souvent en disnt que "le reste est, en vleur bsolue, inférieur à l vleur bsolue du premier terme négligé" Idée de l preuve 5. Dessiner les suites de rngs pirs et impirs sur un xe. u n Pge 9/50

20 Démonstrtion. On v se limiter u cs où les termes de rng pir sont 0 et ceux de rng impir sont 0. u n s écrit donc ( ) n n vec ( n ) décroissnte de limite nulle. ) Convergence de l série : Soit p N : et S 2p+2 S 2p = 2p+2 2p+ 0 S 2p+ S 2p = 2p+ + 2p 0 pour p L suite (S 2p ) décroît et l suite (S 2p+ ) croît. De plus : donc : et : S 2p+ S 2p = 2p+ 0 S 2p+ S 2p S 0 = 0 () S 2p S 2p+ S = 0 0 (2) L suite (S 2p ) (resp (S 2p+ )) est donc décroissnte et minorée (resp croissnte et mjorée), elle est donc convergente. Posons l = lim p S 2p et l = lim p S 2p+. Comme : lim S 2p+ S 2p = 0 p puisque lim n n = 0, il vient l l = 0. Reste à prouver que S n l. Soit ɛ > 0, il existe deux entiers p et p 2 tels que : p > p S 2p l < ɛ et p > p 2 S 2p+ l < ɛ Soit N = mx(2p, 2p 2 + ), si n > N, il vient S n l ɛ et l convergence de (S n ). b) Signe de l somme et mjortion du reste : Notons S l somme de l série. En pssnt les inéglités () et (2) à l limite qund p, il vient : 0 S 0 = u 0 (3) Considérons mintennt le reste R n = k=n+ u k. Si n+ est pir, l suite (u k ) k n+ stisfit les mêmes conditions que (u n ) n 0 ; on peut donc lui ppliquer les inéglités (3) soit : 0 R n u n+ Pge 20/50

21 Si n + est impir, l suite ( u k ) k n+ stisfit les mêmes conditions que (u n ) n 0 ; on peut donc lui ppliquer les inéglités (3) soit : 0 R n u n+ Dns tous les cs : R n u n+ Remrque 9. Pour fciliter l compréhension de l preuve, les lecteurs ont intérêt à représenter les suites (S 2p ) et (S 2p+ ) sur un xe. 7 Séries se rmennt à une série lternée Exemple 9. Soit α un réel > 0, l série : ) ln ( + ( )n n Converge si et seulement si α >. 2 Démonstrtion. Soit u n = ln ( + ), ( )n Fisons un développement symptotique de u n à deux termes : n α u n = ( )n ( ) n α 2n + o 2α n 2α Posons : de sorte que u n = v n w n vec : n α v n = ( )n n α w n = 2n 2α + o ( ) n 2α L série n v n est lternée donc converge. L nture de l série proposée est donc l même que celle de n w n or : w n 2n 2α Pge 2/50

22 donc w n > 0 à prtir d un certin rng et l nture de w n est celle de n et l conclusion. n 2n 2α Il y beucoup d exercices de ce type vec des séries en sinus et cosinus. Voici quelques importnts exercices d entrînement : Exercice de cours 7. Étudier l série de terme générl : ( sin π ) n 2 + n + b Comment pourrit-on le fire vec Mple? Exercice 8. Étudier les séries de terme générux : ( ) n n ln n, ( ) n nα sh(n α ) n β + ( ) n, ( )n n th n ( ) n n + ( ) n 3 n + Exercice 9 (Mines 2008). Nture de l série de terme générl : ln ( + ( )n + ) n α n 2α Exercice 0 (Mines 2007). Étudier l série de terme générl : u n = ( ) n n 3/4 + ( ) n n ln(n) /3 En voici un plus difficile mis clssique : Exercice. Étudier l série de terme générl : sin(πen!) Pge 22/50

23 Cinquième prtie Convergence de suites, problèmes symptotiques élémentires 8 Utilistion d une série pour prouver l convergence d une suite 8. Suites définie pr une somme Exemple 0. Retour sur l constnte d Euler. Exercice Prouver, pr deux méthodes, l convergence de l suite de terme générl : n u n = 2 n k k= 2. En déduire, en fonction de l limite l de l suite, un équivlent de : ( n ) exp k k= 3. On note u l limite de (u n ). Exprimer en fonction de u l somme de l série ( ) n n. n 8.2 Suites définies pr un produit 8.2. À termes réels positifs Utilistion de u n+ u n et de ln(u n ) Exercice 3. Convergence de l suite de terme générl : n ( x ) P n = ch 2 k k= Pge 23/50

24 Exemple (Fonction gmm). Prouver, pour x N l convergence de l suite : n x n! u n = x(x + )... (x + n) L limite est notée Γ(x) Appliction ux produits infinis complexes L notion de produit infini, qui est l nlogue multiplictif de celle de série, est stricto sensu hors progrmme ; cependnt elle fitl objet de nombreux problèmes et exercices. On retiendr l idée de bse suivnte : POUR ÉTUDIER UNE SUITE DÉFINIE PAR UN PRODUIT DE NOMBRES RÉELS STRICTEMENT POSITIFS, IL EST SOU- VENT INTÉRESSANT D EN PRENDRE LE LOGARITHME Exemple 2 (Produits infinis bsoluments convergents). Soit ( n ) une suite complexe telle que n converge. n 0. L suite (P n ) définie pr : P n = n ( + k ) k=0 converge ; on étudier successivement les cs : n 0 pour tout n. n R pour tout n. Cs générl en considérnt l série de terme générl P n+ P n. 2. lim n P n = 0 si et seulement si il existe n tel que n =. Exercice 4. si P = lim n P n, mjorer P n P à l ide de n. Exercice 5. Définir Γ(z) pour z C Z 0 Pge 24/50

25 9 Encdrement de sommes de séries et de suites 9. Télescopge des termes Si ( n ) n N est une suite numérique, posons Δ n = n+ n. L opérteur Δ s pprente à une dérivtion. Pour 0 p n, il vient : nlogue discret de l reltion : n n p = Δ k f(b) f() = k=p b f (x) dx vlble pour f de clsse C sur [, b]. On en déduit que ( n ) et (b n ) sont des suites réelles telles que pour tout n Δ n b n, lors : n n p b k pour p n k=p Exemple 3. Soit u n = ln(n) lors n 0 γ u n où γ été définie dns l exemple 5 pge Utilistion d intégrles 2(n ) Il est intéressnt d essyer de choisir (b n ) de sorte que l somme n k=p b k soit l plus simple possible. Un cs intéressnt est celui où l suite (b n ) est télescopique c est-à-dire s écrit simplement sous l forme Δc n où (c n ) est une suite "d expression simple" ie dont l expression ne contient plus de. L exemple le plus fréquent de cette sitution est celui où b n est de l forme n+ f(t)dt, l intégrle étnt "nturellement télescopique". n Pge 25/50

26 Exemple 4. Soit : lors R n = k=n+ k s vec s > (s )(n + ) s R n (s )n s On en déduit : R n (s )n s On développer plus loin des techniques spécifiques de développement symptotiques de tels restes. Exercice 6. Prouver l inéglité : n=k [n(n + )] 2 3k 3 Exercice 7. Étudier l série de terme générl : n n k= (n + k) α 0 Développement d une intégrle On renvoie d bord u théorème 3.3 pge 5 qui permet souvent de trouver un développement symptotique de l somme prtielle d une série "lentement" divergente à l précision n, suffisnte pour psser le développement à l exponentielle pr exemple cf l deuxième question de l exercice 2 pge 23 ou encore : Exemple 5. Déterminer, qund n, un équivlent de ( ) n u n = exp k ln k On v étudier ici une méthode, préconisée pr le progrmme, pour trouver un développement symptotique (en générl d ordre fible) de l somme prtielle (resp le reste) d une série divergente (resp convergente) n 0 f(n) où k=2 Pge 26/50

27 f est une fonction continue de clsse C k (k ussi grnd que les clculs l exigeront), sur un intervlle [, + [, à vleurs réelles. elle consiste à interpréter f(n) comme l ire d un rectngle, ce qui permet de le rentrer sous l intégrle : w n = n+ n (f(t) f(n))dt Puis on intègre pr prtie en s rrngent pour que le terme tout intégré soit nul ux bornes de l intervlle d intégrtion : w n = n+ n (f(t) f(n))d(t n ) = n+ n (t n )f (t) dt (4) Exemple 6 (Séries de Riemnn). Soit s >. Étudions, qund n de : On introduit (fire le dessin) : w n = n s n+ n R n = k=n+ k s dt n+ ( t = s n n ) dt s t s On intègre pr prties, en s rrngent pour introduire l primitive de t qui s nnule en n + soit : t t n. Il vient lors : D où : w n = s n+ n 0 w n n+ Toutes les séries écrites convergent donc : 0 k=n+ w k D où (détils lissés ux lecteurs) : 0 R n n n+ t n t s+ dt (5) s t s+ dt s t dt = s+ (n + ) s (s )(n + ) s (n + ) s Pge 27/50

28 On en déduit : R n (s )n s équivlent qui pouvit être obtenu pr un simple encdrement du reste. Cette méthode n pporte rien de plus mis est intéressnte lorsqu on veut des mjortions explicites d erreurs : séries de fonctions, clcul numérique. Exercice 8. Donner un développement symptotique à deux termes de l somme prtielle de l série précédente lorsque s <. Exercice 9. Donner une vleur pprochée à 0 3 prés de n 3/2 en sommnt u plus 00 termes. Remrque 0. Cette technique mrche bien cr f tend vers 0 «plus vite que f» u voisinge de +. Elle ne donnerit rien vec f(x) = e x2 pr exemple. Remrque. Pour voir le terme suivnt, il fudrit réintégrer pr prties l reltion (4) de mnière stucieuse (cf polynômes de Bernoulli). Exemple 7. Formule de Stirling Exemple 8. Développement à deux termes du reste d une série de Riemnn. Décélértion de l divergence vs ccélértion de l convergence. Développements symptotiques de sommes prtielles et de restes de séries à termes positifs (resp d intégrles de fonctions positives) et pplictions Exercice 20. Exemple 9. Étudier l série de terme générl : ln(2) α + + ln(n) α n β α, β > 0 n= Pge 28/50

29 Trouver un développement symptotique à deux termes de : u n = n k=0 + k 2 Exemple 20. Trouver un développement symptotique à deux termes de : u n = n th k k=0 Exercice 2. Étudier l brnche infinie (x + ) du grphe de l fonction f définie pr : f(x) = x 4 t4 + t + dt x Exemple 2. Formule de Stirling. Exemple Étude de l convergence de l série de terme générl : n ( 2 k e ) k=2 Exercice 22 (Mines 2003). On pose : n ) P n = ( + ( )k k k=2 Déterminer l limite et un équivlent de P n. Exemple 23 (Cs où le terme générl croît rpidement). Trouver un équivlent de l somme : n k! Exercice 23. Soit λ R, étudier l série de terme générl : ( ) ( ) λ 2 λ n! sin λ sin... sin n k=0 Pge 29/50

30 Exercice 24. Donner un équivlent simple de : P n = 3 n n! (3n + ) Exercice 25. Étudier l série de termes générl n n k=2 ln(k) ln(k + ) > 0.2 Cs des séries lternées Lorsque le terme générl "vrie lentement", on peut, soit grouper deux termes consécutifs, soit utiliser l moyenne de deux sommes prtielles consécutives (resp de deux restes consécutifs). Exercice 26. En l écrivnt sous forme intégrle, développer symptotiquement le reste de l série hrmonique lternée et en ccélérer l convergence. Exercice 27. Donner des équivlents simples de : S n = n ( ) k k, R n = k=0 k=n ( ) k k Exercice 28 (Mines). Soit f est une fonction convexe sur [0, + [ de limite nulle en +. Montrer que f est positive et que : ( ) k f(k) f(n) 2 k=n+ Exercice de cours 8. [un u choix] Soit R. Quelle est l nture de l série de terme générl : ( ) n n k= ( + ) k n (? ( ) n 2 k e )? k=2 Pge 30/50

31 2 Développement symptotique de suites récurrentes 2. Suites u n+ = n u n + b n vec n 0 pour tout n Exemple 24. Soit c > 0. Trouver un équivlent simple de l suite (u n ) définie pr : u 0 =, u n = 2 n u k + c n n k=0 2.2 Cs d un point fixe ttrctif Exemple 25. Soit f C (I, R), et I, intérieur à I et vérifint les deux propriétés suivntes : f() = et 0 < f () < on dit que est un point fixe ttrctif de f. On suppose de plus : i) f(i {}) I {}. ii) L suite (x n ) n N définie pr x 0 I {} et x n+ = f(x n ) converge vers. Alors : i) x n I {} pour tout n. ii) Si k ] f (), [, x n = O (k n ) d près le critère pge 6. iii) Il existe une constnte non nulle A, dépendnt de x 0, telle que, lorsque n : x n A f () n 2.3 Cs d un point fixe superttrctif (méthode de Newton) Exemple 26. Équivlent de l suite (u n) définie récursivement pr : u n+ = cos u n 0 < u 0 < 2π Pge 3/50

32 Exemple 27. Comprison des deux méthodes sur : tn(x) = x Sixième prtie Sommtions de séries 3 Clcul de sommes pr l technique de télescopge 3. Les polynômes Exemple 28. Méthode de clcul de n k=0 3.2 Les frctions rtionnelles k p pour p N Utilistion de l décomposition en éléments simples Exemple 29. Clcul de : n= n 2 4 Techniques utilisnt des séries de fonctions Voir plus loin, en prticulier le chpitre "séries entières". Pge 32/50

33 Septième prtie Exemples et contre-exemples 5 sur les intégrles et séries de fonctions de signe constnt 5. Contre-exemples ux théorèmes de comprison lorsque les suites et les fonctions ne sont ps ultimement de signe constnt Contre-exemple (Exemple d intégrles semi-convergentes). -. À l ide d une intégrtion pr prtie, prouver que l intégrle impropre : converge pour α > 0. + π sin x x α dx 2. Trouver un équivlent, qund n, de : I n = (n+)π nπ sin x x α dx, α > 0 En déduire une fonction continue dont l intégrle est convergente et non bsolument convergente. 3. On considère les fonctions f(x) = sin x sin x + x x et g(x) = sin x x Montrer qu elles sont équivlentes u voisinge de + et comprer l nture des intégrles + f(x) dx et + g(x) dx. π π Exercice 29 (Générlistion de ces résultts). Soit f une fonction continue, T -périodique de R dns R. On considère l vleur moyenne de f sur un segment de période : M(f) = T et on note F l fonction x x 0 T 0 f(t) dt. f(x) dx Pge 33/50

34 . Déterminer lim x + F (x)/x. 2. Montrer que F est bornée sur R si et seulement si M(f) = à quelle condition l intégrle générlisée : + T f(x) dx (α R) xα converge-t-elle (on pourr se limiter u cs α > 0)? Contre-exemple 2 (Exemple de séries semi-convergentes). Les séries lternées sont une bonne source d exemples et de contre-exemples lorsque l on veut fbriquer des séries qui ne convergent "ps trop vite". Voici un exemple simple de deux suites ( n ) et (b n ) telles que : n b n. n converge et b n diverge. n n n = ( )n n et b n = n + n. n n converge en vertu du théorème des séries lternées. n b n cr n = o( n) et (b n n ) diverge donc b n ne peut n n converger. Exercice de cours 9. Retrouver le résultt de l première question du contreexemple pge 33 en utilisnt une série lternée. Étudier l convergence de l intégrle lorsque α est de signe quelconque. 6 Contre-exemples et exemples divers 6. Fonction intégrble ne tendnt ps vers 0 Proposition 6.. Soit ( n ) une suite strictement croissnte, divergente, d éléments de I = [, + [. Soit f C m ([, + [, R) à vleurs positives. f est intégrble sur I si et seulement si l série de terme générl n+ n f(x) dx converge. Contre-exemple 3 (Une ppliction). Construction d une fonction positive continue, non bornée et intégrble sur [0, + [. Voici un exercice qui v un peu plus loin. Pge 34/50

35 Exercice 30.. Soit (u n ) une suite réelle positive telle que lim n n u n = 0. L série n 0 u n converge-t-elle? 2. Soit (u n ) une suite décroissnte telle que l série n 0 u n converge. Montrer que lim n n u n = 0. Soit ( n ) une suite décroissnte positive, p 2 un nturel. Prouver que les séries de termes générux n et p n p n sont de même nture. 3. Peut-on trouver une fonction f C([, + [, R), à vleurs positives, intégrble sur [, + [ et telle que l fonction x x α f(x) ne soit bornée pour ucun réel α? 4. Que pensez vous de l nlogue discret de cette question? Huitième prtie Développement déciml d un nombre réel 7 Définitions et nottions L prtie entière d un réel x est notée [x]. Elle vérifie les inéglités [x] x < [x] +. Toutes les suites considérées dns cette section sont des suites (r n ) n d entiers nturels tels que : n, 0 r n 9 On noter S leur ensemble. On noter S l ensemble des suites (r n ) pprtennt à S telles que : p N, n > p, r n 9 Une suite (r n ) S ser dite propre, une suite (r n ) S S est crctérisée pr : p N, n > p, r n = 9 elle est dite impropre. Pge 35/50

36 Un nombre déciml est un réel de l forme 0 p où Z et p N ; leur ensemble est noté Z [ 0], c est un sous nneu de Z. L objectif de cette prtie est d étblir que l ppliction : (r n ) n= r n 0 n est une bijection de S sur l intervlle [0, [. Comme tout réel x peut s écrire : x = [x] + (x [x]) et que x [x] [0, [, on v trviller uniquement vec des réels pprtennt à cet intervlle. 8 Approximtions d un nombre réel Tous les réels considérés pprtiennent à [0, [. 8. Prties entières à 0 n prés Définition 5. Soit p N, pour x [0, [ posons : p (x) = [0 p x] Le déciml p(x) est ppelé pproximtion décimle de x à 0 p prés pr 0 p défut. Le déciml p(x)+ est ppelé pproximtion décimle de x à 0 p 0 p prés pr excès, on verr ci-dessous l justifiction de cette terminologie. Proposition 8.. p (x) est l entier crctérisé pr : Ce qui s écrit encore : p (x) x < p(x) + 0 p 0 p 0 x p(x) 0 p < 0 p (6) Pge 36/50

37 ce qui justifie l termilogie doptée ci-dessus. Il vient lors : 0 p (x) < 0 p Démonstrtion. L première double inéglité découle de l crctéristion de l prtie entière. L seconde provient de 0 x <. Remrque 2. Ces notions s étendent à tous les réels : < π < Sont les pproximtions décimles de π à 0 5 prés. 8.2 Chiffres Définition 6. Pour n, on pose : r n (x) = n (x) 0 n (x) Il vient lors : r n (x) est un entier nturel compris entre 0 et 9 (c est ce qu on ppeler un chiffre. ) Pour p : Ce qui s écrit encore : p (x) 0 p = p n= r n (x) 0 n (7) p (x) = r (x) 0 p + r 2 (x) 0 p r p (x) r (x), r 2 (x),..., r p (x) sont donc les chiffres de l écriture décimle de l entier p (x). Démonstrtion. Puisque 0 x <, il vient : 0 (x) = [x] = 0 et n (x) = [0 n x] N donc r n (x) Z. Prouvons que 0 r n (x) 9. Pour n : n (x) 0 n x < n (x) + (8) Pge 37/50

38 L inéqution (9) se réécrit sous l forme : n (x) 0 n x < n (x) + (9) n (x) < 0 n x n (x) (0) En sommnt (8) et 0(0), il vient, compte tenu que l somme d une inéglité lrge et d une inéglité stricte produit une inéglité stricte : r n (x) 0 < 0 < r n (x) + Comme r n (x) Z, cette inéglité s écrit : Enfin, puisque : 0 (x) = 0 et, pour n 0 r n (x) 9 r n (x) 0 = n(x) n 0 n (x) n 0 n On obtient l églité (7) en sommnt cette dernière de n = à n = p. Théorème 8.. Soit 0 x < un réel. x dmet le développement en série convergente suivnt : r n (x) x = () 0 n n= L suite r = (r n (x)) n pprtient à S. Démonstrtion. En fisnt tendre p vers dns (7), on obtient ( ), compte tenu de (6). Supposons mintennt que r S, il existe un entier N, que l on peut, quitte à l ugmenter, supposer, tel que : n > N, r n (x) = 9 Un clcul élémentire de l somme d une série géométrique ssure lors : x = n= r n (x) 0 n = N n= Ce qui s écrit encore : x = N(x) + 0 N qui contredit l définition de N (x). r n (x) 0 n + 0 N Pge 38/50

39 9 Représenttion décimle d un nombre réel Lemme 9.. Soit r = (r n ) n, une suite élément de S. L série n r n 0 n converge et s somme pprtient à [0, [. On l noter ψ(r). Démonstrtion. Pour tout n : 0 r n 0 n < 0 (n ) L série géométrique mjornte converge, comme il s git de séries à termes positifs, l série n r n 0 n converge églement. Prouvons mintennt que s somme pprtient à [0, [. Comme r S, il existe un entier p > 0 tel que r p 8. Donc, pour N p, il vient en mjornt tous les r n pr 9 suf r p qu on mjore pr 8 = 9 : 0 N n= r n 0 N 9 n 0 n 0 p 0 p En pssnt cette inéglité à l limite, qund N, il vient : 0 n= n= r n 0 n 0 p (2) Théorème 9.. L ppliction φ : [0, [ S définie pr : x (r n (x)) n est une bijection dont l bijection réciproque est l ppliction ψ définie cidessus. Démonstrtion. On v prouver les deux reltions : Soit x [0, [, φ(x) = (r n (x)) S, ψ φ = Id [0,[ et φ ψ = Id S ψ φ(x) = n= r n (x) 0 n = x Pge 39/50

40 Réciproquement : Soit r = (r n ) un élément de S, posons : Soit p N. Prouvons que : x = ψ(r) = n= p (x) 0 p = r n [0, [ 0n p n= r n 0 n Pour n > p, on 0 r n 9 et, d prés l définition de S, il existe un entier nturel q > p tel que r q 8. On en déduit, puisque toutes les séries convergent : p n= r n 0 n n= r n p 0 n Notons p l entier nturel défini pr : n= r n 0 + n n=p+ 9 0 (3) n 0 q p p = r n 0 p n n= ie p p 0 = r n p 0 n n= et prouvons que p = p (x). L reltion (3) s écrit : p 0 x < p + p 0 p d où p = [0 p x] = p (x). Il en résulte, vu l définition des chiffres de x à prtir des p (x) que, pour tout n : r n (x) = r n donc φ (ψ(r)) = φ(x) = r Remrque 3. Soit x [0, [. Il résulte de l étude ci-dessus qu il existe une et une seule suite (r n ) pprtennt à S telle que x = r n, c est l suite 0 n (r n (x)). On note lors : x = 0, r r 2,..., r n... n= Pge 40/50

41 en Frnce et : x =.r r 2,..., r n... dns l littérture nglo-sxonne. En revnche, il peut exister une utre suite (ρ n ) pprtennt à S S telle que : x = ρ n. Pr exemple : 0 n 0 = 9 0 n n=2 Exercice 3. En utilisnt l lgorithme de division ppris à l école primire, démontrer qu un réel x [0, [ est rtionnel si et seulement si l suite (r n (x)) est périodique à prtir d un certin rng. n= 20 Trvux dirigés. Nture des séries : n n 2 (ln n) n n n! ( ln n ) n (Ccp 99) (Ccp 99) ( ) +/n n n ( Arccos ) α > 0 (Ccp 99) n α n 2 n n n n + n n (Ccp 99) ( n ) /n ( sin ( e n ) n 3 n ( )) sin( n) n (Ccp 200) Pge 4/50

42 π/6 rcsin ( /2 + n 2) n n 2 n 2 cos n 2 ( ) n n 3/4 + cos n ( ) n n /n n 2 ln n ( ) n n + ( ) n [ ( )] n πn 2 ln n (Mines 99) (Ccp 98) (Mines 2002) (Tpe 99) cos ( rctn n + n α), α > 0 (Tpe 03) n n 0 n ( n 2 + n 2 + n + n ( Arccos ) 2 n n ) n α, α R (Ccp 0) ( ) n ln n n + ( ) n+ (Ccp 0) n ln (n2 + ) ln n 0 sin n n ( n 2 + ) 2 (Centrle 0) ln(2n + ) ln(2n) (Mines 04) n 2. (Cen 2005) On suppose que l série de terme générl u n > 0 converge. Qu en est-il de l série n 0 e /un? Pge 42/50

43 3. (Cen 99) Trouver pour que l fonction : soit intégrble sur [, + [. 4. Convergence de : x x + x 2 + 2x + 2 x + (Argsh x) Argch x dx? 5. (Ccp 200) Déterminer et b tels qu existe l intégrle : [ + ( + ) ] x+ x b dx x x 6. (Ccp 2002) Étudier l suite de terme générl : u n = 2 ln ln ln(ln n) n ln n 7. (Ccp 2003) > 0, s > 0. Discuter, suivnt et s l nture de l série de terme générl un vec : u n = n k= k s 8. (Mines 2005) Étudier, qund n l suite : u n = ( k=n ) /n k! 9. (Ccp 98) > 0, b > 0. p n désigne le nombre de chiffres de n. Convergence de l série n 0 n b p n? 0. (Centrle 200) Étudier l série n u n vec : n k= k u n = (α R) n α Pge 43/50

44 . (Mines 98) soit P l prbole d éqution y 2 = 2p x. On définit une suite (M n ) de points de P pr : M P. M n+ est le deuxième point d intersection de P et de s normle u point M n. Notons y n l ordonnée de M n, étudier l série n /y n. 2. (Centrle 97 et 99) Soit (u n ) une suite réelle telle que, pour tout n, u n. On pose : v n = u n ( + u 0 )( + u )... ( + u n ) () On suppose u n 0, pour tout n. Convergence de n 0 v n? (b) On suppose u n < +, en est-il de même de v n? n 0 n 0 (c) On suppose u n converge, en est-il de même de v n? n 0 n 0 3. (Centrle 200) Convergence et somme de l série ln ( n )? 2 n 2 4. (Centrle 2005) Existence et clcul de : ( ( ) n ln + )? n 5. (Centrle 97) Soit : n= u n = n + α n + + β n + 2 Déterminer (α, β) R 2 de sorte que n 0 u n converge. Déterminer lors l somme de l série. 6. (Ccp 2003) Convergence et somme de l série de terme générl : u n = ch(n) ch(n + ) Pge 44/50

45 7. (Centrle 98) Convergence et somme de : 8. Convergence et somme de : n n ( ) n+ n + ( ) n+ ( ) n(n )/2 9. (Centrle 2002) Étudier l série de terme générl : u n = n (n+)π nπ t sin t + t 2 dt L intégrle + t sin t dt converge-t-elle? 0 +t (Centrle 99) Nture de l série de terme générl R n où : R n = ( ) k k=n k 2. (Centrle 2003) Soit (z n ) une suite complexe telle que les séries n 0 z n et n 0 z 2 n convergent.on suppose que, pour tout n, Re(z n ) 0. Montrer que z n 2 converge mis ps forcément z n. n 0 n (ESPCI 200) Soit ( n ) une suite de réels positifs telle que l série n diverge. Qu en est-il des séries : n 0 2 n, n 0 n 0 n + n, n 0 n + n n, n 0 n + n 2 n? 23. (Mines 98 et 2005) Soit f une bijection de R + sur lui même, de clsse C, croissnte et telle que f() =. Prouver que les séries n /f(n) et n f (n)/n 2 sont de même nture. Pge 45/50

46 24. (Centrle 200) Existence de + 0 cos 2 x dx x + cos x > (Ccp 98) Soit f C([, + [, R), croissnte, telle que, f(x) > pour tout x. Prouver que si /f n est ps intégrble sur [, + [, t t ln(f(t)) non plus. 26. (Ccp 99) Nture, suivnt les vleurs de α, de l série de terme générl : u n = n α n 0 rctn x x 27. (Tpe 97) Etudier l série de terme générl : ( ( n )) ( ) k ln tn 2k + k=0 28. (Ccp 99) Soit ( n ) le terme générl positif d une série convergente. Que dire de l série de terme générl /n n? 29. (Espci 2007) Soient (v n ) et (u n ) deux suites réelless positives telles que lim v n ln n = 0 et l série de terme générl u n converge. Montrer que n l série de terme générl u v n n converge. 30. (X) Soit u = (u n ) une suite de réels. On note Δu l suite définie pr : dx n N, Δu n = u n u n+ On pose ussi : Δ 2 u = Δ (Δu). On considère dns tout l exercice une suite u = (u n ) bornée telle que l suite Δ 2 u soit positive. () Montrer que l suite (u n ) décroît et converge. (b) Montrer que lim n n Δu n = 0. (c) Prouver que l série de terme générl (n + ) Δ 2 u n converge et exprimer s somme en fonction de u 0 et de l limite de l suite (u n ). 3. (Ccp 99) Soit ( n ) une suite réelle telle que, pour tout entier nturel n, 0 < n <. On définit une suite (b n ) pr b 0 0 et n, b n = b n + n + n b n Pge 46/50

47 () Montrer que (b n ) possède une limite L. (b) Montrer que si 0 b 0, lors 0 < L. (c) Montrer que si ( n ) possède une limite non nulle lors L =. (d) On suppose b 0 >. Prouver que L = si et seulement si l série n diverge. n (X 2000) u 0 > 0, ( n ) est une suite positive à lquelle on ssocie l suite (u n ) définie pr u 0 et l récurrence : u n+ = u n + n u n Montrer que l suite (u n ) converge si et seulement si l série n 0 n converge. Triter une question nlogue vec l suite (v n ) doublement récurrente définie pr : v 0 > 0, v > 0, v n+2 = n v n+ + v n 33. (X) Soit (x n ) une suite de réels. Prouver que l suite de terme générl : u n = + x + x x n + xn converge si et seulement si l série : converge. n ln(x n ) 2 n 34. (Ens 2000) Soit f C ([0, + [, R) telle que f soit bornée et que + 0 f(x) dx existe. Prouver que f(x) 0 qund x (Cen 2000) Soit f C (]0, + [, R), telle que, Montrer que b = 0. lim f(x) = et lim x f (x) = b x + x + Pge 47/50

48 36. (Mines 96) Soient α, β, γ strictement positifs. de u n vec : n Étudier l convergence u n = n i=0 (α + i) n i=0 (β + i) (γ + i) 2n i=0 37. Soit u n+ = u n + un. Prouver l existence de k > 0 tel que : u n k (3/2)n 38. (Ens) Soit ( n ) une suite positive. On lui ssocie l suite (x n ) définie pr x 0 > 0 et l récurrence : x n+ = x n + x 2 n + n 2 Prouver que l suite (x n ) et l série n 0 n sont de même nture. 39. (X 2000) Soit f C([0, + [, R). () On suppose que lim x f(x) =, montrer que, qund x +, x f(t) dt x. 0 (b) On suppose que lim x f(x) x f(t) dt =. Montrer qu existe 0 ɛ {, } tel que f(x) ɛ 2x qund x +. n (c) Soit ( n ) ]0, + [ N telle que n k. Trouver un équivlent de ( n ). 40. (Mines 99) Soit f C 2 (R +, R) telle que f > 0 et f < 0. On pose h = f/f et on suppose que, qund x + on : ( ) f x = o (x) et h (x) = o() f(x) Montrer que, pour tout ɛ > 0, f(x) x /ɛ pour x ssez grnd, en déduire que f est intégrble sur [, + [. Montrer que, qund x + : + x k=0 f(t) dt f 2 (x) f (x) Pge 48/50

49 4. (Ens 04) Soit f une ppliction de R + dns R à vleurs réelles strictement positives, de clsse C et telle que : lim x f (x) x + f(x) = 0 () Soit > 0. Déterminer l limite de l fonction x x f(x) qund x +. (b) f -t-elle une limite en +? (c) Même question vec x x f(t) dt (X 08) Soit (u n ) une suite de réels telle que l série de terme générl u n converge mis que l série de terme générl un diverge. Montrer que pour tout L R, il existe une suite (ɛ n ) à vleurs dns {, } telle que u n ɛ n = L n=0 43. Soit f une fonction continue sur [0, + [ à vleurs réelles telle que, pour toute fonction φ continue sur [0, + [ et intégrble sur [0, + [, f φ le soit ussi. Montrer que f est bornée. 44. (Mines 99) Soit ( n ) une suite strictement positive décroissnte telle que l série n 0 n soit convergente de somme S. Montrer l équivlence des deux ssertions suivntes : Pour tout n, n k. k=n+ Pour tout t ]0, S] il existe une ppliction strictement croissnte φ : N N telle que φ(n) = t n=0 [NDLR : Il semble qu on n it posé que l première impliction]. Quel est l ensemble des réels x qui peuvent s écrire sous l forme ɛ n n= n vec 2 ɛ n {0, } pour tout n? 45. (X 99) Soit (c n ) une suite complexe telle que l suite (nc n ) soit bornée. On pose : A = sup c n B = sup n c n () Prouver l inéglité : n=k+ n k (k + ) 2 Pge 49/50

50 46. (X) (b) Montrer que n=k+ deux pr un indice proche de B/A]. () Prouver, pour... n 0, l inéglité : c n 2 2AB [Indiction : Couper l somme en n... n + + n n (b) Prouver l inéglité : ( ) n n + n! e Soit (u n ) n une suite de réels positifs tels que n u n converge. Prouver l inéglité (de Crlemn) n= n u... u n e n= u n 47. (Ens 97) Soit α > 0 et ( n ) n une suite > 0. Les séries n et n n α n peuvent-elles converger simultnément? n Pge 50/50