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1 1 Seconde. Géométrie plane. Exercices et problèmes I.1 ) LES EXERCICES. ENONCES. Exercice n 1 ABC, AC et AE sont trois triangles équilatéraux disposés comme sur la figure ci-contre émontrer que le triangle BCE est un triangle rectangle. Exercice n 2 ABC est un parallélogramme de centre O. Les points E et I sont les milieux respectifs des segments [A] et [AB]. Les droites (AC) et (BE) se coupent en L. émontrer que les points, L et I sont alignés. Exercice n 3 C et C ' sont deux cercles de même rayon et de centres respectifs O et O. Ces deux cercles sont sécants en deux points A et B. émontrer que les droites (OO ) et (AB) sont perpendiculaires. Exercice n 4 O; I, J est un repère orthonormé tel que OI OJ 1cm. a) Placer les points A 4;6, B 2; 3, C 2;0, 0;3 et E 2;3. b) Quelles ont les coordonnées des points A et B dans le repère O; C,? puis dans le repère Exercice n 5 O;, C? c) Quelles sont les coordonnées du point O dans le repère E; C,? ans un repère orthonormal d origine O, on donne les points A 3; 4, B 7; 4, 5;2 a) Calculer les coordonnées du milieu J de [OB]. b) Calculer les coordonnées du milieu K de [AC]. c) Contrôler ces résultats avec une figure. Exercice n 6 ans un repère orthonormal d origine O, on donne les points A 2;5, 5;1 B. a) Calculer les coordonnées du point M tel que O soit le milieu de [AM]. b) Calculer les coordonnées du point N tel que A soit le milieu de [BN]. Exercice n 7 C. ans un repère orthonormal d origine O, on donne les points M 3; 2, N 2; 3, 4;3 Le triangle MNP est-il rectangle? Exercice n 8 ans un repère orthonormal d origine O, on donne les points A 1; 1, B 1;3, 5;1 P. C. a) Placer ces points. Que peut-on conjecturer quand à la nature du triangle ABC? Justifier la conjecture. b) éterminer les coordonnées du milieu K de [AC], le placer sur le dessin. c) On note le symétrique du point B par rapport au point K. calculer les coordonnées de ce point. d) Reconnaître la nature du quadrilatère ABC. Justifier.

2 2 Exercice n 9 ans un repère orthonormal d origine O, on donne les points A 2; 1, 3;3 11 B, C 1; 5 a) éfinir la fonction affine f dont la représentation graphique est la droite (AB). b) Les points A, B et C sont-ils alignés. c) Les points A, B et sont-ils alignés? Exercice n 10 ans un repère orthonormal d origine O, on donne les points A 3;3, B 7;4, 0;3 et 45;20 C. 5 f est la fonction affine définie par f ( x) x ) a) Tracer la droite (d) représentant la fonction f. b) On note E et F les points d intersection respectifs de (d) avec l axe des abscisses et l axe des ordonnées. Retrouver ces résultats par le calcul. 2 ) Justifier que les droites (FC) et (BE) sont parallèles. 3 ) Les points F, A et E sont-ils alignés? Exercice n 11 ABC est un triangle isocèle en A. est le symétrique de B par rapport à A. émontrer que le triangle BC est un triangle rectangle. Exercice n 12 ABC est un triangle isocèle en A. Les parallèles à (AC) passant par B et à (AB) passant par C se coupent en un point M. émontrer que les droites (AM) et (BC) sont perpendiculaires. Exercice n 13 [AB] et [C] sont deux diamètres quelconques d un cercle C. Quelle est la nature du quadrilatère ACB? Justifier. Exercice n 14 ABC est un parallélogramme, I est le milieu de [AB] et K est le milieu de [C]. La droite (AK) coupe la droite (B) en M et la droite (CI) coupe la droite (B) en N. a) émontrer que BN NM M. b) Quel rôle joue le point N pour le triangle ABC?

3 3 I. 1 ) LES EXERCICES. CORRECTIONS. Exercice n 1 Les points A, B et E sont alignés car BAE AE AB AC, donc le milieu A du segment [BE] est le centre du cercle circonscrit au triangle BCE. Ainsi, le coté [BE] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle BCE, donc ce triangle est rectangle en C. Exercice n 2 ABC est un parallélogramme de centre O, donc O est le milieu de la diagonale [B]. e plus E est le milieu du coté [A], donc les droite (BE) et (AO) sont deux médianes du triangle AB. Ces deux médianes sont sécantes en L, donc la troisième médiane, qui est (I), passe par L. onc, les points, L et I sont alignés. Exercice n 3 Les cercles C et C ' on même rayon, donc OA OB O' A O' B et donc le quadrilatère OBO A est un losange. Et comme un losange a ses diagonales perpendiculaires, on en déduit que les droites (OO ) et (AB) sont perpendiculaires. Exercice n 4 a) A faire. b) ans le repère O; C,, on trouve que A 2; 2 et B 1; 1 ans le repère O;, C, on trouve que A 2; 2 et B 1; 1.. Car l axe des abscisses est ici vertical, orienté vers le haut, et l axe des ordonnées est horizontal, orienté vers la droite. ;, A 1;3 et B 2; 2. c) ans le repère E C, on trouve que Exercice n 5 7 a) J ; 2 2 b) K 1; 1 c) A faire. Exercice n 6 a) M 2; 5 b) N 9;9 Exercice n 7 La figure permet de conjecturer que le triangle MNP est peut-être rectangle, et que si c est le cas, l angle droit est en N On calcule alors les carrés des longueurs des trois cotés et on trouve que MN 26, NP 40 et MP Et comme MP NP MN, alors la contraposée du théorème de Pythagore permet de dire que le triangle MNP n est pas rectangle contrairement à ce que la figure pouvait laisser suggérer. Exercice n 8 a) après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en B. K 2;0. b) c) 3; 3 d) ans le quadrilatère ABC, les diagonales [AC] et [B] se coupent en leur milieu K. on en déduit que ABC est un parallélogramme. Par ailleurs, AB = BC. Un parallélogramme qui a deux cotés consécutifs de même longueur est un losange. e plus, on a ABC 90, et un losange ayant un angle de 90 degré est un carré, Conclusion, le quadrilatère ABC est un carré. Exercice n a) f ( x) x 5 5 b) OUI c) NON

4 4 Exercice n 10 1 ) a) b) E7;0 et F 0;5 2 ) BE CF 3 ) NON Exercice n 11 Le triangle ABC est isocèle en A, dans AB = AC. est le symétrique de B par rapport à A, donc AB = A, par conséquent le cercle de centre A et de rayon AB passe par B, C et. C est le cercle circonscrit au triangle BC. e plus, comme B et sont alignés avec A, le centre du cercle, on peut dire que le segment [B] est un diamètre de ce cercle. où le triangle BC est inscrit dans un cercle et son coté [B] est un diamètre de ce cercle, il est donc rectangle en C. Exercice n 12 BM AC et AB CM par construction, ainsi le quadrilatère ABMC à ses cotés opposés parallèles deux à deux, donc c est un parallélogramme. Or il a également deux cotés consécutifs égaux, c est donc un losange. Et dans un losange, les diagonales étant perpendiculaires, on en déduit que ses diagonales (AM) et (BC) sont perpendiculaires. Exercice n 13 [AB] et [C] sont les diagonales du quadrilatère ACB, or ce sont aussi deux diamètres du même cercle, donc elles ont même milieu, par conséquent ACB est un parallélogramme. e plus, les diamètres d un même cercle ayant même longueur, on en déduit que ACB est un rectangle. Exercice n 14 a) Le quadrilatère ABC est un parallélogramme donc C AB K est le milieu de [C] et I est le milieu de [AB] donc AI cotés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. C AB. et KC et AI Le quadrilatère AICK est donc un parallélogramme, on en déduit alors que AK KC. Et un quadrilatère qui a deux IC. ans le triangle BMA, les points B, N, M et B, I, A sont alignés dans cet ordre, (AM) et (IN) sont parallèles, donc d après le théorème de BN BI 1 Thalès, on en déduit que BM 2 BN. BM BA 2 Le même raisonnement dans le triangle NC donne N 2 M Par ailleurs B BM M B 2 BN M (1) et B N BN B 2 M BN (2) Et en faisant la différence (2) (1), on trouve 0 M BN M BN Enfin B BN MN M 2 BN M BN MN M en utilisant (1), soit BN MN Conclusion : BN NM M b) ans le triangle ABC, la droite (CN) joint un sommet au milieu du coté opposé. C est donc une médiane de ABC. La droite (BN) est une diagonale du parallélogramme, donc elle passe par son centre O qui est le milieu de [AC]. (BN) est ainsi également une médiane du triangle ABC. Le point N, intersection de ces deux médianes, est donc le centre de gravité du triangle ABC.

5 5 I.2 ) LES PROBLEMES. ENONCES. Problème n 1 ABC est un carré. I est le point à l intérieur du carré et L est le point à l extérieur du carré tels que les triangles CI et BCL soient équilatéraux. 1 ) Conjecture. a) Avec le logiciel GeoGebra, tracer un carré ABC de coté variable. Utiliser la fonction «Angle de mesure donnée» pour construire les points I et L. b) Tracer la droite (AI). Faire varier le coté du carré et conjecturer une propriété sur les points A, I et L. 2 ) Preuve. On se place dans le repère orthonormé (A ; B, )? a) onner dans ce repère les coordonnées des points, C, A et B. b) Calculer les valeurs exactes des coordonnées des points I et L. c) émontrer la conjecture émise à la question 1 ) Problème n 2 A, B,C et sont quatre points distincts deux à deux. E, F, G et H sont les milieux respectifs des cotés [AB], [BC], [C] et [A]. 1 ) Expérimentation. a) Avec le logiciel GeoGebra, faire cette figure. b) éformer le quadrilatère ABC. Conjecturer la nature du quadrilatère EFGH. c) Semble-t-il possible de choisir ABC de façon que le quadrilatère EFGH soit : Un rectangle? Un losange? Un carré? 2 ) Preuve. a) émontrer que les droites (EF) et (GH) sont parallèles, puis qu il en est de même de (HE) et (FG). b) Conclure quand à la nature du quadrilatère EFGH. c) Quelles propriétés doivent avoir les diagonales du quadrilatère ABC pour que EFGH soit : Un rectangle? Un losange? Un carré? 3 ) Cas particuliers. Que sait-on pour le quadrilatère EFGH lorsque le quadrilatère ABC est : Un rectangle? Un losange? Un carré? Problème n 3 S initier à l algorithmique. Voici un algorithme : Entrées. Saisir xa, ya, xb, yb, xc, y C Traitement xa xc x I prend la valeur 2 ya yc y I prend la valeur 2 x prend la valeur 2x I x y prend la valeur 2y I y Sorties Afficher x, y B B

6 6 1 ) a) Faire fonctionner cet algorithme dans chacun des cas ci-dessous ; tracer un repère orthonormé et placer les points A, B, C et. 2; 1 3;1 C 5;4 A, B, A 2;2, B 4; 19, C 1; 1,5 b) Conjecturer le rôle de cet algorithme. c) Prouver cette conjecture. 2 ) a) Traduire cet algorithme par un programme dans le langage de votre calculatrice ou bien réaliser une feuille de calcul avec un tableur. b) Tester le bon fonctionnement du programme ou de la feuille de calcul. Problème n 4 C est un cercle de centre O et A un point extérieur à ce cercle C. On se propose de construire, à la règle et au compas, les tangentes au cercle C issues de A. a) On suppose le problème résolu. Que peut-on dire des quatre points O, P, A et Q? Pourquoi? C et placer le point A, rédiger un b) Tracer le cercle programme de construction des points P et Q cidessus. Construire les droites (AP) et (AQ), et justifier que ces deux droites sont bien tangentes au cercle C. Problème n 5 Voici un algorithme : Entrées. Saisir x, y A Saisir x, y B Saisir xc, y Traitement A B C prend la valeur xb xa yb ya prend la valeur x x y y C A C A Sorties Si 1 2 alors Afficher Sinon Afficher FinSi Afficher 1 2 a) Quel est le rôle de cet algorithme? On a effacer les messages à afficher dans le test «si.alors.sinon». Retrouvez ces messages à propos du triangle ABC. b) Réaliser une feuille de calcul à l aide d un tableur qui traduise cet algorithme, et utiliser si possible l'instruction SI( ; ; ).

7 7 Problème n 6 L algorithme de Syracuse. Entrées. Saisir n ; entier naturel non nul. Traitement Tant que n 1 Si n alors n n prend la valeur 2 Sinon n prend la valeur 3n 1 FinSi Sorties Afficher n FinTantque. Les nombres calculées à partir de n avec cet algorithme forment la suite de Syracuse de n (Remarque : Le premier à s être intéressé à cet algorithme de calcul semble avoir été l Allemand Lothar COLLATZ dans les années Vers 1950, un ami de COLLATZ introduisit le problème à l université de Syracuse (USA). e la est né l une des plus célèbres conjectures mathématiques, connue sous le nom de problème de Syracuse : il semble que pour tout entier naturel non nul choisi, la répétition de ce programme de calcul conduit à 1 après un nombre fini d étapes.) 1 ) a) Vérifier que pour n 6, cet algorithme donne la suite 6 ;3 ;10 ;5 ;16 ;8 ;4 ;2 ;1. b) Quelle suite obtient-on à partir de n 34? de n 75? 2 ) a) ans une feuille de calcul implémenter cet algorithme de la façon suivante. Entrer en A1 la valeur initiale de n. Saisir en A2 une formule permettant de calculer le second nombre de la suite. Recopier en B2 le premier nombre de la suite. Recopier vers le bas les formules saisies jusqu'à la ligne 21. b) Tracer le nuage de points correspondants à la plage A1 :B21. c) Tester le programme avec n 6, puis vérifier qu avec n 19, il faut 21 étapes de calcul. d) Que peut-on remarquer quand au nuage de points?

8 8 I.2 ) LES PROBLEMES. CORRECTIONS. Problème n 1 1 ) a) et b). Placer deux points libres dans le plan, utiliser la fonction polygone régulier (en cliquant sur B puis A puis en saisissant 4 points) pour tracer le carré. Pour placer le point I, utiliser la fonction angle de mesure donnée, cliquer sur C puis sur, et saisir 60 dans le sens antihoraire. Renommer le point par la lettre I? Faire de même pour le point J. Puis on émet la conjecture que les points A, I et J sont alignés en faisant bouger le point A ou le point B. 2 ) Pour démontre cet alignement, on peut utiliser les angles et démontre que AIL 180. Ou alors utiliser les coordonnées dans le repère orthonormé (A ; B, ), et utiliser une fonction affine et aussi le fait que cos , puis sin 60 et tan 60 3

9 9 Problème n 2 1 ) b) EFGH semble être un parallélogramme. c) Il semble possible de choisir ABC de façon a x=ce que EFGH soit un rectangle, un losange ou un carré. 2 ) a) La droite (EF) est la droite qui joint les milieux des cotés [AB] et [ BC] du triangle ABC. Elle est donc parallèle au troisième coté (AC). e même la droite (GH) joint les milieux de deux des cotés du triangle AC, elle est aussi EF // GH. La même 3 ) donc parallèle à (AC). (EF) et (GH) dont donc parallèles à une même droite, d où demonstrandum dans les triangles BC et BA amène le parallélisme des droites (FG) et (HE). b) Le quadrilatère EFGH a ses cotés opposés parallèles deux à deux, c est donc un parallélogramme. // AC B c) Si les diagonales de ABC sont perpendiculaires, alors comme EF AC et EF B. e FG // B découle EF FG, on a. Le parallélogramme EFGH a un angle droit, c est donc un rectangle. AC B Si les diagonales de ABC ont même longueur alors EF FG, donc le parallélogramme a deux 2 2 cotés consécutifs égaux, c est donc un losange. Si les diagonales de ABC sont perpendiculaires et de même longueur (onc si ABC est carré) alors EFHG est à la fois un losange et un rectangle, c est donc un carré. Le parallélogramme EFGH a deux cotés consécutifs de même longueur, c est donc un losange. b) ABC est un losange, donc ses diagonales sont perpendiculaires AC B, or EF // AC et FG // B donc EF FG Le parallélogramme EFGH possède un angle droit, c est donc un rectangle. a) ABC est un rectangle donc ses diagonales on même longueur. AC B Ac Bd ; 2 2 EF EH, F 90. c) Si ABC est un carré alors ABC est à la fois un losange et un rectangle. On en déduit de a) et de b) que le parallélogramme EFGH est lui aussi à la fois un losange et un rectangle, c est donc un carré.

10 10 Problème n 3 1 ) a) x I, 3 2 x I, 1 4 y I ; 10 y I ; 7 x, 2 y x, 19,5 y b) Cet algorithme donne les coordonnées du milieu de [AC], puis celle du point tel que le quadrilatère ABC soit un parallélogramme. c) Si on calcule les coordonnées du point J milieu du segment [B], on obtient x x x 2x x y y y 2y y B B I B xj xi et ) Avec le tableur EXCEL, on obtient y J B B I B yi, donc I et J sont confondus. 2 2 Avec la TI 89. Programme Symetri()

11 11 Problème n 4 a) Le triangle AOP est rectangle en P, donc P est sur le cercle de diamètre [AO]. Et il en est de même pour le point Q, puisque le triangle OAQ est rectangle en Q. onc les quatre points o, P, A et Q sont sur le cercle de diamètre [AO]. b) Construire la médiatrice du segment [AO] afin de déterminer le point I milieu de [AO]. Tracer alors le cercle de centre I et de rayon [IA]. Noter P et Q les points d intersection des deux cercles. Construire alors les droites (AP) et (AQ). Elles sont bien tangentes au cercle C parce qu elles sont perpendiculaires à un rayon de C en leur point de contact. Ce qui donne avec un logiciel de géométrie dynamique la figure suivante. Problème n 5 a) Cet algorithme calcule puis compare les longueurs AB et AC. Si AB = AC, alors le programme doit afficher que le triangle ABC est isocèle en A, sinon il doit afficher que le triangle ABC n est pas isocèle en A. Puis il affiche l écart relatif entre ces deux longueurs AB et AC. b) Voir feuille de calcul cidessus.

12 12 Problème n ) a) La suite est vérifiée 3;3 3110; 5;5 3116; 8; 4; 2; b) La suite obtenue à partir de n 34 est 34;17;52;26;13;40;20;10;5;16;8;4;2;1. et celle obtenu à partir de n 75 est 75;226;113;340;170;85;256;128;64;32;16;8;4;2;1. 2 ) a) et b). a) On remarque que le nuage présente deux séries de points alignés. Le nombre de points sur la droite de plus faible pente correspond au nombre de nombres impairs rencontrés (le 1 final compris) dans la suite de Syracuse du nombre choisi.

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