Domaines de définition.
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- Gilbert Lepage
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1 Domaines de définition. Le domaine de définition d une fonction f c est l ensemble des nombres pour lesquels on peut calculer f(). Pour un élève de terminale seules trois choses sont impossibles et peuvent interdire le calcul de f() : diviser par 0 ; prendre la racine carrée d un nombre strictement négatif ; prendre le logarithme d un nombre négatif ou nul. C est tout! Eemple π. 1, 03 f(0) = π 1,03 0, 9π, on peut calculer f(0). Le nombre 0 est donc bien dans le f(0, 4) = 0,4 8 0,4+π 0,4 1,03 1, , 51π, on peut calculer f(0, 4). Le nombre 0, 4 est donc bien dans le f( 10) = ( 10) 8( 10)+π 10 1,03 0, 090π 5, 385, on peut calculer f( 10). Le nombre 10 est donc bien dans le f(1, 03) = 1,03 8 1,03+π 0, c est impossible on ne peut pas diviser par 0. On ne peut pas calculer f(1, 03). Le nombre 1, 03 n est donc pas dans le domaine de définition de f. Eemple , Il n y a pas de dénominateur susceptible de s annuler : il y a bien une fraction mais 51 ne peut pas être égal à 0. Il n y a pas de racine carrée dont le contenu serait susceptible d être strictement négatif : il y a bien 1, 45 mais 1,45 est positif. Le domaine de définition de f est donc R. Eemple Lorsqu on calcule f() le seul problème qui puisse se poser c est la division par 0 puisqu il n y a ni racine carrée, ni logarithme. 1 0 c est à dire que 1. Le domaine de définition est donc l ensemble de tous les nombres réels sauf 1, ce que l on note R \ {1}. Remarques : (a) Ce que fait le numérateur n a aucune importance. Que 6 + soit positif, négatif ou nul n empêchera pas de calculer f(). Par eemple : 1
2 f( 6) = = 0 5 = 0, on peut calculer f( 6) et le résultat est 0. Le nombre 6 est donc bien dans le f(1, 1) = 6+1,1 1,1 1 =,1 0,1 = 1, on peut calculer f(1, 1). Le nombre 1, 1 est donc bien dans le f( 1, 1) = 6 1,1 1,1 1 = 4,9,1 = 3, on peut calculer f( 1, 1). Le nombre 1, 1 est donc bien dans le f(0) = = 6, on peut calculer f(0). Le nombre 0 est donc bien dans le (b) Le signe de 1 n a aucune importance. Ce qui n est pas possible c est de diviser par zéro, mais diviser par un nombre strictement positif ou par un nombre strictement négatif est tout à fait possible. Eemple Dans cette formule il n y a ni fraction dont le dénominateur pourrait être égal à 0 (dans 11 1 le dénominateur est fié, c est 1 et 1 ce n est pas 0), ni racine carrée qui pourrait contenir un nombre strictement négatif (il y a bien une racine carrée mais elle contient et ce n est pas un nombre strictement négatif), ni logarithme qui pourrait contenir un nombre négatif ou nul. On peut donc calculer f() pour n importe quel nombre réel. Le domaine de définition est R. Eemple c est à dire 8. Le domaine de définition est donc R \ {8}. Eemple le contenu de la racine carrée, c est à dire 5, soit positif ou nul. Or Le domaine de définition de f est donc ] ; 5]. Remarques : (a) Ce n est pas qui doit être positif ou nul, c est le contenu de la racine carrée en bloc. (b) f(5) = 5 5 = 0 = 0, on peut calculer f(5). Le nombre 5 est donc bien dans le Eemple.. Il faut et il suffit pour que l on puisse calculer f() que l on ait simultanément : 0 (pas de division par 0) ; 0 (pas nombre strictement négatif dans une racine). D une part : 0. D autre part : 0 > 0 <. En conclusion : le domaine de f est l ensemble ] ; [.
3 Eemple Le contenu de la racine carrée doit être positif ou nul. Comme le signe de 9 1 pas au yeu, faisons un tableau de signes : Conclusion : le domaine de définition de la fonction f est [ 3; 1[ ]1; 3]. ne saute Eemple Il faut et il suffit pour que l on puisse calculer f() que l on ait simultanément : (pas de division par 0) ; (pas nombre strictement négatif dans une racine) est forcément strictement positif, donc a fortiori différent de 0 puisque c est la somme d un nombre strictement positif : et d un nombre positif ou nul équivaut à 4. Conclusion : le domaine de définition de f est [ 4; + [. Eemple { et. Le domaine de définition de f est donc R \ {8; }. Eemple { et en même temps. C est impossible, le domaine de définition de f est donc. Eemple { et en même temps. Le domaine de définition de f est donc [; + [. Eemple { et en même temps. Le domaine de définition de f est donc [8; ]. 3
4 Eemple Le domaine de définition de f est donc [ 5; 5]. Eemple Le domaine de définition de f est donc ] ; 5] [ 5; + [. Eemple { 5 0. La deuième contrainte est toujours satisfaite puisque + 3 est la somme d une nombre positif ou nul et d un nombre strictement positif 3. Le domaine de définition de f est donc [ 5; 5]. Eemple 1. ln(3 ). 3 > 0. Le domaine de définition de f est donc ] 3 ; + [. Eemple 18. ( ) 1 = ln > 0. Le signe de 1+ est : { 1 + > 0 0. On a 1 + > Le domaine de définition de f est donc ] ; 1 [ ]0; + [. Eemple 19. Comparons les domaines de définition de ln( + ) ln( ) et g() = ln ( ) +. définition de f est donc ]; + [. { + > 0 >. Le domaine de 0 4
5 { + Pour qu on puisse calculer g() il faut et il suffit que 0 +. Le signe de 0 est Le domaine de définition de g est donc ] ; [ ]; + [. Il est vrai que si est à la fois dans le domaine de définition de f et dans le domaine de définition de g on a ( ) + ln( + ) ln( ) = ln = g(). Mais ceci n est vrai que si est à la fois dans le domaine de définition de f et dans le domaine de définition de g. On ne peut pas transformer f ou g avant d avoir déterminer leurs domaines de définition. 5
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