Introduction. In 1938, Claude Shannon, a montré l utilisation de l algèbre de Boole dans l étude des circuits à base de relais.

Transcription

1 Inroducion. Les circuis numériques (digiau, logiques) de la parie maérielle de la machine à informaion son conçus e leurs comporemens analysés en uilisan une branche des mahémaiques appelée Algèbre de Boole, enhommage à Georges Boole, un mahémaicien briannique ( ), qui a écri en 1854 son célèbre ouvrage «An Invesigaion of he Laws of Though on Which o Found hemahemaical Theories of Logic andprobabiliies». In 1938, Claude Shannon, a monré l uilisaion de l algèbre de Boole dans l éude des circuis à base de relais. Puis les ravau de Claude Shannon furen adapés à l éudes des circuis de l élecronique numérique (digiale). L algèbre de Boole, de nos jours es uilisée dans l élecronique digiale pour: L analyse: ouil formel pour décrire le foncionnemen des circuis digiau. La concepion: Paran de la foncion dun d un circui, l algèbre lalgèbre de Boole perme d arriver à une réalisaion simplifiée (implémenaion) de ce circui. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 1

2 Inroducion. Comme oue aure algèbre, celle de Boole manipule des grandeurs représenées par des symboles (les variables) selon des opéraions pour produire des foncions. Les variables e les foncions prennen des valeurs dans l ensemble [0, 1]. Variable logique variable binaire variable Booléenne. Une variable logique modélise un sysème qui ne doi avoir que deu éas el un inerrupeur par eemple. Une foncion logique (ou Booléenne) es le résula d une combinaison (selon des opéraions) des n variables. Une foncion logique es enièremen définie par la donnée de ses valeurs pour les 2 n combinaisons possibles des n variables. Cee définiion se radui par la able de vérié de la foncion. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 2

3 Table de vérié. Table de vérié d une foncion logique ( la TV). A B C F(A,B,C) Une foncion logique es égalemen enièremen définie par son epression algébrique (que nous verrons plus loin). Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 3

4 Une foncion logique modélise la sorie d un sysème qui ne peu êre que dans deu éas. Le rappor enre les circuis numériques e l algèbre lalgèbre de Boole es el que: Les enrées du circui son les variables. La (ou les) sorie du circui es (son) la foncion (les foncions). Le conenu du circui "calcule" l epression de la ( ou des) foncion(s). L éa binaire i (0 e 1) aussi bien des enrées é que des sories son concréisés par deu e seulemen deu niveau de ensions élecriques. Les opéraions de base (égalemen appelées opéraeurs de base ou foncions de base) son: Le ET logique (produi), le OU logique (somme) e le NON logique ou complémenaion. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 4

5 a1 a0 b1 b0 S eemples de sysèmes. Eemple 1: un circui qui réalise la able d addiion du cours précéden. Il génère une somme e une reenue sorane. a b s r Nous avons, ici, deu foncions s(a,b), la somme r(a,b), la reenue Eemple 2: un circui comparaeur de deu nombre sur deu bis chacun. Le nombre A(a1a0) e B(b1b0). La sorie es à 1 si A=B, 0 sinon. S(a1,a0,b1,b0). a0 b0) Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 5

6 Opéraions logiques de base (ET, OU, NON). Les opéraions ( ou opéraeurs) ET (AND), OU (OR) e NON (NOT). Leurs écriures algébriques (dies aussi epressions algébriques ou foncions de base) : F = AB A.B, F = A+B, F= A e se lisen (A e B), (A ou B) e (A barre). Leurs ables de vérié e leurs symboles logiques. A B F = AB A.B A B F= A+B A F = A A A F = A.B F = A + B A B B Les opéraeurs AND e OR peuven avoir plus de deu enrées. _ F = A Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 6

7 Théorèmes Fondamenau. Théorème Forme Somme logique Forme Produi logique Elémen absorban A + 1 = 1 A. 0 = 0 Elémen neure A + 0 = A A. 1 = A Complémenaion A + A = 1 A. A = 0 Idempoence A + A = A A. A = A Associaivié (A+B)+C = A+(B+C) = A+B+C (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C Commuaivié A+B = B+A A.B = B.A Disribuivié A.(B+C) = A.B + A.C A+(B.C) = (A+B).(A+C) Absorpion A+A.B = A A.(A+B) = A Simplificaion A + A.B = A + B A.(A + B ) = A.B Involuion Lois de De Morgan A + B = A. B = A = A A.B = A + B Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 7

8 epression algébrique ou logique d une foncion Booléenne. Décomposiion de Shannon: On peu aisémen vérifier que: F(A,B,C) = A.F(1,B,C) + A.F(0,B,C) F(A,B,C) = A.[ [ BF(C) B.F(1,1,C) + B.F(1,0,C)] BF(C)] + A.[B.F(0,1,C) F(C) + B.F(0,0,C)] BF(00C)] = A.[ B[C.F(1,1,1) + C.F(1,1,0)]+ B.[C.F(1,0,1) + C.F(1,0,0)] ] + A.[B.[C.F(0,1,1) +C.F(0,1,0)]+ B.[C.F(0,0,1)+ C.F(0,0,0]] F(A,B,C) = A.B.C.F(1,1,1) ABCF(1)+ ABCF(0)+ A.B.C.F(1,1,0) ABCF(1)+ A.B.C.F(1,0,1) ABCF(0) A.B.C.F(1,0,0) + A.B.C.F(0,1,1) + A.B.C.F(0,1,0) + A.B.C.F(0,0,1) + A.B.C.F(0,0,0) Pour Trouver l epression algébrique de f(a,b,c) il suffi de remplacer les F(i,j,k) par leurs valeurs Zéro ou Un de la able de vérié. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 8

9 Eemple d epression algébrique à parir d une TV. Soi une foncion logique, définie par la able de vérié suivane. Quelle es son epression algébrique? A B C F(A,B,C) F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C F es appelée foncion majorié. Toue foncion logique s eprime au moyen des rois opéraeurs ET, OU, NON. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 9

10 Schéma logique d une foncion. Schéma logique de la foncion majorié: F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1

11 Circuis MSI Pores logiques. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1

12 Somme de produis ou produi de sommes. La foncion F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C es appelée somme de produis Les produis A.B.C, A.B.C, A.B.C e A.B.C son appelés les minermes. Un minerme es un produi logique qui compore oues les variables ou leurs complémens. Si on numéroe les minermes, il y a une aure forme plus condensée pour eprimer une foncion. Eemple f(a,b,c) = Σ (3, 5, 6, 7). Il eise une aure forme d epression de la foncion, celle die produi de sommes où ces sommes son appelées des maermes. Cee dernière forme peu êre obenue de la able de vérié en ajouan une colonne F(A,B,C). Puis écrire l epression de F(A,B,C) sous forme de somme de Produis. Puis appliquer une des lois de De Morgan. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 12

13 A B C F(A,B,C) Algèbre de Boole: Produi de sommes. F(A,B,C) F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C =(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C) F(A,B,C) = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C) produi de sommes. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 13

14 prioriés des opéraions. Précédence des opéraions (priorié des opéraeurs) Pour évaluer une epression logique gq (Foncion logique): gq On évalue, d abord, les sous epressions enre les parenhèses; Effecuer la complémenaion; Faire le produi; + Enfin, faire la somme. (), NON, ET, OU Eemple: F(A,B,C) = (A.B). (C + B) + A.B.C Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 14

15 Opéraeurs NON ET (NAND) e NON OU (NOR). F = A.B = (A B), F = A+B = (A B), se lisen (A NAND B), (A NOR B). Leurs ables de vérié e leurs symboles logiques. A B F = A.B A B F = A+B A A F=A.B F =A+B B B Les opéraeurs NAND e NOR peuven avoir plus de deu enrées. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 15

16 Opéraeurs NON ET (NAND) e NON OU (NOR). Les opéraeurs NAND e NOR son commuaifs mais non associaifs. De même que le groupe (ET, OU, NON) a permis d écrire n impore quelle epression Booléenne (on di que ET, OU, NON consiuen un groupe comple), le NAND à lui ou seul e le NOR à lui ou seul consiuen chacun un groupe comple En effe chacun des opéraeurs du groupe (ET, OU, NON) peu s eprimer au moyen de NAND eclusivemen ou de NOR eclusivemen. A = A.A = (A A). A = A+A = (A A). AB A.B = A.B AB = (A B) = (A B) (A B). A+B = A+B = (A B) = (A B) (A B). Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 16

17 Les opéraeurs OU Eclusif (XOR) NON OU eclusif (XNOR). F = A B = AB+ A.B A.B AB, se li (A ou eclusif B). F = A B = A.B + A.B, se li (A ou eclusif B, complémené). Leurs ables de vérié e leurs symboles logiques. A B F = A B A B F = A B A A F = A B F = A B B B Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 17

18 L opéraeur OU Eclusif (XOR), propriéés. L addiion modulo 2 es une applicaion direce du ou eclusif. Le ou eclusif complémené é es à la base de la comparaison enre deu nombres. Le ou eclusif enre 3 variables y z n es nes pas défini. Il n eise neise que par pair. C es soi ( y) z ou bien (y z), ce qui es idenique. le ou eclusif es à la base de la généraion des bis dis de parié. Le ou eclusif peu servir pour cryper: (m k) k = m m éan le message à cryper, k la clé de crypographie. = 0 Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 18

19 Simplificaion des foncions logiques. Pourquoi minimiser les foncions logiques? Moins de composans signifie moins d espace, moins de consommaion e coû moindre. L idée es, paran de l équaion brue irée de la able de vérié, arriver à une epression algébrique conenan moins de produis (cas de somme de produis) ou moins de sommes (cas de produi de sommes) e dans chacun des ermes, moins de variables. Il eisen diverses méhodes, parmi lesquelles: La méhode odeagéb algébrique. La méhode uilisan les ableau de Karnaugh. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 19

20 Méhode algébrique. 1) Méhode algébrique. Consise principalemen p à employer e irer profi des héorèmes fondamenau de l algèbre de Boole, sans démarche sysémaique. Des règles, comme les suivanes, peuven servir à simplifier: A + A A = A A A A + A.B = A + A. B = A + B. B + A. B ( A + B). ( A A. ( A + A. ( A + B) B) = B + B ) = = A = A. B A Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 20

21 Méhode algébrique. Eemple 1: idempoence Reprenons la foncion majorié donnéeprécédemmen: F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C On peu l écrire lécrire comme sui: F(A,B,C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C F(A,B,C) = B.C(A + A) + A.C.(B + B) + A.B.(C + C) Ce qui donne: F(A,B,C) = A.B AB+ BC+ B.C AC A.C Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 21

22 Méhode algébrique. Ce qui donne le circui suivan: A comparer à celui ci conre de la dernière fois. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 22

23 Méhode algébrique. Eemple 2: regroupemen de ermes. ABC + AB C + A B CD = AB (C + C ) + = AB + A B CD = A ( B + B (CD)) = = A ( AB B + + CD) ACD A B CD Eemple 3: parfois il es avanageu de rechercher h le complémen de la foncion. F ( A F(A, F(A,, B, B, B, C C) C) ) = = = (1, 3, ( F(A, 0,2) B, 4 =,5, 6 = = C) A A, 7 A. =. C. ) C A B ( = +. B C A C = B) A C A. + B C.C Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 23

24 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Cee méhode eploie l idenié A.X + AX = A Elle consise à mere en évidence par un procédé graphique ous les ermes produis d une foncion qui ne diffèren que par l éa d une seule variable: Termes dis ADJACENTS. les deu produis car ils yz e yz ne diffèren que par. on a : yz + yz = yz.( + ) = son adjacens. yz Si une foncion dépend de n variables, elle a au plus 2 n minermes (produis). Chaque minerme es représené par une case d un ableau, consrui de elle manière que les lignes soien adjacens enre elles e les colonnes adjacenes enre elles. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 24

25 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Consrucion de ableau d une foncion à deu variables. y y 0 0 y 1 y y 1 y 1 y y Eemple: 1 y F(,y) F(, y) =.y +.y y y Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 25

26 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Consrucion de ableau d une foncion à rois variables. y 00 z 0 y z y z y z y z z 1 y z y z y z y z y y y On vérifie qu on passe d une colonne à la suivane en ne changean qu une seule variable. Ceci es égalemen valable pour les lignes. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 26

27 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Consrucion de ableau d une foncion à quare variables. y y z y z y z y z z z y z y z y z y z y y z z y z y z z y z y z y z y z y y y On vérifie qu on passe d une colonne à la suivane en ne changean qu une seule variable. Ceci es égalemen valable pour les lignes. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 27

28 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Passage de la able de vérié au ableau de Karnaugh. Ce passage consise à écrire les "1" de la TV dans les cases correspondanes du TK y z F(,y,z,) y z Tableau de Karnaugh de F(,y,z,). Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 28

29 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. La Mehode de Karnaugh. On ransforme la TV en un TK. On s inéresseaucases peuplées de "1". On essaye de consiuer des groupemen de cases adjacenes conenan le maimum de ermes possibles: d abord 16, puis 8, puis 4, puis 2, puis 1. On doi uiliser ous les ermes. Les mêmes ermes peuven pariciper à plus de un groupemen. L epression finale es la somme logique (OU) des groupemens rouvés. Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 29

30 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Eemple 1: y Le groupemen des quare "1" donne: z Legroupemen des deu "1" donne: y z 1 1 Donc la foncion simplifiée es z + y z z Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 30

31 Eemple 2: Le groupemen des quare "1" du cenre donne: Algèbre de Boole: Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. y Le groupemen des quare "1" des coins donne: y z y Donc la foncion simplifiée es: 1 1 y + y Ce qui peu encore s écrire: y 1 1 Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 31

32 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Eemple 3: Le groupemen des hui "1" du cenre donne: Le groupemen des quare "1" donne: y 00 z y Donc la foncion simplifiée es: y Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 32

33 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Eemple 4: Eemple 5: z 00 y z y + y + y Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 33

34 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Eemple 6: Eemple 7: z 00 y z y y f(, y,z, ) = 1 Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 34

35 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Eemple 8: Eemple 9: z y y z y + z y + y + y z + y + y z Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 35

36 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Tableau de Karnaugh à 5 variables: Ce qui es indiqué dans les cases c es les numéros des minermes. abc abc de de Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 36

37 Méhode abulaire, ableau de Karnaugh. Tableau de Karnaugh à 5 variables b b b a a d d de e e e c c c c c Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 37

38 Les minermes ou min ermes. Programmable Array Logic (PAL) Réseau logiques programmables Ocobre 24 Archiecure des ordinaeurs 1 38