Approximations comonotones pour le prix d une option d achat Européenne en présence de dividendes discrets

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1 Approximations comonotones pour le prix d une option d achat Européenne en présence de dividendes discrets - Pierre-Alain PATARD (Université Lyon 1, Laboratoire SAF, CMCIC, Asset Management) - Jean Claude AUGROS (Université Lyon 1, Laboratoire SAF, directeur ISFA) (WP 2045) Laboratoire SAF 50 Avenue Tony Garnier Lyon cedex 07

2 Approximations comonotones pour le prix d une option d achat Européenne en présence de dividendes discrets. Pierre-Alain Patard Jean-Claude Augros y Université de Lyon, Lyon, F-69007, France ; université Lyon 1, Ecole ISFA, Lyon, F-69007, France. 7 janvier 2008 Résumé Cet article traite du problème de l évaluation d une option d achat Européenne en présence de dividendes discrets. L objectif est d établir une formule fermée qui permette (i) d approcher le prix de l option avec une précision accrue par rapport aux approximations existantes et (ii) de déterminer le Delta et le Gamma de l option sous une forme explicite. Les auteurs montrent que, lorsque les montants de dividendes sont connus à l avance, le problème consistant à déterminer le prix de l option revient à calculer la transformée stop-loss d une somme de variables aléatoires lognormales dépendantes. Ils appliquent alors les résultats de la théorie actuarielle des risques comonotones pour établir des bornes déterministes qui encadrent le prix de l option puis, en combinant ces bornes, ils obtiennent une nouvelle approximation particulièrement précise. Les expressions du Delta et du Gamma associés à chacune des approximations proposées sont alors calculées explicitement. La qualité des approximations construites est alors mesurée par des tests numériques et les résultats obtenus sont comparés avec les autres méthodes de la littérature. Mots-Clefs : Dividendes discrets, Black-Scholes, formule fermée, transformée Stop-Loss, somme de variables lognormales dépendantes, risques comonotones, ordre convexe. Pierre-Alain Patard est actuaire de l Institut de Science Financière et d Assurances, Université Claude Bernard Lyon 1, 50 Avenue Tony Garnier, Lyon Cedex 7 et Co- Responsable de la Gestion Quantitative chez CMCIC-Asset Management, 4 rue Gaillon, Paris. Contact : y Jean-Claude Augros est Directeur de l Institut de Science Financière et d Assurance, Université Claude Bernard Lyon 1, 50 Avenue Tony Garnier, Lyon Cedex 7 et Professeur de nance à l Université Claude Bernard Lyon 1. Contact : 1

3 Abstract This article deals with the European call option-pricing problem when the underlying stock pays discrete cash dividends. The objective is to derive analytical approximations of the option price which are more accurate than the other existing approximations and for which the Delta and the Gamma of the option can be computed in an explicit form. The authors show that, when the dividend amounts are known in advance, the computation of the option price turns out to be equivalent to calculating the stop-loss transform of a sum of dependent lognormal random variables. They apply the actuarial results of the comonotonic theory to derive analytical upper and lower bound for the option price then, by combining these bounds, they derive a new particularly accurate approximation. They show that the Delta and the Gamma associated with each comonotonic approximation can be calculated explicitly. Numerical tests are performed to measure the quality of these new approximations and the results are compared with other methods of the literature. Keywords : Discrete cash dividends, Black-Scholes, closed-formula, Stop-Loss transform, sum of dependant lognormal variables, comonotonic risks, convex order. Disclaimer Les idées et les opinions exprimées dans ce document sont celles des auteurs et ne re ètent pas nécessairement la position de CMCIC-Asset Management. 1 Introduction Les actions procurent deux types de revenus à leurs détenteurs : la plus-value, matérialisée par la di érence positive entre l achat et la vente de titres, et le dividende qui représente la part des béné ces (ou des réserves) de l entreprise versée avec une certaine fréquence (trimestrielle, semestrielle, annuelle ou irrégulière) aux actionnaires. Le dividende est un moyen pour une société de rémunérer et de déliser les investisseurs qui ont pris le risque de participer au capital sur le long terme. Lors de la distribution d un dividende, le cours de bourse de l action chute d un montant égal au dividende unitaire mis en paiement par la société, et l actionnaire est crédité de ce même montant. En conséquence, le versement d un dividende ne modi e pas la richesse globale de l actionnaire. En revanche, le prix d une option sur action est modi é par les versements de dividendes au cours de la vie du produit, car son payo nal ne dépend que de l évolution (ou du niveau) du cours de bourse. Il est donc nécessaire de tenir compte des dividendes dans les modèles de marché utilisés pour évaluer les produits dérivés écrits sur des actions ou des indices boursiers. Dans la littérature académique, la question des dividendes est généralement résolue en introduisant un taux de dividende déterministe, continu (Merton 2

4 1973) ou discret (Björk 2004), dans le terme de dérive du processus de prix du sous-jacent, ce qui revient à considérer que les montants de dividendes futurs sont proportionnels au cours de l actif. Cette approche, initiée par Merton simultanément aux travaux de Black et Scholes (1973), était à l origine un arti ce calculatoire permettant d incorporer les dividendes futurs dans le modèle de Black et Scholes tout en préservant l hypothèse d une di usion lognormale des prix futurs du sous-jacent, hypothèse fondamentale sur laquelle repose l existence des formules analytiques pour le prix et les paramètres de couverture des options Européennes. Dans la réalité des marchés nanciers, les dates de distribution et les montants de dividendes futurs sont connus plusieurs mois à l avance, de sorte que les intervenants (traders, market-makers, gérants de fonds) préfèrent raisonner, non pas en termes de taux de dividende, mais plutôt en termes de montants de dividende distribués à des dates discrètes, ce qui revient à introduire des sauts déterministes dans le processus de prix, chaque saut représentant une distribution de dividende. Supposons que l actif détache m dividendes (notés D 1 ; : : : ; D m ) aux dates discrètes t 1 < < t m dans la période ]0; T [. Une méthode naturelle pour incorporer cette chronique de dividendes discrets dans l évolution des cours consiste à supposer que le processus de prix chute d un montant égal au dividende mis en paiement aux dates t i et qu il suit un mouvement Brownien géométrique entre deux dividendes consécutifs. Autrement dit, les prix futurs de l actif évoluent sous la probabilité risque-neutre Q selon l équation di érentielle stochastique suivante (Frishling 2002) : ds t = rs t dt + S t dw t m D i (t t i ) ; S 0 > 0; (1.1) où r 0 et > 0 désignent respectivement le taux sans risque dans l économie du produit et la volatilité du sous-jacent (supposés constants), (W t ) est un mouvement Brownien standard sous la mesure Q et (t t i ) est la mesure de Dirac en t i. Ce modèle donne une représentation réaliste du comportement des prix ; par contre, il ne permet pas d évaluer facilement les options vanilles de type Européen. En e et, on démontre que le cours de l actif à la date d échéance de l option T est une combinaison linéaire de variables aléatoires lognormales (Frishling 2002) : m S T = S 0 e (r 2 =2)T +W T D i e (r 2 =2)(T t i)+(w T W ti ) : (1.2) La loi lognormale ne possédant aucune propriété d additivité, la distribution de S T n admet pas de forme explicite et, dans ces conditions, on ne sait pas résoudre analytiquement la formule générale du prix d un call Européen d échéance T et de strike K : h C = e rt E (S T K) +i ; (x) + def = max (x; 0) ; (1.3) 3

5 où E [:] désigne l opérateur espérance sous la mesure risque-neutre Q. Dans ce cas, le prix de l option doit être estimé par une méthode d intégration numérique telle que la méthode de Monte Carlo, qui nécessite un temps de calcul d autant plus important que l on souhaite obtenir un résultat précis. Malgré cet inconvénient, le modèle dé ni par (1.1) reste un choix privilégié pour les praticiens. C est pourquoi les spécialistes ont développé di érentes formules pour approcher le prix des options vanilles sans devoir implémenter une résolution numérique lourde. La plupart des approximations proposées dans les publications consistent à appliquer la formule de Black et Scholes (1973) et Merton (1973) pour les options Européennes en l absence de dividende 1, mais en modi ant certains paramètres en fonction de la chronique des dividendes futurs. Black (1975, p. 41) suggère d appliquer la formule (A.1) en corrigeant le cours initial S 0 d un montant égal à la valeur actuelle des dividendes futurs. Cette approche a l avantage d être simple, mais elle sous-estime les prix des calls Européens de manière systématique et conduit à des erreurs signi catives (voir Frishling 2002, Haug 2007). Dans une série de publications datant du début des années 2000, certains auteurs ont envisagé la possibilité d améliorer l approche de Black jugée insatisfaisante. Beneder et Vorst (2001) puis Bos, Gairat et Shepeleva (2003) combinent l ajustement proposé par Black avec une correction du paramètre de volatilité, tandis que Bos et Vandermark (2002) corrigent simultanément le cours initial S 0 et le prix d exercice K par des sommes pondérées des dividendes futurs actualisés. Dans l ensemble, les formules obtenues par ces di érents procédés 2 donnent des résultats plus précis que l ajustement envisagé par Black, mais étant donné qu elles reposent essentiellement sur des considérations empiriques, elles peuvent conduire à des prix arbitrables ou trop éloignés des prix observés et ne permettent pas de contrôler l erreur commise (voir Haug, Haug et Lewis (2003) pour une discussion sur ce sujet). Partant de cette observation, Haug et al. (2003) ont proposé un cadre d analyse rigoureux pour le traitement des options en présence de dividendes discrets. Leur approche repose sur une modélisation consistante de la dynamique des cours qui intègre la politique de dividende de la rme. Cependant, elle ne permet pas d obtenir des formules analytiques fermées pour les options Européennes et les auteurs donnent un algorithme permettant d approcher le prix cherché par des intégrations numériques successives. Ce point restreint, selon nous, la portée opérationnelle du modèle. Cet article s inscrit dans un contexte où les approximations existantes ne constituent que des solutions partiellement satisfaisantes du traitement des options Européennes en présence de dividendes discrets et notre objectif est d obtenir, par des raisonnements mathématiques rigoureux, une formule fermée qui permette (i) d approcher le prix de l option avec une précision accrue par rapport 1 Voir annexe A, paragraphe A.1. 2 Voir annexe A pour une description détaillée des formules. 4

6 aux méthodes discutées auparavant et (ii) de déterminer les sensibilités de l option par rapport au sous-jacent (i.e. le Delta et le Gamma) sous une forme explicite, ce dernier point n étant pratiquement jamais abordé par les concepteurs des modèles existants. Nous supposons que la dynamique du sous-jacent est dé nie par (1.1), ce qui implique que le cours à l échéance S T est donné par la formule (1.2) et, sous cette hypothèse, nous montrons que le problème initial consistant à résoudre l équation (1.3) revient à calculer la transformée stop-loss d une somme de variables aléatoires lognormales dépendantes. Nous pouvons alors appliquer les résultats de la théorie actuarielle des risques comonotones pour établir des bornes déterministes qui encadrent le prix de l option (voir Dhaene, Denuit, Goovaerts, Kaas et Vyncke 2000a, 2000b ou Vanduffel 2005) puis, en combinant ces bornes selon un procédé suggéré par Vyncke, Goovaerts et Dhaene (2004), nous obtenons une nouvelle approximation particulièrement précise. Notre travail est organisé selon le schéma suivant : dans la section 2, nous rappelons quelques résultats de la théorie des risques comonotones nécessaires pour mener notre étude, puis nous les utilisons pour approcher les transformées stop-loss d une somme de variables aléatoires lognormales dépendantes. Dans la section 3, nous transformons le problème initial pour pouvoir appliquer les formules de la section précédente et obtenir ainsi trois approximations analytiques pour le prix du call Européen. Nous en déduisons par ailleurs les expressions du Delta et du Gamma associés à chacune des approximations proposées. Dans la section 4, nous e ectuons des tests numériques pour mesurer la qualité des approximations construites dans la section précédente, puis nous comparons les résultats obtenus avec les autres méthodes de la littérature. La conclusion de l article est donnée dans la section 5. 2 Approximations comonotones d une somme de variables aléatoires lognormales dépendantes Dans ce paragraphe nous montrons comment approcher la loi de probabilité d une somme de variables aléatoires lognormales dépendantes. 2.1 Ordre convexe sur les variables aléatoires Soit une variable aléatoire réelle intégrable (i.e. E [jj] < +1). On appelle transformées stop-loss de au seuil d les quantités suivantes : SL c (d) = E h( d) +i h et SL p (d) = E (d ) +i ; d 2 R: Les exposants "c" et "p" signi ent respectivement que la transformation est de type "call" ou de type "put". En e ectuant une intégration par parties (cf. Dhaene et al. 2000a), on peut établir les formules suivantes : SL c (d) = Z +1 d F (x) dx; SL p (d) = Z d 1 F (x) dx; (2.1) 5

7 où F et F = 1 F désignent respectivement la fonction de répartition et la fonction de survie de. Ces formules prouvent que SL c et SL p quanti ent respectivement les poids des queues de distribution droite et gauche de, c està-dire les risques associés à. Une conséquence de cela est qu il est possible de comparer des variables entre elles par l intermédiaire des transformées stop-loss. Dé nition 2.1 Soit et Y deux variables aléatoires réelles. On dit que est inférieure à Y au sens de l ordre convexe et l on note cx Y, si et seulement si pour tout d 2 R on a : SL c (d) SL c Y (d) et SL p (d) SLp Y (d) : (2.2) D après cette dé nition, cx Y signi e que présente des queues de distribution moins épaisses que Y, i.e. est moins "risquée" que Y. On peut montrer que la relation (2.2) implique E [] = E [Y ] ; en revanche, elle n implique pas l égalité des moments du second ordre (voir Dhaene et al. 2000a). Plus précisément, on a le résultat suivant (cf. Kaas, Dhaene et Goovaerts 2000) : cx Y si et seulement si E [h ()] E [h (Y )] pour toute fonction convexe h telle que h () et h (Y ) soient intégrables. En appliquant cette proposition à la fonction convexe x! x 2, on en déduit que si cx Y, alors E 2 E Y 2. Comme E [] = E [Y ], il vient Var [] Var [Y ]. 2.2 Sommes comonotones Dé nition 2.2 Des variables aléatoires réelles 1 ; : : : ; s de fonctions de répartitions respectives F 1 ; : : : ; F s sont dites comonotones si et seulement si ( 1 ; : : : ; s ) 0 F 1 1 (U) ; : : : ; F 1 s (U) 0 avec U U (0; 1) : (2.3) Le symbole "" signi e "a même loi que" et F 1 i désigne la fonction quantile de i. Dans ce cas, la somme = s est appelée somme comonotone. La comonotonie est une structure d extrême dépendance positive entre des variables. En e et, les risques individuels des composantes sont contrôlés par une source de hasard unique (la variable uniforme U) et les marginales F 1 i (U) varient dans le même sens lorsque U est modi ée, ce qui explique le sens du terme comonotone (monotonie commune). Les sommes comonotones possèdent des propriétés intéressantes que nous donnons ci-dessous et dont on peut trouver les démonstrations dans les travaux de Dhaene et al. (2000a) ou de Vanduffel (2005). Dans ce qui suit, est une somme comonotone de fonctions de répartition marginales F i. Proposition 2.1 La fonction quantile de est donnée par la formule : F 1 (u) = F 1 i (u) ; 0 < u < 1: (2.4) 6

8 De plus, lorsque les F i sont bijectives, alors F 1 est bijective et, dans ce cas, la fonction de répartition de est entièrement déterminée par la relation : F 1 (F (x)) = x () F 1 i (F (x)) = x; x 2 R: (2.5) Etant donné que la fonction x! max (x; 0) n est pas une fonction linéaire de x, la transformée stop-loss (SL c ou SL p ) n est pas un opérateur linéaire sur l ensemble des variables aléatoires. Toutefois, dans le cas des sommes comonotones, on a le résultat suivant : Proposition 2.2 Lorsque les fonctions de répartition marginales F i sont bijectives, les transformées stop-loss de sont données par les formules suivantes : SL c (d) = SL c F 1 i (U) (d i) ; SL p (d) = SL p (d F 1 i (U) i) ; (2.6) où d i = F 1 i (F (d)), i = 1; : : : ; s. La transformée stop-loss d une somme comonotone est donc égale à la somme des transformées stop-loss de ses composantes évaluées en des seuils d i spéci ques. Notons que la formule (2.5) implique la relation suivante : d i = F 1 i (F (d)) = d: (2.7) 2.3 Approximations au sens de l ordre convexe Encadrements comonotones La proposition suivante montre comment encadrer les transformées stop-loss d une somme de variables aléatoires quelconques. Le lecteur en trouvera une démonstration dans Kaas et al. (2000), Dhaene et al. (2000a) ou Vanduffel (2005). Proposition 2.3 Soit = P s i une somme de variables aléatoires éventuellement dépendantes et dé nies par leurs fonctions de répartition marginales F i. On pose 3 : ub = F 1 i (U) ; lb = E [ i j Z] ; (2.8) où U U (0; 1) et Z est une variable aléatoire quelconque, indépendante de U. Alors on a les encadrements suivants : lb cx cx ub () SL c=p lb (d) SL c=p (d) SLc=p ub (d) ; 3 Les indices "lb" et "ub" signi ent respectivement "lower bound" et "upper bound". 7

9 où la notation "c=p" signi e que l encadrement s applique aux transformées de type "c" et de type "p" et SL c=p lb et SL c=p ub et SL c=p ub. sont des notations abrégées pour SL c=p lb Par construction, ub est une somme comonotone, donc ses transformées stoploss sont déterminées par (2.6). Par contre, lb n est pas nécessairement une somme comonotone mais, dans certains cas, on peut identi er des variables Z qui permettent d obtenir la propriété de comonotonie pour cette borne et il devient alors très facile d évaluer SL c=p lb Approximation convexe basée sur les moments Vyncke et al. (2004) proposent de construire une nouvelle approximation de en posant 4 : F mb = F lb + (1 ) F ub ; 2 [0; 1] ; où F lb et F ub sont les fonctions de répartition des bornes lb et ub. Par construction, la variable aléatoire mb de fonction de répartition F mb véri e : E [ mb ] = E [] et SL c=p mb (d) = SLc=p lb (d) + (1 ) SL c=p ub (d) : (2.9) Une conséquence de (2.9) est que les transformées stop-loss de mb sont comprises entre les transformées stop-loss de lb et de ub, ce qui implique : SL c=p (d) SLc=p mb (d) c=p SL ub (d) SLc=p lb (d) : Cela prouve que les quantités SL c mb (d) et SL p mb (d) sont de nouvelles approximations de SL c (d) et SL p (d). L approximation optimale est obtenue en imposant l égalité des moments d ordre 2, i.e. Var [ mb ] = Var []. Vyncke et al. (2004) démontrent que la valeur de (notée ) qui réalise cette égalité est donnée par la formule : = Var [] Var [ lb] Var [ ub ] Var [ lb ] : (2.10) Par construction la variable mb (obtenue pour = ) a les mêmes premiers moments que, ce qui laisse entrevoir que les transformées stop-loss de mb approcheront les transformées stop-loss de avec une certaine précision. 2.4 Application aux sommes de variables lognormales dépendantes Nous considérons à présent que est une somme de s variables lognormales dépendantes telle que : = e Yi ; (2.11) 4 L indice "mb" signi e "moment bound". 8

10 où (Y 1 ; : : : ; Y s ) 0 est un vecteur gaussien multivarié dé ni par i = E [Y i ] et ij = Cov [Y i ; Y j ] 0. Nous prenons la convention 2 i = Var [Y i] = ii. Etant donné que la loi lognormale ne possède aucune propriété d additivité, la fonction de répartition de ne peut pas être déterminée analytiquement. Toutefois, les résultats du paragraphe précédent sont applicables et nous pouvons établir des approximations comonotones pour la loi de. Pour une démonstration et une étude approfondie des résultats énoncés dans la suite, nous invitons le lecteur à consulter Kaas et al. (2000), Vanduffel, Hoedemakers et Dhaene (2005) ou Vanduffel, Chen et al. (2007) Transformées stop-loss d une variable aléatoire lognormale Soit Y N (; ), on rappelle que la fonction de répartition et la fonction quantile de e Y sont données par : ln x F e Y (x) = () F 1 (u) = e + 1 (u) ; (2.12) e Y où et 1 désignent respectivement la fonction de répartition et la fonction quantile de la loi normale standard. De plus, un simple calcul d espérances permet d obtenir les transformées stop-loss de e Y (Dhaene et al. 2000a) : SL c 2 ey (d) = e+ 2 ln d SL p e Y (d) = d + ln d d 2 + ln d e 2 ln d ; (2.13) : (2.14) Borne comonotone supérieure Lorsque est dé nie par (2.11), la borne supérieure comonotone dé nie à la proposition 2.3 s écrit : ub = e i +i 1 (U) ; U U (0; 1) : (2.15) Comme les F i sont bijectives, la fonction de répartition F ub de ub est donnée par la formule (2.5) : e i +i 1 (F ub (x)) = x; x 2 R +: (2.16) En injectant (2.13) et (2.14) dans les formules de la proposition 2.2 et en posant F ub = 1 F ub on obtient tous calculs faits : SL c ub (d) = e i + 2 i 2 i 1 F ub (d) d F ub (d) ; (2.17) SL p ub (d) = d F ub (d) e i + 2 i 2 1 F ub (d) i : (2.18) 9

11 2.4.3 Construction de la borne inférieure Lorsque les composantes de sont lognormales, Vanduffel et al. (2005) ou Vanduffel, Chen et al. (2007) montrent que le choix optimal pour Z est le suivant : Z = i Y i avec i = e i +2 i =2 0: (2.19) La variable Z ainsi construite suit une loi gaussienne 5 ; donc l espérance de e Yi conditionnellement à Z est donnée par : En posant E e Yi Z = e E[ YijZ]+ 1 2 Var[ YijZ]) : (2.20) Z = Z + Z 1 (V ) ; V U (0; 1) et i = Cor [Y i ; Z] = Cov [Y P s i; Z] j=1 = j ij ; (2.21) i Z i Z on peut établir les formules suivantes (cf. Vanduffel et al. 2005) : E [Y i j Z] = i + i i 1 (V ) ; Var [Y i j Z]) = 2 i 1 2 i : On en déduit que la borne inférieure lb s écrit : lb = e i (1 2 i )2 i + i i 1 (V ) : (2.22) Les fonctions v! e i (1 2 i )2 i + i i 1 (v) sont les fonctions quantiles de variables aléatoires lognormales de paramètres i (1 2 i )2 i et i i, ce qui implique que lb est une somme comonotone. Pour obtenir la fonction de répartition et les transformées stop-loss de lb, on peut donc utiliser directement les résultats du paragraphe en remplaçant i par i (1 2 i )2 i et i par i i. En procédant ainsi, on obtient la fonction de répartition F lb à partir de l équation (2.16) : e i (1 2 i )2 i + i i 1 (F lb (x)) = x; x 2 R +: (2.23) Les transformées stop-loss de lb se déduisent des formules (2.17) et (2.18) et admettent les expressions suivantes (on note F lb = 1 F lb ) : SL c lb (d) = SL p lb (d) = d F lb (d) e i + 2 i 2 i i 1 F lb (d) d F lb (d) ; (2.24) e i + 2 i 2 1 F lb (d) i i : (2.25) 5 Toute combinaison linéaire des composantes d un vecteur gaussien est une variable gaussienne. 10

12 2.4.4 Moments des bornes de l encadrement convexe Par propriété de la relation d ordre convexe, les moments des variables, lb et ub véri ent : E [] = E [ lb ] = E [ ub ] ; Var [ lb ] Var [] Var [ ub ] : Vanduffel et al. (2005) établissent les formules suivantes : E [] = Var [] = Var [ lb ] = Var [ ub ] = j=1 j=1 j=1 e i + 2 i 2 ; (2.26) e i + j (2 i +2 j ) (e ij ij 1) ; (2.27) e i + j (2 i +2 j ) (e i j ij 1) ; (2.28) e i + j (2 i +2 j ) (e ij 1) : (2.29) 3 Approximations comonotones du prix d un call Européen Dans cette section, nous appliquons les résultats des paragraphes 2.3 et 2.4 pour approcher le prix d un call Européen lorsque le sous-jacent suit la dynamique (1.1). 3.1 Transformations préliminaires On remarque que la formule fondamentale d évaluation (1.3), peut s écrire comme la transformée stop-loss de la variable S def T = e rt S T au seuil K def = e rt K : h C = e rt E (S T K) +i h = E e rt S T e rt K i + = SL c ST K : La variable S T est d après (1.2) une combinaison linéaire de variables lognormales à coe cients positifs et négatifs. A n de faire apparaître une somme de def termes à coe cients tous positifs, on met T = e W T 2 T=2 en facteur commun dans S T K : S T K = S0 e W T 2 T 2 m m = T S 0 D i e D i e (W T W ti ) rt 2 (T t i ) i 2 e rt K 2 2 r t i W ti Ke! 2 2 r T W T : 11

13 On dé nit alors ~S = m D i e (2 =2 r)t i W ti + Ke ( 2 =2 r)t W T ; (3.1) de sorte que le prix du call devient : + C = E T S 0 S ~ : (3.2) La variable aléatoire T est strictement positive et elle véri e E [ T ] = 1, c est donc la densité de Radon-Nikodym d une mesure ~ Q équivalente à Q et l on peut écrire : d ~ Q dq = T = e W T La formule (3.2) devient : " d Q C = E ~ # + S 0 S ~ = E dq ~ S 0 2 T=2 : (3.3) + S ~ = SL p S ~ (S 0 ) : (3.4) Le prix du call Européen C s exprime donc comme la transformée stop-loss de type put au seuil S 0 de la variable ~ S sous la nouvelle mesure ~ Q. D après le théorème de Girsanov, le processus de terme général Wt ~ def = W t t est un mouvement Brownien standard sous Q. ~ Alors, en faisant apparaître W ~ dans (3.1), on obtient la loi de S ~ sous Q ~ : m ~S = D i e (r+2 =2)t i W ~ ti + Ke (r+ 2 =2)T W ~ T : (3.5) La variable alternative S ~ est donc de la forme P m+1 où (Y eyi 1 ; : : : ; Y m+1 ) 0 est un vecteur gaussien (sous Q) ~ d espérances : ln (Di ) r + i = 2 =2 t i si 1 i m ln (K) r + 2 =2 T si i = m + 1 ; (3.6) et de covariances dé nies par la relation (cf. Glasserman 2004) : ij = Cov [Y i ; Y j ] = 2 min (t i ; t j ) : (3.7) Nous avons donc démontré que le prix du call est la transformée stop-loss d une combinaison linéaire à coe cients tous positifs de m + 1 variables lognormales dépendantes, ce qui permet d appliquer les résultats des paragraphes 2.3 et Construction des bornes comonotones D après la proposition 2.3, on sait construire deux sommes comonotones notées ~S ub et ~ S lb, telles que : ~S lb cx ~ S cx ~ Sub =) SL p lb (S 0) C SL p ub (S 0) ; où SL p lb et SLp ub sont obtenues en remplaçant i et ij par les expressions données en (3.6) et (3.7) dans les formules des paragraphes et

14 3.2.1 Borne comonotone supérieure En appliquant les résultats du paragraphe on obtient tous calculs faits : ~S ub = m+1 i e i 1 (U) 2 i =2 ; U U (0; 1) : (3.8) Les paramètres i et i sont dé nis par : p Di e i = si 1 i m Ke rt si i = m + 1 ; ti si 1 i m i = p T si i = m + 1 : (3.9) La fonction de répartition associée (notée ~ F ub ) est solution de l équation : x = m+1 i e i 1 ( ~ F ub (x)) 2 i =2 ; x 2 R +: (3.10) En n, la transformée stop-loss de ~ S ub est donnée par : SL p ub (S 0) = S 0 ~ Fub (S 0 ) m+1 i 1 F ~ ub (S 0 ) i : (3.11) Borne comonotone inférieure La borne inférieure est obtenue en injectant les paramètres de notre problème dans la formule (2.22) : ~S lb = m+1 Les coe cients i sont dé nis par : i = i e i i 1 (V ) 2 i 2 i =2 ; V U (0; 1) : (3.12) P m+1 j=1 j min (t i ; t j ) q P ; 1 i m + 1: m+1 t i j;k=1 j k min (t j ; t k ) La fonction de répartition ~ F lb est solution de l équation : x = m+1 i e i i 1 ( ~ F lb (x)) 2 i 2 i =2 ; x 2 R +: (3.13) La borne inférieure étant comonotone, la transformée stop-loss ~ S lb est obtenue en appliquant la formule (2.25) : SL p lb (S 0) = S 0 ~ Flb (S 0 ) m+1 i 1 F ~ lb (S 0 ) i i : (3.14) 13

15 3.2.3 Approximation basée sur les moments Avec les notations introduites, l espérance des variables considérées est ~E[ ~ S] = ~ E[ ~ S ub ] = ~ E[ ~ S lb ] = et les formules (2.27), (2.28) et (2.29) deviennent : m+1 i Var[ ~ S] = Var[ ~ S lb ] = Var[ ~ S ub ] = m+1 i;j=1 m+1 i;j=1 m+1 i;j=1 i j e 2 ij 1 ; i j (e ij i j 1) ; i j (e ij 1) : Le raisonnement du paragraphe permet de construire une approximation de ~ S (notée ~ S mb ) basée sur l identi cation des deux premiers moments et dé nie par sa fonction de répartition ~ F mb : ~F mb = ~ Flb + (1 ) ~ F ub avec = Var[ ~ S] Var[ ~ S lb ] Var[ ~ S ub ] Var[ ~ S lb ] : (3.15) La transformée stop-loss de seuil S 0 associée à ~ S mb s écrit : C ' SL p mb (S 0) = SL p lb (S 0) + (1 ) SL p ub (S 0) : (3.16) Par construction ~ S mb et ~ S ont la même espérance et la même variance. On peut donc supposer que SL p mb (S 0) constitue une bonne approximation du prix de l option Calcul du Delta et du Gamma Les approximations proposées dans ce travail sont de la forme suivante C ' SL p xb (S 0), où l indice "xb" est une notation symbolique qui désigne indi éremment "lb", "ub" ou "mb". En conséquence, on peut obtenir une forme générale pour le Delta et le Gamma de l option en utilisant la notation "xb" : xb S0 C S0 SL p xb (S 0) ; xb 2 S 0 C 2 S 0 SL p xb (S 0) ; S0 2 S 0 désignent les dérivées partielles d ordre 1 et 2 par rapport à S 0. Pour calculer ces dérivées, nous écrivons SL p xb (S 0) en utilisant la formule (2.1) : SL p xb (S 0) = Z S0 0 ~F xb (z) dz; 14

16 où ~ F xb est la fonction de répartition de la variable approchante ~ S xb. Par construction, les variables ~ S lb, ~ Sub et ~ S mb ne dépendent pas du cours à l origine S 0. Alors, la fonction ~ F xb est indépendante de S 0 et l on peut dériver l intégrale précédente par rapport à sa borne supérieure : xb S0 SL p xb (S 0) = ~ F xb (S 0 ) ; xb 2 S 0 SL p xb (S 0) = ~ F 0 xb (S 0 ) ; où ~ F 0 xb est la densité de probabilité de la variable ~ S xb. Le calcul du Delta associé à chaque approximation ne comporte aucune di - culté, car les équations (3.10), (3.13) et (3.15) permettent d évaluer directement les fonctions de répartition des variables ~ S ub, ~ S lb et ~ S mb. Nous allons maintenant déterminer la densité de probabilité de F ~ ub 0 (donc le Gamma) de la borne supérieure S ~ ub. En dérivant les deux membres de l équation (3.10) en x = S 0 il vient : 1 = m+1 F ~ 0 i ub (S 0 ) i e i 1 ( F ~ ub (S 0)) 2 i =2 : 0 1 ~Fub (S 0 ) En isolant le terme F ~ ub 0 (S 0) et en remplaçant 0 par ' (la densité de la loi normale standard) on obtient : ' 1 ~Fub (S 0 ) ~F ub 0 (S 0 ) = P m+1 i i e i 1 ( F ~ = ub (S 0)) 2 i =2 ub (S 0 ) : (3.17) Un raisonnement analogue nous permet de déterminer lb à partir de (3.13) : ' 1 ~Flb (S 0 ) lb (S 0 ) = P m+1 i i i e i i 1 ( F ~ : (3.18) lb (S 0)) 2 i 2 i =2 En n, mb (S 0 ) est obtenu en dérivant (3.15) membre à membre : mb (S 0 ) = mb (S 0 ) + (1 ) mb (S 0 ) : (3.19) Notons que, dans le cas où les dividendes sont tous nuls (i.e. 1 = 2 = = m = 0), les formules établies pour le prix et pour les Grecques sont identiques aux formules de Black et Scholes (cf. annexe A.1). Les trois approximations comonotones construites dans ce travail présentent un avantage calculatoire par rapport aux méthodes présentées dans l annexe A. En e et, nous avons non seulement obtenu des formules théoriques pour estimer le prix de l option, mais nous avons aussi montré que ces formules permettaient de calculer le Delta et le Gamma sous une forme explicite. 15

17 4 Applications numériques Dans cette dernière section, nous évaluons les performances des trois approximations proposées. Elles sont notées CUB (Comonotonic Upper Bound) pour celle basée sur la borne supérieure, CLB (Comonotonic Lower Bound) pour celle basée sur la borne inférieure et MBA (Moment Based Approximation) pour celle basée sur les moments. Les paramètres communs utilisés dans les tests numériques réalisés sont les suivants : r = 6%, T = 2 et S 0 = 100. Par ailleurs, on suppose que le titre détache quatre dividendes sur la période ; la chronique de dividendes est donnée dans le tableau ci-dessous : Date 0:25 0:75 1:25 1:75 Dividende 2:5 3:0 2:5 3:0 4.1 Test d adéquation sur les fonctions de répartition La volatilité et le strike retenus pour ce test sont = 30% et K = 100. La gure 4.1 représente les fonctions de répartition F ~ ub, F ~ lb, F ~ mb (à gauche) et les densités F ~ ub 0, F ~ 0 lb, F ~ 0 mb (à droite). Les points de la fonction de répartition empirique de S, ~ notés MC, sont désignés par des losanges sur la gure de gauche. Ils sont construits sur la base d un échantillon comportant 10 5 réalisations indépendantes de la variable S ~ obtenues par la méthode de Monte Carlo (cf. Glasserman 2004). Les fonctions de répartition comonotones s ajustent parfai- CUB CLB MBA MC CUB CLB MBA cdf 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, x Density 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0, x Fig. 4.1 Fonctions de répartition ( gure de gauche) et densités ( gure de droite) des approximations comonotones. tement sur la distribution empirique de ~ S, ce qui laisse supposer que les variables construites approchent la loi cherchée avec précision. Par ailleurs, on observe sur la gure de droite que (i) les densités CLB et MBA sont indiscernables et que (ii) la densité de la borne supérieure di ère légèrement des densités CLB et MBA au 16

18 niveau du mode et de la queue de distribution gauche. En conséquence, on peut penser que les distributions des variables ~ S lb et ~ S mb sont plus proches de la loi théorique de ~ S que la distribution de la borne supérieure ~ S ub. A n de con rmer ces hypothèses faites à partir de l observation des graphiques, nous appliquons le test d ajustement de Kolmogorov-Smirnov 6 aux fonctions de répartition ~ F ub, ~F lb, ~ Fmb, l objectif étant de valider quantitativement l adéquation à la loi ~ S. Le principe du test consiste à calculer la distance de la norme uniforme (notée ^D n ) entre la fonction de répartition empirique de l échantillon (notée ^F n ) et la fonction de répartition théorique testée (notée F ~ xb comme au paragraphe 3.2.4). ^D n est donnée par ^D n = sup x2r ^Fn (x) Fxb ~ (x), où x (1) < : : : < x (n) sont les observations classées dans l ordre croissant. Sous l hypothèse d adéquation entre ^F n et F ~ xb on démontre que la suite de variables aléatoires positives de terme général p n ^D n converge vers une variable aléatoire dont la fonction de répartition est dé nie par : +1 H (x) = 1 2 ( 1) k+1 exp 2k 2 x 2 ; x > 0: k=1 Le test est rejeté pour tout seuil supérieur à la p-value ^ n def = 1 H Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-après. pn ^Dn. borne CUB ( ~ F ub ) CLB ( ~ F lb ) MBA ( ~ F mb ) distance observée ( ^D n ) 7:623E 03 1:112E 03 1:102E 03 statistique observée ( p n ^D n ) 2: : : p-value (^ n ) 0:00% 99:97% 99:97% La p-value du test associé à la fonction de répartition ~ F ub est nulle, ce qui signi e que la borne supérieure ne constitue pas une bonne approximation de la variable ~S. Par contre, les p-values calculées pour les fonctions de répartition ~ F lb et ~ F mb sont égales à 99:97%, ce qui prouve que ~ S lb et ~ S mb constituent d excellentes approximations de la variable initiale ~ S. Les prix d options obtenus à partir des approximations CLB et MBA seront donc plus précis que les prix obtenus à partir de l approximation CUB. Nous allons con rmer cela dans le paragraphe suivant. 4.2 Evaluation d un call Européen Nous considérons à présent trois valeurs de la volatilité (20%, 40%, 60%) et cinq valeurs du prix d exercice K (50, 75, 100, 125, 150). La chronique de 6 Le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d ajustement à une loi continue qui utilise toute l information disponible. A ce propos, on pourra se référer aux ouvrages de Saporta (1990) ou de Lecoutre (1998). 17

19 dividendes est la même que celle utilisée au paragraphe précédent. Pour chaque option associée au couple (; K), nous estimons un prix étalon (noté QMC) par la méthode de Quasi-Monte Carlo 7 ainsi que les prix CUB, CLB et MBA. Les prix étalons sont déterminés sur la base de 100 millions de chemins quasialéatoires, ce qui permet d obtenir une précision de 4 chi res après la virgule. Nous associons à chaque prix estimé une erreur relative d approximation par rapport à la méthode QMC et dé nie par Err%= obtenus gurent dans le tableau suivant. Prix Estimé Prix QMC 1. Les résultats K QMC CUB CLB MBA prix prix Err% prix Err% prix Err% 20% % E E % E E % E E % E E % E E+00 40% % E E % E E % E E % E E % E E-05 60% % E E % E E % E E % E E % E E-05 On constate que l approximation CUB surestime systématiquement le prix benchmark de chaque option. Les méthodes CLB et MBA conduisent à des résultats nettement plus précis. Le tableau ci-dessous donne une indication sur la variabilité et l ordre de grandeur de l erreur commise avec chaque méthode. Pour chacune des méthodes testées, les quantités Err%(min), Err%(max) et Err%(moy) correspondent respectivement au minimum, au maximum et à la moyenne des erreurs relatives prises en valeur absolue. méthode CUB CLB MBA Err%(min) 0:03196% 0:00000% 0:00000% Err%(max) 5:97661% 0:00744% 0:01206% Err%(moy) 1:99485% 0:00262% 0:00447% L erreur moyenne avec l approximation CUB est de l ordre de 2%, tandis qu elle ressort autour de 0:002% avec la méthode CLB (soit une réduction de l erreur 7 La méthode de Quasi-Monte Carlo permet de réduire l erreur d intégration par rapport à la méthode de Monte Carlo classique, notamment lorsque la dimension d intégration est faible (voir Glasserman 2004), ce qui est le cas dans notre exemple. 18

20 d un facteur 1000) et de 0:004% avec la méthode MBA (ce qui correspond à une réduction de l erreur de l ordre de 500). En conséquence, avec une erreur dont l ordre de grandeur est le millième de pourcent, les méthodes CLB et MBA s avèrent considérablement plus performantes que l approximation CUB basée sur la borne comonotone supérieure. Dans le paragraphe suivant, nous comparons les approximations CLB et MBA aux méthodes présentées dans l introduction. 4.3 Etude comparative avec d autres approches courantes La volatilité est à présent xée à = 30%. Le strike K varie de 50 à 150 comme dans l exemple numérique précédent. Pour chacune des méthodes testées, i.e. B75, BV01, BoV02, BGS03, HHL03 (cf. Annexe A pour les formules) et CLB et MBA dé nies précédemment on désigne par Err% l écart relatif entre le prix obtenu avec la méthode considérée et le prix obtenu par simulation Quasi-Monte Carlo (QMC). Les résultats ainsi que les erreurs commises sont présentés dans le tableau suivant. La dernière ligne du tableau donne pour chaque méthode le minimum, le maximum et la moyenne des erreurs relatives prises en valeur absolue. K QMC B75 BV01 BoV02 BGS03 HHL03 CLB MBA % % 0.056% % 0.018% % % % % 0.087% % 0.035% % 0.001% % % % % 0.016% 0.000% 0.003% % 0.194% % 0.029% % % 0.003% % 1.088% % 0.083% % % 0.000% Err%(min) 0.487% 0.139% 0.048% 0.005% 0.016% 0.000% 0.000% Err%(max) % 1.088% 0.868% 0.083% 0.143% 0.006% 0.003% Err%(moy) 5.949% 0.411% 0.287% 0.028% 0.052% 0.002% 0.002% L approximation de Black (B75) est la moins satisfaisante de ce comparatif : l erreur relative varie de 0:487% pour les strikes les plus faibles à 12:577% pour les strikes les plus élevés et un simple calcul montre que la moyenne des erreurs relatives (en valeur absolue) est de l ordre 5:949%. Notons par ailleurs qu elle sous-estime les prix de calls de manière systématique. L ajustement de la volatilité proposé par Beneder et Vorst (BV01) permet d obtenir une erreur moyenne de 0:411%, ce qui correspond à une réduction de l erreur d un facteur 14:5(' 5:949% 0:411% ) par rapport à la méthode B75. L amélioration porte essentiellement sur les options en dehors de la monnaie. Par ailleurs, le phénomène de sous-estimation systématique a disparu. 19

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