LEÇON N 8 : 8.1 Séries statistiques à deux variables

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1 LEÇON N 8 : Séries statistiques à deux variables umériques. Nuage de poits associé. Ajustemet affie par la méthode des moidres carrés. Droites de régressio. Applicatios. L exposé pourra être illustré par u ou des exemples faisat appel à l utilisatio d ue calculatrice. Pré-requis : Résultats sur les séries statistiques à ue variable ; Triôme du secod degré (forme caoique, miimum) ; Equatio d ue droite das P. O se place das u pla affie euclidie P, rapporté à u repère orthogoal 1 (O, i, j), de directio P. 8.1 Séries statistiques à deux variables Défiitio 1 : Soit Ω = {ω 1,...,ω } ue populatio de taille N. O dit que deux variables X et Y défiisset sur Ω ue série statistique double (x i,y i ) 1 i, avec X(ω i ) = x i et Y (ω i ) = y i, lorsque : x 1 x ; X(Ω) et Y (Ω) e sot pas des sigletos. Coséquece - otatio : Nous avos doc les résultats suivats (aussi valables e remplaçat X par Y et x i par y i ), qui itroduiset des otatios utilisées das la suite : X = 1 x i et V(X) = σx = 1 (x i X) = X X. 1 : j 0 i M i H i car yi ax i b M i H i si le repère est pas orthogoal. E effet, pour le calcul, M i H i correspod à la logueur du segmet bleu, et y i ax i b correspod à la logueur du segmet rouge. Cette otio d orthogoalité doit être présete, et amèe la variate de démostratio du théorème 1 présete e fi de leço.

2 Séries statistiques à deux variables umériques Exemple : O demade à 8 élèves de termiale leur taille (T ) et leur poids (M) (ou plutôt...«masse» pour être physiquemet exact!). Voici les résultats : Taille (cm) Poids (kg) O etre (x i ) et (y i ) das les deux premières coloes de l éditeur de listes de la calculatrice, et o fait tracer le uage de poits associé à cette série statistique double (attetio à bie cofigurer la feêtre graphique!!!) : Cet exemple sera utilisé das toute la suite de cette leço. Défiitio : Das (O, i, j), o appelle uage de poits associé à la série statistique double (x i,y i ) i i l esemble des poits M i P de coordoées (x i,y i ). Le poit de coordoées (X,Y ) est appelé poit moye et est oté G. Remarque 1 : G est l isobarycetre du système de poits {M i } 1 i. Défiitio 3 : Soit (x i,y i ) i i ue série statistique double. O appelle covariace du couple (X,Y ) le réel oté Cov(X,Y ) ou σ X,Y, égal à Cov(X,Y ) = σ X,Y = 1 (x i X)(y i Y ).

3 Séries statistiques à deux variables umériques 3 Exemple : G = ( , 19 ) = (169, 375; 64, 5) et σ T,M = = 93, Propositio 1 : (i) σ X,Y = 1 x i y i X Y ; (ii) Pour tous réels a, b, c, d, σ ax+b,cy +d = ac σ X,Y ; (iii) σ X,Y σ X σ Y, avec égalité si et seulemet si les M i sot tous aligés. démostratio : (i) Il suffit de faire quelques calculs pour démotrer cette égalité : σ X,Y = 1 (x i X)(y i Y ) = 1 (x i y i Y x i X y i + X Y ) = 1 x i y i X Y + X Y = 1 x i y i X Y. (ii) Il suffit à ouveau de faire des calculs, e utilisat le résultat précédet : σ ax+b,cy +d = 1 (ax i + b)(cy i + d) ax + b cy + d = 1 (acx i y i + adx i + bcy i + bd) (ax + b)(cy + d) = ac 1 x i y i + adx + bcy + bd acx Y adx bcy bd ( ) 1 = ac x i y i X Y = ac σ X,Y. (iii) Pour tout λ R, o a σ λx+y 0. Or σ λx+y = = λ σ X +λσ X,Y +σ Y. Notos que σ X 0 car X(Ω) est par défiitio pas u sigleto. Nous sommes doc e présece d u triôme du secod degré qui est positif, so discrimiat est doc égatif, c est-à-dire σ X,Y σ X σ Y 0, soit σ X,Y σ X σ Y. De plus, σ X,Y = σ X σ Y = 0 λ 0 R σ λ 0 X+Y = 0. Or σ λ 0 X+Y = 0 i {1,...,}, λ 0 (x i X) + (y i Y ) = 0 i, M i (x i, y i ) d, où d est la droite d équatio λ 0 (x X) + (y Y ) = 0. Réciproquemet, s il existe ue droite d équatio y = ax + b telle que pour tout i, y i = ax i + b, alors Y = ax + b, et le calcul doe σ X,Y = a σ X = σ X σ Y. Remarque : L iégalité de (iii) porte gééralemet le om d iégalité de Schwarz. 8. Ajustemet affie O cherche ue droite d équatio y = ax + b qui approche au mieux tous les poits du uage d ue série statistique double. Soit (x i,y i ) 1 i ue telle série. Il existe alors plusieurs méthodes :

4 4 Séries statistiques à deux variables umériques mauelle : o trace ue telle droite selo le «bo ses» sur le graphique, et l o e déduit a et b. moyee : il s agit de calculer pour chaque sous-uage les coordoées du poit moye. O obtiet doc u ouveau uage de poits : G 1,G,... et l o recommece avec ce uage. des moidres carrés : c est celle que l o va développer ci-dessous. O cherche a et b tels que ϕ(a,b) = (y i ax i b) soit miimale. Das (O, i, j), si l o se doe la droite D d équatio y = ax + b et H i le projeté de M i parallèlemet à l axe (Oy) pour tout i etre 1 et, alors o a ϕ(a,b) = (M i H i ). Défiitio 4 : Si a et b mimiset ϕ, alors D : y = ax + b est la droite réalisat u ajustemet affie du uage de poits selo la méthode des moidres carrés. O dit que D est la droite de régressio de Y e X. Théorème 1 : Il existe ue uique droite D réalisat u ajustemet affie du uage de poits selo la méthode des moidres carrés. So coefficiet directeur est a = σ X,Y /σ X et elle passe par le poit moye. O a doc : D : y = σ X,Y x + (Y ax). σx démostratio : O a : (M i H i ) = = (y i ax i b) = yi a [(y i ax i ) b(y i ax i ) + b ] x i y i + a x i + ( b (Y ax) ) (Y ax) ( ) ( ) ( ) = yi Y a x i y i X Y + a x i X + ( b (Y ax) ) [ ( = (b Y + ax) + a σ X σ ) ] X,Y + 1 σ X σx (σy σx σx,y ). Or σ X (σ Y σ X σ X,Y ) est u ombre positif idépedat de a et b, doc (M i H i ) 1 σ X (σ Y σ X σ X,Y ), avec égalité si et seulemet si { b Y + ax = 0 a σ X σ X,Y σ X = 0 a = σ X,Y σ X b = Y ax. E fi de leço est proposée ue variate à cette démostratio.

5 Séries statistiques à deux variables umériques 5 Remarques : 1. D après cette démostratio, M ih i = 0 σ X (σ X σ Y σ X,Y ) = 0 σ X,Y = σ X σ Y, et l o retrouve u résultat précédet ;. O peut aussi détermier la droite D de régressio de X e Y. Si l o ote D : x = a y + b, alors (e iversat les rôles de X et Y das le théorème précédet), o a a = σ X,Y σ Y et b = X a Y. Doc : * D G car X = a Y + b. * Si σ X,Y = 0, alors a = a = 0, doc D / (Ox) et D / (Oy). * Si σ X,Y 0, alors a 0 et doc D : y = 1 a x b a. Alors D = D a = 1/a σx,y = σ X σ Y M i aligés. Il est à oter que la coditio b = b /a est pas utile puisque les deux droites passet par le poit moye. * a et a ot même sige, celui de σ X,Y, doc σx,y σx σy a 1. a Défiitio 5 : O appelle coefficiet de corrélatio liéaire etre X et Y le réel oté R égal à R = σ X,Y σ X σ Y. Remarque 4 : 1 R 1 (car σ X,Y σ X σ Y ) ; Plus les poits du uage sot «aligés», plus R sera proche de 1. Exemple : O détermie das otre exemple que D : y = 1, 305x 156, 53 et D : y = 1, 44x 176, 66, aisi que R = 0, 957, d où ue boe «corrélatio» etre P et T. Voici la capture d écra obteue à la calculatrice (das l éditeur de liste, la possibilité de calculer l équatio d ue droite de régressio et de la mémoriser das ue variable se fait via le meu F5) :

6 6 Séries statistiques à deux variables umériques 8.3 Applicatios Ajustemet par ue foctio expoetielle Si l o a l impressio à la calculatrice que le uage de poits pourrait être approché par ue foctio expoetielle, o détermie d abord ue droite de régressio y = mx + p = l(a)x + l(λ) (a et λ existet das R + car l : R + R est ue bijectio) du uage de poits associé à la série double (x i, l y i ). Alors le uage de poits iitial est ajusté par y) exp(ax + b) = λ a x Ajustemet par ue foctio puissace Si les poits M i (x i,y i ) sot proche de la courbe d équatio y = λ x a, alors les poits (lx i, l y i ) sot proches de la droite d équatio y = ax + lλ, et réciproquemet Autres Evolutio (liéaire, expoetielle,...) d ue statistique simple (par exemple ue populatio, le tarif d u produit,...) e foctio du temps. Variate de la démostratio du théorème 1 O pose Y = (y 1,...,y ), X = (x 1,...,x ), U = (1,...,1) et ϕ(a,b) = Y ax BU : Y X ax + bu H 0 U O cherche doc a et b tels que ax + bu = OH. Sachat que OY OH = HY, o a { (Y ax bu) X = 0 (1) (Y ax bu) U = 0. () (a,b) est uique par uicité du projeté orthogoal H de Y (si X et U sot o coliéaires, ce qui est exclus par le fait que X(Ω) est pas u sigleto). Alors () Y ax b = 0 b = Y ax (ou ecore

7 Séries statistiques à deux variables umériques 7 Y = ax + b, doc G est sur la droite). O coclut esuite avec l équatio (1) : (1) (y i ax i b)x i = 0 x i y i a XY ax (Y ax)x = 0 ax ax = XY XY a = σ X,Y. σx x i b x i = 0