X i. X = X1+...+Xn S 2 = X 2 = 1 n. x i. F = card{i {1...n} X i =1} =0.48. f = card{i {1...n} x i =1} i=1 X2 i. i=1. n n. i=1 x2 i

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1 ÆÓØ Ù ÓÙÖ ØØ ØÕÙ Ä ÅØ Ø Ä ÅØ ¹ÒÓ ÒÒ ¾¼¼¹¾¼½¼ Ⱥ ÐÐÓØ Æº ÊÐÐÖ ¾ ÑÖ ¾¼½¼ ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ä ØØ ØÕÙ Ø Ð³ØÚØ ÕÙ ÓÒ Ø ÖÙÐÐÖ ØÖØÖ Ø ÒØÖÔÖØÖ ÓÒÒ º Ä ÑÖ ØØ ØÕÙ ÓÒ Ø ÒÖÐÑÒØ Ò ØÔ Ä ÖÙÐ ÓÒÒ ÒÓÒ ÓÖ Ò ÓÙÖ µº ÓÑÑÒØ ÖÙÐÐÖ Ð ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ³ÐÐ ÔÔÓÖØÒØ Ð ÔÐÙ ³ÒÓÖÑØÓÒ ÔÓ Ð ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð ÕÙ ØÓÒ ÔÓ Ä ÔÖØ ÜÔÐÓÖØÓÖ ÓÙ ÖÔØÚ ÒÓÒ ÓÖ Ò ÓÙÖ Ñ ÕÙÐÕÙ ÜÑÔÐ ÖÓÒØ ØÖØ Ò ÜÖ µº ijÓØ ØØ ØÔ Ø ÝÒØØ Ö Ð³ÒÓÖÑØÓÒ ÓÒØÒÙ Ò Ð ÓÒÒ Ò ÑØØÖ Ò ÚÒ ÖØÒ ÔÖÓÔÖØ Ø ÙÖÖ ÝÔÓØ º Ð ÔÙØ ØÖ ÖÐ Ò ÐÙÐÒØ ÚÐÙÖ ÒÙÑÖÕÙ ÑÓÝÒÒ ÖØ ØÝÔ ÔÖÓÔÓÖØÓÒ ºººµ ÓÙ ÓÙ Ð ÓÖÑ ÖÔÕÙ ØÓÖÑÑ ÑÒÖØ ºººµ Ø ØÐÙܺ ËØØ ØÕÙ ÒÖÒØÐк ËÓÒ ÙØ Ø ÚÐÖ ÓÙ ³ÒÖÑÖ Ð ÝÔÓØ Ø Ò Ð Ô ÜÔÐÓÖØÓÖº ÉÙÐÕÙ ÜÑÔÐ ÕÙ ÖÚÖÓÒØ ÐÐÙ ØÖÖ ÓÙÖ ÜÑÔÐ ½ ÓÒØÖÐ ÕÙÐغ ÍÒ ÐÒØ ÓÑÑÒ ÓÒ ÓÙÖÒ ÙÖ ÙÒ ÐÓØ ½¼¼¼¼ ØÖÑÓÑØÖ º Ò Ø ØÖ Ð ÕÙÐØ ØÖÑÓÑØÖ Ð ÐÒØ ÒÓ Ø ¾¼ Ù Ö Ø Ð ÔÐÓÒ Ò ÙÒ ÐÕÙ ¾¼ Ö º ÁÐ ÓØÒØ Ð Ö ÙÐØØ ÙÚÒØ ¾¼º¾ ¾¼º ¾¼º½ ½º ½º ¾¼ ¾¼º ½º ½º ¾¼º½ ¾¼º ¾¼º ¾¼ ½º ¾¼º ½º ½º ¾¼º½ ¾¼º ¾¼ ÉÙ ÔÙعÓÒ Ò ÙÖ ÙÖ Ð ÕÙÐØ ØÖÑÓÑØÖ Ø¹ ÕٳРÓÒÒÒØ Ð ÓÒÒ ØÑÔÖØÙÖ Ò ÑÓÝÒÒ Ú ÕÙÐÐ ÔÖ ÓÒ ÜÑÔÐ ¾ ÓÒº Ò ³ ØÑÖ Ð ÒØÒØÓÒ ÚÓØ ÐÓÖ Ù ÙÜÑ ØÓÙÖ ³ÙÒ ÐØÓÒ ÔÖ ÒØÐÐ ÙÒ Ò ØØÙØ ÖÐ ÙÒ ÓÒº ËÙÖ ½¼¼¼ ÔÖ ÓÒÒ ÒØÖÖÓ Ù Ö ¾¼ ÔÒ ÒØ ÚÓØÖ ÔÓÙÖ Ð ÒØ Ø ¼ ÔÓÙÖ Ð ÒØ º ÉÙ ÔÙعÓÒ Ò ÙÖ ÙÖ Ð ÒØÒØÓÒ ÚÓØ Ò Ð ÔÓÔÙÐØÓÒ ÖÒ Ú ÕÙÐÐ ÔÖ ÓÒ Ð ÓÒ ØÙ ÔÖÑØ Ø³Ð ³ ØÑÖ Ð ÔÓÙÖÒØ ³ÒØÒØÓÒ ÚÓØ Ò ÚÙÖ Ù ÒØ ÈÙØ ÓÒ ÙÖ ÓÒ Ú ÙÒ ÖØÒ ÓÒÒ ÕÙ Ð Ø Ù ÓÒ Ð ÒØ Ø Ò ØØ ÜÑÔÐ Ø ³ÙÒ ÑÑÒØ Ò ÑÒº Ò ³ØÙÖ Ð³Ø ³ÙÒ ÒÓÙÚÙ ÑÑÒØ Ò ÚÙ ÖÙÖ Ð ØÒ ÓÒ ÖØÖÐÐ ÓÒ Ñ ÙÖ Ð ØÒ ÓÒ Ò ÑÑ Àµ ÙÖ ½¾ ÔØÒØ ÚÒØ Ø ÔÖ ØÖØÑÒغ Ä ÚÐÙÖ ÙÚÒØ ÓÒØ Ø ÓØÒÙ ÚÒØ ¾¼¼ ½ ½ ½¼ ½ ½¾ ½ ¾¼ ½ ½ ½ ¾½¼ ÔÖ ½½ ½¼ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ÈÙعÓÒ ÓÒÐÙÖ ÕÙ ÑÑÒØ ÖÙØ Ð ØÒ ÓÒ ÖØÖÐÐ ½

2 ÙØÖ ÜÑÔÐ ³ÔÔÐØÓÒ ÈÙعÓÒ ÔÖÚÓÖ Ð ÓÙÖ ³ÙÒ ØÓÒ Ò ÕÙÐÐ Ñ ÙÖ Ð Ø ÙÑÖ ÖØØ ÙÑÒØ¹Ø¹Ð Ð Ö ÕÙ ÒÖ Ù ÔÓÙÑÓÒ ÓÑÑÒØ ØÑÖ Ð ØÓ ÔÓ ÓÒ Ò ÙÒ ÞÓÒ ÑÖØÑ ÓÒÒ ÉÙÐÐ Ø Ð ÔÖÓÐØ ³ÚÓÖ ÙÒ ØÑÔÖØÙÖ ÒÖÙÖ ¼ Ö Ø Ù ÑÓ ÂÒÚÖ ØØ ÔÖÓÐØ Ø³ÐÐ ÚÓÐÙ Ù ÓÙÖ ÖÒÖ ÒÒ ÓÑÑÒØ ÐÖ ÑÒÖ ÓÔØÑÐ Ð ÐÒØ ÐÓÖ ³ÙÒ ÑÔÒ ÔÙÐØ ¾ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ð³ ØÑØÓÒ ÔÓÒØÙÐÐ ¾º½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ÇÒ ÔÓ Ó ÖÚØÓÒ ÒÓØ (x 1,..., x ) R ÜÑÔÐ ¹ Ù µº ÇÒ Ú ÙÔÔÓ Ö ØÓÙØ ³ÓÖ ÕÙ Ó ÖÚØÓÒ ÓÒØ ÙÒ ÖÐ ØÓÒ ³ÙÒ ÜÔÖÒ ÐØÓÖ ³ Ø Ö ÕÙ³Ð Ü Ø ÙÒ Ô ÔÖÓÐ (Ω, F, P) Ø ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ (X 1,..., X ) Ò ÙÖ ÙÒ Ô ÔÖÓÐ (Ω, F, P) ØÐÐ ÕÙ (x 1,..., x )=(X 1 (ω),..., X (ω)) Ú ω Ωº ÔÖÑØ ÑÓÐ Ö Ð³ÐØÓÖ ÕÙ Ø ÒÖÐÑÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ð ÖÙÐ ÓÒÒ º ÈÖ ÜÑÔÐ Ò Ð ÜÑÔÐ ÒØÖÓÙØ ¹ Ù ÜÑÔÐ ½ ¾ Ø Ò ÜÑÔÐ Ð ÒÚÙ ÓÒ Ö ÓÒØ Ó Ù Ö ÔÖÑ ÙÒ ÖÒ ÒÓÑÖ ³ÒÚÙ º Ë ÓÒ ÖÓÑÑÒ Ð³ÜÔÖÒ Ð Ý ÓÖØ Ò ÕÙ³ÓÒ Ó ³ÙØÖ ÒÚÙ Ø ÕÙ³ÓÒ ÓØÒÒ Ö ÙÐØØ ÖÒØ Ð Ö ÙÐØØ Ð³ÜÔÖÒ Ø ÓÒ Ò ÐØÓÖ ÜÑÔÐ ½ Ø ÔÖ ÚÓÖ Ó Ð ÒÚÙ ÓÒ ÖÐ Ñ ÙÖ ÕÙ ÔÙÚÒØ ØÖ ÙØØ ÖÖÙÖ ÜÔÖÑÒØÐ º ÖÓÙØ Ð³ÒÖØØÙ ÙÜ Ö ÙÐØØ ÓØÒÙ ÇÒ Ø Ò ÙØ ÝÔÓØ ÙÖ Ð ÐÓ ÔÖÓÐØ Ù Ò¹ÙÔÐØ (X 1,..., X )º Ò Ð Ö ÓÙÖ ÓÒ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ ÓÒØ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÒÔÒÒØ Ø ÒØÕÙÑÒØ ØÖÙ ººµº ÁÐ ³Ø Ù Ö Ð ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ØØ ÝÔÓØ Ò³ Ø Ô ØÓÙÓÙÖ ÖÐ Ø ÄÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÓÒ Ö ÔÒÓÑÒ ÒÜ ÔÖ Ð ØÑÔ Ö ØÑÔÓÖÐÐ µ гÝÔÓØ ³ÒÔÒÒ Ò³ Ø ÒÖÐÑÒØ Ô ÚÖº ÜÑÔÐ Ë(X 1,X 2,..., X ) Ò Ð ØÑÔÖØÙÖ Ó ÖÚ ÔÒÒØ Ò ÓÙÖ Ù ÐÓÖ Ð³ÝÔÓØ ³ÒÔÒÒ Ò³ Ø Ô ÚÖ ÔÙ ÕÙ Ð ØÑÔÖØÙÖ Ù ÓÙÖ i Ø ÒÖÐÑÒØ ÔÖÓ ÐÐ Ù ÓÙÖ i 1º Ä ÐÓ ÔÒ ÚÖÐ ÜÔÐØÚ Ø Ð³ÝÔÓØ ÒØÕÙÑÒØ ØÖÙ Ò³ Ø Ô ÚÖº ÜÑÔÐ (X 1,X 2,..., X ) Ò Ð ØÐÐ ÒÚÙ ÔÖ Ù Ö ÓÑÑ Ø ÑÑ ÑÐÒ ÐÓÖ Ð ÐÓ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÔÒ Ù Ü Ð ÓÑÑ ÓÒØ ÒÖÐÑÒØ ÔÐÙ ÖÒ ÕÙ Ð ÑÑ µ Ø ÓÒ Ò ÔÙØ Ô ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓÚÒÒÒØ ³ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ÒØÕÙÑÒØ ØÖÙº ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÔÖÓÐØ P ÙÒ ÙØ (X 1,..., X ) Úºº ººº ÕÙ ÙÚÒØ Ð ÐÓ ÔÖÓÐØ Pº ÇÒ ÒÓØÖ X 1,..., X iid P ÇÒ ÙÔÔÓ Ò ÙØ ÕÙ Ð ÐÓ ÔÖÓÐØ ÓÑÑÙÒ X 1 X 2 ººº X Ø ÙÒ ÐÓ ÔÖÓÐØ ÕÙ ÔÒ ³ÙÒ ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ θ Θ Ú Θ R k Ø ÓÒ Ö ÐÓÖ ØÑÖ Ð ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ θ ÔÖØÖ Ó ÖÚØÓÒ ÔÓÒÐ (x 1,..., x )ºÈÖ ÜÑÔÐ ÓÒ ÙÔÔÓ Ö ÓÙÚÒØ ÕÙ X i iid N (m, σ 2 ) ¾

3 ÔÓÙÖ i {1...}º Ä ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ Ø ÐÓÖ θ =(m, σ) R R + º ÒØÓÒ ËÓØ (X 1,..., X ) ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ P θ ºÍÒ ØÑØÙÖ Ù ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ θ Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ T = g(x 1,..., X ) ÕÙ ³ÜÔÖÑ Ò ÓÒØÓÒ (X 1,..., X )ºÍÒ ØÑØÓÒ θ Ø ÐÓÖ Ð ÚÐÙÖ ÒÙÑÖÕÙ ÔÖ ÔÖ ØØ ØØ ØÕÙ ÙÖ ÙÒ ÖÐ ØÓÒ ÔÖØÙÐÖ (x 1,..., x ) ³ Ø Ö Ð ÕÙÒØØ t = g(x 1,..., x )º ÊØÓÙÖ ÙÖ Ð³ÜÑÔÐ ½ Ø ÒØÓÒ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ØÑÔÖØÙÖ Ó ÖÚ ÓÒØ ÙÒ ÖÐ ØÓÒ ³ÙÒ ÒØÐÐÓÒ (X 1,..., X ) Ú =20º ÖÒØ ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ ÔÙÚÒØ ØÖ ÙØÐ ÔÓÙÖ Ñ ÙÖÖ Ð ÕÙÐØ ØÖÑÓÑØÖ ÔÖ ÜÑÔÐ µ = E[X i ] ÕÙ ÖØ Ð ØÑÔÖØÙÖ ÑÓÝÒÒ ³ÙÒ ØÖÑÓÑØÖ ÔÖ Ù Öº Ë Ð ØÖÑÓÑØÖ ÓÒØ Ò ÐÖ ÓÒ ÚÖØ ÚÓÖ µ 20º Æ ÓÑÑ Ð³ÒØÐÐÓÒ Ø ºº E[X i ] Ø ÒÔÒÒØ iµ σ 2 = var(x i )=E[Xi 2] E[X i] 2 = E[(X i E[X i ]) 2 ] ÕÙ ÖØ Ð ÔÖ ÓÒ ØÑÔÖØÙÖ Ñ ÙÖ ÔÖ Ð ØÖÑÓÑØÖ Ð ØÖÑÓÑØÖ ÓÒØ ÓÒ ÓÒ ÚÖØ ÚÓÖ σ е º ÕÙÒØØ ÓÒØ ÒÓÒÒÙ ØÓÒÖ Ð ØÑÖ ÔÖØÖ Ó ÖÚØÓÒ ÔÓÒÐ º ij ØÑØÙÖ Ù ÙРг ÔÖÒ ÑØÑØÕÙ µ Ø ÐÓÖ Ð ÑÓÝÒÒ ÑÔÖÕÙ X = X1+...+X ÍÒ ØÑØÙÖ Ù ÙÐ Ð ÚÖÒ ÑØÑØÕÙ σ 2 Ø Ð ÚÖÒ ÑÔÖÕÙ S 2 = X2 i S Ø ÔÔÐ ÖعØÝÔ ÑÔÖÕÙº X 2 = 1 (Xi 2 X) 2 Ä ØÑØÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÓÒØ ÒÓØ x = x1+...+x Ø s 2 = x 2 º x = x1+...+x Ø Ð ÑÓÝÒÒ Ó ÖÚØÓÒ Ø s 2 ÙÒ Ñ ÙÖ Ð ÔÖ ÓÒ Ó ÖÚØÓÒ ÙØÓÙÖ Ð ÚÐÙÖ ÑÓÝÒÒº ÈÓÙÖ ÒÓØÖ ÜÑÔÐ ÓÒ ÓØÒØ Ð ÚÐÙÖ ÒÙÑÖÕÙ x = Ö s 2 = Ö 2 Ø s = Öº x2 i ÊØÓÙÖ ÙÖ Ð³ÜÑÔÐ ¾ Ø ÒØÓÒ ÈÖÒÓÒ Ð³ÜÑÔÐ ³ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ð ÒØÒØÓÒ ÚÓØ ÐÓÖ ³ÙÒ ÐØÓÒ Ú ÙÜ ÒØ ÒÓØ Ø µº Ä ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ Ø Ð ÔÖÓÔÓÖØÓÒ π ³ÒØÒØÓÒ ÚÓØ Ò ÚÙÖ Ò Ð ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÓØк ÈÓÙÖ ØÑÖ ØØ ÕÙÒØØ ÓÒ ÓÒ = 1000 ÔÖ ÓÒÒ Ó Ù Ö Ø ÓÒ Ó Ð Ö ÙÐØØ Ð ÑÒÖ ÙÚÒØ x i =0 Ð Ñ ÔÖ ÓÒÒ ÓÒ ÔÒ ÚÓØÖ ÔÓÙÖ x i =1 Ð Ñ ÔÖ ÓÒÒ ÓÒ ÔÒ ÚÓØÖ ÔÓÙÖ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ (x 1,..., x ) Ø ÙÒ ÖÐ ØÓÒ ³ÙÒ ÒØÐÐÓÒ (X 1,..., X ) ³ÙÒ ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ Ø Ð ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ θ = π = P [X i =1] Ø Ð ÔÖÑØÖ ØØ ÐÓ ÖÒÓÙÐк ÍÒ ØÑØÙÖ ÒØÙÖÐ π Ø ÐÓÖ Ð ÖÕÙÒ ÑÔÖÕÙ F 1 Ò Ð ÕÙÒ (X 1,..., X ) ³ Ø Ö F = card{i {1...} X i =1} = X i Ò ÖÑÖÕÙÒØ ÕÙπ = E[X i ] Ø F = X ÓÒ ÔÙØ ÖÑÖÕÙÖ ÕÙ³ÓÒ ÖØÖÓÙÚ Ð³ ØÑØÙÖ ÔÖÒØ Ð³ ÔÖÒº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÐÓÖ Ù ÓÒ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ ¼ ÔÖ ÓÒÒ ÔÒ ÒØ ÚÓØÖ Ò ÚÙÖ Ù ÒØ ºº ¼ ½ Ò Ð Ö (x 1,..., x )µº ÍÒ ØÑØÓÒ π Ø ÐÓÖ f = card{i {1...} x i =1} = x i =0.48

4 ÊÑÖÕÙ Ò Ð ÙØ Ù ÓÙÖ Ð ÚÖÐ ÐØÓÖ X i X F Sµ ÓÒØ ÒÓØ Ú ÐØØÖ ÑÙ ÙÐ Ð Ó ÖÚØÓÒ x i µ Ø Ð ØÑØÓÒ f x sµ Ú ÐØØÖ ÑÒÙ ÙÐ º Ä ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ ÓÒØ ÒÓØ Ú ÐØØÖ ÖÕÙ π µ σµº ¾º¾ Ä ÑØÓ Ù ÑÜÑÙÑ ÚÖ ÑÐÒ Ä ÓÒØÓÒ ÚÖ ÑÐÒ Ò ¹ ÓÙ ÓÙ ÙÒ ÖÐ ÓÒÑÒØÐ Ò ØØ ØÕÙº ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ÚÖ ÑÐÒ Ð³ÒØÐÐÓÒ (X 1,..., X ) Ð ÐÓ ÔÖÓÐØ Ò¹ÙÔÐØ ³ Ø Ö Ð ÕÙÒØØ L(θ; x 1,..., x )=P (X 1 = x 1,..., X = x ; θ) = P (X i = x i ; θ) ÐÓÖ ÕÙ Ð X i ÓÒØ Úºº ÖØ L(θ; x 1,..., x )= f(x i; θ) ÐÓÖ ÕÙ Ð X i ÓÒØ Úºº ÓÒØÒÙ Ò Ø f(x i,θ) ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ÐÓ¹ÚÖ ÑÐÒ Ð ÕÙÒØØ l(θ; x 1,..., x )=l(l(θ; x 1,..., x )) Ä ÑØÓ Ù ÑÜÑÙÑ ÚÖ ÑÐÒ ÓÒ Ø ÐÓÖ ØÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÖÐ ØÓÒ (x 1,..., x ) ³ÙÒ ÐÓ P θ ÔÖÒÖ ÓÑÑ ØÑØÓÒ t θ ÙÒ ÚÐÙÖ θ ÕÙ ÖÒ ÑÜÑÐ ÑÜÑÙÑ Ü Øºººµ Ð ÓÒØÓÒ ÚÖ ÑÐÒ ÇÒ ÒÓØÖ t = argmax θ L(θ; x 1,..., x )º ÊÑÖÕÙ θ L(θ; x 1,..., x ) ½º Ò Ð ÖØ L(θ; x 1,..., x ) ³ÒØÖÔÖØ ÖØÑÒØ ÓÑÑ Ð ÔÖÓÐØ ÓÙ ÚÖ ÑÐÒ ³Ó ÖÚÖ (x 1,..., x ) ÐÓÖ ÕÙ θ Ø Ð ÚÖ ÚÐÙÖ Ù ÔÖÑØÖº ÍÒ ÒØÖÔÖØØÓÒ ÑÐÖ Ø ÚÐÐ Ò Ð ÓÒØÒÙ ÔÖ Ô Ð ÐÑغ ijÅÎ Ø ÓÒ Ð ÚÐÙÖ ÔÖÑØÖ ÕÙ ÖÒ Ð Ó ÖÚØÓÒ Ð ÔÐÙ ÚÖ ÑÐк ¾º Ò ÔÖØÕÙ ÓÒ ØÖÚÐÐ ÓÙÚÒØ Ú Ð ÓÒØÓÒ ÐÓ¹ÚÖ ÑÐÒ Ö ÐÐ Ø ÔÐÙ ÑÔÐ ØÙÖ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ Ù ÔÖÓÙØ Ò ÓÑѵº ÜÑÔÐ Ë (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ θ = π ÐÓÖ P θ (X i = x i ) = 1 πsix i =0 πsix i =1 Ú θ = πº ÖÖØ ÓÙ Ð ÓÖÑ P θ (X i = x i )=π xi (1 π) 1 xi pour x i {0, 1} ÇÒ Ò ÙØ ÕÙ (x 1,..., x ) {0, 1} ÐÓÖ Ð ÚÖ ÑÐÒ Ø ÓÒÒ ÔÖ L(π; x 1,..., x ) = = P θ (X i = x i ) π xi (1 π) 1 xi = π xi (1 π) xi

5 ÇÒ Ò ÙØ ÕÙ l(π; x 1,..., x )=l(π) x i + l(1 π)( x i ) ÔÙ ÕÙ ( ) l(π; x1,..., x ) = π ( ) ÓÒ l(π;x1,...,x ) π > 0 xi xi º ijÅÎ Ø ÓÒ F = Xi x i π(1 π) 1 π >πø Ð ÓÒØÓÒ ÚÖ ÑÐÒ ØØÒØ ÓÒ ÑÜÑÙÑ Ò º ÇÒ ÖØÖÓÙÚ Ð³ ØÑØÙÖ ÒØÖÓÙØ ¹ Ù º ÜÑÔлÜÖ ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒÒ Ð³ÜÑÔÐ ½º ½º ÊÐ Ö ÙÒ ØÓÖÑÑ Ó ÖÚØÓÒ º ¾º ÇÒ ÙÔÔÓ Ò Ð ÙØ Ð³ÜÖ ÕÙ Ó ÖÚØÓÒ ÓÒØ ÙÒ ÖÐ ØÓÒ Ò ÚÖÐ ÐØÓÖ (X 1,..., X ) ººº ÐÓ N (µ, σ 2 )ºØØÝÔÓØ ÚÓÙ ÑйعÐÐ ÖÐ Ø º ÓÒÒÖ Ð ÓÒØÓÒ ÚÖ ÑÐÒº ÉÙÐ Ø Ð³ ØÑØÙÖ Ù ÑÜÑÙÑ ÚÖ ÑÐÒ θ =(µ, σ) º ÔÔÐØÓÒ ÒÙÑÖÕÙº ÐÙÐÖ Ð ØÑØÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÙÖ Ð ÓÒÒ ØÑÔÖØÙÖ ÓÙÖÒÐÖ Ö Ø ÔÙ ÖÔÖ ÒØÖ ÙÖ Ð ÙÖ Ð ÕÙ ØÓÒ ½º Ð Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒغ ÓÑÑÒØÞº ËÓÐÙØÓÒ ÔÖØÐÐ ÖÔÕ٠гÝÔÓØ ÒÓÖÑÐØ ÑÐ ÓÙØÙ ÙÖ ½µº ÐÙÐ Ð ÓÒØÓÒ ÚÖ ÑÐÒ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑÐ ÑÓÝÒÒ µ Ø ÖعØÝÔ σ ÐÓÖ Ð Ò Ø Ð Úºº X i Ø ÓÒÒ ÔÓÙÖ x i R ÔÖ f θ (x i )= 1 exp ( (x i µ) 2 ) 2πσ 2σ 2 Ú θ =(µ, σ)º ÓÒ Ð ÓÒØÓÒ ÚÖ ÑÐÒ Ø ÓÒÒ ÔÓÙÖ (x 1,..., x ) R ÔÖ L(θ; x 1,..., x ) = = = f θ (x i ) 1 exp ( (x i µ) 2 2πσ 2σ 2 1 (2π) /2 σ exp ( ) (x i µ) 2 ) 2σ 2 ijØÙ ÔÓÒØ ÖØÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ ØØ ÓÒØÓÒ ØØÒØ ÓÒ ÑÜÑÙÑ ÔÓÙÖ µ = x Ø σ = s ÔÔÐØÓÒ ÒÙÑÖÕÙ x = Ø s =1.7846º

6 º ½ À ØÓÖÑÑ ØÑÔÖØÙÖ Ø Ò Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑÐ Ù Ø ¾º ÈÖÓÔÖØ ØÑØÙÖ ÇÒ ÔÙØ ØÓÙÓÙÖ ÒÖ ÙÒ ÒÒØ ³ ØÑØÙÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ ÓÒÒ Ø Ò ÔÖØÕÙ ÓÒ ÖÖ ÙØÐ Ö Ð ÑÐÐÙÖ ØÑØÙÖ º Ò Ø ÒÖ ÕÙ³ Ø ÙÒ ÓÒ ØÑØÙÖºººº ¾º º½ ³ÙÒ ØÑØÙÖ ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐРг ØÑØÙÖ Ì Ð ÕÙÒØØ biais(t )=E(T ) θ ÇÒ Ø Õ٠г ØÑØÙÖ T Ø Ò ÐÓÖ ÕÙ biais(t )=0 ³ Ø Ö ÐÓÖ ÕÙ E[T ]=θº Ä ÖÔÖ ÒØ Ð³ÖÖÙÖ ÑÓÝÒÒ ÕÙ Ø Ø ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÙØÐ T ÔÓÙÖ ØÑÖ θº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÑÓÝÒÒ E[X i ]=µº X = X1+...+X Ø ÙÒ ØÑØÙÖ Ò µº Ò ÔÖØÙÐÖ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ π ÐÓÖ F = X1+...+X Ø ÙÒ ØÑØÙÖ Ò πº Ë ÓÒ ÙÔÔÓ Ò ÓÙØÖ ÕÙ σ 2 < ÐÓÖ E[S 2 ]= 1 σ2 º S 2 Ø ÓÒ ÙÒ ØÑØÙÖ σ 2 Ø ÓÒ ÔÖÖ ÔÖÓ ÙØРг ØÑØÙÖ ÓÖÖ S 2 corr = ÕÙ Ø ÙÒ ØÑØÙÖ Ò σ 2 º 1 S2 = 1 1 (X i X) 2 ÈÖÙÚ Ë (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÑÓÝÒÒ µ ÐÓÖ E[ X] = E[ X X ] = E[X 1] E[X ] = µ

7 ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ σ 2 < º ÈÖ ÒØÓÒ S 2 = 1 (X i X) 2 Ø Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ (X i X) =(X i µ) ( X µ) ÓÒ ÙØ ÕÙ S 2 = 1 = 1 = 1 (X i µ) 2 2( X µ)(x i µ)+( X µ) 2 (X i µ) 2 2( X µ) 1 (X i µ) 2 ( X µ) 2 (X i µ)+( X µ) 2 ÓÒ E[S 2 ] = E[ 1 (X i µ) 2 ( X µ) 2 ] = 1 E[(X i µ) 2 ] E[( X µ) 2 ] = σ 2 E[( X µ) 2 ] ÁÐ Ö Ø ÐÙÐÖ ÒÐÑÒØ E[( X µ) 2 ] = var( X) = var( 1 X i ) = 1 2 var( X i ) = 1 2 var(x i ) = σ2 E[S 2 ] = 1 σ2 ¾º º¾ ÖÖÙÖ ÕÙÖØÕÙ ³ÙÒ ØÑØÙÖ ÇÒ Ñ ÙÖ ÒÖÐÑÒØ Ð ÔÖ ÓÒ ³ÙÒ ØÑØÙÖ ÔÖ ÓÒ ÖÖÙÖ ÕÙÖØÕÙ ÑÓÝÒÒº ÒØÓÒ Ä³ÖÖÙÖ ÕÙÖØÕÙ ÑÓÝÒÒ Ð³ ØÑØÙÖ T Ò ÔÖ EQM(T )=E[(T θ) 2 ]

8 ijÉÅ ÖÔÖ ÒØ Ð³ ÔÖÒ Ù ÖÖ Ð³ÖØ ÒØÖ Ð³ ØÑØÙÖ Ø Ð ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ ÔÐ٠гÉÅ Ø Ð ÔÐ٠г ØÑØÙÖ Ø ÔÖ º ÊÑÖÕÙ ÇÒ ÑÓÒØÖ ÐÑÒØ ÕÙ E[(T θ) 2 ]=var(t )+E[(T θ)] 2 ³ Ø Ö Õ٠гÖÖÙÖ ÕÙÖØÕÙ ÑÓÝÒÒ Ø Ð Ð ÚÖÒ Ð³ ØÑØÙÖ ÔÐ٠Рг ØÑØÙÖ Ù ÖÖº ÄÓÖ Õ٠г ØÑØÙÖ Ø ÒÓÒ¹ гÉÅ ÓÒ Ú Ð ÚÖÒ ÔÖÑ ÙÜ ØÑØÙÖ Ò Ð ÔÐÙ ÔÖ Ø ÓÒ ÐÙ ÚÖÒ ÑÒÑк ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÑÓÝÒÒ µ Ø ÚÖÒ σ 2 < º ÇÒ ÐÓÖ EQM( X) =var( X) = σ2 º Ò ÔÖØÙÐÖ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ π ÐÓÖ EQM(F )=var(f )= p(1 p) Ë ÔÐÙ µ 4 = E[(X i µ) 4 ] < ÐÓÖ EQM(S 2 corr )=var(s2 corr )=µ 4 3 ( 1) σ4 ÈÖÙÚ ÔÖØÐÐ Ë (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÑÓÝÒÒ µ Ø ÚÖÒ σ< ÐÓÖ X Ø ÙÒ ØÑØÙÖ Ò µ ÓÒ ÔÖÙÚ Ù ÔÖÖÔ ÔÖÒص EQM( X) = var( X) = var( X X ) = var(x 1) var(x ) 2 = σ2 Ä ÐÙÐ var(scorr 2 ) Ø ÔÐÙ Ðغºº ¾º º ÈÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕÙ ÇÒ ÒÓØÖ Ò ÔÖÖÔ T ÙÒ ØÑØÙÖ θ ÙÖ ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ØÐÐ (X 1,..., X )º ÍÒ ÓÒ ØÑØÙÖ ÓØ ÚÓÖ ÓÒÒ ÔÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕÙ ³ Ø Ö ÔÖÓÔÖØ ÓÒÚÖÒ ÐÓÖ ÕÙ º Ò ÔÖØÙÐÖ ÓÒ ÔÖÖÖ ØÑØÙÖ ÕÙ ÓÒØ ÓÒÚÖÒØ ÓÙ ÓÒ ØÒØ µº ÒØÓÒ T Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ θ ÐÓÖ ÕÙ T ÓÒÚÖ Ò ÔÖÓÐØ ÚÖ θ ³ Ø Ö ɛ >0, P[ T θ >ɛ] 0 ÕÙÒ + º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÑÓÝÒÒ µ Ø ÚÖÒ σ 2 < º X = X1+...+X Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ µº Ò ÔÖØÙÐÖ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ π ÐÓÖ F = X1+...+X Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ πº

9 β 1 1 β 1 1 β β β β º ¾ ÈÐÙ ÙÖ ÖÐ ØÓÒ ØÖÓ ØÑØÙÖ ÖÒØ º Ä ÚÖ ÚÐÙÖ Ù ÔÖÑØÖ Ø Ð ÒØÖ Ð Ð ÔÓÒØ ÓÓÖÓÒÒ (1, 1)µº Ä ÔÖÑÖ ØÑØÙÖ ÙÖ Ùµ Ø ÓÒ Ú Ý ØÑØÕÙÑÒØ ØÖÓÔ Ò Ø Ù Ù ÒØÖµ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÙÜÑ ÙÖ Ù ÑÐÙµ Ø ØÖÓ Ñ ØÑØÙÖ ÙÖ ÖÓص ÓÒØ ÒÓÒ¹ º Ä ÚÖÒ Ù ÙÜÑ ØÑØÙÖ Ø ÔÐÙ ÓÖØ ÕÙ ÐÐ Ù ØÖÓ Ñ ØÑØÙÖº Ë ÔÐÙ µ 4 = E[(X i µ) 4 ] < ÐÓÖ S 2 = X X2 X 2 Ø S,corr 2 = 1 S2 = 1 1 (X i X) 2 ÓÒØ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ σ 2 º ÈÖÙÚ ÔÔÐØÓÒ ÖØ Ð ÐÓ ÖÒ ÒÓÑÖ ÄƵº ÒÓÑÖÙÜ ØÑØÙÖ ÚÖÒØ ÙÒ ÌÄ ³ Ø Ö ÓÒØ ØÐ ÕÙ (T θ) L N(0,σ 2 (θ)) ÐÓÖ ÕÙ Ò Ø ÖÒº ØÝÔ ÓÑÔÓÖØÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ø ÓÙÖÑÑÒØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÓÒ ØÖÙÖ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÓÙ ÖÐ Ö Ø Ø ÔÖÖÔ ÙÚÒØ µ Ø Ø ÓÒ ÔÖØÙÐÖÑÒØ ÓÙØк ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÑÓÝÒÒ µ Ø ÚÖÒ σ 2 < ÐÓÖ ( X µ) L N(0,σ 2 ) Ò ÔÖØÙÐÖ (X 1,..., X ) Ø ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ π Ø F = X1+...+X ÐÓÖ (F π) N(0,π(1 L π)) ÈÖÙÚ ÙØÐ ØÓÒ ÖØ Ù ØÓÖÑ ÒØÖÐ ÐÑØ Ìĵº ÖØÒ ØÑØÙÖ ³ÖÚÒØ ÓÙ ÐÓÖÑS = g(t ) Ú T ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒØ Ð ÔÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕÙ ÓÒØ ÓÒÒÙ Ø g : R R ÙÒ ÓÒØÓÒº ÇÒ ÔÙØ ÐÓÖ ÙÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕÙ S ÐÐ T Ò ÙØÐ ÒØ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ¹ ÓÙ º

10 ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÐØ ÑØÓµ Ë T Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ θ Ø g Ø ÓÒØÒÙ Ò θ ÐÓÖ g(t ) Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ g(θ)º Ë ÔÐÙ (T θ) L N(0,σ 2 ) Ø g Ø ÖÚÐ Ò θ ÐÓÖ (g(t ) g(θ)) L N(0, (g (θ)) 2 σ 2 ) ÈÖÙÚ ÓÒÚÖÒ ÓÙÖ ÔÖÓ ÆÓÖÑÐØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ð ÔÖÙÚµ ÓÑÑ g Ø ÖÚÐ Ò θ ÓÒ ÔÙØ ÖÖ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ð ÓÖÑ g(t )=g(θ)+g (θ)(t θ)+r º ÇÒ ÓÒ (g(t ) g(θ)) g (θ)(t θ) Ú g (θ)(t θ) L N(0, (g (θ)) 2 σ 2 ) ÜÑÔÐ ³ÙØÐ ØÓÒ ËÓØ (X 1,..., X ) ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÔÖÑØÖ λ>0º Ä Ò Ø X i Ø ÐÓÖ f λ (x) =λexp( λx)1l R +(x) ÇÒ ÔÙØ ÑÓÒØÖÖ Õ٠г ØÑØÙÖ Ù ÑÜÑÙÑ ÚÖ ÑÐÒ Ø T = T = 1 X Ø ³ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÔÖÒØ X Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ E[X i ]= 1 λ ( X 1 λ ) L N(0,σ 2 ) Ú σ 2 = var(x i )= 1 λ 2 º Ò ÙØÐ ÒØ Ð ÐØ ÑØÓ Ú g(x) =1/x ÓÒ Ò ÙØ ÕÙ T Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ λ ( T λ) L N(0,λ 2 ) º ÇÒ ÓÒ Xi ØÑØÓÒ ÔÖ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ Ò Ð ÔÖÖÔ ÔÖÒØ ÑØÓ ÔÖÑØØÒØ ³ ØÑÖ Ð ÚÐÙÖ ³ÙÒ ÔÖÑØÖ ÒÓÒÒÙ θ ÔÖØÖ ³Ó ÖÚØÓÒ ÓÒØ Ø ÔÖÓÔÓ º ÑØÓ ÓÙÖÒ ÒØ ÙÐÑÒØ ÙÒ ÚÐÙÖ ØÑØÓÒ ÔÓÒØÙÐе Ñ Ò ÔÖÑØØÒØ Ô ÕÙÒØÖ Ð ÔÖ ÓÒ ØØ ØÑØÓÒº ÈÓÙÖ Ð ÓÒ ÙØÐ ÒÖÐÑÒØ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÕÙ ÔÙÚÒØ ³ÒØÖÔÖØÖ ÓÑÑ ÑÖ ³ÖÖÙÖº º½ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ³ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð ÑÓÝÒÒ ³ÙÒ ÒØÐÐÓÒ Ù Ò ÐÓÖ ÕÙ Ð ÚÖÒ Ø ÓÒÒÙ ÇÒ ÙÔÔÓ Ò ÔÖÖÔ ÕÙ X 1,..., X Ø ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ N(µ, σ 2 )ºÇÒ Ö ØÑÖ µ ÙÔÔÓ ÒÓÒÒÙ Ñ ÓÒ ÙÔÔÓ Õ٠гÖعØÝÔ σ Ø ÓÒÒÙº Ø ÖÖÑÒØ Ð Ò ÔÖØÕÙ Ø ÔÖØÙÐÖ ÓÒ ÔÖÒÔÐÑÒØ ÙÒ ÓØ ÔÓÕÙº ÆÓÙ ÖÚÒÖÓÒ ÙÖ Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ ³ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ Ð ÑÓÝÒÒ ³ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ÓÙ ÝÔÓØ ÔÐÙ ÖÐ Ø Ò Ð ÙØ ÓÙÖ º ÇÒ ÔÙØ ÐÓÖ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ X N(µ, σ2 ) ÔÙ ÕÙ X µ σ N(0, 1) Ø ÓÒ P [u α/2 X µ σ ½¼ u 1 α/2 ]=1 α

11 Ú u α Ð ÕÙÒØÐ ³ÓÖÖ α Ð ÐÓ N (0, 1) ÕÙ ÖÖØ P [ X + u α/2 σ µ X + u 1 α/2 σ ]=1 α ijÒØÖÚÐÐ [ X + u α/2 σ ; X + u 1 α/2 σ ] Ø ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÐØÓÖ ÔÙ ÕÙ Ð ÓÖÒ ÔÒÒØ ÚÖÐ ÐØÓÖ X 1,..., X µ ÕÙ ÓÒØÒØ Ð ÚÖ ÚÐÙÖ Ù ÔÖÑØÖ µ Ú ÙÒ ÔÖÓÐØ 1 αº ÍÒ ØÐ ÒØÖÚÐÐ Ø ÔÔÐ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ Ù ÒÚÙ ÓÒÒ 1 α ÔÓÙÖ µº Ò ÔÖØÕÙ Ð ÕÙÒØÐ Ð ÐÓ N (0, 1) ÔÙÚÒØ ØÖ ÓØÒÙ Ò ÙØÐ ÒØ ØÐ ØØ ØÕÙ ÓÙ ÐÓÐ ÔØ Ê ÅØÐ ËË Üкººµ ÒØÓÒ Ð³ÒØÖÚÐÐ ÐØÓÖ [a(x 1,..., X ); b(x 1,..., X )] Ø ÔÔÐ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ Ù ÒÚÙ ÓÒÒ 1 α ÔÓÙÖ θ P [a(x 1,..., X ) θ b(x 1,..., X )]] = 1 αº º¾ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ³ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ÕÙÐÓÒÕÙ ÄÓÖ ÕÙ Ð ØÐРгÒØÐÐÓÒ Ø Ù ÑÑÒØ ÖÒ ÓÒ ÔÙØ ÓÒ ØÖÙÖ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÔÓÙÖ Ð ÑÓÝÒÒ µ Ò ÙØÐ ÒØ Ð ÔÖÓÔÖØ ÝÑÔØÓØÕÙ X Ø S 2 º ÈÐÙ ÔÖ ÑÒØ ÓØ (X 1,..., X ) ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÚÖÒØ var(x i )=σ 2 < + º ÈÓÙÖ Ò ÖÒ ³ÔÖ Ð ÌÄ ÓÒ X µ N(0, 1) σ ØØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ÚÐÐ ÑÑ Ð³ÒØÐÐÓÒ Ò³ Ø Ô Ù Ò Ø ÔÖÑØ Ö ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÐÓÖ ÕÙ σ Ø ÓÒÒÙº ÄÓÖ ÕÙ σ Ø ÒÓÒÒÙ ÓÒ ÔÙØ ÙØÐ Ö Ð Ø ÕÙ S 2 Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ σ 2 Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ò ÖÒ ÓÒ ÒÐÑÒØ ÓÒ Ò ÙØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ò ÖÒ X µ S S σ N(0, 1) ÍÒ ÑÓÒ ØÖØÓÒ ÖÓÙÖÙ Ö ÙÐØØ ÔÙØ ØÖ ÓØÒÙ Ò ÙØÐ ÒØ Ð ÐÑÒ ËÐÙØ Ý X µ ÓÒ ÔÙØ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ ÓÙ Ð ÓÒØÓÒ ³ÔÔÐØÓÒ Ù ÌÄ S ÓÒÚÖ Ò ÐÓ ÚÖ ÙÒ ÐÓ N (0, 1)µ Ò ÔÖØÕÙ ÓÒ ÙÔÔÓ ÒÖÐÑÒØ ÕÙ ØØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ÚÐ ÕÙ 30 µº ÇÒ ÐÓÖ ÔÙ P [u α/2 X µ S u 1 α/2 ] 1 α P [ X + u α/2 S µ X + u 1 α/2 S ] 1 α ijÒØÖÚÐÐ [ X + u α/2 S ; X + u 1 α/2 S ] Ø ÔÔÐ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÝÑÔØÓØÕÙ Ù ÒÚÙ ÓÒÒ 1 α ÔÓÙÖ µº ÜÑÔлÜÖ ÉÙÐÐ Ø Ð ØÑÔÖØÙÖ ÑÓÝÒÒ ÓÒÒ ÔÖ Ð ØÖÑÓÑØÖ ÇÒ ÓÒÒÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ± Ø ÓÒ ÙØÖ Ð ÚÐØ ÝÔÓØ ÔÖÑØØÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ø ÒØÖÚÐк ½½

12 º¾º½ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ³ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒ ÁÐ Ø ÐÑÒØ ÔÓ Ð ÓÒ ØÖÙÖ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒ ÐÓÖ ÕÙ Ò Ø ÖÒº ËÓØ X 1,..., X ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ ³ÙÒ ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ πº ³ÔÖ Ð ÌÄ ÓÒ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ò ÖÒ ÓÒ F π N(0, 1) π(1 π) ÓÑÑ F Ø ÙÒ ØÑØÙÖ ÓÒÚÖÒØ π ÔÓÙÖ Ò ÖÒ ÓÒ ÔÙØ ÖÑÔÐÖ Ð ÒÓÑÒØÙÖ ÔÖ F (1 F ) ÐÑÑ ËØ٠ݵ Ø ÓÒ ÐÓÖ F π N(0, 1) F (1 F ) ÔÙ Ø ÒÒ P [u α/2 F π u 1 α/2 ] 1 α F (1 F ) F (1 F ) F (1 F ) P [F + u α/2 π F + u 1 α/2 ] 1 α F (1 F ) F (1 F ) ÓÒ [F + u α/2 ; F + u 1 α/2 ] Ø ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÝÑÔØÓØÕÙ Ù ÒÚÙ ÓÒÒ 1 α ÔÓÙÖ πº Ò ÔÖØÕÙ ÓÒ ÙÔÔÓ ÒÖÐÑÒØ ÕÙ ØØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ÚÐÐ ÕÙ π 5 Ø (1 π) 5º ÓÑÑ π Ø ÒÓÒÒÙ Ò ÔÖØÕÙ ÓÒ ÚÖ ÔÓ ØÖÓÖ Ð ÓÒØÓÒ ÓÒØ ÚÖ ÔÓÙÖ Ð ÓÖÒ Ð³ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ³ Ø Ö F (1 F ) F (1 F ) (F u α/2 ) 5 Ø (1 F u 1 α/2 ) 5 ÜÑÔлÜÖ Ò ³ ØÑÖ Ð ÒØÒØÓÒ ÚÓØ ÐÓÖ Ù ÙÜÑ ØÓÙÖ ³ÙÒ ÐØÓÒ ÔÖ ÒØÐÐ ÙÒ Ò ØØÙØ ÖÐ ÙÒ ÓÒº ËÙÖ ½¼¼¼ ÔÖ ÓÒÒ ÒØÖÖÓ Ù Ö ¾¼ ÔÒ ÒØ ÚÓØÖ ÔÓÙÖ Ð ÒØ Ø ¼ ÔÓÙÖ Ð ÒØ º ÓÒÒÖ ÙÒ ØÑØÓÒ Ð ÔÖÓÔÓÖØÓÒ ³ÒØÒØÓÒ ÚÓØ Ò ÚÙÖ Ù ÒØ Ò Ð ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÓØÐ Ò ÕÙ³ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ±º ÓÑÒ ÔÖ ÓÒÒ ÙÖعРÓÒÖ ÔÓÙÖ ØÖ ÖØÒ ³ÓØÒÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ± ÓÒØ Ð ÐÖÙÖ Ø ÒÖÙÖ ¼º½± Ì Ø ØØ ØÕÙ º½ ÒÖÐØ ÙÖ Ð Ø Ø ÍÒ Ø Ø ØØ ØÕÙ ÔÖÑØ ÚÖÖ ÖØÒ ÝÔÓØ Ø ÙÖ Ð ÚÐÙÖ ÔÖÑØÖ ÓÒØ ÖÐ Ø ÓÙ ÒÓÒº ÈÐÙ ÔÖ ÑÒØ Ò Ð Ö ÓÙÖ ÒÓÙ ÒÓÙ ÒØÖ ÖÓÒ Ø ØÖ ÝÔÓØ Ð ÓÖÑ H 0 : θ Θ 0 ÓÒØÖ Ð³ÝÔÓØ ÐØÖÒØÚ H 1 : θ/ Θ 0 Ú Θ 0 Θº ÇÒ ØÒÙ Ù ÙÐÐÑÒØ ÙÜØÝÔ ³ÖÖÙÖ Ä³ÖÖÙÖ ÔÖÑÖ Ô ÕÙ ÓÒ Ø ÖØÖ H 0 ÐÓÖ ÕÙ H 0 Ø ÚÖº ÇÒ ÔÔÐÐ Ö ÕÙ ÔÖÑÖ Ô α Ð ÔÖÓÐØ Ó Ö H 1 ÐÓÖ ÕÙ H 0 Ø ÚÖº ijÖÖÙÖ ÙÜÑ Ô ÕÙ ÓÒ Ø ÔØÖ H 0 ÐÓÖ ÕÙ H 0 Ø Ù º ÇÒ ÔÔÐÐ Ö ÕÙ ÙÜÑ Ô β Ð ÔÖÓÐØ Ó Ö H 0 ÐÓÖ ÕÙ H 0 Ø Ù º Ò ÔÖØÕÙ ÓÒ Ü ÒÖÐÑÒØ α ÚÐÙÖ ÓÙÖÒØ ± ½±µ Ø H 0 ÓÙ ÓÒ ÙÒ ÖÐ ÔÐÙ ÑÔÓÖØÒØ ÕÙH 1 º 1 β Ø ÔÔÐ Ð ÔÙ Ò Ù Ø Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ö ÕÙ ÔÖÑÖ Ô α Ü ÓÒ Ö ÓÒ ØÖÙÖ Ð Ø Ø ÓÒØ Ð ÔÙ Ò Ø Ð ÔÐÙ ÖÒ ½¾

13 º¾ º¾º½ Ì Ø ÙÖ Ð ÐÓ ÒÓÖÑÐ Ì Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÑÓÝÒÒ ÇÒ ÔÓ ³ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ (X 1,..., X ) ³ÙÒ ÐÓ ³ ÔÖÒ ÒÓÒÒÙ µ = E[X i ] Ø ÓÒ ÚÙØ Ø ØÖ Ð³ÝÔÓØ ÑÔÐ H 0 : µ = µ 0 ÓÒØÖ Ð³ÝÔÓØ ÐØÖÒØÚ H 1 : µ µ 0 Ú µ 0 ÙÒ ÚÐÙÖ Üº ÈÖÑÖ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ (X 1,..., X ) iid N (µ, σ 2 ) Ú σ ÓÒÒÙ ÔÖÖÔ ÙÖ Ð ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒµº ÇÒ ÐÓÖ ÓÒ H 0 Ø ÚÖ ÓÒ µ = µ 0 Ø X µ σ N(0, 1) P H0 [u α/2 X µ 0 σ ÇÒ ÓÔØ ÐÓÖ Ð ÖÐ ÓÒ ÙÚÒØ ÇÒ ÔØ H 0 X µ 0 σ [u α/2,u 1 α/2 ]º ÇÒ ÖÙ H 0 ÒÓÒº u 1 α /2] = 1 α ÊÑÖÕÙ ÇÒ ÔØ ÓÒ H 0 ÐÓÖ ÕÙ σ σ X [µ 0 + u α/2,µ 0 + u 1 α/2 ] ³ Ø Ö ÐÓÖ ÕÙ X Ø Ù ÑÑÒØ ÔÖÓ µ 0 º Ä ÖÐ ÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ö ÕÙ ÔÖÑÖ Ô ÓØ Ò Ð αº ÙÜÑ ÓÒ Ò ÙÔÔÓ ÔÐÙ Õ٠гÒØÐÐÓÒ Ø Ù Ò Ò ÕÙ Ð ÚÖÒ σ 2 Ø ÓÒÒÙº ÈÖ ÓÒØÖ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ø Ù ÑÑÒØ ÖÒ 30 µ ÔÓÙÖ Õ٠гÔÔÖÓÜÑØÓÒ X µ N(0, 1) S ÓØ ÚÐк ÐÓÖ H 0 Ø ÚÖ ÓÒ µ = µ 0 Ø P H0 [u α/2 X µ 0 S u 1 α/2 ]=1 α ÇÒ ÓÔØ ÐÓÖ Ð ÖÐ ÓÒ ÙÚÒØ ÇÒ ÔØ H 0 X µ 0 S [u α/2,u 1 α/2 ]º ÇÒ ÖÙ H 0 ÒÓÒº ÜÑÔлÜÖ Ú Ð ÓÒÒ Ð³ÜÑÔÐ ½ ÔÙعÓÒ ÖÑÖ ÕÙ Ð ØÖÑÓÑØÖ Ñ ÙÖÒØ Ò ÙÒ ØÑÔÖØÙÖ 20 o Ú ÙÒ Ö ÕÙ ± º¾º¾ Ì Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒ ÇÒ ÔÓ ³ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ (X 1,..., X ) ³ÙÒ ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ π ÒÓÒÒÙ Ø ÓÒ ÚÙØ Ø ØÖ Ð³ÝÔÓØ ÑÔÐ H 0 : π = π 0 ÓÒØÖ Ð³ÝÔÓØ ÐØÖÒØÚ H 1 : π π 0 ½

14 ÇÒ ÚÙ ÕÙ ÔÓÙÖ Ò ÖÒ ÔÖÖÔ ÙÖ Ð ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒµ ÓÒ F π N(0, 1) π(1 π) ÓÒ H 0 Ø ÚÖ ÓÒ π = π 0 Ø P H0 [u α/2 F π 0 π0 (1 π 0 ) u 1 α/2] 1 α ÇÒ ÙÔÔÓ ÒÖÐÑÒØ ÕÙ ØØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ÚÐÐ ÐÓÖ ÕÙ π 5 Ø (1 π) 5º ÇÒ ÓÔØ ÐÓÖ Ð ÖÐ ÓÒ ÙÚÒØ ÇÒ ÔØ H 0 F π0 [u π0(1 π 0) α/2,u 1 α/2 ]º ÇÒ ÖÙ H 0 ÒÓÒº ÜÑÔлÜÖ Ò ³ ØÑÖ Ð ÒØÒØÓÒ ÚÓØ ÐÓÖ Ù ÙÜÑ ØÓÙÖ ³ÙÒ ÐØÓÒ ÔÖ ÒØÐÐ ÙÒ Ò ØØÙØ ÖÐ ÙÒ ÓÒº ËÙÖ ½¼¼¼ ÔÖ ÓÒÒ ÒØÖÖÓ Ù Ö ¾¼ ÔÒ ÒØ ÚÓØÖ ÔÓÙÖ Ð ÒØ Ø ¼ ÔÓÙÖ Ð ÒØ º ØÒØ ÓÒÒ Ð Ö ÙÐØØ ÓÒ ÔÙعÓÒ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð ÒØÒØÓÒ ÚÓØ Ò Ð ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÓØÐ ÓÒØ ÒØÕÙ Ò ÚÙÖ ÙÜ ÒØ º Ì Ø ÙÖ Ð ÐÓ Ù χ 2 º º½ ÊÔÔÐ ÙÖ Ð ÐÓ Ù χ 2 Ä ÐÓ Ù χ 2 ¹Ùܵ Ø ÙÒ ÐÓ ØÖ ÙØÐ Ò ÔÖØÕÙ Ö ÒÓÑÖÙ ØØ ØÕÙ ÙÚÒØ ØØ ÐÓ ÓÙ ÓÒÚÖÒØ ÚÖ ØØ ÐÓº ÆÓÙ ÒÓÙ ÓÒØÒØÖÓÒ ³ÒÓÒÖ ÖØÒ ÔÖÓÔÖØ Ð ÔÐÙ ÙØÐ ÔÓÙÖ Ð Ùغ ÒØÓÒ ËÓÒØ U 1,...,U ÚÖÐ N(0, 1) ÒÔÒÒØ º Ä ÐÓ Ð ÚÖÐ ÐØÓÖ X = U i 2 Ø ÔÔÐ ÐÓ Ù ¹ÙÜ Ö ÐÖØ º ÇÒ ÒÓØ X χ 2 ÁÐ Ø ÖÐØÚÑÒØ ÐÖ ÕÙ Ð ÐÓ Ù χ 2 Ø ÙÒ ÐÓ ÔÖÓÐØ ÙÖ R + ÑØØÒØ ÙÒ Ò Øº ØØ ÖÒÖ Ø Ò ÔÖ g(t) = Γ( 2 )t 2 1 e t 2 1lR +(t) ÇÒ ÔÙØ ÑÓÒØÖÖ ÔÐÙ Ð ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ ØØ ÐÓ ÈÖÓÔÖØ ËÓÒØ X χ 2 Ø Y χ 2 m ÒÔÒÒØ º ÇÒ ÐÓÖ X + Y χ 2 (+m) E(X) = V (X) =2 ÜÖ ÅÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ÔÖÒØ º º º¾ Ì Ø ÙÖ Ð ÚÖÒ ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑÐ ÇÒ ÔÓ ³ÙÒ Ò¹ÒØÐÐÓÒ (X 1,..., X ) ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑÐ ÔÖÑØÖ µ Ø σº ÇÒ ÓÙØ ÐÓÖ Ø ØÖ Ð³ÝÔÓØ ÑÔÐ H 0 : σ = σ 0 ÓÒØÖ Ð³ÝÔÓØ ÐØÖÒØÚ H 1 : σ = σ 1 Ú σ 1 >σ 0 Ú σ 0 Ø σ 1 ÙÜ ÚÐÙÖ Ü º ÈÖÑÖ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ (X 1,..., X ) iid N (µ, σ 2 ) Ú µ ÓÒÒÙº ÇÒ ÐÓÖ (X i µ) 2 σ 2 χ 2 ½

15 ÓÒ H 0 Ø ÚÖ ÓÒ σ = σ 0 Ø P H0 [ (X i µ) 2 σ 2 0 >k,alpha ]=α Ók,alpha Ø Ð ÕÙÒØÐ ³ÓÖÖ α ³ÙÒ χ 2 Ö ÐÖØ º ÇÒ ÓÔØ ÐÓÖ Ð ÖÐ ÓÒ ÙÚÒØ ÇÒ ÔØ H 0 (Xi µ)2 <k σ0 2,alpha ÇÒ ÖÙ H 0 ÒÓÒº ÊÑÖÕÙ ÇÒ ÔØ ÓÒ H 0 ÐÓÖ ÕÙ D = 1 (X i µ) 2 > σ2 0k,alpha ³ Ø Ö ÐÓÖ ÕÙ D г ØÑØÓÒ Ð ÚÖÒ Ø Ù ÑÑÒØ ÔØغ Ä ÖÐ ÓÒ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ö ÕÙ ÔÖÑÖ Ô ÓØ Ò Ð αº Ä ÐÓ Ù χ 2 ÔÖÑØ ÓÒ ØÖÙÖ ÒØÖÚÐÐ ÓÒÒ ÑÒÖ ÑÐÖ ÐÐ ÚÐÓÔÔ Ò Ð ÔÖØ ÓÖÖ ÔÓÒÒغ ÙÜÑ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ (X 1,..., X ) iid N (µ, σ 2 ) Ú µ ÒÓÒÒÙ Ñ ØÑ ÔÖ X = 1 X iº ÇÒ ÐÓÖ (X i X) 2 ÓÒ H 0 Ø ÚÖ ÓÒ σ = σ 0 Ø σ 2 χ 2 1 P H0 [ (X i X) 2 σ 2 0 >k 1,α ]=α ÇÒ ÓÔØ ÐÓÖ Ð ÖÐ ÓÒ ÙÚÒØ (Xi X) 2 σ 2 0 <k 1,α ÇÒ ÔØ H 0 ÇÒ ÖÙ H 0 ÒÓÒº ÊÑÖÕÙ ÑÔÓÖØÒØ Ä ÙÜ Ø Ø ÔÖ ÒØ ÙØÐ ÒØ ÐÐÓÙχ 2 Ò ÓÒØ ÚÐÐ ÕÙ Ò Ð Ó Ð Ó ÖÚØÓÒ ÙÚÒØ ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑк ÜÑÔлÜÖ Ä ÖÕÙÒØ ØÖÑÓÑØÖ ÔÖ Ò Ð³ÜÑÔÐ ½ ÖÑ ÕÙ ØÖÑÓÑØÖ ÓÒÒÒØ Ð ÓÒÒ ØÑÔÖØÙÖ 0.1 o ÔÖ º Ù Ö ÕÙ ± ÔÓÙÚÞ¹ÚÓÙ ÓÒÖÑÖ ÓÙ ÒÓÒ ØØ ÖÑØÓÒ º º Ì Ø Ù ÖÔÔÓÖØ ÚÖ ÑÐÒ ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÑÒØÒÒØ ÓÒ ØÖÙÖ ÙÒ Ø Ø Ò ÒØ Ô ÙÖ ÙÒ ØÝÔ ÐÓ ÔÖØÙÐÖ Ñ ÚÐÐ Ù ÑÓÑÒØ Ó Ð³ÓÒ Ø ÐÙÐÖ Ð ÚÖ ÑÐÒ Ù ÑÓк ËÙÔÔÓ ÓÒ Õ٠гÓÒ ÓÙØ Ø ØÖ H 0 : θ = θ 0 Ó θ R p Ø ÙÒ ÔÖÑØÖ ÖØÖ ÒØ ÓÑÔÐØÑÒØ Ð ÑÓÐ ÔÖ Ð Ð ÚÖ ÑÐÒº ÈÓ ÓÒ ÐÓÖ λ = L(θ 0; x 1,...,x ) supl(θ; x 1,...,x ) θ ÆÓØÓÒ ÕÙ λ ØÙ ÒØÖ ¼ Ø ½º ÁÒØÙØÚÑÒØ λ Ö ³ÙØÒØ ÔÐÙ ÔÖÓ ½ Õ٠гÝÔÓØ H 0 Ø ÚÖ ÑÐÐ Ö ÐÓÖ θ 0 Ø ÔÖÓ Ð ÚÐÙÖ ÕÙ ÖÐ Ð ÑÜÑÙÑ ÚÖ ÑÐÒ ˆθº ÇÒ Ò ÙØ Õ٠гÓÒ ÔØÖ H 0 λ <k Ú k ÙÒ ÚÐÙÖ ØÖÑÒÖ ÔÓÙÖ ÓÒØÖÐÖ Ð Ö ÕÙ Ó Ù Ø Øº ÔÓÒØ Ø ÖÐ Ö Ð ØÓÖÑ ÙÚÒØ ÓÒ ÒÓÙ ÖÓÒ Ð ÑÓÒ ØÖØÓÒ Ò Ð Ó θ Ø ÙÒ ÔÖÑØÖ ÐÖº ½

16 L ÌÓÖÑ ËÓ٠гÝÔÓØ H 0 2lλ χ 2 p ÈÖÙÚ Ä ÔÖÙÚ Ö Ø Ò ÓÙÖ ÒÓÙ Ò ÓÒÒÖÓÒ ÕÙ Ð º ÆÓÙ ÒÓÙ ÔÐÓÒ Ò Ð Ó Ð ÔÖÑØÖ θ Ø ÐÖº Ò ÙØ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ Ò Ö ÌÝÐÓÖ Ù ÚÓ Ò ˆθ ÔÓÒØ ÓÐÖÚ ³ÒÒÙÐ Ö ³ Ø ÙÒ ÑÜÑÙѵ ÔÙ Ð ÐÓ ÖÒ ÒÓÑÖ ÒÓÙ ÓÒÒÒØ Ð Ö ÙÐØØ ØØÒÙº º º Ì Ø ³ÕÙØÓÒ ÙÒ ÐÓ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÖÓÒ ÙÒ Ø Ø Ð ÕÙ ³ÕÙØÓÒ ÙÒ ÐÓ ÖØ ÓÙ ÙÒ ÐÓ ÖØ º Ø Ø Ø ÓÙÖÑÑÒØ ÙØÐ Ò ÔÖØÕÙ ÔÖ ÜÑÔÐ ÔÓÙÖ Ø ØÖ Ð³ÕÙÐÖ ³ÙÒ ÙÖ Ð ³ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ÐÒÖ ÓØÒÙ Ú º ÇÒ ÚÓØ Ø ÜÑÔÐ Õ٠гÓÒ ØÙ Ò ÙÒ Ö ÔÐÙ ÒÖÐ ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ Õ٠гÓÒ Ö Ø ØÖ Ð³ÕÙÐÖ ³ÙÒ Ôº ËÙÔÔÓ ÓÒ Õ٠гÓÒ ÓÒÒ ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÓÒØ Ð ÐÓ Ø ÖØ ³ ع¹Ö ÕÙ³ÐÐ ÔÖÒ k ÑÓÐØ ØÒØ ÙÒ Ú ÙÒ ÔÖÓÐØ p i ÔÓÙÖi =1,...,kºËÓØ ÒÓÖ ÙÒ ÒØÐÐÓÒ ØØ ÚÖÐ ÐØÓÖ ØÐÐ ³ ع¹Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ ÑÓÐØ ÓÒ Ó ÖÚ ÙÒ Ø N i Ú = k N iº ÇÒ ÔÙØ ÒÓØÖ Õ٠гÓÒ E(N i )=p i º ÓÖÑÓÒ ÐÓÖ Ð ØØ ØÕÙ D Ò ÔÖ k (N i p i ) 2 D = p i º½µ ÁÒØÙØÚÑÒØ ØØ ÕÙÒØØ ÖÔÖ ÒØ Ð ØÒ ÒØÖ Õ٠гÓÒ Ó ÖÚ Ð N i µøð ÕÙÒØØ ÔÖ p i º ÇÒ ÖÒ ÐÓÖ ÓÑÔØ ÕÙ Ð (p i ) ÓÒØ ÙÜ Ð ÚÖ ÐÓ Ð ÚÐÙÖ Ó ÖÚ D ÙÖ ÙÒ ÒØÐÐÓÒ Ö Ðº ÇÒ ÔÙØ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ D ÙØ ÝÑÔØÓØÕÙÑÒØ ÙÒ ÐÓ Ù χ 2 ¹½ Ö ÐÖØ ÓÒ ÖÑÖÕÙ Ò Ø ÕÙ k ØÖÑ ÒØÖÚÒÒÒØ Ò Ð ÓÑÑ Ñ ÕÙ³Ð Ò ÓÒØ Ô ØÓÙ ÒÔÒÒØ ÓÒ ÒÓØ ÕÙ k N i = Ð Ý ÙØ ÓÒ ÓÒÒØÖ k 1 ØÖÑ º ÁÐ Ø ÐÓÖ Ð ³Ò ÙÖ Ð Ø Ø ÝÔÓØ ÙÚÒØ { H0 : i, p i = p i0 H 1 : i p i p i0 ÇÒ ÖØØÖ ÐÓÖ H 0 D>sÚ P (χ 2 k 1 >s)=αº ÊÑÖÕÙ ÇÒ ÔÙØ Ù ØÒÖ Ø Ø Ð ÓÑÔÖ ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ ÒØÐÐÓÒ ÖØ ÔÖ ÙÒ ÚÖÐ ÕÙÐØØÚº ØØ ÜØÒ ÓÒ Ö ØÖØ ØØÖ ³ÜÖº ÜÑÔлÜÖ ÇÒ ÖÐ ÔÐÙ ÙÖ ÐÒÖ Ù ³ÙÒ ÑÑ Ð Ö ÙÐØØ ØÒØ ÖÔÓÖØ Ò Ð ØÐÙ ¹ ÓÙ º Ò ÜÒØ ÙÒ Ö ÕÙ ± ÙعÓÒ ÓÒ ÖÖ ÕÙ Ð Ø ÕÙÐÖ ½ ¾ Ø ½ ¾ ½¼ ½ ½ ½

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