Angles particuliers. utilisation de la calculatrice

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1 Angles particuliers 1 utilisation de la calculatrice 1 d'après Caen juin 199 aire d un triangle aire d un parallélogramme aire et périmètre d un trapèze 3 deux triangles rectangles 4 VOILIER 5 l échelle 5 PENTAGONE 6 Angles particuliers.compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes sous la forme a ou sous la forme d'une fraction. Pour réaliser les calculs, on utilisera les b propriétés d'un triangle équilatéral C de hauteur AH, puis d'un triangle DEF rectangle isocèle en D. Pour contrôler plus facilement les résultats sur la figure on pourra choisir =EF=1dm. Angle sinus cosinus tangente utilisation de la calculatrice III A la calculatrice, indiquer une valeur arrondie à 0,01 près de sin38 Déterminer à 0,01 près l'angle dont le cosinus est 0,48; III sin38 0,6 0,48cos61,31 Le triangle C a pour hauteur AH; 9 AC = 35 CH = 8. Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à 0,01 près des angles ACB et C (Expliquer). Le triangle C a pour hauteur AH; 0 AH = 1 AC = 35. Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à 0,01 près des angles ACB et C (Expliquer). Le triangle A est rectangle en H, par définition: tan A = AH 1 0 C 46,40 sin ACH = AH ACB 36,8 AC 1 35

2 IV C est un triangle de hauteur AH, le point H est sur le segment [BC]. AH 3, 6cm CH = 4,8cm = 3,9cm. Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à (Expliquer). IV Le triangle ACH est rectangle en H, par définition: 0,01 près des angles ACB et C tanacb = AH AC 3, 6 4, 8 ACB 36,8 sinc = AH 3, 6 3, 9 C 6,38 d'après Caen juin 199 III On désire connaître l'aire d'un triangle C L'angle BAC a pour mesure 4. =9 cm et AC=14,5 cm. 1 Dessiner le triangle C Soit H le pied de la hauteur issue du sommet B. Déterminer (On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 3 près). Calculer l'aire du triangle en cm puis en donner une valeur approchée à 1 cm près. III 1 Le triangle A est rectangle en H, par définition: sin BAH sin4 = 9 9sin 4 6, 0 m (à 10 3 =0,001 près signifie que l'on arrondit au troisième chiffre après la virgule) AC airec 9sin 414, 5 44 cm aire d un triangle Construire le triangle C tel que : BAC 6 = 6 cm et AC = 10 cm. Tracer la hauteur de ce triangle. Calculer la longueur et l aire du triangle C. aire d un parallélogramme repris en 4 VI A B D 64 H C 1 Construire le parallélogramme CD tel que: AD cm DC = 9cm ADC = 64

3 Tracer la hauteur AH perpendiculaire au côté DC, calculer la longueur AH et l aire du parallélogramme CD (Indiquer la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près). 1 Faire d abord un croquis légendé du parallélogramme. Le triangle AHD est rectangle en H AH AD sinadh sin 64 6, 9 cm AireCD DC AH 9 sin 64 56, 6 cm aire et périmètre d un trapèze CD est un trapèze rectangle, le côté est perpendiculaire aux bases BC et AD. cm, D 60, BC CD, le point H est le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur la droite (BD). 1 Construire la figure. Calculer AD, BD, puis BC. Donner une valeur exacte du périmètre de CD, puis une valeur approchée à 0, 01 cm près. 3 Calculer l aire du trapèze rectangle CD, puis donner une valeur approchée à 0, 01 cm près. D est rectangle en A : tand AD AD tan60 AD tan60 D 60 donc le triangle D est un demi triangle équilatéral : BD BD 14 cm BC CD donc le triangle BCD est isocèle en C, sa hauteur (CH) est également médiane donc H est le milieu de [BD] : 1 BD 1 14 cm C est droit, donc les angles A HBC 90A HBC Le triangle BCH est rectangle en H : coshcb BC cos30 BC BCcos30 BC CD cos30 Périmètre de CD : BC CD AD tan60 cos30 cos30 1 tan 60 35, 9 cm cos30 et HBC sont adjacents complémentaires : 3 Aire du trapèze rectangle CD :

4 ( BC AD) tan cos tan, cos cm 30 Le triangle C est rectangle en B. Le segment [] est la hauteur du triangle issue de A, le point H est sur le côté AC. A H B C 1) Démontrer que A BCH. ) Exprimer tan A en utilisant les longueurs des côtés du triangle A. Exprimer tan BCH en utilisant les longueurs des côtés du triangle C. 3) Démontrer que AH CH. 1) Dans le triangle rectangle en B C, les angles aigus ACB et BAC sont complémentaires. De même (triangle rectangle en H A) A et BAC BAC, donc A BCH. ) tan A AH tan BCH HC 3) A BCH donc tan A tan BCH AH HC AH CH. deux triangles rectangles sont complémentaires. Donc BAC et A sont complémentaires du même angle Utiliser les connaissances de troisième (sinus, cosinus, tangente) de préférence, utiliser les valeurs exactes. On indiquera pour les longueurs et aires demandées, la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près (unités le cm et le cm ). 1 Dessiner le triangle C rectangle en B tel que AC 10 cm et C 38. Calculer et CB et l'aire du triangle C. Sur la même figure, de l autre côté de la droite AC par rapport au point B, dessiner le triangle ACD rectangle en A et tel que DCA. Calculer CD et AD et l'aire du triangle ACD. 3 Donner une valeur approchée à 0,01 près du périmètre du polygone CD et de l'aire de la figure. Indiquer le raisonnement, écrire les relations en lettres, puis remplacer par les valeurs connues et indiquer la valeur exacte du résultat (où figure cos, sin ou tan). Eviter d utiliser une valeur approchée pour calculer une autre valeur. 1 Le triangle C est rectangle en B donc: ACcosBAC 10cos 38, 88 cm CB ACsinBAC

5 CB 10sin 38 6, 16 cm BC aire C 10cos3810sin38 aire C aire C 50cos38sin 38 4, 6 cm aire C4,6 cm Le triangle ACD est rectangle en A donc: AC CDcosACD 10 CDcos 10 CD cm cos 11, AD ACtanACD AD 10tan 5, 10 cm AC AD aire ACD 10 tan 50tan 5, 48 cm 3 périmètre CD BC CD AD 10 10cos3810sin38 10tan cos 30, 36 cm aire CD = aire C + aire ACD = = 50cos38sin38 +50tan 49,3 cm VOILIER Du point A on voit le rocher R et le voilier V perpendiculairement à la côte. Du point B, tel que 100 m, l'angle R mesure 6 et l'angle RBV mesure 6. 1 Calculer AR à 0,1m près. Calculer AV puis la distance RV du voilier au rocher. 1 Le triangle R est rectangle en A: tanrba AR tan6 AR 100 AR=100tan4 35,6m tanv AV tan( 66) AV 100 AV=100tan3 RV=AV-AR= =100tan3-100tan6 91,5m l échelle

6 B A 4m S 1,1m M Une échelle SA de 4 m de longueur est appuyée sur un mur vertical. Le pied de cette échelle se trouve à la distance SM 11, m du mur. 1 Calculer une valeur approchée à 0,01 près de l angle ASM que fait l échelle avec le sol. Calculer la hauteur AM atteinte. Sans déplacer le pied S de l échelle, on redresse cette échelle d un angle ASB 4 et on la rallonge pour qu elle s appuie en B sur le mur. Calculer une valeur approchée à 0,1 m près de la hauteur MB atteinte. Calculer une valeur approchée de la longueur SB de cette échelle rallongée. 1 Le mur est vertical et le sol est horizontal, donc le triangle ASM est rectangle en M. cos, ASM SM 11 AM 4 ASM 4, 04 D après l énoncé de Pythagore: AM SM AS AM AM 11, , 1 14, 9 AM 14, 9 3, 846m BSM ASB ASM BSM 4 4, 038 8, 038 tan BSM BM cosbsm SM SB SM 11, BM cos 8, 04 tan 8, 038 SB 11, 11, BM 11, tan 8, 04 SB cos 8, 04 BM 5, m SB 5, 3 m PENTAGONE Exercice : Dans un cercle de contre O et de rayon 10 cm, tracer cinq rayons formant des angles de. Joindre les 5 points A, B, C, D et E sur le cercle, on obtient le pentagone régulier CDE. La figure est constituée de 5 triangles isocèles: OA = OB = OC = OD = OE = BC = CD = DE = EA On veut calculer le périmètre de ce pentagone. On donne : OA = 10cm et AOB = 1. Dessiner la bissectrice de AOB Qui coupe [] en H. Quelle est la mesure de l'angle AOH? Pourquoi?. (on donnera la valeur exacte puis une valeur arrondie au dixième le plus proche des résultats demandés): a) Prouver que H est le milieu du côté [] et que le triangle OHA est rectangle en H. b) Calculer AH, et le périmètre du triangle O.

7 c) Calculer le périmètre p du polygone CDE. d) Calculer l'aire du triangle O puis l'aire du pentagone CDE. 1 Dessin de la bissectrice. La bissectrice d'un angle divise cet angle en deux angles égaux donc: AOH = AOB 36. a) (/1) OA = OB = 10cm: le triangle AOB est donc isocèle en O, la bissectrice OH issue du sommet principal O est également médiane et hauteur du triangle AOB; donc H est le milieu de [] et OHA est rectangle en H. b) (/3) OHA est rectangle en H donc: AH sinaoh OA AH = OA sin AOH AH = 10sin36 5,9cm. H est le milieu de [] donc: = AH = 0sin36 11,8cm Le périmètre de O est: OA+OB+= sin36 =0+0sin36 31,8cm c) (/1) p = 5 = 100sin36 58,8cm d) (/3) OHA est rectangle en H donc OH = OA cos AOH OH = 10cos36 Aire de O: OH 0sin3610cos36 100sin36 cos 36 4, 6cm Aire CDE = 5aire O = 5100sin36 cos36 =500cos36 sin36 3,8cm. Remarque: Attention le triangle BCD n'est pas rectangle! cosbcd= 1 15 CD CB