Les trois géométries. François Fillastre Université de Cergy Pontoise

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1 François Fillastre Université de Cergy Pontoise

2 Géométrie euclidienne Première géométrie Géométrie euclidienne

3 Géométrie euclidienne On appelle Géométrie euclidienne l étude des figures usuelles du plan : droites, segments, longueurs, mesures des angles, aires etc.

4 Géométrie euclidienne On appelle Géométrie euclidienne l étude des figures usuelles du plan : droites, segments, longueurs, mesures des angles, aires etc. Son nom vient d Euclide (IIIe/IVe siècle av. J.C.), qui a défini des axiomes (ou postulats), que vérifient la géométrie usuelle. Inversement, à partir de ces axiomes, on peut redémontrer les résulats de la géométrie usuelle (euclidienne).

5 Géométrie euclidienne Le postulat le plus célèbre est le cinquième, le postulat des parallèles, qui dit que

6 Géométrie euclidienne Le postulat le plus célèbre est le cinquième, le postulat des parallèles, qui dit que

7 Géométrie euclidienne (Deux droites sont parallèles si elles sont distinctes et ne se rencontrent jamais)

8 Géométrie euclidienne (Deux droites sont parallèles si elles sont distinctes et ne se rencontrent jamais) Cet énoncé est équivalent à

9 Géométrie euclidienne

10 Géométrie euclidienne La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180 degrés.

11 Géométrie euclidienne La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180 degrés. α + β + γ = π

12 Géométrie euclidienne La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180 degrés. α + β + γ = π Pendant longtemps ( 25 siècles...) on s est demandé si il était vraiment nécessaire que ce résultat soit un axiome.

13 Géométrie euclidienne La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180 degrés. α + β + γ = π Pendant longtemps ( 25 siècles...) on s est demandé si il était vraiment nécessaire que ce résultat soit un axiome. (est-ce qu on ne peut pas le démontrer à partir des autres axiomes?)

14 Géométrie euclidienne La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180 degrés. α + β + γ = π Pendant longtemps ( 25 siècles...) on s est demandé si il était vraiment nécessaire que ce résultat soit un axiome. (est-ce qu on ne peut pas le démontrer à partir des autres axiomes?) Tout au long du 19e siècle on s est aperçu qu il existe d autres géométries...

15 Géométrie sphérique Deuxième géométrie Géométrie sphérique

16 Géométrie sphérique Qu est-ce qu une droite?

17 Géométrie sphérique Qu est-ce qu une droite? Definition Un droite est un chemin qui contient le plus court chemin entre deux de ses points quelconques. On utilise le mot géodésique.

18 Géométrie sphérique Qu est-ce qu une droite? Definition Un droite est un chemin qui contient le plus court chemin entre deux de ses points quelconques. On utilise le mot géodésique.

19 Géométrie sphérique Comment trouver le chemin le plus court entre deux points sur une sphère?

20 Géométrie sphérique

23 Géométrie sphérique Sur la terre (qui n est pas plate), si on veut trouver le chemin le plus court pour aller de Cergy à Los Angeles, il vaut mieux ne pas faire confiance à une carte! (qui est plate)

26 Géométrie sphérique En effet il n est pas possible pour une carte usuelle de représenter fidèlement la surface de la terre.

27 Géométrie sphérique D ailleurs il ne peut pas exister de carte qui représente les vraies (rapports de) distances sur la globe.

28 Géométrie sphérique D ailleurs il ne peut pas exister de carte qui représente les vraies (rapports de) distances sur la globe. Il y a un moyen simple de s en convaincre : on prend quatre villes et on liste les distances entre elles.

29 Géométrie sphérique D ailleurs il ne peut pas exister de carte qui représente les vraies (rapports de) distances sur la globe. Il y a un moyen simple de s en convaincre : on prend quatre villes et on liste les distances entre elles. On place une ville n importe où, ensuite la seconde à la bonne distance de la première.

30 Géométrie sphérique D ailleurs il ne peut pas exister de carte qui représente les vraies (rapports de) distances sur la globe. Il y a un moyen simple de s en convaincre : on prend quatre villes et on liste les distances entre elles. On place une ville n importe où, ensuite la seconde à la bonne distance de la première. Puis la troisième à la bonne distance des deux premières.

31 Géométrie sphérique D ailleurs il ne peut pas exister de carte qui représente les vraies (rapports de) distances sur la globe. Il y a un moyen simple de s en convaincre : on prend quatre villes et on liste les distances entre elles. On place une ville n importe où, ensuite la seconde à la bonne distance de la première. Puis la troisième à la bonne distance des deux premières. Enfin il faudrait placer la quatrième à la bonne distance des trois première et... on n y arrive pas!

32 Géométrie sphérique L expérience montre que les droites de la sphère sont les grands cercles : ce sont les intersections de la sphère avec un plan passant par le centre de la sphère.

33 Géométrie sphérique L expérience montre que les droites de la sphère sont les grands cercles : ce sont les intersections de la sphère avec un plan passant par le centre de la sphère.

34 Géométrie sphérique Sur un globe terrestre, les méridiens sont des demi-droites et l équateur est une droite. Ce qu on appelle les parallèles sur un globe sont simplement... des cercles! (ensembles de points à distance constante des pôles)

35 Géométrie sphérique Sur un globe terrestre, les méridiens sont des demi-droites et l équateur est une droite. Ce qu on appelle les parallèles sur un globe sont simplement... des cercles! (ensembles de points à distance constante des pôles)

36 Géométrie sphérique Et donc sur la sphère, toutes les droites se coupent!

37 Géométrie sphérique Et donc sur la sphère, toutes les droites se coupent! Donc il n y a pas de droites parallèles!

38 Géométrie sphérique Et donc sur la sphère, toutes les droites se coupent! Donc il n y a pas de droites parallèles! C est une autre géométrie que la géométrie euclidienne, on l appelle la géométrie sphérique.

39 Géométrie sphérique On définit l angle entre deux grands cercles de la sphère comme l angle entre les deux vecteurs tangents au point d intersection.

40 Géométrie sphérique On définit l angle entre deux grands cercles de la sphère comme l angle entre les deux vecteurs tangents au point d intersection.

41 Géométrie sphérique Rappelons qu un triangle est la donnée de trois points et des droites les joignant.

42 Géométrie sphérique Rappelons qu un triangle est la donnée de trois points et des droites les joignant. Pour différentes raisons, on ne considère que les triangles de la sphère contenus dans un hémisphère.

43 Géométrie sphérique Rappelons qu un triangle est la donnée de trois points et des droites les joignant. Pour différentes raisons, on ne considère que les triangles de la sphère contenus dans un hémisphère. On peut facilement trouver des triangles sur la sphère dont la somme des mesures des angles est (strictement!) plus grande que π.

45 Géométrie sphérique Ce triangle sphérique est plus gros que le triangle euclidien passant par les mêmes sommets (vus comme des points de l espace).

46 Géométrie sphérique En fait tous les triangles sphériques ont cette propriété.

47 Géométrie sphérique En fait tous les triangles sphériques ont cette propriété. Plus précisement, on peut montrer la Formule de Girard :

48 Géométrie sphérique En fait tous les triangles sphériques ont cette propriété. Plus précisement, on peut montrer la Formule de Girard : Théorème Soit T un triangle sur la sphère de rayon 1. Alors : α + β + γ = π + aire(t).

49 Géométrie sphérique En fait tous les triangles sphériques ont cette propriété. Plus précisement, on peut montrer la Formule de Girard : Théorème Soit T un triangle sur la sphère de rayon 1. Alors : α + β + γ = π + aire(t). Corollaire La somme des angles d un triangle sphérique est > π.

50 Géométrie sphérique Preuve de la formule de Girard.

51 Géométrie sphérique Preuve de la formule de Girard. Un digone est un polygone sur la sphère à 2 sommets antipodaux. L angle à chaque sommet est le même. Appelons-le a.

52 Géométrie sphérique Preuve de la formule de Girard. Un digone est un polygone sur la sphère à 2 sommets antipodaux. L angle à chaque sommet est le même. Appelons-le a. (un fuseau horaire sur un globe terrestre est un digone.)

53 Géométrie sphérique On sait que l aire d une sphère de rayon r est 4πr 2. L aire de la sphère de rayon 1 est 4π.

54 Géométrie sphérique On sait que l aire d une sphère de rayon r est 4πr 2. L aire de la sphère de rayon 1 est 4π. Comme il faudrait 2π/a fois notre digone pour recouvrir la sphère, l aire du digone est celle de la sphère divisée par 2π/a, soit 4π a 2π = 2a.

55 Géométrie sphérique L aire de l hémisphère délimité par la droite délimitant β et γ est égale à l aire de T et de trois zones, A, B et C

56 Géométrie sphérique l aire de B est l aire d un bigone d angle β moins l aire de T l aire de C est l aire d un bigone d angle γ moins l aire de T

57 Géométrie sphérique l aire de B est l aire d un bigone d angle β moins l aire de T l aire de C est l aire d un bigone d angle γ moins l aire de T en considérant l antipodal de T, on peut voir que l aire de A est aussi l aire d un bigone d angle α moins l aire de T.

58 Géométrie sphérique l aire de B est l aire d un bigone d angle β moins l aire de T l aire de C est l aire d un bigone d angle γ moins l aire de T en considérant l antipodal de T, on peut voir que l aire de A est aussi l aire d un bigone d angle α moins l aire de T. À la fin on a : 2π = aire T + (2α aire T ) + (2β aire T ) + (2γ aire T )

59 Géométrie sphérique l aire de B est l aire d un bigone d angle β moins l aire de T l aire de C est l aire d un bigone d angle γ moins l aire de T en considérant l antipodal de T, on peut voir que l aire de A est aussi l aire d un bigone d angle α moins l aire de T. À la fin on a : 2π = aire T + (2α aire T ) + (2β aire T ) + (2γ aire T ) d où π + aire T = α + β + γ

60 Géométrie sphérique l aire de B est l aire d un bigone d angle β moins l aire de T l aire de C est l aire d un bigone d angle γ moins l aire de T en considérant l antipodal de T, on peut voir que l aire de A est aussi l aire d un bigone d angle α moins l aire de T. À la fin on a : 2π = aire T + (2α aire T ) + (2β aire T ) + (2γ aire T ) d où π + aire T = α + β + γ CQFD!

62 Géométrie sphérique Cette formule montre que sur une petite distance les droites euclidiennes ou sphériques sont (quasiment) confondus ( la géométrie est localement euclidienne ) : on peut utiliser un plan d une ville par exemple.

63 Géométrie hyperbolique Troisième géométrie Géométrie hyperbolique

64 Géométrie hyperbolique Dans l espace on trouve des surfaces par exemple celles appelées selles de cheval qui contiennent des triangles dont la somme des mesures des angles est (strictement) inférieure à π.

65 Géométrie hyperbolique Dans l espace on trouve des surfaces par exemple celles appelées selles de cheval qui contiennent des triangles dont la somme des mesures des angles est (strictement) inférieure à π.

66 Géométrie hyperbolique Comme pour la sphère, il est impossible d étudier ce qu il se passe à l aide du plan euclidien

67 Géométrie hyperbolique α + β + γ > π α + β + γ < π α + β + γ = π

68 Géométrie hyperbolique On note A l aire du triangle. On a évidemment que α + β + γ > π α + β + γ < π α + β + γ = π + 0 A

69 Géométrie hyperbolique On a vu que α + β + γ = π + 1 A α + β + γ < π α + β + γ = π + 0 A

70 Géométrie hyperbolique et on peut montrer que α + β + γ = π + 1 A α + β + γ = π + ( 1) A α + β + γ = π + 0 A

71 Géométrie hyperbolique Le nombre en rouge est la courbure de la géométrie. Concept introduit par Gauss dans la première moitié du 19e.

72 Géométrie hyperbolique Le nombre en rouge est la courbure de la géométrie. Concept introduit par Gauss dans la première moitié du 19e.

73 Géométrie hyperbolique Ainsi La géométrie euclidienne est de courbure nulle (elle est plate). La géométrie sphérique est de courbure positive. La géométrie hyperbolique est de courbure négative.

74 Géométrie hyperbolique Mais, contrairement au cas de la sphère, sur une selle de cheval, tous les triangles n ont pas cette propriété

75 Géométrie hyperbolique Mais, contrairement au cas de la sphère, sur une selle de cheval, tous les triangles n ont pas cette propriété Peut-on trouver une surface dont tous les triangles aient cette propriété?

76 Géométrie hyperbolique La plus connue est la pseudo-sphère de Beltrami ( 1860)

77 Géométrie hyperbolique La plus connue est la pseudo-sphère de Beltrami ( 1860)

78 Géométrie hyperbolique obtenue par révolution de la tractrice :

79 Géométrie hyperbolique Mais cette surface a un problème de régularité le long du cercle central.

80 Géométrie hyperbolique Si on enlève ce cercle, ou qu on coupe la surface, elle n est plus complète : ses droites ne sont pas prolongeables indéfiniment.

81 Géométrie hyperbolique Existe-t-il une géométrie hyperbolique? (= qui satisfasse les axiomes de la géométrie, sauf pour les parallèles.)

82 Géométrie hyperbolique Existe-t-il une géométrie hyperbolique? (= qui satisfasse les axiomes de la géométrie, sauf pour les parallèles.) Oui. Aux alentours de 1830 (Gauss, Bolyai, Lobachevsky).

83 Géométrie hyperbolique Existe-t-il une géométrie hyperbolique? (= qui satisfasse les axiomes de la géométrie, sauf pour les parallèles.) Oui. Aux alentours de 1830 (Gauss, Bolyai, Lobachevsky). Définition axiomatique, dite géométrie imaginaire et/ou de Lobachevsky.

84 Géométrie hyperbolique Existe-t-il une géométrie hyperbolique? (= qui satisfasse les axiomes de la géométrie, sauf pour les parallèles.) Oui. Aux alentours de 1830 (Gauss, Bolyai, Lobachevsky). Définition axiomatique, dite géométrie imaginaire et/ou de Lobachevsky. Des modèles ont été donnés par Beltrami, qui portent maintenant le nom de ceux qui les ont réinterpretés en connection avec d autres objets mathématiques.

85 Géométrie hyperbolique Fin 19e, première moitié du 20e, il a été montré (Hilbert, Efimov) que, contrairement au cas de la sphère, il est impossible de representer cette géométrie dans l espace euclidien de façon raisonnable (au moins C 2 ).

86 Géométrie hyperbolique Introduisons le disque de Poincaré.

87 Géométrie hyperbolique 1 Le plan hyperbolique est contenu dans un disque.

88 Géométrie hyperbolique 1 Le plan hyperbolique est contenu dans un disque. (Disque unité dans le plan complexe.) 2 Les droites (géodésiques) sont les demi-cercles qui sont perpendiculaires au bord.

89 Géométrie hyperbolique 1 Le plan hyperbolique est contenu dans un disque. 2 Les droites (géodésiques) sont les demi-cercles qui sont perpendiculaires au bord. 3 (Un demi-cercle qui passe par le centre du disque est une vraie droite du plan!)

90 Géométrie hyperbolique Il y a une infinité de parallèles qui passent par un point donné!

91 Géométrie hyperbolique On peut aussi voir que la somme des mesures des angles d un triangle est strictement inférieure à π (le modèle est conforme dans le sens où ses angles sont les mêmes que les angles euclidiens).

92 Géométrie hyperbolique Dans ce modèle, le bord est à l infini. Dans ce dessin d Escher, tous les diables ont la même taille pour la distance hyperbolique.

93 Géométrie hyperbolique Une inversion par rapport au cercle de centre 1 et de rayon 2 donne le modèle du demi-plan de Poincaré. Cette opération est conforme.

94 Géométrie hyperbolique

95 Géométrie hyperbolique La longueur d une courbe (C 1 ) γ entre deux points se calcule comme dans le plan euclidien (on intègre la norme du vecteur dérivé), sauf que la norme est divisée par la hauteur.

96 Géométrie hyperbolique La longueur d une courbe (C 1 ) γ entre deux points se calcule comme dans le plan euclidien (on intègre la norme du vecteur dérivé), sauf que la norme est divisée par la hauteur.

97 Géométrie hyperbolique Il ne faut pas confondre le disque de Poincaré avec le disque de Klein, un autre modèle du plan hyperbolique.

98 Géométrie hyperbolique Dans une representation affine du plan projectif : d(x, y) = 1 2 ln([a, b, x, y]) a x y b où [a, b, x, y] = birapport = ya xb xa yb.

99 Géométrie hyperbolique Les géodésiques sont les droites. Par contre les angles ne sont pas les angles euclidiens.

100 Géométrie hyperbolique Les géodésiques sont les droites. Par contre les angles ne sont pas les angles euclidiens. En fait, la moitié du log du birapport permet de définir une distance dans n importe quel convexe compact (d intérieur non vide). Ce sont les exemples de base de la géométrie de Hilbert.

101 Géométrie hyperbolique On peut aussi voir le plan hyperbolique comme une sphère (pseudo-sphère) dans l espace-temps de Minkowski : R 3 muni de la forme bilinéaire (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 x 3 y 3.

102 Géométrie hyperbolique On peut aussi voir le plan hyperbolique comme une sphère (pseudo-sphère) dans l espace-temps de Minkowski : R 3 muni de la forme bilinéaire Plus précisement (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 x 3 y 3. H 2 = {x R 3 (x, x) = 1, x 3 > 0}. Obtenu par révolution de la courbe

103 Géométrie hyperbolique Avec des projections adéquates on retrouve le disque de Klein

104 Géométrie hyperbolique et le disque de Poincaré

105 Géométrie hyperbolique La géométrie hyperbolique trouve son intêret avec la naissance de la géométrie riemannienne (fin 19e).

106 Les trois g eom etries G eom etrie hyperbolique Le th eor`eme d uniformisation (fin 19e/d ebut 20e) indique que quasiment toutes les surfaces (compactes) peuvent ˆetre munies d une m etrique hyperbolique. Les trois g eom etries

107 Géométrie hyperbolique Dans les annes 70, sous l influence de Thurston, la géométrie hyperbolique connait un essor en lien avec la topologie des variétés de dimension 2 et 3.

108 Géométrie hyperbolique Dans les annes 70, sous l influence de Thurston, la géométrie hyperbolique connait un essor en lien avec la topologie des variétés de dimension 2 et 3. Thurston a conjecturé un analogue du théorème d uniformisation pour la dimension 3, dont la preuve (Hamilton, Perelman, ) a été conclue au début du 21e.