Angles alternes-internes : À l'intérieur des parallèles, de part et d'autre de la sécante.

Transcription

1 1. Angles a) Définitions de base Angles opposés par le sommet : Angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l'un sont dans le prolongement des côtés de l'autre angle. Lorsque deux parallèles sont coupées par une sécante, trois types d'angles sont déterminés : Angles alternes-internes : À l'intérieur des parallèles, de part et d'autre de la sécante. Ex. : angles 1 et 2 Angles alternes-externes : À l'extérieur des parallèles, de part et d'autre de la sécante. Ex. : angles 3 et 4. Angles correspondants : Du même côté de la sécante, l'un est interne et l'autre est externe. Ex. : angles 5 et 6

2 b) Théorèmes de base : 1- Deux angles opposés par le sommet sont congrus (de mesures égales). 2- Lorsque deux parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes, les angles alternes-externes et les angles correspondants sont congrus. 2. Angles et cercle a) Définitions de base Angle au centre : Angle dont le sommet est le centre d'un cercle. Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur la circonférence d'un cercle. b) Théorèmes 1- La mesure de l'angle au centre est égale à la mesure de l'arc intercepté. 2- La mesure de l'angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'arc intercepté. 3- Lorsqu'on trace une droite tangente à un cercle, le rayon aboutissant au point de tangence est perpendiculaire à cette droite. 4- Lorsque d'un point extérieur à un cercle on trace deux tangentes au cercle, la droite joignant le centre du cercle au point de rencontre des tangentes est la bissectrice de l'angle formé par les tangentes. (angles 1 et 2 sont égaux) Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. (Thalès) 2

3 3. Triangles a) Définitions de base Triangle équilatéral : Dont les trois côtés sont égaux (congrus). Triangle isocèle : Triangle ayant deux côtés et deux angles égaux. Médiatrice : Perpendiculaire élevée au milieu d un segment. Cercle circonscrit à un triangle : Passant par les sommets de ce triangle. Son centre est le point de rencontre des médiatrices. Médiane : Droite passant par le sommet d un triangle et par le milieu du côté opposé. Hauteur : Droite passant par le sommet d un triangle et perpendiculaire au côté opposé. Bissectrice d un angle : Demi-droite qui partage un angle en deux parties égales. Cercle inscrit dans un triangle : Tangent à chaque côté du triangle. Son centre est le point de rencontre des bissectrices intérieures. b) Théorèmes importants : 1- La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est égale à Dans tout triangle isocèle, aux côtés congrus sont opposés des angles congrus. 3- Lorsqu'un triangle rectangle a un angle de 30, le côté opposé à l'angle de 30 est égal à la moitié de l'hypoténuse ,5 4- Tout angle extérieur d un triangle est égal à la somme des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. c d b a a = c + d 3

4 5- Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures de sa base et de sa hauteur : c 2 = a 2 + b 2 c b a 4. Quadrilatères Théorème : Dans un parallélogramme, les angles intérieurs opposés sont congrus et les angles consécutifs sont supplémentaires. 5. Congruence de triangles a) Définition Deux triangles sont congrus (égaux) si : - leurs 3 côtés et leurs 3 angles sont congrus chacun à chacun. b) Théorèmes (conditions minimales) 1- C-C-C (Deux triangles sont congrus lorsqu'ils ont leurs trois côtés congrus chacun à chacun) 2- C-A-C (Deux triangles sont congrus lorsqu'ils ont un angle congru adjacent à deux côtés congrus chacun à chacun) 3- A-C-A (Deux triangles sont congrus lorsqu'ils ont un côté congru adjacent à deux angles congrus chacun à chacun) c) Théorèmes (pour triangles rectangles) 1- A-C-A (Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu ils ont l hypoténuse égale et un angle aigu égal) 4

5 2- C-C-C (Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu ils ont l hypoténuse égale et un côté de l angle droit égal) 3- A-C-A (Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu ils ont un angle aigu égal et un côté de l angle droit égal) 6. Similitude de triangles a) Définition Deux triangles sont semblables si : - leurs 3 angles sont congrus chacun à chacun; - leurs 3 côtés homologues sont proportionnels. b) Proportion Définition : a = c Il s agit de l égalité de deux rapports. b d où a, d : extrêmes b, c : moyens Lorsque les moyens sont égaux, leur valeur b est appelée la moyenne proportionnelle de a et d. On a : a = b d où b 2 = ad. b d c) Théorèmes 1) conditions minimales A-A C-A-C C-C-C (Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont deux angles congrus chacun à chacun) (Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont un angle congru compris entre deux côtés homologues proportionnels) (Deux triangles sont semblables lorsque leurs côtés homologues sont proportionnels) 5

6 2) Théorèmes (triangles rectangles) Deux triangles rectangles sont semblables lorsqu ils ont un angle aigu égal. 3) Théorème de Thalès : Lorsque dans un triangle on trace une droite parallèle à un des côtés du triangle, on détermine un deuxième triangle semblable au premier. Dans la figure ci-dessous, le triangle ABC est semblable au triangle ADE : mbc mde = mab mad = mac mae A D B C E 4) Théorème (bissectrice et côté opposé) La bissectrice d un angle d un triangle divise le côté opposé à cet angle dans le rapport des côtés adjacents. A BD = BA DC CA B D C 5) Théorème (Rapport des aires) Le rapport des aires de triangles semblables est égal au rapport des carrés des bases. 6) Dans tout triangle rectangle, la hauteur abaissée du sommet de l angle droit détermine deux nouveaux triangles semblables entre eux et semblables au premier. A CHA AHB CAB B H C 6