Résoudre des problèmes en mathématiques aux cycles 2 et 3 1/3

Transcription

1 Résoudre des problèmes en mathématiques aux cycles 2 et 3 1/3 Stage du 12 au 14 décembre 2012 Collège International (IC) Beyrouth Philippe CORBET - CPAIEN 1

2 Le rôle de l oral attitudes Attentes des programmes connaissances Types de problèmes et niveaux de résolution La mise en commun Enseigner la résolution de problèmes Capacités des élèves à développer Mettre en œuvre une démarche capacités Programmer des activités Evaluer Différencier

3 les problèmes dans les programmes

4 Documents officiels disponibles sont sur le site de l Inspection Rubrique «Ressources pédagogiques» Sous-rubrique «Socle, programmes, livrets»

5 Le socle commun

6 La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s acquiert et s exerce essentiellement par la résolution de problèmes ( ). L élève doit être capable de saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique, l analyser ( ) puis s engager dans un raisonnement ou un calcul en vue de sa résolution.

7 Les programmes 2008

8 Cycle 2 L apprentissage des mathématiques développe l imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. Cycle 3 La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du. raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision.

9 Cycle 2 La résolution de problèmes fait l objet. d un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Cycle 3 Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines. du programme, l élève ( ) continue d apprendre à résoudre des problèmes.

10 Cycle 2 Cycle 3 De premiers automatismes s installent.. L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à. une intelligence de leur signification. La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne.

11 Cycle 2 La résolution de problèmes n est pas un domaine à part, mais fait partie des quatre domaines.

12 Cycle 3 : La résolution de problèmes n est pas un domaine à part, mais fait partie des quatre domaines.

13 Cycle 2 Résoudre des problèmes de dénombrement Relevant de l addition, de la soustraction et de la multiplication Géométriques De longueur et de masse Organiser les informations d un énoncé Cycle 3 Résoudre des problèmes Relevant des quatre opérations De reproduction et de construction Dont la résolution implique des conversions Mettant en jeu une situation de proportionnalité

14 Les progressions annuelles dans les programmes 2008

15 Progression «Nombres et calcul» CP Résoudre des problèmes simples à une opération. CE1 Résoudre des problèmes relevant de l addition, de la soustraction et de la multiplication. CE2 CM1 CM2 Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Résoudre des problèmes de plus en plus complexes

16 CE1 Dans les évaluations nationales 2012 CM2

17 Progression «Géométrie» CP Reproduire des figures géométriques simples à l aide d instruments ou de techniques : règle, quadrillage, papier calque. CE1 Utiliser des instruments pour réaliser des tracés : règle, équerre ou gabarit de l angle droit. CE2 CM1 CM2 Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un modèle. Construire un carré ou un rectangle de dimensions données. Compléter une figure par symétrie axiale. Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes. Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).

19 Grandeurs et mesures CP Résoudre des problèmes de vie courante. CE1 Résoudre des problèmes de longueur et de masse. CE2 CM1 CM2 Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure

21 Organisation et gestion des données CP Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples. CE1 Utiliser un tableau, un graphique Organiser les informations d un énoncé. CE2 CM1 CM2 Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. Interpréter un tableau ou un graphique Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont la règle de trois ).

23 Pour conclure

24 Caractéristiques Situationsproblèmes de découverte Rôles de l enseignant Problèmes de réinvestissement Apprendre par la résolution de problèmes Progression Difficultés des élèves Démarche d enseignement Problèmes d'application

25 La langue des énoncés Caractéristiques du type de texte comprendre l'énoncé Se représenter l énoncé À l oral Solution personnelle Communiquer sa réponse Apprendre la résolution de problèmes Trouver une procédure À l écrit Exécuter la procédure Solution experte Automatismes

26 Fonctions des problèmes dans l enseignement des mathématiques: l apprentissage par la résolution de problèmes 26

27 La démarche d apprentissage

28 Démarche d apprentissage Les étapes de la démarche d apprentissage d une nouvelle connaissance mathématique dans différents manuels. Euro Maths CP Cap Maths CE1 Activités préparatoires occasionnelles (jeux) Découverte Guide ens. : Conseils et commentaires Exercices d application Résolution de problème en équipe Guide ens.: Mise en commun, synthèse Entraînement sur fichier Pour comprendre les maths CE2 Je cherche: activité collective de découverte (problème) Mémo: points importants à retenir et réinvestir Je m entraîne La tribu des maths Recherche: une situation à résoudre pour trouver une démarche Une question pour échanger avec la classe (synthèse) Entraînement

29 Les problèmes au cœur de la démarche Le concept d unité de mesure de longueur au CP (R. Charnay) Problème N 1: Lequel est le plus long? Proposer des comparaisons d objets qu il est possible de superposer ou de mettre en coïncidence pour savoir lequel est le plus long.

30 Les problèmes au cœur de la démarche (R. Charnay) Problème N 2: Inviter les élèves à comparer des objets qui ne peuvent pas être rapprochés les uns des autres. Prendre un gabarit de la longueur de chaque objet à l aide d une ficelle ou d une longue bande et les mettre en coïncidence. Problème N 3: Même problème mais en n autorisant cette fois que l utilisation d une bande beaucoup plus courte que chacun des objets. Nouvelle solution possible : reporter cette bande sur chaque objet et déterminer combien de reports sont nécessaires.

31 Les problèmes au cœur de la démarche (R. Charnay) Problème N 4 : Peut-on imaginer un moyen pour éviter le report fastidieux de la bande-unité? La solution résidera dans la fabrication d un outil du type : L idée viendra sans doute de numéroter la bande. Le premier instrument de mesure vient ainsi d être réalisé

32 Les problèmes au cœur de la démarche (R. Charnay) L élève ne dispose pas seulement de la " technique du mesurage à l aide double-décimètre ". Il a également compris sa structure en unités reportées et son usage (machine à dénombrer les reports d unités, donc à mesurer).

33 Les problèmes au cœur de la démarche (R. Charnay) Les échanges entre élèves (confrontations, argumentations) sont primordiaux La synthèse de l enseignant est nécessaire pour mettre en évidence ce qu il faut retenir Les moments d entraînement suffisant sont nécessaire pour automatiser l usage des connaissances

34 La démarche d enseignement Situation de départ Recherche Mise en commun Caractéristiques Situation-problème présentée à l oral ou à l écrit à partir d objets concrets (pions, cartes ) d un énoncé d une situation vécue par les élèves temps de recherche individuelle temps de recherche en groupe (de 2 à 4) Ecoute et comparaison des procédures des différents groupes Analyse des procédures erronées Validation des procédures efficaces

35 La démarche d enseignement Synthèse Phase d entraînement Phase de transfert Caractéristique Réalisation d une affiche de référence comportant : Les différentes procédures personnelles valides La procédure experte D abord des problèmes d application qui appartiennent à la même «catégorie» que celui de la situation-problème Puis des problèmes de réinvestissement dans différents contextes Résolution de problèmes complexes faisant appel à plusieurs connaissances et capacités étudiées auparavant

36 Trois types de problèmes au cours de la démarche

37 Les trois types de problèmes au cours de la démarche PROBLEMES POUR APPRENDRE Situations-problèmes de découverte Problèmes dont la résolution vise la construction d une nouvelle connaissance Problèmes d application directe Problèmes destinés à s entrainer à maîtriser le sens d une connaissance nouvelle Problèmes de réinvestissement Problèmes ayant pour but le réinvestissement d une ou de plusieurs connaissances dans des contextes différents de ceux déjà abordés

38 Les trois types de problèmes au cours de la démarche Euro Math CP Cap Maths CE1

39 Les trois types de problèmes au cours de la démarche Pour comprendre les mathématiques CE2

40 Deux niveaux de résolution des problèmes: la procédure personnelle et la procédure experte

41 Procédure personnelle et procédure experte (R. Charnay) Hier, il faisait très beau. Au départ de 11h, le bateau était complet. Combien y avait-il d enfants?

42

43 Procédure personnelle et procédure experte Procédures personnelles Utiliser ses connaissances pour imaginer une procédure quand on ne dispose pas en mémoire d une procédure experte pour cette catégorie de problème Procédures expertes Utiliser une procédure connue que l on sait adaptée à la situation du problème.

44 Fonctions des problèmes dans l enseignement des mathématiques: l apprentissage de la résolution de problèmes

45 Analyse de productions d élèves

46 Evaluations nationales CE1

47 Evaluations nationales CE1

48 Evaluations nationales CM2

49 Evaluations nationales CM2

50 Causes d erreurs détectées Contrat didactique erroné: «Résoudre un problème, c est faire n importe quel calcul avec les nombres de l énoncé» Non compréhension de l énoncé Erreur dans le choix de la procédure de résolution non reconnaissance d une situation de transformation additive ou de proportionnalité Erreur dans l exécution de la procédure Erreur de dénombrement dans un schéma Non communication de la réponse

51 Capacités mises en œuvre pour résoudre un problème (IREM) Comprendre l énoncé Rechercher une procédure Exécuter la procédure Communiquer la réponse

52 Rechercher une procédure?

53 Rechercher une procédure? (R. Charnay analyse des évaluations de 6 e ) Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a.combien y a-t-il de pages complètes? b.combien y a-t-il de photos sur la page incomplète? Il y a pages complètes. Il y a photos sur la page incomplète. 54% réussite 57% réussite

54 Rechercher une procédure? (R. Charnay analyse des évaluations de 6 e ) Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a.combien y a-t-il de pages complètes? b.combien y a-t-il de photos sur la page incomplète? Il y a pages complètes. 54% Il y a photos sur la page incomplète. 57% Procédures possibles 1. Schématisation des pages et photos Dénombrement CP 2. Addition de 6 en 6 Addition CE1 3. Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication CE2 4. Division par 6 Division CM1

55 Comment se fait-il que des élèves qui disposent de connaissances permettant de résoudre un problème ne pensent pas n osent pas Rechercher une procédure? (R. Charnay analyse des évaluations de 6 e ) les utiliser pour répondre à la question? On observe généralement des calcul erronés (50-6 = 44 / 50x6 = 300). PISA confirme ces observations: élèves + pour les problèmes d application Élèves à la peine pour résoudre des exercices nécessitant initiative fort taux de non-réponse

56 Rechercher une procédure Charnay: Il faut donc rendre nos élèves experts dans la résolution de certains problèmes pour lesquels il reconnaît rapidement le traitement approprié ; capables d initiative pour d autres problèmes, capables d imaginer des résolutions originales, de les tester, de traiter la situation proposée de manière personnelle, originale.

57 Résoudre un problème Comprendre l énoncé Rechercher une procédure Exécuter la procédure Trouver facilement la solution experte Imaginer une solution personnelle Communiquer la réponse

58 Un autre type de problème pour apprendre à chercher une procédure personnelle

59 Les problèmes pour chercher Situationsproblèmes de découverte Problèmes dont la résolution vise la construction d une nouvelle connaissance PROBLEMES POUR APPRENDRE Problèmes d application directe Problèmes destinés à s entrainer à maîtriser le sens d une connaissance nouvelle Problèmes de réinvestissement Problèmes ayant pour but le réinvestissement d une ou de plusieurs connaissances dans des contextes différents de ceux déjà abordés PROBLEMES POUR CHERCHER Problèmes ouverts Problème centré sur le développement des capacités à chercher : en général, les élèves ne connaissent pas la solution experte

60 Les problèmes pour chercher Au cycle 2

61 Les problèmes pour chercher Au cycle 3

62 Bibliographie J1 Le socle commun de connaissances et de compétences Ministère de l éducation nationale 2006 Programmes 2008 BOHS N 3 du 19 juin 2008 Le nombre au cycle 2 Ressource pour faire la classe MEN Le nombre au cycle 3 Ressource pour faire la classe MEN TFM Télé Formation Mathématique (