Chapitre 5 - Probabilités

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1 Chapitre 5 - Probabilités 1 Rappels 1.1 Probabilités d évènements Définition 1 ensemble des issues d une expérience aléatoire est appelé univers. On le note souvent Ω ( ou E mais nous utiliserons Ω ) et on note les issues e 1,e 2,...,e n. On a alors Ω = {e 1,e 2,...,e n } Exemple 1 Si on lance un dé à 6 faces deux fois de suite ( l ordre des résultats est alors important... ), on a : Ω = { (1;1) ; (1;2) ; (1;3) ; (1;4) ; (1;5) ; (1;6) ; (2;1) ; (2;2) ;...; (5;6) ; (6;6) } Il y a donc 36 issues possibles dans ce cas et toutes ont la même chance de se produire si les dés sont équilibrés ( on dit qu on est en équiprobabilité ). Si on lance 2 dés à 6 faces indiscernables de manière simultanée ( il n y a plus d ordre cette fois... ), on a : Ω = { {1;1} ; {1;2} ; {1;3} ; {1;4} ; {1;5} ; {1;6} ; {2;2} ; {2;3} ; {2;4} ; {2;5} ; {2;6} ; {3;3} ;...; {5;6} ; {6;6} } Il y a alors 21 issues possibles dans ce cas et toutes n ont pas la même chance de se produire ( car il y a 2 façons d obtenir {1;2} mais une seule d obtenir {1;1} ). Avec ce modèle d univers, nous ne sommes pas en équiprobabilité contrairement au premier cas. Or l équiprobabilité permet d utiliser le dénombrement et rend les calculs beaucou plus simple. e choix de l univers est donc primordial en probabilité. Définition 2 Un évènement est une partie de Ω Un évènement élémentaire est un évènement qui ne contient qu une seule issue ( par exemple e 3 ) Définition 3 évènement A B est l évènement A ou B ( mais on peut avoir A et B ) Exemple 2 Une urne contient 6 boules : 3 rouges, 1 verte et 2 bleues, toutes indiscerables au toucher. aura tire simultanément et au hasard deux boules de l urne et on note sa couleur. Prenons A= elle tire au moins une boule rouge et B= elle tire deux boules de la même couleur Alors A B= elle tire deux boules de la même couleur ou au moins une boule rouge On a donc A B = {RR;BB;RV ;RB} où R désigne une boule rouge, V une boule verte et B une boule bleue. Chapitre 5 - Probabilités Page 1/7 Terminale ES - M. Schavsinski

2 Définition 4 évènement A B est l évènement A et B Exemple 3 Une urne contient 6 boules : 3 rouges, 1 verte et 2 bleues, toutes indiscerables au toucher. Annaëlle tire simultanément et au hasard deux boules de l urne et on note sa couleur. Prenons A= elle tire au moins une boule rouge et B= elle tire deux boules de la même couleur Alors A B= elle tire deux boules de la même couleur et au moins une boule rouge on a donc A B = {RR} Définition 5 évènement Ā est l évènement contraire de A ( ou encore non A ) On parle d évènement complémentaire. Exemple 4 Dans les exemples précédents, Ā= elle ne tire pas de boule rouge et B= elle tire 2 boules de couleurs distinctes Donc Ā = {BB;BV } et B = {BV ;BR;V R} Définition 6 Deux évènements A et B sont dits incompatibles si A B =. Ils ne peuvent donc pas se réaliser en même temps. Exemple 5 Par exemple, un évènement et son complémentaire sont incompatibles. Dans notre exemple précédent, l évènement elle tire au moins une boule verte et l évènement B sont incompatibles Donc Ā = {BB;BV } et B = {BV ;BR;V R} 1.2 définition et propriétés des probabilités Définition 7 Définir une probabilité sur Ω, c est associer à chaque évènement élémentaire e i un réel entre 0 et 1 tel que p(e 1 ) + p(e 2 ) p(e n ) = 1 Définition 8 Si Ω = {e 1 ;e 2 ;...;e n }, et si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité 1, on dit que les issues sont n équiprobables. Définition 9 a probabilité d un évènement A, notée p(a) est la somme des probabilités de tous les évènements élémentaires qui composent A. Chapitre 5 - Probabilités Page 2/7 Terminale ES - M. Schavsinski

3 Propriété 1 En cas d équiprobabilité, on a p(a) = nombre d éléments de A nombre d éléments de Ω ou encore p(a) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles Propriété 2 Quels que soient les évènements A et B : p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) p(ā) = 1 p(a) Si A et B sont incompatibles, p(a B) = p(a) + p(b) 1.3 Variable aléatoire définie sur Ω Définition 10 Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω et à valeurs dans R. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X, c est trouver l ensemble des valeurs x 1 ;x 2 ;...;x k des valeurs prises par X puis associer à chaque élément x i la probabilité X prend la valeur x i qu on note p(x = x i ) Définition 11 es paramètres d une variable aléatoire sont : l espérance : E(X) = x 1 p(x = x 1 ) x k p(x = x k ) la variance : V (X) = E(X 2 ) E(X) 2 c est-à-dire V (X) = x 2 1p(X = x 1 ) x 2 kp(x = x k ) E(X) 2 l écart-type : s(x) = V (X) Chapitre 5 - Probabilités Page 3/7 Terminale ES - M. Schavsinski

4 2 Probabilités conditionnelles 2.1 Probabilité de A sachant B On désigne par p une probabilité définie sur un univers Ω Définition 12 Soient A et B deux évènements tels que p(b) 0 On appelle probabilité de A sachant que B est réalisé, le réel p B (A) tel que p B (A) = p(a B) p(b) Propriété 3 Soient A et B deux évènements de probabilité non nulle On a alors : p(a B) = p B (A) p(b) p(a B) = p A (B) p(a) 2.2 Arbre pondéré On peut représenter beaucoup de situations probabilistes à l aide d un arbre pondéré. Au départ, en fonction de la situation, on a plusieurs possibilité pour un même critère. On les représente à l aide de plusieurs branches partant d un même point et on inscrit au-dessus de chaque branche la probabilité que l évènement se produise Au bout de chaque branche se trouve un noeud d où on fait partir plusieurs branches correspondant aux choix pour le deuxième critère Au-dessus de ces branches, on écrit la probabilité que l évènement se produise sachant que la branche précédente s est produite Et ainsi de suite Quelques règles d utilisation : Un chemin va du départ à une extrémité de l arbre. Il représente l intersection de tous les évènements rencontrés sur ce chemin a probabilité de l évènement représenté par un chemin est donc égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin a somme des probabilités inscrites sur les branches issues d un même noeud est égale à 1 Exemple 6 Dans un atelier, 2% des pièces fabriquées étant defectueuses, on décide de réaliser le contrôle suivant : si la pièce est bonne, la probabilité d être acceptée est 0,96 si elle est défectueuse, la probabilité d être refusée est 0,98 On choisit une pièce et on admet être ici en équiprobabilité. On note A l évènement la pièce est bonne et refusée. Quelle est la probabilité de A? Chapitre 5 - Probabilités Page 4/7 Terminale ES - M. Schavsinski

5 3 Probabilités totales Définition 13 es évènements A 1,A 2,...,A n forment une partition de Ω lorsqu ils sont : non vides deux à deux incompatibles leur réunion donne Ω Théorème 1 des probabilités totales Soit n N. Soit A 1,A 2,...,A n une partition de Ω. Alors, pour tout évènement B, on a p(b) = p A1 (B) p(a 1 ) + p A2 (B) p(a 2 ) p An (B) p(a n ) Preuve : Propriété 4 Conséquence : Comme A et A forment une partition de Ω alors, pour tout évènement B, on a : p(b) = p A (B) p(a) + p A (B) p(a) Propriété 5 Conséquence : Dans un arbre pondéré, la probabilité d un évènement A est la somme des probabilités des chemins qui mènent à A Exemple 7 Dans une population, la probabilité de naissance d un garçon est estimée à 0,52. On sait que 2% des filles et 1% des garçons présentent à la naissance une luxation congénitale de la hanche. On choisit au hasard un nouveau-né. 1. Quelle est la probabilité qu il souffre de cette luxation? 2. Quelle est la probabilité qu un bébé atteint soit une fille? 0,52 G 0,01 0,99 0,48 F 0,02 0,98 Chapitre 5 - Probabilités Page 5/7 Terminale ES - M. Schavsinski

6 4 Indépendance 4.1 Evènements Indépendants Définition 14 et propriété Soit p une probabilité sur un univers Ω. On dit que les évènements sont indépendants si p(a B) = p(a) p(b) Si p(a) 0, on a : A et B sont indépendants si et seulement si p A (B) = p(b) ( ou aussi p B (A) = p(a) si p(b) 0 ) Exemple 8 Pour le lancer d un dé équilibré à 6 faces, les évènements A = le résultat est pair et B= le résultat est 2 ne sont pas indépendants.en effet, p(a B) = 1 6 et p(a) p(b) = Si C = le résultat est supérieur ou égal à 5 alors A et C sont indépendants. 4.2 Expériences répétées indépendantes Définition 15 et propriété On dit que des expériences aléatoires répétées sont indépendantes si le résultat de l une d entre elles n a aucune influence sur le déroulement des autres. ors de la répétition d expériences aléatoires indépendantes, on admettra que la probabilité d une liste de résultats est égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats. Exemple 9 On procède à deux tirages successifs de jetons dans la même urne. es tirages avec remise du premier jeton conduisent à deux expériences indépendantes es tirages sans remise du premier jeton conduisent à deux expériences qui ne sont pas indépendantes car le résultat du premier tirage modifie les conditions du second. 5 ois de probabilités discrètes 5.1 oi de Bernoulli Définition 16 et propriété Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l une appelée succès avec une probabilité p, et l autre appelée échec avec une probabilité 1 p a loi de probabilité est alors issue succès échec probabilité p 1 p Une telle loi est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. Exemple 10 On lance un dé équilibré à 6 faces. issue succès échec On appelle succès l appartition de la face 6. On alors p = 1 6 On a probabilité C est donc une loi de Bernoulli de paramètre 1 6. Chapitre 5 - Probabilités Page 6/7 Terminale ES - M. Schavsinski

7 5.2 oi binomiale Définition 17 Un schéma de Bernoulli est la répétition d épreuves de Bernoulli identiques dans des conditions d indépendance ( c est-à-dire que l issue d une épreuve ne dépend pas des issues des épreuves précédentes ) Exemple 11 On répète trois fois le lancer d un dé équilibré à 6 faces. On appelle succès l apparition de la face 6. On peut alors représenter ce schéma de Bernoulli à l aide d un arbre : Chapitre 5 - Probabilités Page 7/7 Terminale ES - M. Schavsinski