Polarisation électrique dans les cristaux

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1 Master Sciences de la matière Stage École Normale Supérieure de Lyon Université Claude Bernard Lyon I M Physique Polarisation électrique dans les cristaux Résumé : Ce rapport présente la travail effectué sur la polarisation électrique dans les cristaux. Il expose les approches connues, à savoir la description classique et l approche de Vanderbilt et Resta, avant de se focaliser sur l utilisation des fonctions de Green afin de permettre un calcul thermodynamique et afin de donner accès à la polarisabilité électrique. Les différentes approches connues et calculs effectués sont comparés au travers de deux modèles jouets unidimensionnels, la chaîne de dimère et le modèle de Rice- Mele, qui sont explorés analytiquement ou numériquement. Mots clefs : polarisation électrique, cristaux, modèle de Rice-Mele, fonction de Green, localisation Stage encadré par : Jean-Noël Fuchs jean-noel.fuchs@u-psud.fr Frédéric Piéchon piechon@lps.u-psud.fr Laboratoire de Physique du Solide UMR 850, Université Paris Sud, bat Orsay

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3 Remerciements Je tiens tout d abord à remercier mes deux responsables de stage, Frédéric et Jean-Noël, pour le sujet, le stage, et les discussion enrichissantes, ainsi que toutes les autres personnes du groupe théorie, stagiaires, doctorants, post-docs et permanents! Table des matières 1 La polarisation, introduction et motivations Situation du problème Approche classique de la polarisation Théorie moderne de la polarisation : approche de Vanderbilt-Resta Motivations Modèles jouets : chaîne de dimères et modèle de Rice-Mele 3.1 Chaîne de dimères Modèle de Rice-Mele Polarisation classique et approche de Vanderbilt et Resta Chaîne de dimères Calcul thermodynamique Calcul classique Approche de Vanderbilt et Resta Modèle de Rice-Mele Système fini avec bords Système sans bord, périodique Fonction de Green, développement pertubatif Notions préliminaires Approche thermodynamique et fonction de Green Choix de la jauge électromagnétique Échelle de Wannier-Starck Approche indépendante de jauge (Chen et Lee) Dérivation Application à la chaine de dimères Application au modèle de Rice-Mele Nouvelle approche : fonctions d onde localisées Fonctions de Wannier et développement de la fonction de Green Premier ordre de la fonction de Green et polarisation Deuxième ordre de la fonction de Green et polarisabilité Application aux modèles Chaîne de dimères Modèle de Rice-Mele Discussion Invariance de jauge Bases localisées Conclusion - perspectives 17 A Théorie moderne de la polarisation 18 B Hamiltonien de Bloch 19

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5 αa a Figure 1 Cristal constitué d un ion (en rouge) par cellule unité. L électron (en noir) est situé à une distanceαa de l ion à sa droite. Les deux choix de cellule unité (encadrés en pointillés) conduisent à deux valeurs distinctes de la polarisation. 1 La polarisation, introduction et motivations 1.1 Situation du problème L objet d étude de ce stage est la polarisation électrique dans les solides cristallins isolants, plus particulièrement, l étude se focalise sur les modèles de liaisons fortes à demi-remplissage. Le potentiel chimique est donc situé dans le gap, et chaque état des bandes occupées l est deux fois (aucune interaction électron-électron), de sorte à ce que la charge totale soit nulle - condition sans quoi la polarisation n est pas définie. La définition de la polarisation provient de la thermodynamique P ν = 1 Ω(T,µ,...) V E ν (1) E=0 ou Ω est le grand potentiel, E ν le champ dans la direction spatiale ν (x, y ou z), P la polarisation et µ le potentiel chimique. Ce rapport introduit d abord les approches connues de la polarisation (point de vue classique et théorie de Vanderbilt et Resta), afin de pouvoir motiver l intérêt porté à la polarisation durant ce stage. 1. Approche classique de la polarisation Pour une distribution neutre de charges, la polarisation est simplement le premier moment de la distribution de charges par unités de volume. En appliquant cette définition à une approche classique d un cristal dans lequel les ions et les électrons sont des charges ponctuelles localisées, la polarisation d un cristal est P = 1 V e ( e)x e + 1 V q ion x ion = ion e cell. ( e)x e + ion cell. q ion x ion () où x représente la position de la charge et q ion la charge de l ion. e cell. indique que la somme a lieu sur les électrons à l intérieur de la cellule unité. L exemple le plus simple, un cristal contenant un ion et un électron par maille, est immédiatement instructif : selon le choix de la cellule unité le calcul de la polarisation donne P = ( e)αa ou P = ( e)(1 α)a. Les deux choix de cellule unité utilisés pour ce calcul sont présentés par la figure 1. D autres choix de la cellule unité conduiraient à de nouvelles valeurs de la polarisation différant de la valeur ( e)αa d un multiple entier de ( e)a. Une telle ambiguïté est naturelle du fait de la périodicité du cristal : décaler tous les électrons d une cellule unité vers la droite ne modifie pas le système, cependant, une telle transformation modifie la polarisation de ( e)a. Cette quantité, ( e)a est en général appelé quantum de polarisation. Dans la suite, on fixe la charge de l électron à ( e) = 1 et la taille de la cellule unité à a = 1, ainsi l ambiguïté dans la polarisation (le quantum de polarisation) est 1. Si on souhaite étendre cette approche à une description quantique des électrons, on est amené à considérer des distributions continues de charges. Pour une distribution de charge continue, l approche classique s étend naturellement à P = xρ(x)dx (3) avec la condition de neutralité électrique ρ(x)dx = 0, où ρ(x) = ρ e (x)+ρ ions (x) est la densité de charge. 1

6 Prenons l exemple simple de la distribution de chargecos x π, qui est bien neutre. La cellule unité est [y;1+y], ainsi, le premier moment de cette distribution de charges est 1+y P = xcos x [ π dx = πxsin x ] 1+y 1+y + πsin x y dx = πsin (4) π y π π y qui, clairement, prend des valeurs arbitraires entre les deux valeurs extrêmes ±π. Ce calcul s étend à toutes les distributions périodiques via la décomposition en série de Fourier. Ainsi, si on souhaite calculer la polarisation dans un isolant de bandes, une nouvelle méthode est nécessaire. 1.3 Théorie moderne de la polarisation : approche de Vanderbilt-Resta Pour pallier à l ambiguïté dans le calcul de la polarisation des systèmes périodiques, Vanderbilt et Resta ont développé une théorie moderne de la polarisation présentée dans [1]. Pour un isolant de bandes décrit par un Hamiltonien H(λ) dépendant d un paramètre λ contrôlé par l expérimentateur, un changement dans la polarisation est un déplacement de charges électroniques, et est donc mesurable via le courant généré. Ainsi, pour un changement adiabatique de λ, la variation dans la polarisation provient des électrons et s écrit P ν (λ f ) P ν (λ i ) = j ν (λ(t))dt = dλ i( e) t α occ. λ (π) d d d k λ u α kν u α +cc. = e (π) d d d k Im u α kν u α e (5) λf (π) d d d k Im u α kν u α λi α occ. La somme (α occ.) est effectuée sur les bandes occupées. Plus de détails sont fournis en annexe A. On peut monter que la contribution électronique à la polarisation a les propriétés d une phase, c est à dire qu elle n est définie que modulo π ce modulo coïncide avec l ambiguïté (quantum de polarisation) donnée par la précédente approche classique dans le cas des électrons ponctuels. On peut définir une valeur effective de la contribution des électrons à la polarisation P eff de sorte à ce que P(λ f ) P(λ i ) = P eff (λ f ) P eff (λ i ). Soit P eff,ν = e (π) d d d k Im u α kν u α (6) α occ. Cette définition de la polarisation n est qu effective. A priori, cette formule permet de connaître la différence de polarisation entre deux états et non la polarisation absolue d un état. Pour avoir accès à la polarisation absolue d un état, il faut prendre la différence avec la polarisation effective d un état possédant une symétrie d inversion (polarisation nulle), ou réintroduire la contribution des ions. y 1.4 Motivations En cherchant à calculer la polarisation dans un modèle de liaisons fortes, l approche classique ne donne aucun résultat. Pour cette raison, Vanderbilt et Resta ont développé un formalisme qui permet de calculer la polarisation dans un cristal. Cependant, ce formalisme a plusieurs inconvénients : il ne fait pas appel à la thermodynamique puisqu il est basé sur le fait qu un changement de polarisation induit un courant, et non pas sur le fait que la polarisation est la dérivée de l énergie libre, il ne donne qu une polarisation effective, qui doit être comparée à une configuration possédant une symétrie d inversion, il ne permet pas de calcul à température finie, il ne permet pas de calculer la polarisabilité électrique (qui est la dérivée seconde du grand potentiel par rapport au champ). C est dans le but de tenter de pallier à ces inconvénients et de répondre à certaines des questions posées par la théorie de Vanderbilt et Resta qu on étudie la polarisation électrique durant ce stage. La suite de ce rapport est structurée en 3 parties. La première présente les deux modèles jouets étudiés durant ce stage, à savoir, la chaîne de dimères et le modèle de Rice-Mele. Ces deux modèles, étudiés classiquement (c est à dire sur des systèmes finis) sont ensuite comparés au formalisme de Vanderbilt et Resta. Dans une dernière partie, on se focalise sur un calcul thermodynamique en faisant intervenir la fonction de Green.

7 A Γ+δ B Γ δ A Γ+δ B Γ δ A Γ+δ B Figure Chaîne unidimensionnelle réalisant le modèle de Rice-Mele. Elle comprend deux atomes par cellule unité, avec un potentiel sur site ±. Les seuls termes de saut sont des termes premiers voisins valant Γ±δ. Modèles jouets : chaîne de dimères et modèle de Rice-Mele.1 Chaîne de dimères Le modèle du dimère est un modèle à deux atomes, A situé en x A et B situé en x B de potentiel sur site sur A et sur B. Les deux atomes sont couplés par un terme de saut Γ, résultant en une description par le Hamiltonien électronique ( ) Γ H d = (7) Γ Le Hamiltonien d une chaîne de dimère décrit un cristal de dimères non couplés, c est à dire H mn = H d δ mn, où m et n sont des indices repérant la cellule unité. Les atomes A sont positionnés en n+x A et les atomes B en n+x B. Cette construction en forme de chaîne permet de munir le modèle du dimère d une zone de Brillouin, permettant ainsi de comparer les formules exactes à des formules faisant intervenir une intégrale sur la zone première zone de Brillouin, comme celle de Vanderbilt et Resta. Le spectre du dimère est un spectre plat correspondant aux deux énergies E ± = ± +Γ. Les valeurs propres de H sont extrêmement dégénérées, donc il existe plusieurs bases orthogonales distinctes de vecteurs propres. Puisqu on souhaite faire des calculs sur la zone de Brillouin, il est nécessaire d utiliser la base qui diagonalise l opérateur translation. Dans cette base, les vecteurs propres ont pour composantes n,a E + k = u + A (k)eik(n+xa) = cos ξ e ikxa e ik(n+xa) n,b E + = u + k n,a E k B (k)eik(n+xb) = sin ξ e ikxb e ik(n+xb) n,b E k = sin ξ e ikxa e ik(n+xa) = cos ξ e ik(n+xb) (8) e ikxb où cosξ = E + et sinξ = Γ E +. L écriture sous forme d ondes de Bloch fait apparaître une phase dépendant de k dans la partie u ± (k) qui conduira au fait que les formules faisant intervenir la zone de Brillouin (tels que la formule de Vanderbilt et Resta) ne donnent pas nécessairement 0. Une deuxième base présente également un intérêt : la base dans laquelle les vecteurs propres du Hamiltonien sont localisés sur un seul dimère de la chaîne. On appelle cette base base de Wannier 1. Elle est constituée des vecteurs propres ayant les composantes suivantes n,a w + m = δ mncos ξ n,a w m = sin ξ n,b w + m = δ mnsin ξ n,b w m = cos ξ (9). Modèle de Rice-Mele Le modèle de Rice-Mele est un modèle à deux atomes par maille décrit par le Hamiltonien H 0 = ( i,a i,a i,b i,b )+(Γ+δ)( i,a i,b +cc.)+(γ δ)( i,a i 1,B +cc.) (10) Ce modèle correspond à une chaîne unidimensionnelle avec un potentiel sur site ± et une première amplitude de saut (Γ + δ) entre les atomes voisins i,a et i,b et un seconde amplitude (Γ δ) entre l autre paire d atomes voisins i,a et i 1,B. Une telle chaîne est schématisée par la figure. Le modèle possède une invariance par translation et peut donc être décrit sur la zone de Brillouin par le Hamiltonien de Bloch suivant (un choix spécifique de base de Bloch est fait ici, il est détaillé en annexe B), où les sites A et et B sont choisis de sorte à ce que x A = 0 et x B = 1 ( Γcos ( ( k H(k) = ) iδsin k ) ) Γcos ( ( k ) +iδsin k ) = n(k) σ (11) 1. Voir section pour une justification du choix du nom 3

8 3 Spectre du modèle de Rice-Mele Bande inférieure Bande supérieure État de bord État de bord 1 Énergie π/ π 3π/ π θ Figure 3 Spectre du modèle de Rice-Mele. On peut noter que le système est isolant quelque soit θ. Les deux lignes rouges correspondent aux deux états de bord qui ne sont présents que pour un système non-périodique de taille finie. La taille du système, L (en nombre de cellule unités) vaut 80 pour cette figure. Les bandes d un tel Hamiltonien correspondent à E ± = ± n(k) = ± +4Γ cos ( k ) ( ) k +4δ sin (1) et les états propres de H 0, qui sont des ondes de Bloch, sont notés E ± k, tandis que les u ± (k), vecteurs propres de H(k), sont des spineurs décrivant la partie ayant la période du réseau cristallin. Le spectre de cet Hamiltonien est présenté figure 3, où on a choisi, afin d explorer tout le modèle de Rice-Mele, = 0 cosθ, δ = δ 0 sinθ et Γ est pris comme échelle d énergie (ce qui implique Γ = 1). Dans la suite les résultats sont en général tracés pour θ [0;π] et 0 = δ 0 = 0.6. On peut noter que la limite δ = Γ correspond à la chaîne de dimère. L opération d inversion transforme P en P. Ainsi, en présence d une symétrie d inversion, P = P modulo 1, c est à dire que P = 0 ou P = 1, modulo 1. Avec la paramétrisation choisie, les valeurs de θ = π, 3π correspondent à = 0. Le système présente alors une symétrie d inversion qui échange les sous-réseaux d atomes A et B. Les électrons ne peuvent donc pas être localisés préférentiellement sur un des sous-réseaux, ainsi, la polarisation est nulle en = 0. Également, les points δ = 0 correspondent à la présence d une symétrie d inversion, cependant cette symétrie préserve les sous-réseaux A et B. Ainsi, contrairement à la symétrie d inversion en = 0 qui échange les deux sous-réseaux, on ne s attend pas ce que la polarisation soit nulle en δ = 0, mais sa valeur sera nécessairement 0 ou 1. 3 Polarisation classique et approche de Vanderbilt et Resta 3.1 Chaîne de dimères Calcul thermodynamique Pour calculer la polarisation, un choix de jauge pour le champ électrique est nécessaire ; on choisit la jauge potentiel scalaire. Ce choix est discuté dans la partie En présence d un champ électrique, dans cette jauge, le Hamiltonien d un seul dimère est modifié en ( + x A x B ) H E = E Γ Γ xa xb E 4 + x A +x B E1 (13)

9 Les énergies propres sont modifiées en E ± E = x A +x B E ± ( + x A x B E) +Γ (14) A température nulle, énergie libre grand-canonique et énergie sont identiques. La polarisation est donc la variation de l énergie liée au champ électrique. Pour deux ions sur les sites A et B et deux électrons dans l état fondamental, cette variation est donc P E=0 = ( E E E +E ) ( ions = E=0 E + x A x B E) +Γ = E (x A x B ) (15) E=0 où la contribution des ions à l énergie est calculée classiquement (charges ponctuelles dans un potentiel) et vaut (x A +x B )E Calcul classique En champ nul, l état fondamental pour un électron localisé sur le dimèrenest wn, donc la position moyenne de l électron associé est w Xw x A +x B n n = n+ + x A x B E (16) la position du barycentre des charges liées aux ions du même dimère est n+ xa+xb. En utilisant ces valeurs, le calcul classique premier moment dipolaire conduit à l expression de la polarisation suivante ( P class = n+ x ) ( A +x B n+ x A +x B + ) x A x B E = E (x A x B ) (17) qui est précisément la polarisation trouvée via la dérivée de l énergie. On reconnaît donc l image classique de la polarisation lorsqu on remplace l électron par une charge ponctuelle située en w n Xw n Approche de Vanderbilt et Resta La polarisation effective proposée par Vanderbilt est Resta est P eff = 1 dk Im u (k) k u (k) (18) π où le facteur provient de la dégénérescence de spin. Dans le cas particulier de la chaîne de dimères Im u (k) k u (k) = u A (k) ku A (k)+u B (k) ku B (k) = x A +x B Ce qui conduit à cosξ x B x A (19) P eff = (x A +x B ) E (x A x B ) (0) P eff étant une polarisation effective, seules les différences comptent. Ces différences sont bien en accord avec les valeurs de la polarisation trouvées précédemment. De plus, on sait que la contribution ionique va être (x A +x B ), ainsi, en réintroduisant la contribution des ions à la polarisation, on obtient bien P e +P ion = E (x A x B ) (1) On vient donc de montrer que les trois approches différentes conduisent au même résultat. 3. Modèle de Rice-Mele Le modèle de Rice-Mele ne peut pas être résolu analytiquement pour des systèmes finis. Ainsi pour l approche classique de la polarisation, on effectuera un calcul numérique sur système fini, avec ou sans bords, qu on comparera ensuite avec la formule de Vanderbilt et Resta. Comme les divers choix possibles de cellules unités conduisent à une ambiguïté classique valant 1 dans la valeur de la polarisation, on comparera toutes les courbes modulo 1.. c est à dire, lorsqu on remplace les électrons par des charges ponctuelles localisées, la valeur de la polarisation dépend du choix de cellule unité, comme expliqué dans la section 1. et les résultats trouvés diffèrent de 1. 5

10 Polarisation de la chaîne de Rice-Mele 1.5 Calcul numérique, L = 80 Calcul de Vanderbilt et Resta 1 Polarisation π/ π 3π/ π θ Figure 4 Polarisation du modèle de Rice-Mele. Les courbes sont tracées modulo 1 car pour le modèle de Rice-Mele, l ambiguïté dans la valeur de la polarisation est 1. On note l annulation de la polarisation pour = 0, soit en π et 3π du fait d une symétrie d inversion présente pour cette valeur de. Le calcul numérique et le calcul de Vanderbilt et Resta sont en bon accord une fois que la formule de la polarisation effective de Vanderbilt et Resta est décalée pour s annuler dans les configurations possédant un symétrie d inversion. On remarque également que l accord est le moins bon autour de θ = 3π, en raison de la présence d états de bord Système fini avec bords Pour un système de taille finie, non-périodique, le couplage avec un champ électrique en jauge potentiel scalaire s écrit EX. Le système étant fini, ce terme est une perturbation et on s attend à ce que l énergie de l état de base soit perturbative en E. Or P E=0 = 1 V = 1 V ( H (N) +EX (N)) Ψ GS E=0 +P ions ΨGS X (N) () Ψ GS +Pions E où Ψ GS est l état fondamenttal à N électrons et (N) dénote les opérateurs à N particules. En notant P le projecteur sur la bande occupée, Ψ GS X (N) Ψ GS = tr P XP (le facteur est lié à la dégénérescence en spin). Numériquement, le calcul de la polarisation se résume donc à la diagonalisation de H 0 et au calcul de la trace de l opérateur position projeté X = P XP. La polarisation ainsi calculée est présentée par la figure 4 où elle est comparée avec la formule de Vanderbilt-Resta. Du fait du fort lien entre la polarisation et l opérateur position, on peut s intéresser à l existence d états localisés et aux valeurs propres de P XP. En effet, les états propres E k du modèle infini/périodique sont des états complètement délocalisés sur lesquels l action de l opérateur position n est pas définie. Cependant la diagonalisabilité de P XP implique qu on peut localiser ces états. La figure 5 3 montre ces valeurs propres pour une valeur de θ fixée 4, pour les deux bandes, tandis que les figures 6 et 7 montrent respectivement la localisation exponentielle des états propres de P XP et la longueur de localisation d un état de volume pour θ [0;π]. L opérateur P XP, et en particulier ses vecteurs propres et valeurs propres, ont également été étudiées dans []. 3. La présence du décalage de 1 4 provient du fait que le barycentre des charges positives est 1 4 pour des ions situées en x A = 0 et x B = 1, ainsi le 0 de la polarisation correspond à des électrons localisés en 1. Se référer à la légende de la figure θ est choisi parmi les valeurs pour lesquelles les effets des bords sont les plus visibles. 6

11 Valeurs propres de l opérateur position projeté P ± XP ± Bande inférieure Bande supérieure Valeur de x ± i i indice i Figure 5 Valeurs propres x ± i de l opérateur P ± XP ±. On peut noter qu elles sont (majoritairement) de la forme x i = x+i 1 4 pour la bande inférieure et x+ i = x+i 1 4 pour la bande supérieure (modulo 1). On remarque aussi que seules quelques valeurs sont affectées par la présence des bords, tandis que la majorité, correspondant à des états de volume, est totalement insensible à la présence des bords. Pour cette figure, on a choisi θ = 3π + π 100 et L = e-05 Fonction propre de P XP (état de volume) Sites A Sites B Tous les sites Amplitude 1e-10 1e-15 1e Cellule unité Figure 6 Amplitude d une fonction propre quelconque de P XP. L échelle logarithmique montre une localisation exponentielle ainsi, l essentiel de la fonction d onde est située sur deux sites, ce qui est en accord avec la longueur de localisation calculée par un fit présentée sur la figure 7. Ici L = 40 et θ = π 3. 7

12 Longueur de localisation Longueur de localisation des états propres de volume de P XP L = 0 L = 40 L = π/ π 3π/ π θ Figure 7 Longueur de localisation d un état de volume du modèle de Rice-Mele. On remarque que cette longueur est très peu sensible à la taille du système, et qu elle correspond à des fonctions d ondes très localisées. Cette longueur de localisation est déduite d un fit des densité de probabilité des fonctions propres de P XP par une enveloppe exponentielle, comme le justifie la forme de la fonction d onde présentée figure 6. La figure représente l ensemble des longueurs de localisation au seuil de confiance 1σ 3.. Système sans bord, périodique L étude numérique d un système sans bords (i.e. périodique) s avère plus difficile car l opérateur position X n a pas la propriété de périodicité du système. Néanmoins, on sait que les états propres de l opérateur position sont localisés et on s attend à ce que cette localisation ne dépende pas du caractère périodique du système si la longueur de localisation des états propres est inférieure à la taille du système. Ainsi, si on trouve un opérateur périodique X tel que, sur des échelles de la longueur de localisation, X est proportionnel à X, on s attend à ce que les vecteurs propres de X soient identiques à ceux de X, et que les valeurs propres soient identiques (après avoir enlevé la constante de proportionnalité dépendant de la position). En suivant l article [3], on choisit X = exp ( iπ L X ) et ( P XP ) = P X P = P exp ( iπ L X ) P (3) où L est la taille du système. Une manière de comprendre ce choix et d assimiler le système périodique à un anneau, dans lequel la position est un angle. Il devient alors naturel que la phase de ψ X ψ soit la position angulaire de l état ψ sur l anneau. Alors que X est diagonalisable, aucune propriété ne garanti que P X P l est (en effet ce n est pas un opérateur hermitien). On ne peut donc pas relier les valeurs propres par comme on le ferait pour X et X. On peut néanmoins considérer λ P XP = L π Imlogλ P X P (4) L π Imlog ψ P X P ψ (5) qui devrait contenir l information sur la position de l état ψ (tandis que le module de ψ P X P ψ contient l information sur la localisation de l état). Numériquement, l opérateur P exp ( iπ L X) P se trouve être diagonalisable pour toutes les tailles de système étudiées. La polarisation obtenue via l utilisation de cet opérateur est comparée à la polarisation obtenue pour un système fini non périodique, ainsi qu à la formule de Vanderbilt et Resta, sur la figure 8. On peut remarquer l accord entre la polarisation calculée via l utilisation de P XP et la formule de Vanderbilt et Resta. 8

13 1.5 1 Polarisation de la chaîne de Rice-Mele : différentes méthodes Chaîne ouverte Chaîne périodique Vanderbilt-Resta Polarisation π/ π 3π/ π θ Figure 8 Polarisation obtenue par la diagonalisation de P exp ( iπ L X) P (système périodique) comparée à celle obtenue par la diagonalisation de P XP (système non-périodique) ainsi qu à celle obtenue par la formule de Vanderbilt et Resta. Afin d être comparable les courbes sont prises modulo 1. La chaîne périodique et le calcul de Vanderbilt et Resta se superposent exactement. L = 80 dans cette figure. 4 Fonction de Green, développement pertubatif 4.1 Notions préliminaires Approche thermodynamique et fonction de Green Le potentiel grand canonique peut être exprimé sous la forme suivante Ω(T,µ,E,...) = 1 ( dω ρ(ω, E) log 1+e β(ω µ)) (6) β où ρ(ω,e) est la densité d états à l énergie ω en présence du champ électrique E. Cette densité d état est reliée à la fonction de Green (retardée) par l équation ρ(ω,e) = lim où g(ω +iη,e) est la fonction de Green retardée. η Im tr g(ω +iη,e) (7) π La contribution électronique à la polarisation en champ nul est la dérivée de l énergie libre, elle a l expression P e (T,µ,E = 0,...) = 1 1 dω 1 ( β V π Im tr g(1) (ω +i0 + )log 1+e β(ω µ)) (8) où g = g (0) + Eg (1) +... g (1) est donc le premier ordre de la fonction de Green lorsqu elle est développée en puissances du champ Choix de la jauge électromagnétique Afin de calculer la fonction de Green au premier ordre en champ électrique, il faut faire un choix de jauge pour le couplage des électrons avec le champ. D un point de vue classique, le Hamiltonien d un électron libre 9

14 dans un champ uniforme peut être écrit dans une jauge mixte, comprenant à la fois potentiel scalaire et potentiel vecteur, sous la forme H = (p+a) m V A = λet (9) V = (1 λ)ex où λ est un paramètre qui contrôle le choix de la jauge. Les équations du mouvement correspondantes sont Ces équations conduisent à une solution x(t) indépendante de la jauge et la quantité correspondant à l énergie ẋ = p H = p+a m = p λet m ṗ = x H = (1 λ)e (30) p = p 0 (1 λ)et et x = x 0 + p 0 m t 1 E m t (31) E = 1 mẋ +Ex = 1 mẋ 0 +Ex 0 (3) est bien conservée. On remarque que l énergie coïncide avec le Hamiltonien uniquement lorsque ce dernier est exprimé dans la jauge scalaire (correspondant à λ = 0), ainsi pour exprimer la densité d état en énergie en terme de la fonction de Green, on fait le choix de la jauge scalaire Échelle de Wannier-Starck En présence d un champ électrique uniforme, en jauge potentiel scalaire, le Hamiltonien est modifié en H = H 0 H = H 0 +EX (33) Grâce à l invariance par translation de H 0, exprimée par [T a,h 0 ] = 0, on peut écrire T a HTa 1 a réintroduit la taille de la cellule unité, précédemment fixée à a = 1), ainsi Hψ = Eψ HTa 1 ψ = Ta 1 = T 1 ( Ta HTa 1 a (H Ea)ψ ) ψ = H Ea (où on (34) = (E Ea)Ta 1ψ Ainsi, T 1 a ψ est aussi un état propre de H d énergie E(ψ) Ea. Il suffit donc de connaître un état propre, pour, grâce à l opérateur translation, en construire un par cellule unité. Le spectre associé à cette famille d états propres est E + EaZ et est appelé échelle de Wannier-Stark. Par dénombrement, on sait que le spectre total de H sera constitué d autant d échelles de Wannier-Stark qu il y a d états par cellule unité. On remarque également que le spectre à E = 0 (structure de bandes) est fondamentalement différent de celui à E 0 (échelle de Wannier-Stark). La possibilité de pourvoir traiter perturbativement ces spectres si différents n est pas évidente. Cependant, on verra que le développement de la fonction de Green contient deux contributions ; l une dépendant de l origine des positions (du type g xx = f(x+x )) et l autre n en dépendant pas (du type g xx = f(x x )). Les ions, à prendre en compte pour garantir la neutralité du système, ont une contribution qui dépend uniquement de l origine or physiquement, le système est invariant par translation car le champ électrique est uniforme, et donc la polarisation ne doit pas en dépendre. Ainsi, on verra que la contribution des ions compense la partie dépendant de l origine de la polarisation électronique. De plus, si on tente d effectuer un calcul thermodynamique de la polarisation pour E 0, la question du remplissage va se poser : en effet, pour E 0, le système ne possède pas d état d énergie minimale. Dans la suite les calculs seront effectués à E = Approche indépendante de jauge (Chen et Lee) 4..1 Dérivation Dans l article [4], Chen et Lee proposent une approche indépendante de jauge pour calculer les corrections induites par le champ électrique ou magnétique à la fonction de Green. La méthode consiste à annuler la phase 10

15 dépendante de jauge en posant x t g xx tt = g xx tt e ia xx tt où A xx tt = xt ( V(y,τ)dτ + A(y,τ) d y ) où l intégrale est en ligne droite entre les points (x,t) et (x,t ). Une fois cette dépendance de jauge factorisée, l équation définissant la fonction de Green, (H ω)g = 1, se ré-écrit en fonction de quantités ne dépendant plus de la jauge (l équation fait apparaître un flux magnétique et le champ électrique). Elle permet de trouver le développement de g ordre par ordre en champ électrique (ou magnétique le cas échéant). L ordre 1 de la fonction de Green indépendant de jauge s écrit E g (1) = i E µ ( [ g 0 ω g 1 0 [X µ,g 0 ] g 0 Xµ,g0 1 ] ω g 0 où (H 0 w)g 0 = 1. Comme ω g 0 = g 0 et ω g 1 0 = 1, et lorsque le système est invariant par translation, [X,. ] = k., on a E g (1) = i E [ µ g 0, ] g 0 k µ Une fois ce calcul effectué, le premier ordre de la fonction de Green est la somme de g (1) avec le premier ordre de g 0xx tt e ia xx tt dans la jauge scalaire, où ) (35) (36) (37) A xx tt = E (x+x )(t t) (38) 4.. Application à la chaine de dimères Puisque, pour le dimère, un calcul exact est possible, il est possible de tester la formule de Chen et Lee. En présence d un champ, la fonction de Green du dimère s écrit de façon exacte g E = H Ex σ z + 1 Ex+ +ω1 n E ( ω + 1 Ex+) (39) où x ± = x A ±x B, H 0 = n 0 σ et H E = n 0 σ + 1 Ex σ z + 1 Ex+ 1 =. (Donc n E = ( Γ,0, + 1 Ex ) ). et Le premier ordre en champ est donc E (n 0 ω ) ( (ωx + x ) (H 0 +ω1)+ 1 ( n 0 ω )( x σ z +x + 1 )) (40) En comparaison, les deux provenant du calcul de Chen et Lee sont ( ) g (1) E Γ = (n 0 ω ) Γx Γ g xx (ω) = E (n 0 ω ) ( ) 1 (n 0 ω )(x+x )δ xx ((H 0 ) xx +ωδ xx )ω(x+x ) où g xx (ω) est la transformée de fourrier temporelle de g 0xx tt e ia xx tt. Un rapide calcul montre que les deux expressions (développement à partir de l expression exacte et calcul de Chen et Lee ) coïncident. Le modèle du dimère semble donc valider le calcul de Chen et Lee. (41) (4) 4..3 Application au modèle de Rice-Mele On vérifie que la démarche ci-dessus ne marche pas pour le modèle de Rice-Mele. En effet, le premier ordre de la fonction de Green indépendante de jauge proposé par Chen et Lee est un commutateur, donc de trace nulle, et le terme g xx (ω) (transformée de Fourier de g 0xx tt e ia xx tt ) ne fait pas apparaître de dérivées il semble donc improbable de trouver la formule de Vanderbilt-Resta, qui, elle, fait intervenir des dérivées. Un calcul complet montre qu en effet, la correction au premier ordre de la fonction de Green ne donne pas le résultat attendu pour la polarisation. S il est clair que le calcul de Chen et Lee ne donne pas le résultat attendu, la raison pour laquelle on n obtient le résultat attendu ne l est pas. 11

16 4.3 Nouvelle approche : fonctions d onde localisées Dans leur calcul, Chen et Lee font intervenir deux bases privilégiées : la base des orbitales atomiques (ou base localisée) et la base des ondes de Bloch où le Hamiltonien H 0 est diagonal par blocs. Or le Hamiltonien en présence d un champ a deux contributions, l une étant localisée (EX), l autre étant délocalisée (H 0 (k)). Il y a une compétition entre ces deux termes. Dans la suite on présente un calcul utilisant une base hybride la base des fonctions de Wannier avant de le discuter Fonctions de Wannier et développement de la fonction de Green On définit les fonctions d ondes de Wannier par wn α = dk E α k e ikn (43) où n est un vecteur d indices repérant une cellule du cristal et α est un indice de bande et dk = dd k (π) d. E α k est le vecteur propre de H de pseudo impulsion k. Les fonctions d ondes w α n forment une base orthogonale de l espace de Hilbert, et sous certaines conditions, sont exponentiellement localisées. Dans la suite on fait l hypothèse qu elles le sont. Dans cette base, le Hamiltonien a la forme H 0 = wn α H0 wm β w α n wm β = dk E α (k)e ik(m n) wn w α m α (44) où les sommes sur les indices de cellule n,m,p,... et sur les indices de bande α,β,... sont sous entendues et ne sont pas notées. On peut montrer que la fonction de Green g (0) est g (0) (ω) = dk e ik(m n) E α (k) ω wα n w α m (45) Lorsqu un champ électrique est présent, le Hamiltonien est modifié en H 0 +EX. Dans la base des fonctions de Wannier, le terme EX s écrit EX = E wn α = E µ dk Xw m β w α n wm β ( i u α (k) kµ u β (k) + 1 δαβ (m µ +n µ ) ) e ik(m n) wn α wm β (46) On pose alors (B µ ) αβ nm = (O µ ) αβ nm = dk i u α (k) kµ u β (k) e ik(m n) dk 1 δαβ (m µ +n µ )e ik(m n) (47) En développant H et g en puissances du champ H = H 0 +E µ B µ +E µ O µ g = g (0) +E µ g (1) µ + 1 E µe ν g () µν +... (48) l équation (H ω)g = 1 implique g µ (1) = g (0) (B µ +O µ )g (0) g µν () = g (0) (B µ +O µ )g (0) (B ν +O ν )g (0) = g µ (1) (H 0 ω)g ν (1) (49) où les indices µ et ν sont symétrisés. 1

17 4.3. Premier ordre de la fonction de Green et polarisation Le premier ordre en champ de la fonction de Green est g µ (1) = g 0 (B µ +O µ )g 0. Le calcul donne ( ) αβ g µ (1) i u = dk α (k) kµ u β (k) nq (E α (k) ω)(e β (k) ω) e ik(q n) δ αβ dk 1 n µ +q µ (E α (k) ω) e ik(q n) (50) La trace de l ordre 1 s écrit simplement tr g µ (1) = V où le facteur provient de la dégénérescence en spin. dk Im uα (k) k u α (k) (E α (k) ω) dk n n (E α (k) ω) (51) En utilisant le fait que 1 π lim η 0 + ( 1 dω Im )f(w) (E ω +iη) n = ( 1) n 1 dω δ(e ω) n 1 ω f(ω) (5) on peut injecter l expression de la trace de g µ (1) dans la formule 8 donnant la polarisation pour obtenir la contribution électronique P e,ν(t,µ,e = 0,...) = dk Im u α (k) kν u α (k) n F (E α (k),µ) 1 V n (53) où n F (E,µ) est la fonction de remplissage pour les fermions. On reconnaît immédiatement la formule de Vanderbilt-Resta. En effet à température et champ nuls, la polarisation est P ν = P e +P ions = dk Im u α (k) kν u α (k) +x A +x B (54) où le terme P ions = 1 V i=a,b α occ. n α occ. α occ. n+x i = x A +x B + 1 V n (55) est venu compenser la contribution électronique dépendant de l origine, comme l indiquait les arguments de la section x A et x B correspondent à la position des ions dans la cellule unité Deuxième ordre de la fonction de Green et polarisabilité Le deuxième ordre de la fonction de Green peut-être calculé de manière similaire. Le résultat est le suivant ( ) αγ ( u g µν () = dk e ik(n m) α (k) kµ u β (k) u β (k) kν u γ (k) mn (E α (k) w)(e β (k) w)(e γ (k) w) m µ i u α (k) kν u γ (k) (E α (k) w) (E γ (k) w) i u α (k) kµ u γ (k) n ν (E α (k) w)(e γ (k) w) (56) ) + δ αγ k µ E α (k) kν E α (k) (E α (k) w) 5 +δ αγ m µ n ν (E α (k) w) 3 +ig αγ µν où la somme sur β n est pas notée, les indices µ et ν sont symétrisés. i(g µν ) αγ mn correspond à un terme purement imaginaire, qui n aura aucun rôle dans la calcule la densité d états, et qui n est pas noté pour garder le résultat le plus simple possible. On peut remarquer que le deuxième ordre de la fonction de Green comprend des termes dépendants de l origine des position. Ce fait n est pas surprenant car le spectre est une échelle de Wannier-Stark, et la fonction de Wanier au site n voit son énergie augmentée de En. On s attend donc en réalité à ce que le dénominateur de la fonction de Green soit de la forme 1 n E ω+en, et les termes qu on observe correspondent en effet au développement d un tel dénominateur. 5 n n 5. Et dans la suite, on les oublie puisqu à température nulle, un pôle d ordre 3 ne contribue pas (un tel pôle correspond à un pic de Dirac dans le gap). ils posent cependant plusieurs question quant à leur prise en compte ; questions explicitées dans la partie Conclusion et perspectives. 13

18 Il est possible de prendre la trace de l ordre afin d obtenir, après séparation en pôles simples et simplification tr g µν () = V α β + V α + α dk 1 u α (k) kµ u β (k) u β (k) kν u α (k) E α (k) E β (k) (E α (k) w) u α (k) kµ u α (k) u α (k) kν u α (k) dk k µ E α (k) kν E α (k) (E α (k) w) 5 n dk n µn ν (E α (k) w) 3 + (E α (k) w) 3 n n µ u α (k) kν u α (k) (E α (k) w) 3 +itr G µν A température nulle, le potentiel chimique est dans le gap, ainsi les pôles d ordre 3 ou supérieur ne contribuent pas. La polarisabilité à température et champ nuls a donc l expression χ µν = u dk α (k) kµ u β (k) u β (k) kν u α (k) E α (k) E β (k) α occ. β α où les indices µ et ν sont symétrisés. La polarisabilité apparaît donc comme un couplage interbandes. (57) (58) 4.4 Application aux modèles Chaîne de dimères Comme il a été calculé dans les sections et 3.1.3, la formule trouvée pour la polarisation donne le résultat attendu lorsqu on prend en compte la contribution des ions. Pour le calcul de la polarisabilité, on a E ± = ± ainsi, en prenant en compte la dégénérescence de spin, ( +E x ) +Γ (59) χ E=0 = (x ) E (x ) E 3 = Γ (x ) E 3 > 0 (60) où E = E + = +Γ. Pour le modèle général de Rice-Mele, on peut choisir la phase des u ± (k) de telle sorte à ce que u (k) ( = sin ξ cos ξ eiφ ) (61) ce qui permet d écrire u (k) k u + (k) = 1 ( kξ +isinξ k φ) u + (k) k u (k) = 1 ( kξ isinξ k φ) (6) ainsi, l expression de la polarisabilité trouvée via le développement de la fonction de Green est χ = dk 1 ( k ξ) + ( 1 cos ξ ) ( k φ) E (k) E + (k) (63) Comme la chaîne de dimères est la limite δ = Γ du modèle de Rice-Mele, on a k ξ = 0, k φ = x et cosξ = E, la polarisabilité obtenue par l expansion de la fonction de Green a l expression qui est bien l expression trouvée par calcul exact. χ = (x ) E (x ) E 3 = Γ (x ) E 3 (64) 14

19 Succeptibilité de la chaîne de Rice-Mele Simulation numérique Calcul analytique 0.3 Succeptibilité π/ π 3π/ π θ Figure 9 Comparaison de polarisabilité trouvée par une simulation numérique sur un système ouvert avec celle trouvée par le développement de la fonction de Green. Les deux courbes sont en excellent accord. Autour de θ = 3π, la simulation numérique donne un résultat incorrect (voir texte), il n est donc pas affiché. L = 80 pour cette figure Modèle de Rice-Mele Pour le modèle de Rice-Mele, on peut évaluer numériquement l expression de la polarisabilité trouvée χ = dk 1 ( k ξ) + ( 1 cos ξ ) ( k φ) E (k) E + (65) (k) et la comparer à la polarisabilité trouvée via une résolution numérique d un système fini non périodique. La comparaison est effectuée figure 9. Les deux résultats sont en très bon accord. Un problème lié au mauvais remplissage des états de bord en présence de champ autour de θ = 3π conduit la simulation numérique à donner des résultats aberrants ; en effet, en présence de champ, les niveaux d énergie des deux états de bord se croisent, conduisant à la sélection du mauvais état de bord pour le calcul de l énergie. Le très bon accord avec la simulation semble valider la contribution champ nul et température nulle du développement de la fonction de Green. 4.5 Discussion Invariance de jauge choix de la phase Tout Hamiltonien sans interactions peut être écrit sous la forme H = E(λ) ψ λ ψ λ. Sous cette forme le Hamiltonien apparaître être clairement invariant sous un changement arbitraire de la phase (transformation dite de jauge) ψ λ e iφ(λ) ψ λ (66) ainsi, la physique et en particulier la polarisation doivent également être invariantes sous de telles transformations. Comme on a précédemment requis que les fonctions de Wannier soient localisées, les transformations de jauge possibles sont restreintes à la classe des fonctions telles que e iφ(λ) = e iφα (k) soit lisse et périodique sur la zone de Brillouin (la non-continuité détruirait la localisation, tandis que la non dérivabilité à un certain ordre ne garantirait qu une localisation polynomiale 6 ). Les fonctions φ(k) satisfaisant ces propriétés sont décrites par deux propriétés : 6. Ce qui est en fait suffisant pour la définition des éléments de matrice de X 15

20 une fonction φ 0 telle que φ 0 (k +G) = φ 0 (k) pour tout vecteur G du réseau réciproque, des indicesd µ qui caractérisent le nombre d enroulement de la phase lorsqu on traverse la zone de Brillouin dans la direction µ On a φ(k) = φ 0 (k)+d µ k µ. On peut remarquer que sous u α (k) e iφα 0 (k) u α (k), la partie phase de Berry de la polarisation électrique se transforme en u α (k) kµ u α (k) u α (k) kµ u α (k) +i kµ φ α 0(k) (67) Ainsi l intégrale sur la zone de Brillouin est inchangée. Sous la transformation de jauge généraleφ(k) = φ 0 (k)+d µ k µ, l intégrale sur la zone de Brillouin est modifiée par P µ = dk Im u α (k) kµ u α (k) P µ = dk Im u α (k) kµ u α (k) +d µ (68) On observe finalement que la transformation de jauge correspond à 7 w n w n+d (69) i.e. qu il s agit d un changement d origine pour les électrons (et uniquement les électrons, les ions ne sont pas affectés). Il est donc normal que le calcul du changement de jauge nous donne un changement de la polarisation qui correspond bien aux déplacement des électrons de d cellules unités Bases localisées Dans la section 4.3.1, on fait l hypothèse que les fonctions de Wannier sont localisées. En effet, tant que le Hamiltonien est de la forme H(k) et que les valeurs propres de H(k) sont non-dégénérées (tant qu il n y a pas de points de Dirac ou de croisement de bandes), les fonctions propres (normées) du Hamiltonien ont les même propriétés de continuité et de dérivabilité que le Hamiltonien et, dans les modèles de liaisons fortes, les fonctions d ondes sont en général infiniment dérivables 8. Du fait de l expression des fonctions de Wannier, les composantes de wn α dans la cellule unité m ont l expression wn(m) α = m wn α = dk u α (k) e ik(n x) (70) Il s agit des coefficients de la série de Fourier de u α (k) 9. Le comportement asymptotique des ces coefficients est défini par les propriétés de dérivabilités de u α (k). En particulier pour une fonction lisse, la décroissance des coefficients de Fourier est plus rapide que tous les polynômesx d, c est à dire que la localisation est exponentielle. Les question est donc de savoir s il est possible d écrire les fonctions d ondes de manière lisse sur le tore, et pas seulement dans la première zone de Brillouin. Tandis qu en dimension 1, cette écriture est toujours possible, ce n est pas le cas en dimension supérieure. Dans l article [5] les auteurs, en explorant numériquement le modèle de Haldane, remarquent que dans la phase topologique de ce modèle, les fonctions de Wannier ne sont plus localisées, indiquant probablement une impossibilité de définir continûment les états propres. Également, dans [6], les auteurs font remarquer que, de manière générale, des indices topologiques non triviaux (nombre de Chern et indice topologique Z ) indiquent l impossibilité de définir de manière continue les états propres sur la zone de Brillouin ; en particulier, le problème provient de la définition de la phase des états propres. Ainsi, par exemple, en présence d un index Z non trivial (ce qui peut être le cas en deux et trois dimensions), l amplitude des fonctions de Wannier décroît en 1 x puisqu elles sont des coefficients de Fourrier d une fonction discontinue, ce qui n est pas suffisant pour justifier de l existence des coefficients w n Xw m. Cependant, la question reste de savoir si cette non-localisation des fonctions de Wannier et plus générale : dans le cas d un isolant topologique, peut-on quand même ré-écrire le Hamiltonien sur une base localisée pour 7. Ce n est en réalité pas tout à fait le cas. La forme des fonctions d onde va changer sous l action de φ 0 (k), mais leur centre de localisation ne change pas sous l action de φ 0 (k). C est seulement la phase d µk µ qui conduit au changement d origine. 8. Uniquement dans l intérieur de la première zone de Brillouin, et non sur la totalité de la zone de Brillouin qui est un tore. 9. On a pris soin de choisir la base des ondes de Bloch de telle sorte que H(k + G) = e iφ(g) H(k) pour ce calcul. Voir l annexe B pour plus de détails 16

21 chaque bande? En effet, pour un changement de base plus général ln α = dk ρ α n(k)e iφ(k) E α (k) (71) où les fonctions ρ α n(k)e iφα n (k) sont orthonormées, et telles que ρ α n(k) est lisse et est nulle lorsque la phase de e iφ(k) E α (k) est discontinue. On peut montrer que les ln α sont exponentiellement localisées, et dans ce cas, la trace du premier ordre de la fonction de Green à l expression tr g 1 = dk Im uα (k) k u α (k) (E α (k) ω) + dk Im(( ρ α n(k)e iφα(k)) ( n k ρ α n (k)e iφα(k))) n (E α (k) ω) (7) où le deuxième terme reproduit bien nn dans le cas des fonctions de Wannier. On remarque donc que la validité du calcul du premier ordre de la fonction de Green ne dépend que de l existence d états suffisamment localisés et non du fait de la localisation des fonctions de Wannier. D après le travail de Kohn [7], complété récemment, et revu dans [8], on peut caractériser tous les types d isolants par le fait que l état de base peut être écrit comme un superposition d états localisés. 5 Conclusion - perspectives Après avoir introduit les deux approches connues pour calculer la polarisation électrique dans un cristal à savoir, l approche classique et l approche de Vanderbilt et Resta [1], nous les avons comparées numériquement ou analytiquement en faisant appel à un modèle jouet, la chaîne de Rice-Mele, ainsi qu à une de ses limites particulières, la chaîne de dimères. Suite à cela, nous nous sommes penchés sur une nouvelle approche, utilisant les fonctions de Green. Une des approches connues, celle de Chen et Lee [4] ne donne pas le résultat attendu, cependant les raisons pour lesquelles le résultat diffère ne sont pas comprises. Une autre approche, faisant appel à une famille de fonctions localisées telle que les fonctions de Wannier permet de un calcul thermodynamique dont le résultat est identique à celui de Vanderbilt et Resta. Cette méthode permet en plus de calculer la polarisabilité électrique pour les modèles de liaisons fortes et le résultat à température nulle est confirmé par les simulations numériques. Toutes les comparaisons effectuées dans ce stage ont été faites avec des modèles unidimensionnels. Il pourrait être intéressant d appliquer les formules pour des modèles de dimensions ou 3 en particulier pour tester la différence entre cas topologiques et non topologiques. Le calcul effectué via les fonctions de Green permet d obtenir la dépendance en température de la polarisation et de la polarisabilité, cependant cette dépendance n a pas été testée. Il peut être intéressant d analyser cette dépendance en température. En effet, le spectre est une échelle de Wannier, dont le remplissage à température nulle est dicté par le fait qu à champ nul, seule la bande inférieure est remplie, ce qui conduit à remplir l échelle de Wannier lui correspondant. A température finie, comment se comporte ce remplissage? La théorie des bandes indique qu il faut associer un poids non nul à la bande supérieure, mais de quelle manière cela se traduit-il sur les échelles de Wannier? Également, certains des termes apparaissant dans la polarisabilité n ont pas de contribution à température nulle, et de plus, dans ce rapport ils ont étés écartés du fait qu ils traduisent le caractère en échelle de Wannier du spectre. Peut-on réellement les écarter? Un des intérêt de l étude de la dépendance en température est que la contribution et le comportement de ces termes sont distincts (l ordre des pôles de la fonction de Green diffère). Cependant un telle étude demande probablement de comparer ces résultats à des données expérimentales qui contiennent des contributions ioniques (les ions ne sont pas immobiles), et des contributions provenant des orbitales atomiques (mais de telles contributions sont à priori incluses dans la partie périodique des ondes de Bloch de par la méthode de construction des liaisons fortes). On peut également remarquer que les figures 7 et (resp.) 9, présentant la longueur de localisation des états propres de l opérateur position projeté et (resp.) la polarisabilité, sont similaires. Tracer l une en fonction de l autre suggère une relation entre ces deux grandeurs. Y-a-t-il effectivement un lien? Peut-on relier la polarisabilité à l étalement d une certaine famille de fonctions d ondes? 17