Rapport de stage. Première année de master Calcul Scientifique et Mathématiques de l information UFR Mathématiques et Informatique (STRASBOURG)

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1 Rapport de stage Première année de master Calcul Scientifique et Mathématiques de l information UFR Mathématiques et Informatique (STRASBOURG) Étude de la température autour d une diode laser Approche théorique et numérique. SPRENG Marion 2 octobre 2014

2 Table des matières 1 Contexte du sujet de stage L entreprise et les produits Problématiques globales Contraintes environnementales Problématique liée à la limitation des énergies Objectifs de ce projet Projet de stage Description du modèle Composition du modèle Échanges thermiques présents au sein du modèle Boucle de régulation de la température Approche théorique du modèle thermique Géométrie du modèle Équations mathématiques et lois physiques : Équation de transfert de chaleur Conditions aux bords Forme variationnelle : Discrétisation : Modèle numérique, résultats et comparaison Implémentation : Notations et outils : Écriture du modèle mathématiques Inclusion dans un algorithme de recherche de minimum Résultats et comparaisons Premiers tests Test en utilisant la minimisation du flux thermique Annexe Description de l Inspectra Laser Fonctionnement de l Inspectra Laser Champs d action des produits fournis par Gazomat Calcul des coefficients du modèle Bibliographie 35 1

3 Je tiens à remercier M.Prud Homme, mon responsable pédagogique, pour m avoir aidé à trouver ce stage au sein de Gazomat ainsi que pour son soutien tout au long de ces deux mois. Je tiens également à remercier mon maître de stage, M.Jourdainne qui m a accueilli à Gazomat pour le temps qu il m a consacré, l aide et les connaissances qu il m a apporté ainsi que pour les expériences auxquelles j ai pu assister. 2

4 Ce stage de deux mois de première année de master CSMI (Calcul Scientifique et Mathématiques de l Information) s est déroulé à l UFR (Unité de Formation et de Recherche) de Mathématiques pour la majorité du temps et certaines journées se sont passées à Gazomat. C est une entreprise proposant des appareils nomades de détection de fuites de gaz. Ces journées ont permis l ajout et l enrichissement d informations sur le projet ainsi que l observation d expériences. Ce travail a porté sur un appareil de terrain de détection de fuite de gaz, cette portabilité l expose à une problématique due à l influence de la température. Cet instrument nécessite une régulation de la température sur des éléments du capteur optique (diode laser) pour maintenir la sensibilité de la détection tout en étant limité en terme énergétique. L optimisation de la gestion des énergies s insère dans le cadre du projet, englobant ce stage qui aura pour objectif de créer un modèle numérique de l environnement de la diode laser et les échanges thermiques qui se déroulent dans le système ainsi qu une caractérisation de la régulation. Pour commencer, le contexte de ce stage sera posé puis nous détaillerons le projet ensuite l approche théorique sera expliqué et finalement, le modèle numérique sera posé et testé. 3

5 1 Contexte du sujet de stage Le gaz naturel est transporté par des canalisations en acier enterrées appelées gazoducs, puis il passe dans le réseau de distribution de gaz des villes. Ce réseau nécessite une surveillance constante par le biais d instruments fournis par des entreprises spécialisées. Dans cette partie nous nous intéresserons à une telle entreprise, Gazomat, puis à la gamme de produits qu elle propose. Pour finir, les contraintes occasionnées par l environnement sur ces produits seront observées. 1.1 L entreprise et les produits Gazomat est une entreprise française implantée à Bischheim proposant des systèmes portables de détection de fuite de gaz, essentiellement de gaz naturel adaptés à la surveillance constante des réseaux de gaz (obligation légale), pour prévenir les risques d explosions et d incendies. Cette société dont le chiffre d affaire s élève à trois millions d euros est composée de vingt-trois personnes et possède des partenariats avec de grandes entreprises de distribution de gaz dans le monde. Elle appartient au groupe T.D Williamson qui est spécialisé dans la maintenance et l intervention sur les pipelines et réseaux sous pression. La gamme d appareils portables de Gazomat est représentée sur la figure 1 : Procédure de recherche Étape 1 : DÉTECTION VSR (véhicule surveillance réseaux) - Recherche d indice de fuite - Détection sur 100m 40km/h Étape 2 : CONFIRMATION Inspectra Laser - Confirmation d indice - Détection sur 20m 0km/h Étape 3 : LOCALISATION Gamme Catex - Localisation par sondage - Intervention d urgence 0km/h Étape 4 : RÉPARATION vitesse à laquelle la détection est possible FIGURE 1 Les produits de l entreprise (pour les détails de la procédure de recherche voir Annexe 5.3) 4

6 La procédure (détection, confirmation, localisation) de détection de fuite de gaz ne serait pas efficace sans de bons fondements fonctionnels. Voyons donc dès à présent, leur principe de fonctionnement. Le principe de détection des fuites du réseau actuellement mis en oeuvre repose sur la recherche de concentration du méthane qui constitue 90% du gaz naturel. Les appareils (VSR, Inspectra Laser et Catex) utilisent des capteurs optiques, ils sont constitués de manière générique (voir Figure 2) par trois briques essentielles : une source lumineuse, une chambre de mesure et des photodétecteurs. (1) (3i) (2) (3iii) (3ii) FIGURE 2 Schéma de l Inspectra Laser. Nous retrouvons les briques de fonctionnements : la source lumineuse (1), la chambre de mesure (2) et les photodiodes (3i) (3iii) (3ii) Ces capteurs mesurent l absorption de la lumière pour une quantité d air donnée contenant potentiellement du méthane en concentration c. La loi de Beer-Lambert décrit la relation entre l absorption de la lumière et la concentration de gaz dans un échantillon d air. Le fonctionnement de ces appareils, fournis par Gazomat afin d assurer la surveillance des réseaux de distribution de gaz naturel peut être mis à mal par certaines contraintes qui vont être exposées dans le paragraphe suivant. 1.2 Problématiques globales Ces appareils dont nous avons vu le principe de fonctionnement sont soumis à des contraintes. Tout d abord, l impact environnemental sera développé en nous concentrant sur la température, puis nous allons observer la limitation des énergies et pour finir, les objectifs du projet qui a été mis en place vont être explicités. 5

7 1.2.1 Contraintes environnementales Les instruments proposés par Gazomat sont portables ce qui les exposent à des différences de température et d humidité relative. Dans le cadre de ce projet, nous nous concentrerons principalement sur l impact de la température sur le capteur. La source lumineuse doit émettre à une longueur d onde de 1650,9nm correspondant à une raie d absorption du méthane afin de garantir le maintien de la sensibilité maximale du capteur optique. Dans le cas de l Inspectra Laser, elle est trouvée et maintenue par une boucle de régulation. La diode laser va émettre un faisceau dont une fraction va être déviée vers une cellule de référence remplie de méthane. L absorbance la plus forte sera recherchée en faisant varier la température de la diode laser grâce à un module thermoélectrique qui permet d apporter ou de retirer de l énergie thermique. En effet, la longueur d onde émise par une diode laser est influencé par sa température, l émission de la longueur d onde dérive de 0,1nm/K (voir Figure 3). Lorsque l absorbance la plus grande a été trouvée la longueur d onde émise est considérée égale à 1650,9nm et la sensibilité du capteur est donc maximale. La température de fonctionnement de la diode laser ainsi déterminée devient alors la consigne de la boucle de régulation. dérive longueur d onde (nm) FIGURE 3 Dérive de la longueur d onde due à la température En bleu, le spectre d absorption du méthane. En vert, la longueur d onde caractéristique du méthane et en rouge lorsqu elle est déviée par l influence de la température rendant impossible la détection Pour émettre à la bonne longueur d onde, la diode laser doit être à une certaine température dite de fonctionnement, comprise entre 10 C et 40 C. Chaque diode à la sienne ce qui rend toutes les régulations unique. Or, cette température de fonctionnement est influencée par la température environnementale, nous chercherons à en comprendre les causes par le biais de la modélisation numérique. 6

8 De plus, le spectre d absorption du méthane est lié à la température, la figure 4 indique que le coefficient d absorption de la raie la plus intense passe de 2, à 5 C à 1, à 50 C. FIGURE 4 Spectre d absorption du méthane en fonction de la température Source : Pacific Northwest National Laboratory Les photodiodes ont une sensibilité à l intensité lumineuse intrinsèquement dépendante de la température. Un étalonnage spécifique est réalisé permettant de compenser la dépendance en température des échantillons ainsi que celle des photodiodes. Les contraintes qui sont appliquées à ces appareils ont été décrites, en particulier nous avons observé les effets des changements de température sur ces instruments. Les gradients de température et d humidité relative ne sont pas les seules contraintes, le respect de la limitation des énergies en est une autre Problématique liée à la limitation des énergies La consommation des énergies dont dispose les produits fournis par Gazomat est limitée pour assurer : leur autonomie Ces appareils portables nécessitent une auto-gestion des énergies (6 à 8 heures d autonomie). le respect d une norme (la norme ATEX) Dans une atmosphère explosive, un apport d énergie trop élevé pourrait déclencher une explosion. Une atmosphère est dite explosive (ATEX) si elle comporte un risque 7

9 explosif. Une explosion a lieu si la zone possède dans une certaine mesure un comburant (en général, l oxygène), un combustible (dans notre cas, le méthane) et une source d inflammation ou une source d énergie (en ce qui nous concerne, l énergie apportée au système pour réguler la température est une possibilité) (voir Figure 5) FIGURE 5 Atmosphère explosive : caractéristiques d une telle atmosphère Source : La norme ATEX implique notamment d imposer une limitation des énergies dont dispose le système pour la régulation de la température de la diode laser. Une diode est dite ATEX si elle possède une température de fonctionnement qu il est possible d atteindre et de maintenir sans dépasser la limite énergétique imposée par la norme quelque soit les conditions environnementales sans quoi elle sera dite non-atex. La tendance du marché actuel penche en faveur des appareils ATEX augmentant ainsi la demande de tels instruments. La modélisation numérique de la diode laser est une voie d investigation pour optimiser la gestion des énergies ceci dans le but de minimiser le besoin énergétique Objectifs de ce projet Les effets de la température ainsi que les besoins du marché ont amenés Gazomat à considérer une approche nouvelle pour l entreprise, la modélisation numérique. Cette idée a ouvert la voie au projet actuel, celui-ci initialise une collaboration entre l UFR (Unité de Formation et de Recherche) de Mathématiques et Gazomat. Ce stage de deux mois sera concentré sur un appareil en particulier, l Inspectra Laser (voir Annexe 5.1 et 5.2) dans le 8

10 but de créer un modèle numérique caractérisant l environnement de la diode laser. La création de ce modèle demandera l étude de : la géométrie du système les échanges thermiques présents dans le système la régulation de la température présente dans l Inspectra Laser Ce modèle permettra de remplir les objectifs suivants (voir Figure 6) : l étude de la température autour de la diode laser. En pratique, une évolution de la température de fonctionnement de la diode a été constatée, cette variation est liée à la température environnante. Pour mieux comprendre les causes de ce changement, un modèle mathématique comprenant toutes les interactions thermiques ayant lieu dans l appareil va être mis en place. Cette approche mathématique va fournir les bases de la modélisation numérique permettant l étude de la température de la diode laser par rapport à la température d un capteur situé à proximité de celle-ci. Les variations de ces températures en fonction de la température environnementale seront explicités. la caractérisation de la régulation permettant la recherche et le maintien de la température de fonctionnement de la diode que nous avons déjà évoquée précédemment. La régulation compense les effets occasionnés par les gradients de température sur la source lumineuse et permet le maintien de la sensibilité maximale du capteur au méthane. Étude de l impact de la température environnante Possibilités d améliorations de la régulation?? Étude de la régulation de la température FIGURE 6 Objectifs du projet global Dans ce chapitre, la pose du contexte du stage a été faite, ceci passant par la description de l entreprise et l observation du principe de fonctionnement des appareils qu elle propose. Puis l étude des contraintes a été entreprise. Celle-ci nous a mené aux objectifs de ce projet qui va amener une meilleure compréhension de l Inspectra Laser. 9

11 2 Projet de stage Ce projet va nécessiter l usage de la modélisation numérique pour obtenir des informations auxquelles nous n aurions pas accès telle que la température de la diode, mais aussi pour faciliter la mise en oeuvre de tests tels que les changements de température (environnementale, initiale, requise) ou encore des modifications au niveau des composants (géométrie, disposition, caractéristique). Tout le long de cette partie, le projet de ce stage sera explicité et expliqué. Pour commencer, l environnement de la diode laser à modéliser sera décrit puis nous aborderons la régulation présente dans l Inspectra Laser. 2.1 Description du modèle La modélisation numérique que nous voulons établir nécessite la connaissance des caracteristiques du modèle. Dans ce paragraphe, elles seront explicitées en passant par sa composition puis par les échanges thermiques ayant lieu dans le système Composition du modèle L environnement de la diode laser est décrit sur le schéma du montage (voir Figure 7). Sur une pièce en aluminium est collé un module thermoélectrique (appelé aussi module TEC, thermoelectric cooler module) qui permet d apporter ou retirer de l énergie thermique au système pour moduler la température de la diode afin d obtenir la bonne longueur d onde et ainsi trouver la température de consigne. Le module TEC est surmonté d un substrat sur lequel est placé une thermistance (un capteur de température, appelé aussi CTN, coefficient de température négatif) permettant de mesurer la température au niveau du substrat. Dominant l ensemble, la diode laser est posée sur ce substrat. (a) (b) FIGURE 7 Schéma du montage (a) le modèle complet et (b) le schéma du montage à modélisé Source : Gazomat et une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/

12 À partir de cette construction, la simulation numérique va être créée et deux possibilités de modélisations sont à prendre en compte (voir Figure 8). Dans un premier temps, nous allons considérer uniquement le système dit linéaire ou thermique. Le modèle linéaire est constitué du substrat et de la diode qui va fournir un premier modèle basé sur les échanges thermiques. Dans un deuxième temps le module TEC sera intégré, ce qui va fournir un second modèle dit non-linéaire dans lequel un problème thermo-électrique sera donc à examiner, cette partie sera réalisée en collaboration avec Vincent CHABANNES, ingénieur recherche affilié à l Université de Grenoble. FIGURE 8 Schéma des modèles possibles Source : Utilisation d une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/2014 Dans le cadre de ce stage, le modèle linéaire sera traité et observé pour comprendre l impact de la température sur le fonctionnement de la diode laser. Les échanges thermiques qui seront décrit dans cette partie constituent le coeur de notre projet Échanges thermiques présents au sein du modèle Les échanges thermiques présents dans le modèle vont être explicités (voir Figure 9). Deux types de transferts thermiques se déroulent en permanence dans le système : les échanges dit naturel : Par convection naturelle : Le système (subtrat et diode laser) n étant pas isolé le premier transfert de chaleur dit naturel est celui ayant lieu avec l extérieur. En effet, des mouvements d air dûs aux différences de température ont lieu sur les surfaces en contact avec l air. Causé par l échauffement de la diode laser : Le second transfert thermique qualifiable de naturel est celui dû à la diode laser. 11

13 La chaleur produite par effet Joule dans la diode laser va se diffuser vers l extérieur du sytème ainsi que dans le substrat car la diode laser est en contact avec ce composant et l air. puis l échange forçé : Le module TEC impose un transfert thermique au système qui permet de contrôler la température de la diode laser. FIGURE 9 Schéma des échanges thermiques possibles Source : Utilisation d une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/2014 Les équations mathématiques décrivant les transferts thermiques ainsi que les lois physiques s appliquant au système vont nous permettre de créer les bases de la modélisation numérique de l ensemble constituant la partie linéaire. La composition du modèle et les échanges thermiques naturels ont été explicités, le transfert forçé a été abordé, celui-ci permet la régulation de la température qui sera développée au paragraphe suivant. 2.2 Boucle de régulation de la température La détection de fuites de gaz par l Inspectra Laser repose sur la mesure du taux d absorption de l intensité lumineuse incidente par une photodiode. Comme nous l avons déjà expliqué dans la partie précédente, le bon fonctionnement de l appareil est dépendant de la régulation de la température de la diode laser (voir Figure 10). La température de fonctionnement de la diode laser va être trouvée par la recherche de l absorbance la plus forte dans la cellule de référence remplie de méthane en faisant varier la température de la diode. Cette température de fonctionnement va devenir la consigne d un contrôleur PID (Proportionnel Intégral et Dérivé) (voir Bibliographie [?]) qui va diriger la valeur du potentiel électrique fournit au module TEC en fonction de cette directive et de 12

14 la température relevée au niveau de la thermistance. Les ordres d application de potentiel électrique sur le module TEC par le contrôleur vont permettre de maintenir la diode laser à sa température de fonctionnement. En effet, le module TEC va apporter ou retirer de l énergie thermique au substrat cela va affecter la température de la diode laser puisqu elle est sur le substrat en fonction du potentiel électrique qui lui est appliqué. Thermistance (2) (3) PID (1) Consigne FIGURE 10 Boucle de régulation de la température du système Entrée de la consigne ( (1) : température de fonctionnement de la diode) dans le contrôleur PID qui va orchestrer l application du potentiel électrique (2) sur le module TEC ; le contrôleur PID va réguler ce potentiel électrique en fonction de la température de la thermistance (3) Source : Utilisation d une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/2014 et Gazomat Pour commencer l étude de la régulation du système, notre intérêt se portera sur le flux thermique minimal que doit imposer ce dernier au système (substrat et diode laser) pour atteindre la température de fonctionnement de la diode dans le temps trouvé expérimentalement (une dizaine de secondes) et de trouver le potentiel électrique minimal à appliquer en utilisant le modèle non-linéaire. Les notations suivantes (voir Figure 11)seront introduites : 13

15 Température initiale : requise : ambiante de la thermistance de la diode T0 T_required Tamb TThermistance TDiode FIGURE 11 Notations concernant la température Au temps initial, la considération sera que l ensemble du modèle est à la température environnementale et que les égalités suivantes sont vérifiées : T0=Tamb=TThermistance=TDiode Les températures sont en Kelvin. (Notons que : température (en Kelvin) = 273,15 + température (en degré)) Ainsi si la température initiale du modèle est de 10 C (T0=273,15+10 K) et que la température de fonctionnement de la diode laser est de 25 C (T_required=273,15+25 K) le but sera de trouver le flux thermique minimal tel que la température au niveau de la thermistance soit égale à la température requise (TThermistance = T_required) en une dizaine de secondes. Pour mener cette recherche à bien, l utilisation d un algorithme d optimisation sera nécessaire. Dans ce chapitre, nous avons posé les bases de la modélisation numérique en détaillant la composition et les transferts thermiques présents dans l Inspectra Laser ainsi que la boucle de régulation de la température de la diode laser pour en garantir le bon fonctionnement. Cela nous fournit la géométrie et la compréhension de l Inspectra Laser pour pouvoir débuter la modélisation numérique. Dans la partie suivante, nous expliquerons et poursuivrons l élaboration de la modélisation numérique par l approche mathématique. 14

16 3 Approche théorique du modèle thermique La modélisation numérique est constituée d un modèle mathématique reflétant le phénomène physique à spécifier et de la simulation numérique de celui-ci. Dans ce paragraphe, l approche théorique va être utilisée afin de forger le modèle mathématique représentant l environnement de la diode laser. Tout d abord, nous détaillerons la géométrie à modéliser puis les équations mathématiques qui décrivent les échanges thermiques seront déterminées pour finalement résoudre le problème découlant des équations par la méthode des éléments finis. 3.1 Géométrie du modèle laser : La géométrie du modèle linéaire (voir Figure 12 ) est constitué du substrat et de la diode (a) (b) Substrat longueur : largueur : hauteur L l =0.33*L h=0,57*l (c) Diode longueur : L_diode = 0,5/6 largueur : l_diode = 3*h_diode hauteur : h_diode = 0,125*h Thermistance (carré) largueur : l_thermistance = 0,5*l FIGURE 12 (a) et (b) Schéma du modèle. Source : Utilisation d une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/2014 (c) Proportions des éléments du système à modéliser (échelle millimétrique) Source : Gazomat 15

17 Dans la modélisation, nous avons pris L=1. Pour les besoins de la modélisation en trois dimensions, le partitionnement du domaine (substrat et diode laser) est nécessaire (voir Figure 12 (a)), nous commençons par définir : deux sous-domaines dans R 3 : Ω diode qui représente la diode laser et Ω substrat qui représente le substrat et deux interfaces : Γ 1,2 : l interface entre le substrat et la diode Γ m : l interface entre le module TEC et le substrat La géométrie du modèle a été décrite. Nous nous intéresserons aux échanges thermiques présents dans le système pour compléter notre simulation. 3.2 Équations mathématiques et lois physiques : avec La conservation de l énergie donne : ρ la masse volumique C la capacité calorifique T la température q le flux d énergie et Q le flux de chaleur ρc T t + q = Q (1) De plus, nous avons l équation constitutive suivante : q = κ T + P j (2) avec κ la conductivité thermique P le coefficient de Peltier et j le courant électrique Donc, ρc T t + ( κ T + P j ) = Q (3) 16

18 Le module TEC n est pas pris en compte, dans un premier temps seule la diode sera considérée comme étant porteuse d un flux d énergie, ceci implique : P = 0 où, D où (1) devient ρc T t ( κ T ) est le terme de diffusion T t + ( κ T ) = Q (4) est le terme exprimant la variation temporelle de la température L application des lois physiques nous donne l équation principale de la modélisation numérique : l équation de transfert de la chaleur Équation de transfert de chaleur La température T dans le domaine Ω consitué des sous-domaines Ω diode et Ω substrat (Ω = Ω diode Ωsubstrat ) est solution de l équation de transfert de chaleur. Ainsi nous cherchons la fonction de température : T : { Ω [0, t final ] R (x, t) T (x, t) avec x = (x,y,z) : variable spatiale et t : variable temporelle. telle que : où t est le temps Et dans chaque sous-domaines Ω i : ρ i C i T t (κ i T ) = Q i, i = diode, substrat (5) ρ i C i est la capacité thermique volumique produit de la masse volumique (ρ i ) par la capacité calorifique (C i ). κ i est la conductivité thermique et Q i est le flux de chaleur volumique dissipée. L équation principale du modèle vient d être posée, mais elle n est évidemment pas suffisante à l établissement d une modélisation numérique complète. Nous finaliserons ce modèle en lui posant les conditions qui lui sont propre. 17

19 3.2.2 Conditions aux bords Dans la partie précedente, nous avions noté que les échanges thermiques ayant lieu en permanence dans le modèle seraient le coeur de notre projet. Effectivement, ces transferts thermiques sont les conditions à coupler à l équation de transfert de chaleur et vont déterminer tout le modèle. Dans ce paragraphe, la description mathématique de ces échanges thermiques (voir Figure 13) sera exposée. FIGURE 13 Schéma des échanges thermiques possibles dans le modèle Source : Utilisation d une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/2014 La continuité des flux et de la température sont imposées. à l interface entre le substrat et la diode (Γ 1,2 ), nous avons : T 1 = T 2 (Continuité de la température) κ 1 ( T n 1 ) = κ 2 ( T n 2 ) (Continuité des flux) Transferts thermiques naturels : la convection naturelle ayant lieu sur les surface exposées à l air (voir Figure 14) Posons B 1 : le bord de Ω diode privé de l interface Γ 1,2 ; ( Ω diode \Γ 1,2 ) ; la surface de la diode en contact avec l air alors nous avons : κ 1 T n 1 = h 1 (T T amb ) Posons B 2 : le bord de Ω substrat privé des interfaces Γ 1,2 et Γ m ;( Ω substrat \ (Γ 1,2 Γ m )) ; la surface du substrat en contact avec l air alors nous avons κ 2 T n 2 = h 2 (T T amb ) 18

20 FIGURE 14 Illustration des bords du modèle Source : Utilisation d une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/2014 Transfert themique forçé : à l interface entre le substrat et le module (Γ m ) Il y a un flux de chaleur provenant du module allant dans le substrat, ainsi, nous avons κ 2 T n 2 = F Ce flux thermique va être déterminé, dans un premier temps, par un algorithme d optimisation afin de trouver le flux thermique minimal pour atteindre la température de fonctionnement de la diode laser dans le même temps que dans la réalité (environ une dizaine de secondes). Ainsi, nous obtenons le système suivant qui décrit entièrement le modèle : i ρ i C i T t (κ i T ) = i Q i sur Ω i, i = diode, substrat (6) T 1 = T 2 sur Γ 1,2 (7) κ 1 ( T n 1 ) = κ 2 ( T n 2 ) sur Γ 1,2 (8) T κ 1 = h 1 (T T amb ) n 1 sur B 1 (9) T κ 2 = h 2 (T T amb ) n 2 sur B 2 (10) T κ 2 = F n 2 sur Γ m (11) Les lois physiques s appliquant sur le modèle couplées aux équations mathématiques fournissent le début de l approche théorique qui décrit par des équations le modèle concret de l environnement de la diode laser. Voyons maintenant comment les résoudre par la méthode des éléments finis. 19

21 3.2.3 Forme variationnelle : La seule source de chaleur étant la diode laser, nous avons Q diode 0 et Q substrat = 0 Ainsi l équation (6) devient i ρ i C i T t (κ i T ) = Q diode ; i = diode, substrat (12) Nous allons utiliser la méthode des éléments finis, dans le cas continu : T ρ i C i Ω i t ϕ (κ i T )ϕ = Q diode ϕ (13) Ω i Ω diode i avec ϕ H 1 (Ω) une fonction test. Par la formule de Green, Nous trouvons, i i Ω i ρ i C i T t ϕ Ω i ρ i C i T t ϕ avec Ω i : les bords des domaines Ω i En décomposant les bords, nous avons : i Ω κ i T ϕ = Q diode ϕ (14) Ω i Ω diode uv = ( u n)v u v Ω Ω κ i ( T n i )ϕ + κ i ( T ϕ) = Q diode ϕ (15) Ω i Ω i Ω diode Ω i = { Ω diode } { Ω substrat } = {Γ 1,2 B 1 } {Γ m B 2 } T ρ i C i Ω i t ϕ + κ i ( T ϕ) (16) Ω i κ 1 ( T n 1 )ϕ (17) Γ 1,2 κ 2 ( T n 2 )ϕ (18) Γ 1,2 κ 1 ( T n 1 )ϕ (19) B 1 κ 2 ( T n 2 )ϕ (20) B 2 κ 2 ( T n 2 )ϕ (21) Γ m = Q diode ϕ (22) Ω diode 20

22 La condition aux bords (8) provoque l annulation mutuelle des termes (17) et (18) et pour (19), (20) et (21) nous utilisons les expressions précédentes ((9), (10) et (11)), ainsi nous obtenons : T ρ i C i i Ω i t ϕ + κ i ( T ϕ) Ω i + h 1 (T T amb )ϕ B 1 + h 2 (T T amb )ϕ B 2 F ϕ Γ m = Q diode ϕ Ω diode La forme variationnelle est trouvée en mettant les termes connus à droite de l équation : i Ω i ρ i C i T t ϕ + k i ( T ϕ) + h 1 T ϕ + h 2 T ϕ B 1 B 2 = Q diode ϕ + h 1 T amb ϕ + h 2 T amb ϕ + F ϕ (23) Ω diode B 1 B 2 Γ m L équation décrivant le modèle trouvée dans le cas continu n est pas modélisable en l état, il faut créer une boucle itérative sur la température solution à chaque pas de temps pour pouvoir l exploiter numériquement. Voyons dès à présent cette discrétisation temporelle Discrétisation : où Soit un sous-espace de dimension finie : X k h = { ϕ h C 0 (Ω); ϕ h I i P k } H 1 (Ω) h désigne la taille du maillage sur le domaine k désigne le degré polynomial maximum du polynôme test I i sont les cellules du maillage {i {1,..., N }}, avec N le nombre de maillage Discrétisation : avec T n+1 h et ϕ appartenant à X k h T t T n+1 T n h h t 21

23 Ainsi, en discrétisant (23) la forme variationnelle devient : i T ρ i C i Ωi n+1 h t ϕ h + k i T n+1 h ϕ h + h 1 T n+1 h ϕ h + B 1 = Q 1 ϕ h + Ω diode i Ωi ρ i C i T n h t ϕ h + B 1 h 1 T amb ϕ h + h 2 T n+1 h B 2 ϕ h h 2 T amb ϕ h + F ϕ h (24) B 2 Γ m avec les notations suivantes qui sont illustrées sur la figure 15. deux sous-domaines dans R 3 : Ω diode : représente la diode laser et Ω substrat : représente le substrat deux interfaces : Γ 1,2 : l interface substrat/diode Γ m : l interface module TEC /substrat et deux surfaces : B 1 = Ω diode \ Γ 1,2 : surface de la diode en contact avec l air (notée "echange_diode" dans le programme) B 2 = Ω substrat \(Γ 1,2 Γ m ) : surface du substrat en contact avec l air (notée "echange_substrat" dans le programme) FIGURE 15 Partitionnement du domaine et notations des bords Source : Utilisation d une image du projet de méthode des éléments finis ; M2 CSMI ; 2013/2014 La modélisation numérique va utiliser cette formulation variationnelle sur la géométrie décrite dans le début du chapitre. Dans ce chapitre, le modèle mathématique correspondant à l environnement de la diode laser a été posé en détaillant la géométrie et les équations mathématique se rapportant au modèle. La résolution mathématique a été explicitée, celle-ci est un prérequis indispensable à la simulation numérique. Dans la partie suivante, nous expliquerons la conception du modèle numérique, son fonctionnement et sa mise en pratique comparée à la réalité. 22

24 4 Modèle numérique, résultats et comparaison La simulation numérique est la finalité de la modélisation numérique. Cela permet de simuler informatiquement des phénomènes physiques en exécutant des programmes basés sur les modèles mathématique correspondant. Tout d abord, nous allons voir comment est implémenté le modèle mathématique puis une explication de la minimisation effectuée sera développée et finalement les résultats numériques seront confrontés à ceux trouvés dans le laboratoire de Recherche et Développement de Gazomat. 4.1 Implémentation : Nous utiliserons le language C++ et la librairie Feel++ [Finite Element Embedded Language and Library in C++] (voir Bibliographie [?]) Notations et outils : Dans le chapitre précédent, des constantes nécessaires à la résolution du problème ont été introduites et vont être utilisées dans le programme (voir Figure 16). Température ambiante initiale Tamb T0 Diode masse volumique : conductivité : température de fonctionnement diffusivité thermique : capacité thermique : flux de chaleur : rho1 =4930kg.m 3 K1 = 100.0W.m 1.K 1 T_required h1 = e-4 m 2.s 1 C1 = 500.0J.kg 1.K 1 Q1 = W.m 2 Substrat masse volumique : conductivité : diffusivité thermique : capacité thermique : rho2 =3255 kg.m 3 K2 = W.m 1.K 1 h2 = 1e-4 m 2.s 1 C2 = 700.0J.kg 1.K 1 Interface module/substrat Flux apporté par le module : F W.m 2 FIGURE 16 Notations utilisées dans le programme Source : Gazomat (voir Annexe 5.4) 23

25 Dans le cadre de ce projet, nous considérerons qu à l initialisation (au temps 0) le modèle (substrat et diode) sont à la température ambiante, donc : T0=Tamb L usage de la discrétisation temporelle est permis par l option bdf de Feel++. 1 //temporal discretization 3 a u t o M_bdf = bdf ( _space =Vh, _name =" Temperature "); //the temporal discretization s initialization 5 M_bdf -> start (); M_bdf -> initialize (T); Deux sous-options de bdf seront manipulées : M_bdf -> polyderivcoefficient (0) // 1 t 2 a u t o bdf_poly = M_bdf -> polyderiv (); // T n h t do{ L évolution dans le temps nécessite une boucle du type do telle que : 2 // code à exécuter 4 //step forward in time M_bdf -> shiftright (T); 6 M_bdf -> next (); } 8 w h i l e ( M_bdf -> isfinished () == f a l s e ); L écriture de la forme variationnelle (24) va nécessiter quelques notations géométrique supplémentaires (voir Figure 17) : Notation Définition "diode" Volume de la diode "substrat" Volume du substrat "echange_diode" Surface de la diode en contact avec l air (B_1) "echange_substrat" Surface du subtrat en contact avec l air (B_2) "regulateur" Interface module/substrat (Γ m ) "Thermistance" Surface représentant la Thermistance FIGURE 17 Notations géométrique supplémentaires 24

26 4.1.2 Écriture du modèle mathématiques Écriture de la forme bilinéaire : variationnelle (24) : i T ρ i C i Ωi n+1 h ϕ h + k i T n+1 h ϕ h + t Écriture de la forme bilinéaire, la partie gauche de la forme B 1 h 1 T n+1 h ϕ h + h 2 T n+1 h B 2 ϕ h a u t o a = form2 ( _test =Vh, _trial =Vh); 2 //on the diode (Ω diode ) a = integrate ( _range = markedelements (mesh," diode "), _expr = rho1 *C1* M_bdf -> polyderivcoefficient (0) * idt (T)*id(v))+K1* gradt (T)* trans ( grad ( v))); 4 //on the substrate (Ω substrat ) 6 a += integrate ( _range = markedelements (mesh," substrat "), _expr = rho2 *C2* M_bdf -> polyderivcoefficient (0) * idt (T)*id(v))+K2* gradt (T)* trans ( grad ( v))); 8 // when the system is no longer isolated a += integrate ( _range = markedfaces (mesh," echange_diode "), _expr =h1*idt (T)*id(v)); 10 a += integrate ( _range = markedfaces (mesh," echange_substrat "), _expr =h2* idt (T)*id(v)); Écriture de la forme linéaire : Écriture de la forme linéaire, la partie droite de la forme variationnelle (24) : Ω diode Q diode ϕ h + i En commençant par les termes indépendant du temps : a u t o l = form1 ( _test =Vh); T ρ i C i Ωi n h t ϕ h + h 1 T amb ϕ h + h 2 T amb ϕ h + F ϕ h B 1 B 2 Γ m 2 a u t o lt = form1 ( _test =Vh); l = integrate ( _range = markedelements (mesh," diode "), _expr =id(v)*q1); 4 // when the system is no longer isolated 6 l += integrate ( _range = markedfaces (mesh," echange_diode "), _expr =h1* Tamb *id(v)); l += integrate ( _range = markedfaces (mesh," echange_substrat "), _expr =h2* Tamb *id(v)); 8 l += integrate ( _range = markedfaces (mesh, " regulateur "), _expr =x [0]* id(v )); //x[0] : value of the minimal thermal flux find by the minimization algorithm. 25

27 Puis les termes dépendant du temps : do 2 { lt. zero (); 4 a u t o bdf_poly = M_bdf -> polyderiv (); lt = integrate ( _range = markedelements (mesh," diode "), _expr = rho1 *C1 * idv ( bdf_poly )*id(v)); 6 lt += integrate ( _range = markedelements (mesh," substrat "), _expr = rho2 *C2*idv ( bdf_poly )*id(v)); lt += l; Et nous résolvons : 1 a. solve ( _solution =T, _rhs =lt); Calcul des températures voulues Dans le cadre de ce projet, l impact de la température ambiante sur la température de travail sera étudiée. Pour cela, la température de la thermistance et celle de la diode seront recherchées et comparées. Ces températures sont obtenues en calculant la moyenne de température sur la surface pour la thermistance et sur le volume pour la diode laser : T (X, t)d X Ω Température moyenne de la thermistance = thermistance 1d X Ω thermistance et Température moyenne de la diode = Implémentation de ces calculs de température : Ω diode T (X, t)d X Ω diode 1d X 1 //calculations of average temperature of the diode and the thermistance : TThermistance = mean ( _range = markedfaces (mesh," thermistance "), _expr = idv (T)) (0,0) ; 3 TDiode = mean ( _range = markedfaces (mesh," diode "), _expr = idv (T)) (0,0) ; Sauvegarde Au début du programme, nous avons crée un fichier avg : 1 std :: ofstream out ; //avg = file containing the average temperature of the diode and the thermistance 3 out. open (" avg ", std :: ios :: out ); 26

28 La sauvegarde de nos résultats de températures sera stockée dans le fichier avg : 1 //saving these data out << M_bdf - > time () << " " << TThermistance << " " << TDiode << " " << Tm << std :: endl ; Inclusion dans un algorithme de recherche de minimum Pour débuter l étude de la régulation, le flux thermique minimal sera recherché. Le module TEC va devoir engendrer celui-ci pour atteindre la température de fonctionnement dans le même temps que dans la réalité (environ une dizaine de secondes). Le modèle numérique écrit précédemment va être incorporé dans une fonction appelée my_variational_form et prendra pour argument un pointeur sur un réel (flux thermique). Nous écrirons une fonction myf_to_optimize utilisant my_variational_form pour obtenir la température requise et surtout pour calculer la température de la thermistance après avoir appliqué un flux thermique donné pendant un temps déterminé par les expériences en laboratoire. Flux (T_required - TThermistance(Flux thermique)) 2 2 { d o u b l e myf_to_optimize ( u n s i g n e d n, c o n s t d o u b l e *x, d o u b l e * fgrad, v o i d * my_func_data ) i f ( Environment :: ismasterrank () ) 4 std :: cout << " Iteration " << count ++ << " Qreg = " << x [0] <<"\n"; 6 a u t o T_required = my_variational_form (&x [0]) [0]; a u t o TThermistance = my_variational_form (&x [0]) [1]; 8 i f ( Environment :: ismasterrank () ) 10 std :: cout << " *- objective : " << ( T_ required - TThermistance ) 12 } *( T_required - TThermistance ) << "\n"; r e t u r n ( T_required - TThermistance )*( T_required - TThermistance ); Cette fonction va entrer dans un algorithme d optimisation (Cobyla) dont le but sera de minimiser l argument (voir Bibliographie [?]). L objectif de cette minimisation du flux thermique était de trouver le potentiel électrique minimal à appliquer en utilisant le modèle non-linéaire mais des difficultés techniques ont entravés cette procédure. Ce programme (gazomat_nlopt) fournira : le flux thermique minimal pour atteindre la température requise en environ dix secondes la température au niveau de la thermistance ainsi que celle de la diode 27

29 un fichier de configuration permettant de moduler (les caractéristiques des composants [diffusivité, masse volumique, conductivité, capacité thermique],les températures (ambiante, initiale, requise), le flux de chaleur de la diode laser, le temps pour atteindre la température requise (t_goal) et le temps de simulation (durée, pas)) Un autre programme (gazomat_heat) a été écrit par la même procédure mais sans l inclusion dans la boucle d optimisation, celui-ci donne la possibilité de simuler numériquement le modèle en choississant le flux thermique à appliquer et pourrait rendre le temps nécessaire pour atteindre la température requise. Cette modification demanderai tout au plus quelques heures de travail. 4.2 Résultats et comparaisons Dans ce paragraphe, la confrontation avec les résultats obtenus expérimentalement sera faite Premiers tests Valeurs utilisées : Tamb = K T_required= K Un des objectif de ce projet est de construire un modèle numérique de l environnement de la diode laser et les échanges thermiques s y déroulant. Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment les échanges thermiques naturels seront définis alors que la description du transfert thermique forçé (noté F ) apporté par le module TEC demandera plus de réflexion c est pourquoi plusieurs options ont été envisagées : utilisation d une constante ; F = h3*(t_required - TThermistance) Dans un premier temps, le flux thermique était une constante imposée mais pour chaque simulation il aurait fallu en trouver manuellement la constante h3 (voir Figure 18) température (en Kelvin) Thermistance (simulation h3=1e4) Thermistance (simulation h3=1e5) Thermistance (simulation h3=1e6) requise Thermistance expérimentale temps (en seconde) FIGURE 18 Comparaison des résultats en fonction de la constante h3 prise Observations pour différentes puissances de dix ; le temps d atteinte est meilleur uniquement lorsque h3=1e6, mais de fortes ocsillations sont à noter 28

30 Utilisation d une fonction se servant de l idée précédente avec un logarithme ; F = h3*log(t_required / TThermistance) pour essayer d aténuer les fortes oscillations notées précédemment. Mais cette procédure dépend aussi d une constante et n atteint pas la température requise dans le bon temps (voir Figure 19) : Avantages Désavantages Atténuation des oscillations Recherche de la valeur manuellement Temps pour atteindre T_required : trop long 315 température (en Kelvin) temps (en seconde) Thermistance (simulation avec logarithme avec constante=1e6) Thermistance (simulation avec constante=1e6) Température de la Thermistance (expérimentale) Température requise FIGURE 19 Comparaison des résultats en fonction du flux thermique appliqué Ces résultats n étant pas à la hauteur de nos attentes, une autre approche a été considérée : la minimisation du flux thermique nécessaire pour atteindre la température requise dans le temps imparti par l expérimentation. Ceci en passant par un algorithme d optimisation Test en utilisant la minimisation du flux thermique Dans le même cadre que le test précédent, nous avons appliqué le flux thermique minimal trouvé par l algorithme (voir Figure 20)en précisant que la température requise doit être atteinte en huit secondes et demi environ (durée approximative trouvée en pratique) : Tamb = K Valeurs utilisées : T_required=307.84K Flux initial = 1e6 Nous obtenons : Résultats trouvés : minimum flux value is : e7 erreur commise (différence entre la température de la thermistance et celle trouvée par la simulation au bout de huit secondes et demi ) : K 29

31 315 (a) température (en Kelvin) (b) temps (en seconde) Thermistance (simulation) Diode (simulation) Thermistance (expérimentale) requise FIGURE 20 Comparaison des résutats expérimentaux et par simulation (a) : Courbe de température de la Thermistance en appliquant le flux thermique trouvé par minimisation (b) : Visualisation (t=4s) de la modélisation par paraview À partir de ce résultat (voir Figure 20), nous pouvons observer que notre méthode de minimisation du flux thermique fonctionne. En effet, la température requise (307.84K) est atteinte dans le temps imparti par les tests effectués en laboratoire. Dans un premier temps, une mauvaise interprétation des courbes des résultats m a amené à penser à un problème de paramétrage mais il s avère que mes premières conclusions étaient erronées : aucun problème de paramètres n est à déplorer. Cette mauvaise interprétation est la raison du nombre réduit de résultat. Dans ce chapitre, nous avons posé le modèle numérique qui a complété la modélisation numérique et a fournit les premiers résultats par minimisation du flux thermique apporté par le module TEC au système. Ces tests montrent la correspondance de temps voulue dans le cas de la minimisation du flux thermique. 30

32 Au cours de ce stage, une modélisation numérique a été construite en passant par une approche mathématique et numérique pour simuler l environnement de la diode laser avec sa géométrie et les interactions thermiques s y déroulant. Les échanges naturels ont été mis en place. Pour le transfert forçé, la décision a été prise de se concentrer sur le flux thermique minimal que doit fournir le module TEC pour atteindre dans le même temps que dans la pratique (environ une dizaine de secondes) la température de fonctionnement de la diode laser. Les premiers résultats fournit par minimisation du flux thermique correspondent à la réalité des expériences. L objectif d obtenir de premiers résultats validant le modèle à été réalisé. Je n ai pas pu atteindre les objectifs que je souhaitais : une minimisation du potentiel électrique s écoulant de la réduction du flux thermique et de l utilisation du modèle thermo-électrique. Les perspectives sont bien entendu d arriver à mettre en oeuvre les points précédents et par la suite implémenter la régulation PID. 31

33 5 Annexe 5.1 Description de l Inspectra Laser L inspectra Laser (voir Figure 21) est un appareil portable procuré par Gazomat capable de confirmer puis de localiser une fuite de méthane avec un seuil de détection de 1 ppm. FIGURE 21 Inspectra Laser Cet appareil possède une cellule de mesure (cellule optique, appelée cellule de Herriott) constituée de deux miroirs concaves, une cellule de référence permettant l étalonnage de détection de gaz et nous assurant de toujours travailler avec la bonne longueur d onde émise par la source lumineuse, dans cet instrument, une diode laser et des photodiodes permettant la mesure du taux d absorption. (voir Figure 22) (1) (3i) (4) (2) (3iii) (3ii) FIGURE 22 Schéma de l Inspectra Laser. Nous retrouvons les briques de fonctionnements : la source lumineuse (1), la chambre de mesure (2),les photodiodes (3i) (3iii) (3ii) et une cellule de référence (4) Source : Gazomat 32

34 5.2 Fonctionnement de l Inspectra Laser Tout d abord, la diode laser va émettre un rayon laser à une longueur d onde dite la longueur d onde caractéristique du méthane, à cette longueur d onde le méthane va absorber les photons contenus dans le rayon laser. Pour la maintenir, il faut maîtriser la température de ce système et le courant d alimentation car ces deux facteurs influent sur la longueur d onde. Puis ce rayon laser va entrer dans la cellule de mesure dans laquelle il y a eu injection d air pouvant contenir du méthane, ce rayon va parcourir près de 12 mètres par le couplage des deux miroirs concaves (voir Figure 23). F IGURE 23 Parcours du rayon laser dans la cellule de Herriott et impact du rayon laser sur un des miroirs concaves Source : Gazomat À la fin de son parcours dans la cellule de mesure, ce rayon va impacter une photodiode qui va mesurer l intensité de lumière et finalement un programme intégré à l appareil va nous indiquer s il y a présence de gaz (voir Figure 24). Diode (1) Cellule de mesure (2) Photodiode (3) Programme (4) Présence de gaz? F IGURE 24 Fonctionnement de détection de présence de gaz dans l Inspectra Laser. L émission d un rayon laser (1) par la diode laser qui rentre dans la cellule de mesure et après un parcours de 12 mètres, (2), ce rayon va impacter une photodiode qui va mesurer l intensité de lumière, (3) un programme intégré va prendre cette donnée et (4) et va nous indiquer s il y a du gaz ou non. 33