Semestre Rebondir Cours et exercices. D après les notes de cours de Jean-Jacques Ruch, Bruno Winckler et Samuel Le Fourn

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1 Semestre Rebondir Cours et eercices D près les notes de cours de Jen-Jcques Ruch, Bruno Winckler et Smuel Le Fourn Printemps 03

2 Tble des mtières Fonctions usuelles. Fonctions circulires Définitions Vleurs remrqubles Angles ssociés Etude des fonctions sinus et cosinus Etude de l fonction tngente Eercices Fonction logrithme Définition de l fonction logrithme népérien Propriétés de l fonction logrithme népérien Etude de l fonction logrithme népérien Fonction logrithme décimle Fonction eponentielle Croissnces comprées Eercices Primitives 9. Introduction Primitive d une fonction sur un intervlle Générlités Quelques primitives usuelles Propriétés Eercices Intégrles 4 3. Définition de l intégrle Intégrle et primitive Intégrtion pr prties Chngement de vribles Eercices Nombres complees 3 4. Point de vue géométrique Point de vue lgébrique Eponentielle complee Eercices Entrînement u clcul de nombres complees Eponentielle complee et trigonométrie Utilistion des complees pour l géométrie D

3 Chpitre Fonctions usuelles. Fonctions circulires.. Définitions Soit C le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé (O, OI, OJ). Pour θ un nombre réel quelconque, on considère le point M du cercle tel que θ soit l mesure en rdins de l ngle ( OI; OM). Définition. Dns le repère (O, OI, OJ), l bscisse du point M est ppelée cosinus de θ. On le note cos θ. L ordonnée du point M est ppelée sinus de θ et est notée sin θ. L tngente de θ (pour les réels θ tels que cos θ 0) est le rpport sin θ. C est ussi l ordonnée du point cos θ T intersection de l droite (OM) vec l tngente u cercle C en I, on l note tn θ. y T J M tn θ - sin θ cos θ O N I - Remrques D près l définition ci-dessus on pour tout réel θ cos θ et sin θ. Rppelons que l on pour tout réel θ cos ( + kπ) = cos (θ) k Z, sin (θ + kπ) = sin (θ) tn (θ + kπ) = tn (θ) si θ π mod π D utre prt si on considère le projeté N de M sur l e des bscisses lors on obtient un tringle rectngle (ONM) rectngle en N dont les côtés ont pour longueur cos θ et sin θ, et l hypothénuse. Le théorème de Pythgore entrîne lors l propriété fondmentle suivnte : θ R, cos θ + sin θ =.

4 Si on utilise les formules clssiques pour les ngles d un tringle rectngle on obtient : cos NOM = coté djcent hypothénuse = ON OM = ON sin NOM = coté opposé hypothénuse = NM OM = NM... Vleurs remrqubles Points crdinu On remrque imméditement { cos 0 = sin 0 = 0 { cos π = 0 sin π = { cos π = sin π = 0 { cos π = 0 sin π = Tringle rectngle isocèle y M - O π 4 N - Soit ONM un tringle rectngle isocèle en N. Alors l ngle = NOM = π 4. De plus, d près le théorème de Pythgore on = OM = ON + NM = ON = cos π 4 = NM = sin π 4. Le cosinus et le sinus étnt ici positifs on en déduit : cos π 4 = sin π 4 =. Tringle équiltérl y M - O π 6 N M - Soit ONM un tringle rectngle obtenu en coupnt le tringle équiltérl OMM en deu, suivnt l médine (ON) qui est ussi l méditrice de [MM ]. Alors l ngle = NOM = π 6, c est l moitié de 3

5 l ngle on M OM qui est égl à π 3 (le tringle OMM étnt équiltérl). D près le théorème de Pythgore ON = OM NM = (M M/) = 4 ON = 3 4 et NM = 4. Le cosinus et le sinus étnt ici positifs on en déduit : cos π 6 = 3 et sin π 6 =. Si on construit mintennt un tringle équiltérl, comme sur le schém ci-dessous, on obtient un ngle = NOM = π 3. Des clculs similires à ceu qui précèdent nous donnent lors cos π 3 = et sin π 3 = 3. y M - O π 3 N M - Nous pouvons donc fire le récpitultif suivnt : 0 π 6 π 4 π 3 π π cos 3 0 sin tn non définie 0..3 Angles ssociés Soient un réel quelconque et M le point sur le cercle trigonométrique tel que soit l mesure de l ngle défini pr l e des bscisses et (OM). En effectunt des symétries du point M pr rpport respectivement à l e des bscisses, à l e des ordonnées et u point O, on obtient respectivement les points M, M et M 3, ssociés à des ngles de mesure θ, π θ et π + θ. Si de plus on effectue une symétrie de M pr rpport à l droite y = on obtient le point M 4 ssocié à un ngle de mesure π θ. Enfin, le symétrique de M 4 pr rpport à l e des ordonnées définit un point M 5 ssocié à un ngle de mesure π + θ. 4

6 y M M 5 M 4 M θ M 3 M En eminnt les coordonnées de ces divers points, on peut étblir les formules suivntes : cos ( θ) } sin (π/ θ) = cos (θ) sin (π θ) = sin (θ) cos (π/ θ) sin (π/ + θ) } cos (π θ) = cos (θ) cos (π + θ) sin ( θ) sin (π + θ) = sin (θ) cos (π/ + θ) D utre prt on peut en déduire les formules pour l tngente : θ R, θ π/ + kπ, k Z tn (θ + mπ) = tn (θ) m Z tn ( θ) = tn (θ) θ R, θ kπ/, k Z tn (π/ θ) = / tn (θ) tn (π/ + θ) = / tn (θ)..4 Etude des fonctions sinus et cosinus Les deu fonctions cosinus et sinus sont définies sur R et sont bornées, cr : cos θ et sin θ. Pour tout réel θ on cos (θ + π) = cos θ et sin θ + π = sin θ. On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période π (ou «π-périodiques»). En conséquence, on peut réduire le domine d étude à un intervlle de longueur π, pr eemple [ π, π]. D utre pr comme pour tout réel θ, cos ( θ) = cos θ l fonction cosinus est pire, s courbe représenttive dns un repère orthonormé est symétrique pr rpport à l e des ordonnées ; sin ( θ) = sin θ l fonction sinus est impire, s courbe représenttive dns un repère orthonormé est symétrique pr rpport à l origine du repère. On peut donc réduire le domine à l intervlle [0, π]. Les fonctions cosinus et sinus sont dérivbles sur R et on cos (θ) = sinθ sin (θ) = cos θ Une étude des vrition et l observtion du cercle trigonométrique permet d obtenir les tbleu de vri- 5

7 tions suivnts : θ 0 π/ π cos (θ) 0 0 cos θ 0 θ 0 π/ π sin (θ) + 0 sin θ 0 0 On en déduit les représenttions grphiques suivntes. - cos θ sin θ - - On peut encore donner les limites clssiques suivntes :..5 Etude de l fonction tngente sin θ cos θ lim = lim = 0. θ 0 θ θ 0 θ L fonction tngente est définie pour tout θ R, θ π sin (θ) + kπ, k Z pr tn (θ) = cos (θ). Pour tout réel θ on cos (θ + π) = cos θ et sin θ + π = sin θ. Pr conséquent l fonction tngente est périodique de période π. On peut donc réduire le domine d étude à un intervlle de longueur π, pr eemple ] π/, π/[. On compléter l représenttion grphique pr des trnsltion de vecteur π et π. D utre prt comme pour tout réel θ, cos ( θ) = cos θ et sin ( θ) = sin θ, donc l fonction tngente est impire : tn ( θ) = tn θ. S courbe représenttive dns un repère orthonormé est donc symétrique pr rpport à l origine du repère. On peut donc réduire le domine à l intervlle [0, π/[. L fonction tngente est dérivble sur ] π/, π/[ en tnt que quotient de fonctions qui le sont, le dénominteur ne s nnulnt ps. Si on pose u(θ) = sin (θ) et v(θ) = cos (θ), on tn (θ) = u (θ)v(θ) u(θ)v (θ) (v(θ)) Deu epressions sont possibles = cos (θ) cos (θ) sin (θ)( sin (θ)) (cos (θ)) = (cos (θ)) + (sin (θ)) (cos (θ)). tn (θ) = (cos (θ)) + (sin (θ)) (cos (θ)) = (cos (θ)) tn (θ) = (cos (θ)) (sin (θ)) + = + (tn (θ)) (cos (θ)) (cos (θ)) On en déduit que pour tout θ π + kπ, k Z, l fonction dérivée est toujours strictement positive et pr conséquent que l fonction tngente est strictement croissnte sur l intervlle d étude. On peut déterminer fcilement les limites u bornes de l intervlle. Comme on et lim sin θ = θ π lim sin θ = θ π + lim cos θ = 0+, θ π lim cos θ = 0 +, θ π 6

8 on en déduit lim tn θ = + θ π On obtient le tbleu de vritions suivnt : lim tn θ = θ π θ 0 π/ tn (θ) + + tn θ 0 On en déduit l représenttion grphique suivnte. tn θ 7

9 ..6 Eercices Eercice. Formules de somme et de différence En remplçnt et b pr des vleurs prticulières, complèter le tbleu suivnt vec les résultts donnés ci-près : cos ( + b) = sin ( + b) = cos ( b) = sin ( b) = {cos cos b + sin sin b, cos sin b + sin cos b, cos cos b sin sin b, sin cos b cos sin b} Eercice. Formules de dupliction Déduire de l eercice précédent les formules suivntes : cos sin cos () = cos sin () = sin () cos () tn () = tn sin tn et tn ( + b) = tn () + tn (b) tn tn b tn ( b) = tn () tn (b) + tn tn b Eercice 3. A l ide des formules de l eercice retrouver les formules suivntes : Trnsformtion de produit en somme cos cos b = (cos ( + b) + cos ( b)) sin sin b = (cos ( b) cos ( + b)) sin cos b = (sin ( + b) + sin ( b)) Trnsformtion de somme en produit cos p + cos q = cos ( p+q cos p cos q = sin ( p+q ) ( cos p q ) ) ( sin p q ) sin p + sin q = sin ( p+q sin p sin q = sin ( p q ) ( cos p q ) ) ( cos p+q ) Eercice 4. Montrer que si l on pose t = tn (/) lors on cos = t + t sin = t + t tn = t t Eercice 5. Les dimensions du tringle OBM sont données sur l figure suivnte : O M B 3 Entourer prmi les données suivntes, celles qui sont correctes OB = 3 sin BOM = 3 sin BMO = 3 OB = 3 ( ) ( cos BOM = 3 sin BOM + cos BOM) = 8

10 Eercice 6. Soit (C) un cercle de centre A et B un point de (C).. Construire les points D, E, F et G du cercle (C) tels que : ( AB, AD) = π 3, ( AB, AE) = 3π 4, ( AB, AF ) = 7π 6, ( AB, AG) = 3π 4.. Déterminer l mesure principle des ngles ( AD, AE), ( AE, AG), ( AG, AD) et ( AG, AF ). Eercice 7. Une tour est entouré pr un lrge fossé comme le montre le dessin ci-dessous : En se situnt en A, l ngle MAN vut 4. En reculnt de 0 mètres (AB = 0) et en se positionnnt en B l ngle MBN vut 7. Les tringles AMN et BMN sont rectngles en M. ) En eprimnt MN en fonction de AM de deu fçons différentes (utiliser le fit que BM = BA+AM), clculer l longueur AM. ) En déduire l huteur de l tour. Eercice 8. Eprimer, en fonction de R, le périmètre et l ire de l figure : R rd R Eercice 9. Soient C et C deu cercles de même centre O, de ryons respectifs R et R (R < R) et A et B deu points de C. Pour ller de A à B deu chemins sont possibles : trjet : de A à B sur le cercle C trjet : de A à A, puis de A à B sur C, et enfin de B à B comme le montre l figure ci-dessous : C C B O α B A A ) On suppose que R = 50, R = 50 et α = rd. Lequel des deu trjets est le plus court? ) On suppose que R = 300, R = 50 et α = 3 rd. Lequel des deu trjets est le plus court? 3) Trouver une condition sur α pour que les deu trjets ient même longueur puis que le trjet soit plus long que le trjet. Eercice 0. ) Schnt que { π/ π sin = /3, et sns utiliser de clcultrice, donner une vleur ecte de cos et de 9

11 tn. ) Tout le monde sit bien que cos (π/8) = ( + )/. Déterminer sin (π/8). Eercice. Simplifier l epression ( π ) A() = cos (3π ) + cos + + sin ( 3π ) Eercice. ) Simplifier u mimun, pour tout réel t, l epression ( cos t)( + cos t). ) Démontrer que pour tout réel t : cos 4 t sin 4 t = cos t sin t. Eercice 3. En remrqunt que π/ = π/3 π/4, déterminer une vleur ecte de cos (π/) puis de cos (π/4). Eercice 4. Résoudre dns R les équtions et les inéqutions suivntes : ) cos = b) sin (3) = ( c) cos 3 + π ) 4 d) cos () = cos (3) e) cos () f) sin (3) > ( = cos + π ) 3 Eercice 5. ) Eprimer cos cos b en fonction de cos ( + b) et cos ( b). ) En effectunt un chngement de vrible, démontrez que pour tous les nombres réels p et q, on ( p + q cos p + cos q = cos ) cos ( p q 3) En déduire les solutions de l éqution cos + cos () + cos (3) = 0. Eercice 6.Soit f l fonction définie sur R pr f() = ) Fire l étude de l fonction (vec tbleu de vritions) et trcer s courbe représenttive. ) Trouver les solutions dns [0; π] de l éqution, d inconnue, sin 3 = /. 3) Montrer que pour tout réel, sin 3 = 3 sin 4 sin 3. 4) En déduire les solutions de l éqution f() = 0. Eercice 7. ) Sns fire l étude de l fonction donner l llure de l courbe de f() = sin (). ) Fire l étude de f, puis trcer sur un même grphique l courbe représentnt f et celle de g() = sin. Eercice 8. Une ] limite célèbre. Soit un réel de 0; π [. Dns le pln rpporté à un repère orthonormé direct (O; i ; j ), on considère les points A(, 0), M(cos, sin ), P (cos, 0) et T (, tn ). Soient A l ire du tringle OAM, A l ire du secteur de disque OAM et A 3 l ire du tringle OAT. ). tn sin M T O P cos A ) En comprnt ces ires prouver que : sin tn. ) En déduire que cos < sin <. 3) Déterminer l limite en 0 de f() = sin (distinguer > 0 et < 0.) Eercice 9. Etudier l fonction f() = tn ( ). Eercice 0. Un lpin désire trverser une route de 4 mètres de lrge. Un cmion, occupnt toute l route, rrive à s rencontre à une vitesse de 60 km/h. Le lpin décide u dernier moment de trverser, lors 0

12 que le cmion n est plus qu à 7 mètres de lui. Son démrrge est foudroynt et on suppose qu il effectue l trversée en ligne droite à l vitesse de 30 km/h. Sur le schém ci-dessous l vnt du cmion est représenté pr le segment [CC ]. Le lpin prt du point A en direction de D. Cette direction est représentée pr l ngle θ = BAD, vec 0 θ π/. C A 4 m Cmion 7 m θ C B D ) Déterminer les distnces AD et CD en fonction de θ et les temps t et t mis pr le lpin et le cmion pour prcourir respectivement AD et CD. ) On pose f(θ) = 7 + tn θ 4. Montrer que le lpin ur trversé l route vnt le pssge du cos θ cmion si et seulement si f(θ) > 0. 3) En utilisnt l représenttion grphique de f, donner un encdrement en degrés de l ngle selon lequel doit prtir le lpin pour ne ps être écrsé.. Fonction logrithme.. Définition de l fonction logrithme népérien Lorsque nous disposerons de l théorie de l intégrle, nous démontrerons qu il eiste une unique fonction f : ]0, + [ R telle que f () = / pour tout > 0 et f() = 0. En devnçnt un peu l théorie de l intégrtion, on : soit (C) l courbe représenttive de l fonction sur R + y f( ) = t dt = A A A f( ) = (C) t dt = A Définition. Il eiste une unique fonction f : ]0, + [ R telle que f () = / pour tout > 0 et f() = 0. Cette fonction s ppelle l fonction logrithme népérien ou plus simplement logrithme. On noter cette fonction pr f() = ln ().. Propriétés de l fonction logrithme népérien Voici une première propriété qui est essentielle. Elle permis de confectionner l règle à clcul, outil lrgement utilisé pr les ingénieurs ou les techniciens vnt l rrivée des clcultrices ou plus générlement des ordinteurs. Proposition. Pour tous réels et b strictement positifs on ln (b) = ln () + ln (b). Démonstrtion : Soit un réel strictement positif. Pour > 0 on considère l fonction f() = ln (). D près l règle de dérivtion des fonctions composées on f () = = = (ln ()).

13 Pr conséquent, l dérivée de l différence entre l fonction f et l fonction logrithme est nulle. C està-dire que l différence entre ces deu fonctions est une constnte k R. En prticulier pour = on ln () = f() = k + ln () = k ; d où ln () = f() = ln () + ln (). En remplçnt lors pr b on obtient le résultt voulu. Corollire 3. Pour tous réels et b strictement positifs on ( ) ln = ln () ( ) ln = ln () ln (b) b ln ( ) = ln () ln ( n ) = n ln () pour tout n Z Remrque L dernière propriété se générlise à tous les réels. En effet, si est un réel strictement positif et si α est un réel quelconque : ln ( α ) = α ln () Démonstrtion : Ces résultts se déduisent ssez fcilement de l propriété de l proposition. Soient et b deu réels strictement positifs. On ( ) ( ) ln = ln + ln () ln () = ln () ln () = ln () ( ) ( ln = ln ) ( ) = ln () + ln = ln () ln (b) b b b ln () = ln ( ) = ln ( ) + ln ( ) = ln ( ) ln ( ) = ln () Pour le dernier point si n 0 on montre le résultt pr récurrence et pour n < 0 on pplique ce résultt à n qui est positif. On obtient ( ) ln ( n ) = ln n = ln ( n ) = ( n) ln () = n ln ()...3 Etude de l fonction logrithme népérien Proposition 4. L fonction logrithme népérien est une bijection continue, dérivble et strictement croissnte de ]0, + [ dns R. On de plus : lim ln () = lim 0 ln () = +. + Démonstrtion : Dns l définition de l fonction logrithme il est dit que s dérivée sur R + est f () = /. Comme cette fonction est strictement croissnte continue (cr dérivble) et dérivble. Pour les limites on : comme ln () > ln () = 0 ln ( n ) = n ln () + qund n + Donc, l fonction logrithme n est ps mjorée. On en déduit pose y = / et on lim ln () = lim 0 ln (/y) = lim /y 0 Le logrithme népérien est bien une bijection de ]0, + [ dns R. lim ln () = +. Pour l utre limite on + ln (y) =. y +

14 Le tbleu de vrition de l fonction logrithme est donc 0 + f () + + f() Proposition 5. On ln ( + ) lim = 0 Démonstrtion : On ln ( + ) ln ( + ) ln ( + 0) lim = lim Comme l fonction logrithme est dérivble sur R + et que + est positif si > et dérivble sur R on en déduit que ln ( + ) est dérivble sur ], + [, donc en prticulier en = 0. D près l règle de dérivtion des fonctions composées, on obtient (ln ( + )) = /( + ). L vleur de l limite que l on cherche est ectement l vleur de l dérivée clculée en = 0, c est-à-dire. On obtient l représenttion suivnte. Comme l fonction logrithme est une bijection on peut trcer s fonction réciproque en prennt l imge pr rpport à l droite y =. y g() = ep() f() = ln().3 Fonction logrithme décimle Comme on l remrqué l fonction logrithme népérien est prticulièrement intéressnte du fit de s propriété de trnsformtion d un produit en somme. Mis comme on utilise, pour écrire les nombres, le système déciml, on lui préfère prfois une utre fonction possédnt l même propriété de trnsformtion de produit en somme mis prennt l vleur pour = 0 (et donc pour = 00, 3 pour = 000, etc...). Cette fonction ser ppelée fonction logrithme déciml. Définition 6. On ppelle fonction logrithme déciml et on note log l fonction définie pr : log : ]0, + [ R log () = ln () ln (0) Pr définition du logrithme déciml il est fcile d étudier les vritions et de donner s courbe repré- 3

15 senttive d près celle du logrithme népérien. On les propriétés suivntes : Proposition 7. Soient et b deu nombres strictement positifs log (0 n ) = n pour n 0 log (b) = log () + log (b) ( ) log = log () ( ) log = log () log (b) b log ( ) = log () log ( n ) = n log () pour tout n Z y f() = ln() 0 Remrque Pour > 0, on peut définir le logrithme de bse en posnt pour > 0.4 Fonction eponentielle log () = ln () ln () Puisque l fonction logrithme népérien est une bijection de ]0, + [ dns R, nous svons que pour tout nombre réel, il eiste un unique réel y, strictement positif, tel que ln (y) =. Pr définition, le nombre y s ppelle eponentielle de et est noté ep (). Définition 8. L fonction réciproque de l fonction logrithme népérien est l fonction eponentielle, définie pr : ep : R R ep () Elle vérifie quelque soit le réel > 0 quelque soit le réel ep (ln ()) = ln (ep ()) = Les propriétés de l fonction eponentielle se déduisent ssez fcilement de celles de l fonction logrithme. Proposition 9. L fonction eponentielle définit une bijection continue et strictement croissnte de R dns ]0, + [. On lim ep () = 0 lim ep = +. + De plus l fonction eponentielle est dérivble sur R et on : (ep ()) = ep (). 4

16 Démonstrtion : L fonction logrithme est une fonction continue strictement croissnte de ]0, + [ dns R. Donc elle dmet une fonction réciproque continue strictement croissnte de R dns ]0, + [. Comme on lim ln () = et lim ln = + on en déduit que 0 + lim ep () = 0 lim ep = +. + Enfin l fonction logrithme est dérivble sur ]0, + [, de dérivée strictement positive /. Pr conséquent s fonction réciproque est dérivble sur R de dérivée : (ep ()) = ln (ep ()) = ep () = ep (). Voici d utres propriétés qui se déduisent directement des propriétés nlogues pour l fonction logrithme. 8 Proposition 30. Soient et b deu réels ep ( + b) = ep () ep (b) ep ( ) = ep () ep () ep ( b) = ep (b) ep (n ) = (ep ()) n pour tout n Z Remrque L dernière propriété se générlise à tous les réels. En effet, si et α sont deu réels quelconques : Ceci permet d écrire, pour tout réel ep (α ) = (ep ()) α ep () = e vec e = ep (). On obtient fcilement le trcé de l fonction eponentielle à prtir de celui de l fonction logrithme. y 50 f() = ep() Remrque Pour un réel strictement positif, il est possible de définir l fonction eponentielle de bse de R dns R pr = ep ( ln ()). Attention, il ne fut ps confondre vec l fonction puissnce qui pour un réel b fié, ssocie à tout réel strictement positif l vleur b = ep (b ln ()). 5

17 .5 Croissnces comprées Les limites clculées dns les propositions suivntes sont très souvent utilisées dns les eercices. Il fut les connitre pour les employer sns hésittion. Proposition 3. On ln () ep () lim = 0 lim = Démonstrtion : L étude de l fonction f() = ln () permet de montrer que pour tout ]0, + [, ln (). On en déduit que pour tout réel strictement positif, on ln ( ) et pr conséquent 0 ln () = ln ( ) = ln ( ) ( ) Puisque ce dernier terme tend vers 0 lorsque +, cet encdrement nous donne l première limite. Pour l seconde, comme y = ep () + qund +, on ep () lim = lim + + ep () ln (ep ()) = lim y + y ln (y) = + d près l limite précédente (y et ln (y) sont positifs). Proposition 3. Soient et b deu réels tels que > et b > 0. On ln () lim + b = 0 et lim b ln () = 0 0 lim + = + et lim b n = 0 pour tout entier n N Démonstrtion : b + qund +. D où on obtient : Soit b > 0. Pour tout réel > 0 on ln () = b ln (b ). Puisque b > 0, on ln () ln ( b ) lim + b = lim + b b = 0 d près l première proposition ci-dessus. De même mnière on : lim + b = lim ep (ln ( )) + ep (ln ( b )) = lim 0 b ln () = lim ln ( (/) b) 0 b (/) b = 0 d près l première proposition et cr (/) b + qund 0. Pour l prochine limite on fit l trnsformtion suivnte, comme > et b > 0 : ( lim ep ( ln ()) + ep (b ln ()) = lim ep + [ ln () b ]) ln (). Or on sit que ln ()/ 0 qund +, donc le terme entre crochets converge vers ln (). Comme >, ln () > 0 et donc on obtient le résultt. Pour l dernière limite il fut fire ttention à ce que l on fit cr est négtif, on ne peut donc ps prendre le logrithme de! Mis en fit ce n est ps nécessire. En effet : d près l limite précédente cr +. lim n ( )n = lim ( )n = 0 6

18 .6 Eercices Eercice. Résoudre les équtions ln () = 4 ln () = 3 ln () = ln () + ln (5) π = 0 Eercice. Ecrire plus simplement ln (4) ln (7); ln ( ( 5 ) + ln ) ln (00) 5 ; ln (0) ; ln (8) ln () + ln (5); ln (0000) ln (0.0); ln (3 + ) + ln (3 ) Eercice 3. Démontrer que pour tout réel, on : ln ( + e ) = + ln ( + e ). Eercice 4. Résoudre dns R les équtions : ln () + ln ( ) = ln () + ln (3); ln () + ln (4 ) = ln ( ) + ln (3) Eercice 5. Résoudre dns R les équtions : Eercice 6. Résoudre les inéqutions suivntes : ln ( + ) = ln () + ln ( + ) = ( ) + ln = ln ( + ) = + ln ( ) ln () < ln () 0 ln ( ) + 0 ( ) + e ln () > ln ( ) ln ( + e ) > 0 ln e Eercice 7. Montrer que pour tout réel > 0, ln ( + ) > Eercice 8. Déterminer les limites suivntes : lim ln ( + + ); + ln () lim 0 ; lim + ln () + 0. Eercice 9. Fire l étude et l représenttion grphique des fonctions suivntes : f () = + ln () f () = ln () 3(ln ()) Eercice 0. Ecrire plus simplement les epressions suivntes : f 3 () = ln ( ) +. e e ; e +3 e ; (e + e ) ; e e + e. Eercice. Montrer que pour tout R, ep () +. Eercice. Résoudre dns R les inéqutions suivntes : ep () > 0; ep () + 3 > ; ep () ep () 0; ep ( + 5) < ep ( ) ep () + 7

19 Eercice 3. Déterminer les limites suivntes : ) lim + e 3 5 b) lim e 3 5 c) lim + + 3e + e + d) lim + e e) lim + 3e f) lim ( + )e e 5 g) lim + 3 e e + e h) lim 0 3 i) lim 3 + e Eercice 4. Résoudre dns R les équtions suivntes : e (+) = 0; e + e 3 = 0; e e 3+5 = ; e + e = 0; e + e = e 3 + e. Eercice 5. Déterminer les limites suivntes :. lim ln (). lim ln ( ) 3. lim ln () e + 4. lim lim + ln 0. lim 0 + ( ) ln ( + ) ( 3 ) lim 0 + ln (3 + ) 6. lim 0 + ln ( + ) 8. lim +( ) ln ( 3 8) 9. lim ( ) +( ) ln ( ) e e. lim ln () ln ( + ). lim lim 0 + ( + ) ln () 4. lim + ( ) + 5. lim 3 + ( 3 ) ( e ) lim lim (ln ( + )) ( ) ln () 8. lim ( ) ( + ) ln ( 9. lim lim + ) + + e 3 8

20 Chpitre Primitives. Introduction On considère l fonction ffine f définie pr f() = +. Soit D l droite représentnt f dns un repère orthonorml, soient A et B deu points de D et soient A et B les projetés de A et B sur l e O prrllèlement à Oy. 0 8 y B D 6 4 A A A 3 B 4 5 On suppose que les bscisses respectives de de A et B sont et vec <, f( ) > 0 et f( ) > 0 comme sur le grphique ci-dessus. L ire du trpèze rectngle ABB A est donnée pr : A = AA + BB A B Comme A et B sont sur l droite D leurs ordonnées respectives sont f( ) = + et f( ) = +. On donc : AA = f( ), BB = f( ) et A B =. Pr conséquent on obtient : A = f( ) + f( ) ( ) = ( ) = ( + + )( ) = + = + ( + ) On ppelle g l fonction définie pr g() = +, on peut donc écrire A = g( ) g( ). On peut remrquer que g est une fonction dérivble sur R et que pour tout R, on g () = + = f(). L fonction g est donc une fonction dont l dérivée est f. On dit que g est une primitive de f. 9

21 . Primitive d une fonction sur un intervlle.. Générlités Définition. Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivble sur I, dont l dérivée est f. Eemple Une primitive de l fonction f définie sur R pr f() =, est l fonction F définie sur R pr F () =. En effet F est dérivble sur R et on pour tout R, F () = = f(). On peut remrquer qu on urit pu choisir pour F, F () = + ou F () = π ou plus générlement, si k est une constnte réelle, F () = + k. Une fonction n ps une seule primitive. Théorème. Si F 0 est une primitive de f sur I, lors l ensemble des primitives de f sur I est l ensemble des fonctions de l forme, pour tout I, F () = F 0 () + k, vec k R. Autrement dit, deu primitives d une même fonction diffèrent d une constnte. Démonstrtion : Soit F une primitive de f sur I et k une constnte réelle. Si G = F + k lors G est dérivble sur I en tnt que somme de deu fonctions dérivbles sur I. Comme l dérivée d une constnte est nulle, on G = F = f. L fonction G est donc une primitive de f sur I. L ensemble des fonctions F + k, vec k R, est donc contenue dns l ensemble des primitives de f sur I. Réciproquement si G est une primitive de f sur I, lors G est dérivble sur I et on G = f. Comme on sit que F est une primitive de f sur I, on ussi F = f. On en déduit que G = F, donc G F = 0 c est-à-dire (G F ) = 0. L dérivée de l fonction G F est nulle sur I, donc G F est constnte. C est-à-dire G F = k, k R, ou encore G = F + k vec k R. L ensemble des primitives de f sur I est donc contenu dns l ensemble des fonctions G = F + k, vec k R. D où on en déduit le résultt. Corollire 3. Soit f une fonction dmettnt des primitives sur un intervlle I et soit 0 I et y 0 R. Il eiste une et une seule primitive F de f sur [, b] telle que F ( 0 ) = y 0. Démonstrtion : Soit F 0 une primitive de f sur I. Si F est une utre primitive de f sur I, on pour tout dns I, F () = F 0 () + k. On veut que F ( 0 ) = y 0 pour un certin 0 I. On en déduit que F 0 ( 0 ) + k = y 0, c est-à-dire k = y 0 F ( 0 ). L ppliction F () = F 0 () F 0 ( 0 ) + y 0 est une primitive de f sur I qui vérifie le résultt, de plus elle est unique pr construction. Le théorème suivnt est dmis. Théorème 4. Toute fonction continue sur un intervlle I des primitives sur I. Remrque Certines fonctions non continues peuvent ussi voir des primitives... Quelques primitives usuelles Soit f : I R continue. On noter f()d = F () + C où F est une primitive de f. Si f n est ps définie sur I on prend le plus grnd sous-intervlle sur lequel elle est définie. L formule peut-être vrie sur plusieurs intervlles, mis l reltion où f est définie. f(t)dt = F (b) F () ne peut-être utilisée que sur un intervlle 0

22 Fonction Primitives d = ln + C α, α α d = α+ α + + C ep () ep ()d = ep () + C ep (m), m 0 ep (m)d = ep (m) + C m cos () cos ()d = sin () + C sin () sin ()d = cos () + C tn () tn ()d = ln cos () + C cos () = + tn () cos d = tn () + C () Ces primitives ont été obtenues à prtir des dérivées clssiques...3 Propriétés Proposition 5. Soit I un intervlle de R. Si F est une primitive de f sur I et G une primitive de g sur I lors F + G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitive de f sur I et un réel lors F est une primitive de f sur I. Remrque Ces résultts se déduisent directement des résultts similires pour l dérivtion. Attention, une primitive d un produit ne ser ps obtenu en prennt le produit des primitives, puisque l dérivée d un produit n est ps le produit des dérivées. Proposition 6. Soit u une fonction dérivble. Une fonction de l forme u u n vec n Z/ pour primitives les fonctions de l forme vec C R. Une fonction de l forme u u n + un+ + C pour primitives les fonctions de l forme ln u + C vec C R sur tout intervlle ou l fonction u ne s nnule ps. Une fonction de l forme u u pour primitives les fonctions de l forme u + C vec C R sur tout intervlle ou l fonction u est strictement positif. Une fonction de l forme u ep (u) pour primitives les fonctions de l forme ep (u) + C vec C R. Démonstrtion : On ne démontre que le premier résultt. Les utres qui se retrouvent pr des méthodes identiques sont lissées u lecteur.

23 L formule de dérivtion des fonctions composées permet de clculer l dérivée de u n+ lorsque n est un entier reltif différent de. On (u n+ ) = (n + )u u n. Donc u n+ est une primitive de (n + )u u n. Comme n + est une constnte, n + un+ est une primitive de n + (n + )u u n = u u n.

24 .3 Eercices Eercice. On note f une fonction définie sur R. Trouver dns chcun des cs suivnts une primitive de f. ) f() = b) f() = c) f() = 5 d) f() = 4 e) f() = 3 + Eercice. Pour chcune des fonctions f donner l ensemble des primitives de f sur l intervlle I. ) f() = I = R b) f() = + I = R c) f() = I =]0, + [ d) f() = ep () I = R Eercice 3. Soit f définie sur I =]0, + [ pr f() =. Déterminer les primitives de f sur I. Eiste-t-il une primitive de f prennt l vleur pour =? Eercice 4. Pour chcune des fonctions f ci-dessous, donner un intervlle I sur lequel f des primitives et donner toutes les primitives de f sur cet intervlle. ) f() = 7 b) f() = 3 c) f() = 4 + Eercice 5. Pour chcune des fonctions f ci-dessous, donner un intervlle I sur lequel f des primitives et donner toutes les primitives de f sur cet intervlle. ) f() = ep () + 4 b) f() = 3 sin () + cos () c) f() = 3 Eercice 6. Donner une primitive de l fonction f en précisnt sur quel intervlle elle est définie. ) f() = ( + ) 3 b) f() = (3 + ) 5 c) f() = ( + ) 5 d) f() = e) f() = sin () cos 3 () f) f() = (ln ) g) f() = + h) f() = + + i) f() = ) j) f() = ep () k) f() = ep (3 + ) l) f() = ep ( m) f() = n) f() = o) f() = + 3

25 Chpitre 3 Intégrles 3. Définition de l intégrle Définition. Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [, b]. Soit (C) s courbe représenttive dns un repère orthogonl. On ppelle intégrle de à b de l fonction f, et on note f(t)dt, le réel mesurnt l ire, en unités d ires, de l prtie du pln limitée pr l courbe (C), l e (O) et les droites = et = b c est-à-dire l ensemble des points M(, y) tels que { b 0 y f() 4 y b f(t) dt (C) On Eemple : Si f est une fonction constnte positive k lors k dt = k(b ). f(t) dt correspond à l ire d un rectngle. Proposition. Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I. Alors pour tous réels, b et c dns l intervlle I on f(t) dt = c f(t) dt + Cette reltion est ppelée reltion de Chsles pour l intégrle. c f(t) dt. Remrque Si c pprtient à l intervlle [, b] ce résultt se comprend bien, comme on peut le voir sur le grphique ci-dessous : 4

26 (C) On f(t) dt = c c b f(t) dt + c c f(t) dt. On en déduit que : f(t) dt = f(t) dt c f(t) dt. Pour que l reltion de Chsles reste vrie quelque soit l ordre des réels, b et c on dopte l convention : On lors f(t) dt = c f(t) dt + c c f(t) dt = c b f(t) dt. f(t) dt pour tous les reéls, b et c dns un intervlle I sur lequel f est continue et positive. Pour l instnt nous n vons trvillé qu vec des fonctions qui sont toujours positives. Mis que se psse-t-il pour les fonctions négtives ou pour celles qui chngent de signe? Définition 3. Soit f une fonction continue et négtive sur un intervlle [, b]. Soit (C) s courbe représenttive dns un repère orthogonl. On ppelle intégrle de à b de l fonction f, et on note f(t) dt, l opposé du nombre réel mesurnt l ire, en unités d ires, de l prtie du pln limitée pr l courbe (C), l e (O) et les droites = et = b. b f(t) dt = A (C) Pr etension on peut donc définir l intégrle d une fonction continue qui chnge de signe. Définition 4. Soit f une fonction continue (qui peut chnger de signe) sur un intervlle [, b]. Soit (C) s courbe représenttive dns un repère orthogonl. On ppelle intégrle de à b de l fonction f, et on note f(t) dt, l différence entre l ire obtenue lorsque f est positive et le nombre correspondnt à l ire obtenue lorsque f est négtive. 5

27 A A 3 (C) b A A 4 f(t) dt = A A + A 3 A 4 Remrque L reltion de Chsles pour l intégrle reste vrie pour une fonction continue sur un intervlle, négtive ou qui chnge de signe. 3. Intégrle et primitive Le résultt suivnt, que l on dmet, est essentiel en nlyse. Théorème 5. Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Si I lors l fonction F : I R définie pr : I, F () = est l unique primitive de f qui s nnule en. f(t) dt Remrque Cel signifie en prticulier que : f(t) dt = F () = 0. Corollire 6. Si f est une fonction continue sur un intervlle I, lors pour tous réels et b de I on : où F est une primitive quelconque de F sur I. Remrque On note ussi f(t) dt = [F (t)] b = F (b) F (). f(t) dt = F (b) F () Démonstrtion : D près le théorème 5, si I, G() = f(t) dt est l unique primitive de f sur I qui s nnule en. Soit F une primitive de f sur I, on donc F () = G() + C ou C est une constnte réelle. Donc on obtient : F (b) F () = G(b) + C G() C = G(b) = f(t) dt cr G s nnulle en. Dns l proposition suivnte nous regroupons différentes propriétés. Certines ont déjà été vues. Proposition 7. Soit f et g deu fonctions continues sur un intervlle I ;, b et c étnt trois éléments de 6

28 I et λ un réel, on : b f(t) dt = 0 () f(t) dt = f(t) dt = c (f(t) + g(t)) dt = λf(t) dt = λ f(t) dt () f(t) dt + c f(t) dt + f(t) dt (3) g(t) dt (4) f(t) dt (5) si f 0 sur [, b] lors f(t) dt 0 (6) si f g sur [, b] lors f(t) dt g(t) dt (7) f(t) dt f(t) dt (8) Démonstrtion : Les trois premières propriétés ont déjà été démontrées. Pour l qutrième, on note F une primitive de f sur I et G une primitive de g sur I. Alors on sit que F + G est une primitive de f + g sur I. On lors : (f + g)(t) dt = (F + G)(b) (F + G)() = F (b) F () + G(b) G() = f(t) dt + g(t) dt. L cinquième propriété se démontre de l même mnière. Pour l propriété suivnte cel provient de l définition de l intégrle d une fonction continue et positive, qui est égle à une ire donc un réel positif. L septième propriété se déduit directement de celle que l on vient de démontrer en ppliqunt le résultt à l fonction f g. En effet, si f g lors f g 0 et et donc on (f g)(t) dt 0. On en déduit le résultt en utilisnt l propriété (4). Il ne reste plus qu à démontrer l dernière propriété. Rppelons d bord que si A est un nombre réel on A A A. En ppliqunt ceci à l fonction f on obtient pour tout t I : f(t) f(t) f(t) Comme l fonction vleur bsolue est continue, l composée de l fonction f et de l fonction est une fonction continue sur I on peut donc clculer son intégrle. Pr conséquent on c est-à-dire 3.3 Intégrtion pr prties Théorème 8. f(t) dt f(t) dt. f(t) dt f(t) dt Soient f et g deu fonctions dérivbles sur un intervlle I dont les dérivées sont continues sur I. Soient et b deu éléments de I. On f(t)g (t) dt = [f(t)g(t)] b f(t)g (t) dt. f(t) dt 7

29 Démonstrtion : Soient f et g deu fonctions dérivbles sur un intervlle I, dont les dérivées f et g sont continues sur I. L formule de dérivtion d un produit, permet d écrire pour tout t I (f(t)g(t)) = f (t)g(t) + f(t)g (t). Les fonctions étnt continues on pour I et b I : f(t)g (t) dt = (f(t)g(t)) dt = [f(t)g(t)] b f(t)g (t) dt, f(t)g (t) dt. Remrque Après voir fit une intégrtion pr prties, l nouvelle intégrle que l on à clculer doit être plus simple que l première. Si ce n est ps le cs, il fut peut-être modifier le choi de f et g. On pourr si besoin est, utiliser plusieurs fois l intégrtion pr prties. Eemple : On souhite clculer l intégrle π 0 cos () d. On pose f() = et g () = cos (). On lors f () = et g() = sin (). Les fonctions f et g sont dérivbles et leurs dérivées sont continues sur [0, π/]. On pr conséquent : π 0 π cos () d = [ sin ()] π 0 sin () d = π 0 sin (π ) [ cos ()] π 0 = π 3.4 Chngement de vribles Théorème 9. Soit f une fonction continue sur un intervlle I de R. Soit u une fonction dérivble à vleurs dns I et de dérivée continue sur [, b]. Alors on : f(u())u () d = u(b) u() f() d. Remrque En prtique il rrive souvent que l on doive effectuer le chngement de vrible v dns f(t) dt. On commence en générl pr fire le chngement de vrible v dns l clcul de l primitive f(t) dt. Pour ce fire on effectue les trnsformtions successivement sur chcun des composnts de f(t) dt. A cet effet, on écrit l tble du chngement de vrible, où chque symbole de l première colonne est remplcé pr le symbole de l deuième colonne. On note u l fonction réciproque de v ( c est-à-dire u(v()) = ). t u(t) dt u (t) dt f(t) f(u(t)) f(t) dt f(u(t))u (t) dt 8

30 On clcule ensuite l primitive G égle à f(u(t))u (t) dt et une primitive de f est lors donnée pr G(v()). Il est évident qu un chngement de vrible doit mener à un clcul de primitive plus simple que le clcul initil, sinon il fut fire un utre choi de chngement de vrible! 9

31 3.5 Eercices Eercice. On considère l fonction f définie sur R pr f() = +. ) Représenter grphiquement f. Clculer l intégrle 4 ) Déterminer une primitive F de f sur R et vérifier que Eercice. Clculer chcune des intégrles suivntes : ) e) (t + 4) dt b) (4 ) d f) f(t) dt sns chercher une primitive de f. 4 (t ) dt c) (3 3 ) d g) f(t) dt = F (4) F ( ) t dt d) π 0 sin () d 0 dt h) t6 + d ( ) Eercice 3. Soit n un entier nturel non nul. On pose u n = ep d. 0 n ) En déterminnt un encdrement de l fonction intégrée, donner un encdrement de u n. ) Montrer que l suite (u n ) est monotone. 3) En déduire que l suite (u n ) est convergente et déterminer s limite. Eercice 4. Eprimer le produit cos () cos (3) cos (5) comme une somme u moyen de sin (9), sin (7), sin (3) et sin (). En déduire π/ 0 cos () cos (3) cos (5) d. Eercice 5. Soit f une fonction continue sur un intervlle [, ] vec > 0. Montrer que si f est pire on Montrer que si f est impire on Eercice 6. Soient n Z, F n = π/3 π/6 f(t) dt = 0 f(t) dt = 0. f(t) dt. (sin (t)) n cos (t) dt et G n = π/3 π/6 (sin (t)) n (cos (t)) 5 dt. ) Montrer que (sin (t)) n cos (t) est de l forme u()u () pour une fonction u convenble. En déduire F n. ) Montrer que (sin (t)) n (cos (t)) 4 = (sin (t)) n (sin (t)) n+ + (sin (t)) n+4.clculer G n. 3) Montrer que (cos (t)) 3 est de l forme ( u())u () pour une fonction u convenble. En déduire G n = π/3 π/6 (cos (t)) 3 dt. Eercice 7. En effectunt une intégrtion pr prties, clculer chcune des intégrles suivntes : ) d) π 0 e sin () d b) ln () e) ln (t) dt ( > 0) f) ln () d c) ( 3 + ) ln () d Eercice 8. Soit n N, clculer l intégrle suivnte : Eercice 9. On pose I = π ( + ) cos () d et J = ) Clculer I + J (sns clculer I et J). ) Clculer I J à l ide d une intégrtion pr prties. 3) En déduire les vleurs de I et J. 0 ln () d. n π 4 0 ( + ) ep () d ( + ) sin () d. Eercice 0. En effectunt deu intégrtions pr prties, clculer chcune des intégrles suivntes : ) d) e ( + ) ep ( ) d b) ln () e) 0 π sin () d c) ln (t) dt ( > 0) f) 30 π 0 ep () sin d ( 3 + ) ln () d

32 Eercice. En posnt le chngement de vrible u = ep () montrer que ln () 0 ep () d = π. Eercice. Clculer les intégrles suivntes en fisnt le chngement de vrible indiqué ) 3 d +, u() = + b) Eercice 3. Clculer l intégrle I = dt ep (t) ep ( t), u(t) = ep (t) c) 8 5 ln ( 3, u() = 3 d en effectunt le chngement de vrible qui consiste à remplcer pr cos (t) (on fer ttention à bien définir l intervlle de vrition de t de mnière à voir un chngement de vrible bijectif). 3

33 Chpitre 4 Nombres complees Dns ce chpitre, nous présenterons les complees des deu fçons qui permettent de les ppréhender. Les nombres complees furent d bord introduits sous forme lgébrique, mis c est le point de vue géométrique de Guss qui convincu de leur intérêt. C est ce point de vue que nous présenterons dns un premier temps. 4. Point de vue géométrique Définition. Soit un repère orthonormé (O, O, Oy). Un nombre complee est un nombre de l forme + iy, où et y sont des réels. À chque point du pln M de coordonnées (, y), qui sont ussi les coordonnées du vecteur OM, on ssocie le nombre complee + iy, et on dit lors que + iy est l ffie de M. Remrque Les nombres réels font prtie des nombres complees, ce sont ceu qui s écrivent + i0. Ils correspondent géométriquement u points de l e des bscisses. Les nombres sur l e des ordonnées sont ppelés nombres imginires purs et s écrivent sous l forme iy. Un vocbulire propre u nombres complees, et correspondnt à chque notion géométrique de bse, est présenté dns ce tbleu, et illustré pr l figure 4. : Nom Significtion Nottion module de z longueur r de z z rgument de z ngle θ de z rg(z) prtie réelle de z bscisse du point d ffie z R(z) prtie imginire de z ordonnée du point d ffie z I(z) e des réels ensemble des nombres réels R e des imginires ensemble des nombres imginires ir (complee) conjugué de z symétrique de z pr rpport à l e des réels z pln complee ensemble des nombres complees C Selon le point de vue géométrique, on définit l ddition de deu nombres complees comme l ffie du vecteur somme. Si z et z sont les ffies respectives des vecteurs OM et ON, lors z + z est définie comme l ffie du vecteur OM + ON. Le produit de deu nombres complees est défini de telle sorte que les rguments des deu complees s dditionnent. De plus, les modules sont églement multipliés. Si z z est l ffie du vecteur OP, lors OP = OM ON et rg(z z ) = rg(z )+rg(z ), où rg(z z ) est l ngle entre OP et l e des réels positifs. L écriture lgébrique + yi des nombres complees n est ps dptée à leur multipliction. C est pourquoi on choisit d utiliser un utre système de coordonnées pour définir un point du pln complee, et donc une utre nottion. Définition. Soit un repère orthonormé d origine O, et un point M du pln. L écriture polire de l ffie z de M est donnée pr z = (r, θ) ou z = r θ, où r est l distnce OM et θ l ngle entre le vecteur OM et l e des réels positifs. On z = z rg(z). 3

34 Figure 4. Illustrtion des notions liées à un nombre complee. e des imginires z = + iy = r θ r = z θ = rg(z) y = I(z) 0 = R(z) e des réels C z = iy Avec cette écriture, l multipliction de deu nombres complees devient : (r θ) (r θ ) = (rr ) (θ + θ ) Eemple. Soit i = 0 + i le nombre complee trditionnel. On voit, géométriquement, que le vecteur correspondnt à i est de longueur et forme un ngle de π vec l e des réels, donc i = π. Avec cette définition de l multipliction, on i = i i = ( π ) ( π ) = π =, donc i = : le nombre i est une rcine crrée de! Vous pouvez vérifier que i est l utre rcine crrée de. Remrques Plus générlement, tout nombre complee une rcine crrée : une rcine crrée de R θ est R θ. Les nombres réels s écrivent sous l forme r 0 ou r π selon qu ils sont positifs ou négtifs. Les nombres imginires purs sont de l forme r ± π. Les ngles étnt définis à π près, on r θ = r (θ + π) = r (θ π) =.... Proposition 3. Soit z = + iy un nombre complee non nul. Alors, tn(rg(z)) = y, z = R θ = R cos(θ) + ir sin(θ). Preuve. Soit z un nombre complee non nul, on l écrit z = R θ. Alors, les reltions de trigonométrie dns le tringle T donnent cos(θ) = côté djcent hypoténuse = côté opposé, sin(θ) = R hypoténuse = y R, donc = R cos(θ), y = R sin(θ) et tn(θ) = sin(θ) cos(θ) = y. Eemple. On + i = π 4. En effet, tn(rg( + i)) = = tn ( ) π 4, donc rg( + i) = π 4 à un multiple de π près (l fonction tngente est périodique de période π), donc rg( + i) = π 4 ou 5π 4. Mis 33

35 Figure 4. Addition et produit (géométriques) de deu nombres complees. M(z) P (z + z ) N(z ) O P (zz ) z z M(z) N(z ) O + i est dns le qudrnt supérieur droit du pln, donc son rgument ne peut ps être 5π 4. Sous cette forme, il est isé de voir que ( + i) 4 = 4, cr ( π ) 4 4 π = 4 = 4 π = Eemple. On π 3 = + i 3. Notons que cet eemple été choisi prce que l forme polire permet de voir très isément que ce nombre élevé à l puissnce 3 donne. On montré, à peu de fris, ( 3 3 que ) + i = : il y d utres nombres complees que qui, élevés à l puissnce 3, donnent, lors qu il n y qu un seul nombre réel à le vérifier. Plus générlement, l éqution z n = ectement n solutions u sein des nombres complees. Remrque. On peut montrer géométriquement que pour tout nombre complee non nul z, il eiste un nombre complee z tel que zz corresponde u point de coordonnées (,0) (utrement dit, zz = ). On note z ce nombre. Pr eemple, i = i. On définit lors l division d un nombre complee z pr un nombre complee z comme le produit z z, noté z z. 4. Point de vue lgébrique On déjà vu l écriture lgébrique (ou crtésienne) des nombres complees : + ib. Définition 4. Soient deu nombres complees z = + iy et z = + iy. Alors z + z = ( + ) + i(y + y ) et z z = ( ) + i( y + y ) + i (y y ) = ( y y ) + i( y + y ) Eemple. On vu dns l section précédente que ( + i) 4 = 4 vec le produit géométrique. On peut ussi le démontrer grâce u produit lgébrique, mis c est moins direct : ( + i) 4 = ( ( + i) ) = ( + i + i }{{} ) = (i) = i = 4. = 34

36 Proposition 5.Soit z = + iy un nombre complee. On les églités suivntes : R(z) = z + z, I(z) = z z = i z z i, z = zz = + y, z = z z. Figure 4.3 Interpréttion géométrique de l proposition 5. z z ii(z) 0 z z R(z) z + z z z z Preuve. Pr définition des prties réelle et imginire, si z = + iy, on = R(z) et y = I(z). Alors, et de même : z + z z z i = = Montrons que zz = + y. On : ( + iy) + ( iy) ( + iy) ( iy) i = = = R(z), = iy i = y = I(z). zz = ( + iy)( iy) = ( y ( y)) + i( y + y) = + y. L églité z = + y provient (géométriquement) du théorème de Pythgore. Enfin, prtnt de z, l multipliction u numérteur et dénominteur pr z donne le résultt voulu. Remrque. Cette proposition donne une nouvelle identité remrquble : + b = ( + ib)( ib) (on pplique l proposition à z = + ib). Remrque. Grâce à ces formules, on peut voir que si z = R θ, lors z = R θ : on z = z z = (R θ) ( R 0) = R θ. En effet, z étnt une distnce, c est en prticulier un réel positif, donc son rgument est nul. Remrque 3. On montré que si z = + iy, lors z = forme lgébrique. +iy = +y i y +y : on sit mettre z sous Corollire 6.Un nombre complee z est réel si, et seulement si z = z. Il est imginire pur si, et seulement si z = z. Preuve. Un nombre complee z est réel si, et seulement si I(z) = 0, si et seulement si z z i = 0, si et seulement si z = z. On procède de même pour les utres églités. Corollire 7.Deu nombres complees z et z sont égu si, et seulement si leurs prties réelle et imginire sont égles. 35

37 Preuve. Il est clir que si R(z) = R(z ) et I(z) = I(z ), lors z = z. Inversement, si z = z, lors z = z (ce sont les mêmes coordonnées que z et z u signe près), donc et de même pour I(z). R(z) = z + z = z + z = R(z ), Enfin, on résume rpidement les propriétés vérifiées pr l conjugison et le module. Proposition 8. Propriétés de l conjugison. Soient z et z deu nombres complees. On z = z, z + z = z + z, zz = zz, et z = z. Proposition 9. Propriétés du module. En plus de l propriété z = zz déjà citée, on pour tous nombres complees z et z : zz = z z, et si z 0, z z = z z ; z = 0 si, et seulement si z = 0 ; z ± z z + z (inéglité tringulire). Preuve. Seule l inéglité tringulire est difficile à démontrer lgébriquement, et découle de R(zz ) z z. Figure 4.4 Inéglité tringulire. z + z z z + z z z O z 4.3 Eponentielle complee Définition 0. Il eiste une unique fonction f dérivble, définie sur R, telle que pour tout réel, f () = i f(), et f(0) =. On note e i, l fonction vérifint ces conditions. Les propriétés de l eponentielle réelle sont encore vlbles pour l eponentielle complee : Proposition.Soient φ et θ deu réels. On e i(φ+θ) = e iφ e iθ. Alors, le théorème suivnt permet de lisser de côté l nottion R θ pour une bien meilleure (l forme eponentielle). Théorème. Formule d Euler Soit θ un nombre réel. On e iθ = cos(θ) + i sin(θ). 36

38 Figure 4.5 Formule d Euler illustrée. e i π = i re iθ e iπ = e iθ θ e iπ = e i π = i Preuve. L preuve revient à démontrer l unicité nnoncée dns l définition, on v l démontrer. Soit e f(θ) = iθ cos(θ)+i sin(θ). L fonction f est dérivble en tnt que quotient de fonctions dérivbles (à noter que le dénominteur ne s nnule jmis). On f (θ) = i eiθ (cos(θ) + i sin(θ)) e iθ ( sin(θ) + i cos(θ)) (cos(θ) + i sin(θ)) = eiθ ( i cos(θ) + i sin(θ) + sin(θ) i cos(θ)) (cos(θ) + i sin(θ)) = eiθ ( sin(θ) + sin(θ)) (cos(θ) + i sin(θ)) = 0. Donc f est une fonction constnte, toujours égle à f(0) =. Ceci prouve que e iθ = cos(θ) + i sin(θ). Remrque Avec cette représenttion, l formule de multipliction géométrique pour les nombres complees devient presque évidente : (Re iφ ) (re iθ ) = Rre i(θ+φ). Figure 4.6 Illustrtion de l formule e iθ e iφ = e i(θ+φ). e iφ e i(θ+φ) θ φ e iθ θ Les formules très intéressntes de l eponentielle en induisent d utres vec grnde fcilité. Une conséquence importnte de l formule d Euler est qu en fit, les fonctions cosinus et sinus peuvent être définies à prtir de l fonction eponentielle. Plus précisément, les formules R(z) = z+z et I(z) = z z i vues précédemment donnent, grâce à l reltion e iθ = e iθ : Proposition 3.Pour tout réel θ, on cos(θ) = eiθ +e iθ, et sin(θ) = eiθ e iθ i. Avnt de conclure ce chpitre, plusieurs remrques : 37