Glossaire Physique quantique. Les systèmes fermés ou soumis à un champ de perturbation homogène sont décrits par des états stationnaires.

Transcription

1 Glossaire Physique quantique Etat stationnaire : Un état stationnaire correspond à un état dans lequel l énergie du système a des valeurs fixées qui ne dépendent pas du temps, autrement dit, la valeur moyenne de l énergie de dépend pas du temps. Les fonctions d onde correspondantes sont de la forme : Les systèmes fermés ou soumis à un champ de perturbation homogène sont décrits par des états stationnaires. Relation de Planck-Einstein : A tout photon d énergie E, on associe une onde électromagnétique de pulsation ω (de fréquence ν) tel que : Cette formule montre à quel point le concept d énergie peut être puissant : il permet de faire le lien entre 2 modèles physiques qui n ont, a priori, rien à voir, à savoir celui d onde et celui de particule. Cette relation cèle ces deux descriptions sous un même nom : la dualité onde-corpuscule. Relation de De Broglie : A toute particule de quantité de mouvement p, on peut associer une onde de nombre d onde k tel que : Cette formule, très analogue à la formule de Planck-Einstein, montre que la dualité onde-corpuscule ne s applique pas uniquement à la description de la lumière. Toute particule, même possédant une masse, peut être modélisée par une «onde de matière». Fonction d onde : L expérience des fentes d Young a montré expérimentalement que la notion de trajectoire n a plus de sens pour décrire des particules telles que des électrons. Ainsi, l impulsion et la position ne sont plus des variables pouvant caractériser complètement un système. On doit donc parler d état d une particule, qui est entièrement caractérisé par la donnée d une fonction complexe dite fonction d onde. Cette fonction n a aucun sens physique! Cependant, son module au carré désigne la probabilité de présence du système étudié au point à l instant t. Attention, toujours s assurer de normaliser toute fonction d onde (sans ça, elle ne peut pas décrire un état du système)!

2 Relations d incertitude d Heisenberg : Les opérateurs associés à l impulsion et la position ne commutent pas entre eux. Il est donc impossible de connaître à un instant donné l impulsion et la position d une particule avec une précision arbitraire. Ceci est résumé par les inégalités : On remarque que. D où l impossibilité de mesurer en même temps impulsion et position. Remarque : du moment que deux observables ne commutent pas, alors il existe une inégalité reliant le produit de leurs incertitudes. Incertitude : L incertitude d une observable A est définie comme l écart-type statistique des différentes valeurs propres possibles pour le système. Soit : Opérateur hermitique (ou auto-adjoint) : Un opérateur (ou endomorphisme) est dit hermitique (ou auto-adjoint) lorsqu il coïncide avec son adjoint : Le théorème spectral garantit le fait que le spectre d un opérateur hermitique est réel. Or, seules les valeurs propres d un système physique sont mesurables, en pratique. De fait, seul un opérateur hermitique peut correspondre à une grandeur physique observable. Espace Complet d Observables qui Commutent (ECOC) : Une base d un tel espace est formée par la base de vecteurs propres qu ont en commun chacun des opérateurs décrivant le système qui commutent entre eux 2 à 2. On travaille, en général, dans des espaces à 3 coordonnées d espace. Ainsi, il suffit de trouver 3 observables qui commutent 2 à 2 pour déterminer la base de l ECOC associé, et donc, tous les états du système étudié.

3 Notation de Dirac en «bra-ket» : A chaque fonction d onde l ensemble des fonctions de carré sommable, il est possible d associer un vecteur d état dit «ket» noté espace d Hilbert. On définit alors la forme linéaire associée à notée dual de H, appelée «bra», qui n est rien d autre que le transposé conjugué de. Autrement dit : Le lien entre fonction d onde et ket associé est. C'est-à-dire que la fonction d onde est la projection du vecteur ket associé sur le système de coordonnées dans L². Les sont les vecteurs propres associés à l opérateur vectoriel de position l identité, soit : où R valeur propre associée à. Il faut noter que les ne sont pas des éléments de H mais ils forment tout de même une base continue de H par isomorphisme (cf onde plane). Par isomorphisme sur L², on définit le produit scalaire agissant dans H tel que : De plus, n est rien d autre que le produit matriciel entre la matrice colonne (vecteur) et la matrice ligne (forme linéaire) : c est la définition même du produit scalaire hermitien dans un espace hilbertien. Oscillateur Harmonique : Dans le cas 1D : son hamiltonien s écrit Ses valeurs propres sont les Opérateur Impulsion : Opérateur hermitique tel que

4 Théorème d Ehrenfest : Décrit l évolution de la valeur moyenne d une observable en fonction du temps En l appliquant aux opérateurs relatifs à l impulsion et la position, on retrouve le Principe Fondamental de la Dynamique, montrant ainsi que les valeurs moyennes ont un comportement physique classique. La physique classique est donc un cas limite de la physique quantique lorsque. Onde plane : Il est possible de décomposer toute fonction d onde selon une base continue d onde plane selon : La base des ne sont pas des éléments de L² car de carré non sommables. Ils ne peuvent donc pas décrire un état à part entière pour une particule. Ainsi, les kets associés n appartiennent pas à l espace d Hilbert H. Mais comme toute somme infinie d onde plane est un élément de L², on peut construire un espace isomorphe à l espace engendré par les dont les éléments sont les. Les vérifient donc des propriétés similaires aux éléments de H à savoir : Une relation de fermeture : De fait, Cet espace isomorphe dispose aussi d un produit scalaire : distribution de Dirac Principe de Pauli : Le principe d exclusion de Pauli stipule que deux fermions ne peuvent pas occuper simultanément un même état quantique.

5 Equation de Schrödinger : Equation linéaire décrivant l évolution d un état en fonction du temps : Cette équation est un postulat, c'est-à-dire qu il n existe pas de démonstration! On peut cependant la retrouver de plusieurs manières : couplage équation de D Alembert / énergie totale d une particule, principe variationnel, intuition, etc Par abus de langage, on confond souvent équation de Schrödinger et équation aux valeurs propres de l hamiltonien H : Hamiltonien : Opérateur hermitique associé à l énergie : où E valeur propre de H (énergie) où correspond à l énergie cinétique et V le potentiel Le hamiltonien est un opérateur à variables séparables, ie : Spin : Toute particule élémentaire possède un moment cinétique intrinsèque appelé moment de spin, noté S. Ce dernier n est lié à aucun type de mouvement mais il provient de la conservation du moment cinétique d un système par invariance par rotation dans l espace (isotropie). Il constitue un degré de liberté supplémentaire pour caractériser l état d une particule. La plupart des particules élémentaires telles que l électron, le positron, le proton, ou encore le neutron possèdent un moment de spin de nombre quantique j=1 /2 (on parle alors de «spin un demi»). Par les règles de quantification du moment cinétique montrent alors que la projection selon une direction de l espace de ce moment de spin S ne peut prendre que 2 valeurs : En effet, si alors, comme et varie par saut de 1, on a. Donc le spectre d une des composantes de S a pour valeur propre (cf moment cinétique)

6 Moment cinétique : Soit l opérateur moment cinétique d un système défini tel que : Et décomposition selon les directions x, y et z de l espace. On peut montrer que. Autrement dit, il existe une base d états propres aux opérateurs et que l on note comme l ensemble des. Par commodité, on définit j et m 2 nombres quantiques quantifiant respectivement les valeurs propres de et tels que : Les règles de sélection permettent de déterminer que : Il y a donc 2j+1 valeurs de m possibles. Valeur moyenne : Soit A une observable d états propres correspondant aux valeurs propres non dégénérées. Le système est dans l état quelconque. La valeur moyenne de la grandeur A est : De même :

7 Orbitale atomique : Les états d un électron soumis au champ potentiel central d un atome hydrogénoïde de numéro atomique Z sont décrits par des fonctions d onde appelées orbitale atomique. Ces fonctions sont de la forme : Avec : _ : fonction radiale où n entier dit nombre quantique principal _ : harmonique sphérique où l nombre quantique azimutal (quantifiant le moment cinétique orbital total noté ), et ml nombre quantique magnétique (quantifiant une des composantes du moment orbital) tels que : _ : composante de spin où ms nombre quantique de spin tel que. La donnée des 4 nombres quantiques n, l, ml et ms permet de déterminer sans équivoque l état de l électron. Les orbitales atomiques sont les fonctions propres du hamiltonien associées aux valeurs propres : Chaque niveau est 2n² fois dégénéré. En effet, il y a 2l+1 valeurs de possibles. Et comme et il y a 2 états de spin possible pour un niveau n. Mesure et réduction pour un spectre discret non dégénéré: Soit A une observable d états propres correspondant aux valeurs propres non dégénérées. Le système est dans l état quelconque. La probabilité de mesurer la valeur pour A est : Si l on obtient à l issue de la mesure une valeur, l état (normé) du système est décrit par. C est ce que l on appelle la réduction du paquet d onde : la mesure d une grandeur observable perturbe le système au sens où elle détermine sans équivoque son état. Après avoir effectué la mesure, on est certain de l état occupé par le système, il est déterminé.

8 Mesure et réduction pour un spectre discret dégénéré: Soit A une observable d états propres correspondant respectivement aux valeurs propres, avec non-dégénérée et dégénérée 2 fois. Le système est dans l état quelconque. La probabilité de mesurer la valeur pour A est : Si l on obtient à l issue de la mesure une valeur, l état du système est décrit par :