Chapitre 4 - CALCUL MATRICIEL. Définition 1

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1 4.1 Généralités sur les matrices Chapitre 4 - CALCUL MATRICIEL Définition 1 Une matrice de taille m x n est un tableau de nombres formé de m lignes n colonnes. Une telle matrice s'écrit sous la forme : Les nombres, avec, sont appelés les coefficients de la matrice. est le coefficient placé à la i ème ligne la j ème colonne. est une matrice de taille 2 x 3. Application 1 : une situation à une matrice La presse en France se décompose en la presse quotidienne nationale (PQN), la presse quotidienne régionale (PQR) la presse quotidienne urbaine gratuite (PQG). En , le nombre de lecteurs en milieux, était pour la PQN, pour la PQR, pour la PQG. Le nombre de lecteurs réguliers, en milliers, était pour la PQN, pour la PQR pour la PQG. Représenter la situation par une matrice préciser sa forme. Application 2 : interpréter les coefficients d une matrice La matrice ci-contre représente les longueurs des sauts, en mètres, de 4 concurrents nommés A, B, C D s affrontant au triple saut lors de leurs trois essais dans une compétition. 1. Quelle est la longueur du saut réalisé au 2 e essai par C? 2. Quel est le concurrent ayant réalisé le meilleur saut? A quel essai. 3. Quelle information donne le plus grand coefficient figurant dans une colonne? dans une ligne? Application 3 : utiliser l écriture générale d une matrice La matrice est telle que, pour. Préciser la taille de cte matrice puis l écrire avec tous ses coefficients. Définition 2 Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée d ordre n. 1

2 est une matrice carrée de taille 2. Définition 3 Dans une matrice carrée d ordre n, les coefficients principale de la matrice. forment la diagonale Définition 4 La matrice unité d ordre n, notée, est la matrice carrée d ordre n contenant uniquement des 1 sur sa diagonale principale 0 ailleurs est une matrice identité d ordre 2. Définition 5 La matrice nulle d ordre n, notée coefficients sont nuls., est la matrice carrée d ordre n dont tous les est une matrice nulle d ordre 2. Définition 6 Une matrice de taille n x 1 est appelée une matrice colonne. Une matrice de taille 1 x n est appelée une matrice ligne. Les coordonnées d'un vecteur du plan est une matrice colonne de dimension 2 x 1. Propriété 1 Deux matrices sont égales si, seulement si, elles sont la même taille ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions. 2

3 4.2 Opérations sur les matrices 4.2.1) Somme de matrices Définition 7 Soit A B deux matrices de même taille. La somme de A B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A B. alors Remarque : Cte définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même taille. Propriété 2 Soit A, B C trois matrices carrées de même taille. a) Commutativité : A + B = B + A b) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) 4.2.2) Produit d'une matrice par un réel Définition 8 Soit A une matrice k un nombre réel. La produit de A par le réel k est la matrice, notée ka, dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k. alors Propriété 3 Soit A B deux matrices carrées de même taille deux réels k k'. a) (k + k')a = ka + k'a b) k(a + B) = ka + kb c) (kk')a = k(k'a) d) (ka)b = A(kB) = k(a x B) 3

4 Application 4 : ajouter des matrices multiplier des matrices par un réel On considère les matrices. Calculer 5A + 3B à la main. Vérifier en effectuant le calcul avec une calculatrice ) Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne Définition 9 Soit A une matrice ligne B une matrice colonne telles que : Le produit de la matrice ligne A par la matrice colonne B est la matrice, notée A x B égale à : alors Donc 4.2.4) Produit de deux matrices Le produit AB de deux matrices n existe que si le nombre de colonne de A est égal au nombre de ligne de B. Définition 10 Si A une matrice de taille B une matrice de taille, le produit ou AB est la matrice de taille dont le coefficient situé à la ligne i la colonne j est «le produit de la i la colonne j de B (au sens de la définition précédente)», pour. 4

5 alors : ATTENTION : Certaines propriétés très usuelles de la multiplication des nombres (réels ou complexes) ne s étendent pas à la multiplication des matrices. La multiplication de matrices n'est pas commutative : en général Si AB = AC on ne peut pas «simplifier» en déduire que B = C Application 5 : disposition pratique pour calculer le produit de deux matrices Soit. 1. Peut-on calculer le produit AB? Si oui, si oui calculer ce produit. 2. Peut-on calculer le produit BA? Si oui, si oui calculer ce produit. Propriété 4 Soit A, B C trois matrices carrées de même taille un réel k. a) Associativité : (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C b) Distributivité : A x (B + C) = A x B + A x C (A + B) x C = A x C + B x C c) (ka)b = A(kB) = k(a x B) d) Soit I n la matrice unité d ordre n, alors Application 6 : utiliser les propriétés de calcul sur les matrices Soit M la matrice. Montrer que M = P + I où I est la matrice unité d ordre 3, P est une matrice carrée d ordre 3 telle P 2 = O (matrice nulle d ordre 3). En déduire M 2. Application 7 : calculer avec des matrices On considère les matrices :. a. Déterminer deux réels a b tels que : 5

6 b. Vérifier que, en déduire que c. Déterminer une matrice B telle que : ) Puissance d'une matrice carrée Définition 11 Soit A une matrice carrée n un entier naturel. Le carré de A est la matrice, noté A 2, égale à A x A. Le cube de A est la matrice, noté A 3, égale à A x A x A. Plus généralement, la puissance n-ième de A est la matrice, notée A n, égale au produit de n facteurs A. Soit une matrice diagonale. Alors En eff, on constate après calcul que tous les coefficients qui ne se trouvent pas sur la diagonale s'annulent que sur la diagonale, les coefficients de A 2 sont égaux aux carrées des coefficients de A. On peut généraliser cte règle à une puissance quelconque. Ainsi par exemple,. Propriété 5 Soit A B deux matrices d ordre p. Soit m n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1. On a. ATTENTION A cause de la non-commutativité du produit des matrices, en général : Application 8 : effectuer des calculs matriciels déterminer la puissance n-ième d une matrice. Soit. 1. On pose. Ecrire la matrice B, puis calculer. 2. Montrer que pour tout entier naturel n : 6

7 . 3. En déduire l expression de en fonction de l entier naturel n. Méthode : Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs matriciels On veut calculer le carré de la matrice Avec une TI : Entrer dans le mode "Matrice" (MATRIX) puis "EDIT". Saisir la taille de la matrice puis ses coefficients. Quittez (QUIT) puis entrer à nouveau dans le mode "Matrice" sélectionner la matrice A compléter la formule pour élever A au carré. Avec une CASIO: Entrer dans le menu "RUN.MAT" puis choisir "MAT" (Touche F1). Choisir une matrice saisir sa taille dans la fenêtre qui s'ouvre. Saisir ensuite les coefficients de la matrice. Quitter le mode d'édition (QUIT) taper sur la touche "Mat" puis saisir le calcul. On obtient le résultat : 7

8 ATTENTION A cause de la non-commutativité du produit des matrices, en général : 4.2.6) Puissances d une matrice cas particuliers a. Matrices diagonales Définition 12 Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients qui ne sont pars situés sur sa diagonale principale sont nuls. est une matrice diagonale d ordre 3. Propriété 6 Soit D une matrice diagonale. Pour tout entier naturel n non nul, obtenue en élevant à la puissance n les coefficients de D. est la matrice diagonale Application 9 : calculer des puissances de matrices diagonales Soit, calculer D 3. b. Matrices triangulaires supérieurs (ou inférieures). Définition 13 Une matrice carrée est dite : triangulaire supérieure (ou inférieure) si tous ses éléments situés en dessous (au dessus) de sa diagonales sont nuls. strictement triangulaire si elle est triangulaire avec des coefficients diagonaux nuls. 8

9 s,,, La matrice A est triangulaire supérieure. La matrice B est strictement triangulaire supérieure. La matrice C est triangulaire inférieure. La matrice D est strictement triangulaire inférieure. Application 10 : calculer des produits des puissances des matrices par blocs Soit,,, On adm que l on peut calculer les produits «par blocs». 1. Calculer AB BC. 2. Montrer que. 3. Puis que pour tout entier naturel n non nul,, où. En déduire une écriture de M n en fonction de n. Application 11 : utiliser une décomposition particulière pour calcul de puissances d une matrice Soit B la matrice carrée d ordre 2 suivante :. 1. Calculer B 2 B a. Démontrer que où C est une matrice carrée d ordre 2 que l on déterminera. b. Calculer C 2. Démontre que pour tout entier n, avec, on a. c. Démontrer que les matrices C commutent. Utiliser la formule du binôme de Newton ou une démonstration par récurrence pour établir que pour établir que, pour tout entier n, d. Donner une expression explicite de pour tout entier naturel n. 4.3 Matrice inverse 4.3.1) Matrice inverse d'une matrice carrée Définition 14 Une matrice carrée A de taille n est une matrice inversible lorsqu il existe une matrice B telle que A x B = B x A = I n. La matrice B, notée A -1 est appelée la matrice inverse de A. 9

10 Soit Les matrices A B sont donc inverses l'une de l'autre. Remarque Toutes les matrices ne sont pas inversibles. Propriété 7 La matrice est inversible si, seulement si,. Le réel Si est appelé le déterminant de la matrice A noté, alors Démonstration Soit. Alors. Si, on a soit donc A est inversible. Si, alors donc A n'est pas inversible. Car si A était inversible d'inverse la matrice C, on aurait Et donc. Ce qui est impossible. Application 12 : Calculer l'inverse d'une matrice carrée de taille 2 Calculer l'inverse de la matrice. 10

11 On peut vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice : Il est possible de faire une saisie en ligne sans passer par le menu "Matrice". On obtient l'affichage suivant le résultat : Propriété 8 Soit (S) un système dont une écriture matricielle est AX = B, où A une matrice carrée inversible de taille n X B deux matrices carrées ou colonnes de taille n. Alors ce système est appelé système de Cramer. De plus : A x X = B, si seulement si, X = A -1 x B Démonstration A x M = N A -1 x (A x M) = A -1 x N Comme A -1 x (A x M) = (A -1 x A) x M = I n x M = M, on a : M = A -1 x N Application 13: Résoudre une équation matricielle Déterminer la matrice colonne X vérifiant avec. 4.4 Ecriture matriciel d'un système linéaire On considère le système (S) suivant : On pose :,. On a alors : Ainsi, le système peut s'écrire Propriété 9 Soit A une matrice carrée inversible de taille n B une matrice colonne à n lignes. Alors le système linéaire d'écriture matricielle adm une unique solution donnée par la matrice colonne. 11

12 Démonstration alors. Remarque : Dans le contexte de la propriété précédente, si A n'est pas inversible alors le système correspondant possède une infinité de solutions ou aucune solution. Application 14 : Résoudre un système à l'aide des matrices Résoudre à l aide du calcul matriciel le système (S) suivant :. Application 15 : inverser une matrice de forme 2 2 Dans le plan munir d un repère, on considère les vecteurs,. Déterminer en fonction de a b les réels x y tels que. Application 16 : écrire un système linéaire sous forme matricielle le résoudre Une usine fabrique trois sortes d articles a, b c utilisant des quantités de matières premières indiquées dans le tableau ci-dessous. article a article b article c métal (en kg) 3 2,4 2 peinture (en kg) 0,4 0,2 0,2 plastique (en kg) 0,4 0,5 0,8 Sachant que kg de métal, 973,6 kg de peinture 2 174,8 kg de plastique ont été utilisés, on veut déterminer les nombres x le nombre d articles a, y le nombre d articles b z le nombre d articles c produits. 1. Ecrire un système dont x, y z sont les solutions puis le donner sous forme matricielle AX = Y, où A est une matrice carrée X Y sont des matrices colonnes. 2. On adm que la matrice A est inversible. A l aide d une calculatrice résoudre le système Diagonalisation d une matrice Définition 15 Une matrice carrée A est dite diagonalisable s il existe une matrice carrée P inversible une matrice carrée D diagonale telle que Remarque Si, on obtient de façon très simple. 12

13 Application 17 : utiliser une décomposition particulière pour calcul de puissances d une matrice Soit la matrice, la matrice la matrice 1. Démontrer que l on a AP = PD. 2. Démontrer que P est inversible calculer. 3. En déduire que 4. En déduire les coefficients de la matrice, pour tout entier naturel n. Propriété 10 Cas des matrices carrées d ordre 2. Une matrice carrée d ordre 2 est diagonalisable si, seulement si, il existe deux réels (non nécessairement distincts) deux matrices colonnes à coefficients réels non proportionnelles V W telles que AV = V AW = W. Si A est diagonalisable : Les réels sont appelés les valeurs propres de la matrice A. Les matrices colonnes V W sont appelés les vecteurs propres associés aux valeurs propres. La matrice carrée P = [V W] est inversible telle que Remarque Les matrices carrées d ordre 2 ne sont pas toutes diagonalisables. Prenons posons. Alors s écrit : avec Si inversible, Et donc V, qui est nulle, est proportionnelle à toute matrice W de format 2 1. Ce qui est impossible. Pour que A soit diagonalisable, il faut donc que B ne soit pas inversible, donc que son déterminant soit nul, d où. Application 18 : diagonaliser une matrice carrée Soit 1. Démontrer que A est diagonalisable. 2. Diagonaliser la matrice A. 3. Calculer, pour tout entier naturel n non nul. 13

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